用数轴,“巧”解题
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用数轴,“巧”解题
摘要:初中阶段,我们学习了数学中重要的一个概念:数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线,它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具,通过数轴,它将数与形结合在一起,很好地揭示了数与形之间的内在联系。对于某些数学问题,利用数轴去求解,不仅能够化难为易、化繁为简,而且解法直观、明快。
关键词:数轴;作用;求解
初中阶段,我们学习了数学中重要的一个概念:数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线,它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具,通过数轴,它将数与形结合在一起,揭示了数与形之间的内在联系。
一、数轴有四个方面的作用
1.数轴能反映出数形之间的对应关系
所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来,而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说,有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。
2.数轴能反映出数的性质
数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线,有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数――零,是个“中性”数;有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置:当规定向右的方向为数轴的正方向时,表示正有理数的点都在原点的右侧,表示负有理数的点都在原点的左侧。
3.数轴能解释数的某些概念
(1)相反数:将一对相反数表示在数轴上,表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说,表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等。
(2)绝对值:用数轴可以形象地解释绝对值的概念,一个数的绝对值,就等于表示这个数的点离开原点的距离。
(3)近似数:近似数是与实际接近的数,用数轴可表示出某一近似数的精确度。如,近似数3的精确度可在数轴上表示,即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。
4.数轴可使有理数比较大小形象化
两个有理数比较大小,可以借助数轴这个工具进行。在数轴上表示的两个有理数,右边的数总比左边的数大。
二、对于某些数学题,若利用数轴求解,不仅能够化难为易、化繁为简,而且解法直观、明快
1.用数轴比较实数大小,解决求样本的中位数的问题
问题1:由小到大排列的一组数据x1,x2,x3,x4,x5,其中x5<-1,则1,x1,-x2,x3,-x4,x5,的中位数是
____________。
分析:要求所给的六个数据的中位数,只要将这六个数据从小到大依次排列,求出排在第三和第四的两个数据的平均数,即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个数按从小到大的顺序排列。为了突破难点,我们可以借助数轴。
解:在数轴上任取x1,x2,x3,x4,x5表示的点,使x1 ■ 观察数轴知x1 2.用数轴求字母的取值范围求值 问题2:若不等式组的解集不在2 ■ 解:由不等式组x-a>1a-x>-3 所以a+1 3.用数轴解含有绝对值的方程 ■ 问题3:解方程:x+3+x-1=6 分析:由绝对值的几何意义可知,此方程表示在数轴上求一动点x,使x到定点A(-3)的距离与到定点B(1)的距离之和等于6,如图3。由数轴上的点的性质可知,这样的点x有两个,即表示-4与2的点,所以方程的解为x=-4 或x=2。 4.用数轴取零点,求最值 问题4:若m 分析:在数轴上标出m,n,p的大致位置,如图4,于是问题转化为在x轴上求一点,使它到m,n,p所对应的三点距离的和最小。易知当x=n时,它到m,n,p所对应的三点的距离之和最小,故当x=n时,x-m+x-n+x-p的值最小,最小值等于p-m。 5.运用数轴变换两圆的位置关系 如图5,数轴反映两圆的位置关系和数量关系,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R1,R2,圆心距为d,则两圆的位置关系可以在数轴上表示出来,如图5所示。 ■ 图5 问题5:已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,两圆的圆心距是6cm,则两圆的位置关系是() A.内含 B.外离 C.内切 D.相交 分析:由题设,知:R1-R2=2,R1+R2=8,由图6知 R1-R2 6.借助数轴,进行代数式的化简 ■ 问题6:已知有理数a、b在数轴表示的位置如图7所示,试化简:■-a-b 观察数轴上字母的位置不难发现,a+b>0,a-b>0根据绝对值的意义,很容易去掉绝对值符号,问题迎刃而解。 7.用数轴找临界点,求点的象限范围 问题7:点(x,x-1)不可能在第几象限。 ■ 图8 8.无理数的理解 问题8:关于π的理解: 用直径为1的圆,从数轴原点沿数轴滚动一周,所得到的点的位置就是π。 问题9:■的认识: 好奇的古希腊人在数轴上以线段[0,1]为底边作正方形,以O为圆心,过O点的对角线为半径画弧,交数轴正方向于D。D点表示的数是■。 以上是我在初中教学中,对数轴的一些用法,感觉数轴它虽小,但作用很大,用途很广,借用数轴可轻松解决多方面的数学问题,是研究初中数学的有效工具之一,也是培养学生提高分析解题能力的好工具。 参考文献: 刘锦海.与数轴有关的问题.中学课程辅导:初一版,2004(08). (作者单位甘肃省酒泉市育才学校) ??S编辑张珍珍