三角分解解线性方程组的公式
范数-摆脱课本繁琐的公式,比较好懂
p
范数的特殊情况。 注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中 前三种范数都是 范数的特殊情况
|| X ||∞ = lim || X || p
p →∞
计算方法三 计算方法三⑤
向量范数的连续性: 向量范数的连续性
5/35
定理3.3 设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数 则f(X) 定理 为 上的任一向量范数,则 的分量x 的连续函数. 为X的分量 1,x2,…,xn的连续函数 的分量
lim x i = xi (i = 1,2,..., n)
(k ) k →∞
则称向量X= (x1，x2，...，xn)T为向量序列 则称向量 ， {X(k)}的极限，或者说向量序列 (k)}收敛 的极限， 的极限 或者说向量序列{X 收敛 于向量X， 于向量 ，记为
lim X
k →∞
(k )
=X 或 X
(k )
→ X (k → ∞)
计算方法三 计算方法三⑤
计算方法三 计算方法三⑤
x1 (k ) ( k ) x2 X = ………… M x (k ) n (k ) x1 x1 (k ) x2 ( k ) x2 X = → = M M x (k ) x n n
几种常用的矩阵范数： 几种常用的矩阵范数：
n
13/35
a11 a21 设 A= ⋅⋅⋅ a n1
a12 ⋅⋅⋅ a1n A 1 = max∑aij 列范数 1≤j≤n i=1 n a22 ⋅⋅⋅ a2n A ∞ = max∑aij 行范数 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1≤i≤n j=1 T an2 ⋅⋅⋅ ann A 2 = λ (A A) max AF =
用直接三角分解法解线性方程组
三角阵。等式左边是单位下三角阵，右边是上三角阵，要使等式
成则立L ， L只1 ,能U等于U单1，位即矩此阵三I。角于分是解L唯1一L1。
UU
1 1
I,
1 2 1
1 2 1
例7 解：
设 A 3 7
1
，试将A进行三角分解。
1 1 3
由高斯消去法得到
m21
3 1
3，m31
1 1
1
m 32
L1
1 1
0 0 1 2
例：
求
0 1 2
0 1 0
3 0 1
103的PLU分 解 。
解：用1，2， ，n的排列表示n阶置换阵P，其中排列的第i个元素
j，表示P的i行非零元素位于j列。则分解过程如下：
1 0 0 1 2
3 1 1 0 1
3 1 1 0
2 0
43
1 2
0 1 0
3 0 1
0 1 3
Ux j y j
Ly
j
bj
n1
k
n(n 1)
n2
n 次乘法
k 1
2
22
Ux j y j n k n(n 1) n2 n 次乘除法
k 1
2
22
即共需n 2 次乘除法运算。
n 2 次 乘 除 法
三角分解法的存放元素的方法：
以A (a ij )33 为例，
a11 A a21
1 mk1,k 1
k，
Lk1
1 mk1,k 1
k
mnk
1
mn,k
1
A ( L11 L21
L1 n1
)U
LU，1
a (1) 11
线性代数方程组的解法
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法
5.3 矩阵的三角分解法
8
解： (1)分解A LU，令 2 5 6 1 4 13 19 l 21 6 3 6 l31 0 1 l32 0 u11 0 1 u12 u22 u13 u23 u33
24
由A L( DLT ) 1 l 21 l31 ... l n1 1 l32 ... ln 2 1 ... ... lnn 1 1 d1 ... d1l21 d2 ... d1l31 d 2 l32 d3 ... ... ... ... d1 l n1 d 2 ln2 d 3 ln 3 dn
25
由 i j时aij = l ik d k l jk l ij d j , 知
k =1
j -1
L, D元素计算公式
lij =
aij lik d k l jk
k =1
j -1
dj
j -1
( j 1, 2, ,i 1)
2 d i =aii l ik d k ( i 1, 2, , n) k =1
y1 b1 i -1 y y b l i ij i j j 1
i 2, 3, , n
( i n 1, , 1)
7
或 用 Doolittle 分解法
例:用矩阵的直接三角分解法解方程组
5 6 x1 10 2 4 13 19 x 19 2 6 3 6 30 x3
27
d1 a11
改进平方根法解方程组
1. 分解计算A=LDLT ,
d1 a11 对于i 2, 3, ..., n j 1 c a cik l jk ij ij k 1 cij ( j 1, 2, ..., i 1) lij dj i 1 d i aii cik l ik k 1
解线性方程组的三角分解法
⎛1 0 ⎛1 3 2 1 ⎞ ⎜3 1 ⎜ ⎟ ⎜ 3 13 12 9 ⎜ ⎟ = ⎜2 3 ⎜ 2 12 29 15 ⎟ ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 1 9 15 34 3 ⎝ ⎠ ⎜1 ⎜ 2 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜3 =⎜ ⎜2 ⎜ ⎜ ⎜1 ⎝ 0 1 3 2 3 2 0⎞ ⎟ 0⎟⎛1 ⎜ ⎟⎜0 1 0⎟⎜ 0 ⎟⎜ 1 ⎟ 0 1⎟⎝ 4 ⎠ 0 0
⎛1⎞ 0 0 0 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y 4 0 0 ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎜ 10 ⎟ 2 ⎟。 = ，得到 ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ y3 0 16 0 y3 24 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 25 ⎠ ⎝ y4 ⎠ ⎝ 50 ⎠ ⎝ y4 ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ 6 ⎞ ⎜ 2 1 0 0⎟⎛3 ⎟ห้องสมุดไป่ตู้⎟⎜0 6 ⎟ ⎜3 ⎜ ⎟⎜ = 1 8⎟ ⎜ 0 1 0⎟⎜0 ⎟ ⎜3 ⎟⎜ 12 ⎠ ⎜ ⎟⎝0 4 1 0 1 ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠
6 3 6⎞ ⎟ 1 0 2⎟ 0 2 6⎟ ⎟ 0 0 2⎠
解方程组
⎛ 1 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 1 0 0 ⎟ ⎛ y1 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎜3 ⎟⎜ y ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎜1 ⎟⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ 0 1 0 ⎟ ⎜ y3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜3 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜4 ⎟ ⎝ y4 ⎠ ⎝13 ⎠ 1 0 1⎟ ⎜ ⎝3 ⎠
⎛3 ⎜ ⎜2 ⎜1 ⎜ ⎝4
6 3 5 2 2 3
6 6 8
1 0 0 0 1 0 0 0 1
9 4 12 0 0 0
2 3 1 0 2 6 − 3 4 1 0 4 − 3 1 0 2 −
三角分解解线性方程组的公式47页
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6
平方根法（Cholesky分解）
续1
AT ALT D R T D R T L T R T ( D T ) L ( D ) R
由Doolittle分解的唯一性有
R T L DLT DR
（D可逆）
L R
9
平方根法（Cholesky分解）
k1
aikk1lim lk m
l11 l21 ln1
l22
ln1
lnn
lnn
第一步 ： a11l121l11 a11
ai1 l11li1li1 ai1/l11
i2,3 n
设L前k-1列元素已求出，则 第k步
n
k1
ak k lk m lk m lk2mlk2k
续2
L LD
这时 L 为一般的下三角矩阵，故 ALLT，若 L 的对角 元全为正时，由Doolittle分解的唯一性及上述分解 的推理过程，可以得到Cholesky分解的唯一性。
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8
平方根法（Cholesky分解）： 分解公式
l11
Al21 l22
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5
平方根法（Cholesky分解） 定理证明
证明：因为 A对称正定，故其顺序主式 k0 k 1 ,2 , n，
1
u11 u1n
Al21
ln1 1
m1
m1
k1
lkk akk lk2m m1
i k n
a ik lim l km m 1
线性方程组的解法及其应用
线性方程组的解法及其应用摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例1. 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.本文主要介绍线性方程组的广义逆矩阵法、追赶法、平方根法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台.文章也给出线性方程组在其他领域中的应用实例，揭示了各学科之间的内通性.首先，我们讨论一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为11112211211222221122,,.n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()i()i 式中(1,2,,)i x i n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n ==称为方程组的系数，(1,2,,)j b j n =称为常数项.线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s b b b ====.令111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()i 可用矩阵乘法表示为AX B =，,,.m n n m A C X C B C ⨯∈∈∈2. 线性方程组的解法2.1 消元法在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.例 1 解线性方程组123123123123324,32511,23,237.x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解 分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得123232323324,71,555,7 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎪⎨-+=-⎪⎪-=⎩将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以15-，得1232323324,71,1.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量2x ，整理得123233324,1,6 6.x x x x x x +-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩最后解得123(,,)(2,0,1)T T x x x =--.正如消元法是我们接触比较早的，被我们所熟悉的一种方法，在此只给出三元线性方程组的解法，三元以上的方程组的具体理论、性质和解题过程详见参考文献[1]. 2.2 应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理1[1] 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()ii的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式111212122212det 0n n n n nna a a a a a A a a a =≠，那么线性方程组()ii 有唯一解：det (1,2,,),det j j B x j n A==其中det j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即111,111,11222,122,121,1,1det,1,2,,.j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式det 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的. 例2 解线性方程组12342341242342344,3,31,73 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解 由已知可得系数行列式12341234123401110111111det 16013015352073173148A ---------====≠----,因此线性方程组有唯一解.又因124234143431110311det 128,det 48,1301110137310331B B -------==-==-341244123401310113det 96,det 0.1311130107310733B B ------====--故线性方程组的解为1234(,,,)(8,3,6,0)T T x x x x =-.克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的. 2.5 直接三角分解法[5]设有线性方程组11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩或写成矩阵形式Ax b =，其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若A 为非奇异矩阵，且有分解式A LU =，其中U 为上三角矩阵，L 为单位下三角矩阵，即11121212221,1111n n n n n nn u u u l u u A LU l l u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则线性方程组Ax b =的求解等价于 解以下两个三角方程组：(1)Ly b =，求y ； (2)Ux y =，求x .直接三角形分解法求解线性方程组，基本步骤如下： 第一步： 11,(1,2,,),i i u a i n == 1111,(2,3,,)i i l a u i n ==,计算U 的第r 行，L 的第r 列元素，2,3,,r n =.第二步： 11,(,1,,)r ri ri rk ki k u a l u i r r n -==-=+∑.第三步： 11,(1,,;)r ir ir ik kr rr k l a l u u i r n r n -==(-)=+≠∑.求解Ly b =，Ux y =的计算公式如下：第四步： ()1111,,2,3,.i i i ik k k y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑第五步： 1,(),(1,2,,1).n n nn n i i ik k ii k i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=-=--⎪⎩∑例5 求解线性方程组1231212321,42,227.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=-⎨⎪-++=⎩解 由直接三角分解法第二、三步可得211100211410210012221131004A LU ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 于是线性方程组变为LUx b =，求解线性方程组(1,2,7)T Ly =-，得(1,4,4)T y =--；求解线性方程组(1,4,4)T Ux =--，得(1,2,1)T x =-.2.6 平方根法[7]在许多应用中，欲求解的线性方程组的系数矩阵是对称正定的.所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解具有对称正定矩阵的线性方程组的一中有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组.定理6[12] 若A 的各阶顺序主子式非零，则A 可以分解为A LDU =，其中L 是单位下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，D 是对角矩阵，且这种分解是唯一的.定理7[12] 设A 为对称正定矩阵，则存在三角分解T A LL =，其中L 是非奇异下三角形矩阵，且当限定L 的对角线元素为正时，这种分解是唯一的.应用对称正定矩阵的平方根法，可以解具有对称正定系数矩阵的线性方程组Ax b =，具体算法如下：1) 对j =1,2，，n ，计算11221()j jj jj jkk l a l -==-∑，11j ij ij ik jk k l a l l -==-∑(1,,)i j n =+.2) 求解线性方程组Ax b =等价于解两个三角方程组,.TLy b L x y =⎧⎨=⎩ 计算11()i i i ik k ii k y b l y l -==-∑，(i =1,2，，n ), 1()ni i ki kii k i x b lx l =+=-∑，(i n =,1n -,,2,1)，即可.例6 求解线性方程组12341161 4.25 2.750.5.1 2.75 3.5 1.25x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 解 设1111213121222232313233334111 4.25 2.751 2.75 3.5l l l l l l l l l l l l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 由矩阵乘法得1121223132332,0.5,2,0.5, 1.5, 1.l l l l l l ==-====解下三角方程组123260.520.50.5 1.51 1.25y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得1233,0.5,1,y y y ===-再由123230.520.50.5 1.511Tx x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得线性方程组的解为123(,,)(2,1,1)T T x x x =-.可以用消元法解此方程组,但发现此方程组的系数矩阵为正定矩阵，运用平方根法解这个方程组比较容易，而且理论分析指出，解对称正定方程组的平方根法是一个稳定的算法，其在工程计算中使用比较广泛. 2.7 追赶法[5]在许多实际问题中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组11112222211111iiii i n n n n n nn n n x k b c x k a b c a b c x k a b c x k a b x k -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 简记作 Ax k =， 其中A 满足下列对角占优条件：(1) 110b c >>;(2) i i i b a c ≥+, i a ,i c 0≠(i =2,3, ,1n -);(3) 0n n b c >>.由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角矩阵的乘积，即A LU =，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵.求解线性方程组Ax k =等价于解两个三角方程组Ly k =与Ux y =，先后求y 与x ，从而得到以下解三角方程组的追赶法公式：第一步：计算的递推公式111c b β=，1()i i i i i c b a ββ-=-，(2i =，3，，1)n -;第二步：解Ly k =：111y k b =，11()()i i i i i i i y k a y b a β--=--，(2,3,,)i n =;第三步：解Ux y =：n n x y =，1i i i i x y x β+=-，(1,2,,2,1)i n n =--.例7 求解三对角线性方程组123421001131020111200210x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解 设有三角分解111122222233333344441111b c p q a b c a p q a b c a p q a b a p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由矩阵乘法易得111,,1,2,3.,2,3,4.i i i ii i i p b q c p i p b a q i -=⎧⎪==⎨⎪=-=⎩ 将已知系数矩阵的元素代人上式有11223342,12,52,25,35,53,73.p q p q p q p ==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪=⎩ 解线性方程组112233441121220p y p y p y p y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得123412,35,73, 2.y y y y ====再解线性方程组111222333441111x y q x y q x y q x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得原线性方程组的为1234(,,,)(0,1,1,2)T T x x x x =-.追赶法是以LU 分解为基础的求解方法，因此它的不足之处是当某个0=k u 时，就不能进行.但是当方程组的系数矩阵A 中有很多零元素时，利用三对角方程组系数矩阵的稀疏性，使零元素不参加运算，可以类似于追赶法来简化计算过程，从而极大地节省了计算量和存储量.这也是追赶法的最大特点.3. 应用举例3.1 线性方程组在解析几何中的应用例8 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=，2L ：230bx cy a ++=，3L ：230cx ay b ++=，试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证 必要性 设三直线1L ，2L ，3L 交于一点，则线性方程组232323ax by cbx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩ ()iii有惟一解，故系数矩阵222a b A b c c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵232323a b c A b c a c a b --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩均为2，于是0A -=，即22223236()()23a bcA bc a a b c a b c ab ac bc ca b--=-=++++----=0,所以0a b c ++=.充分性 由0a b c ++=，则从必要性的证明可知，0A -=，故()3r A -<.由于22222132()2[()]2[()]0224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠, 故()()2r A r A -==.因此线性方程组()iii 有惟一解，即三直线1L ，2L ，3L 交于一点. 3.2 线性方程组在产品生产量中的应用例9 设有一个经济系统包括3个部门，在某一个生产周期内各部门间的消耗及最终产品如表所示：求各部门的总产品.解 设i x 表示第i 部门的总产品.由已知可以得到线性方程组()I A x y -=，其中0.250.10.1()0.20.20.10.10.10.2ij A a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.750.10.10.20.80.10.10.10.8I A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，(245,90,175)T y =. 利用矩阵的初等变换可以求得1126181810()34118198912017116I A -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以线性方程组()I A x y -=的解为消耗系数 消耗部门 生产部门123最终产品1 0.25 0.1 0.1 2452 0.2 0.2 0.1 90 30.10.10.21751126181824540010()3411819902508912017116175300x I A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 4. 结束语本文针对不同的线性方程组给出了一些计算方法，及线性方程组的应用实例.根据线性方程组自身所具有的特点，可以选择相应合适的方法，而对于那些特殊类型的线性方程组的解法，有待进一步的讨论与研究．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编. 高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.[2] 白梅花. 线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.[3] 康道坤，陈劲. 广义逆下线性方程组的解结构及其推广[J].大理学院学报,2011，10(4):7-9. [4] 卢刚.线性代数[M]. 北京：高等教育出版社,2002.64-72.[5] 李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M].4版.武汉：华中科技大学出版社,2006.177-185. [6] 苏育才，姜翠波，张跃辉. 矩阵理论[M].北京：科学出版社,2006.200-206. [7] 首都师范大学数学系组编. 数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.[8] 徐仲，张凯院，陆全，等. 矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147. [9] 谢寿才，陈渊. 大学数学[M].北京：科学出版社,2010.37-40.[10] 徐仲，张凯院，陆全. 矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社,2002.228-245.[11] 尹钊，钟卫民，赵丽君. 线性方程组的广义逆矩阵解法[J].哈尔滨师范大学自然科学学 报,1999,15(5):21-22. [12] 张明淳. 工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.[13] 赵树嫄. 线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.。
一基本的三角分解法LU分解
0 0 u33 u34 0 0 3 /11 2 /11 lir
k 1
urr
0 0 1 l43 T 0 0 1 9T
0 0 0 u44 0 0 0 4
解Ly b,得
y1 b1
j 1
yr br lrj y j
r1
y1 y2 y3 y4 T 10 20 17 /11 16T
li 1
ai 1 l11
r 1
lrr arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
lir
k 1
lrr
i 2,3, , n -------------(4)
r 2, ,n
i r 1, , n
对于线性方程组 Ax b
-------------(5)
其中A为n阶对称正定矩阵 则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
u1r
urr
u1n
urn
unn
证明略
根据矩阵的乘法原理
,
A的第一行元素
a1
为
j
a1 j u1 j j 1,2, , n A的第r行元素主对角线以右元 素arj ( j r, , n)为
同样
r
arj lrkukj k 1
j r, ,n r 1,2, , n
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i r 1, , n)为
1 l21 l31 l41 T 1 1.5 0.5 2T 0 u22 u23 u24 0 11 12 8.5
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
r 1
urj arj lrkukj k 1
0 1 l32 l42 T 0 1 3 /11 6 /11T
第一节：三角形方程组和三角分解
2
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求解线性方程组的数值方法大体上可分为直 接法和迭代法两大类。
下面我们来讨论怎样利用Gauss变换来实现A的三 角分解。先来考察一个简单的例子。设
1 4 7
A 2
5
8
3 6 10
22
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我们首先计算一个Gauss变换 L1 使得 L1 A 的第1 列的后两个元素为0。由命题1和4容易得出
1 0 0 L1 2 1 0
3 0 1
且
1 4 7
,
3 0 1
0 2 1
令
1
1 4 7
L (L2L1)1 2 1
,U
0
3
6
3 2 1 0 0 1
24
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则有
A LU.
对于一般的n阶矩阵A，在一定条件下，我们也可以 计算n-1个Gauss变换 Ln1,L , L1 ，使得 Ln1L L1A为 上三角矩阵。
事实上，记 A(0) A ，并假定已求出k-1个Gauss变
a(k nn
1)
25
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如果
a(k 1) kk
0
，则我们就又可以确定一个Gauss变换
Lk ，使
得 Lk A(k1中) 第k列的最后n-k个元素为0。由前面所介绍的
Gauss变换可知，这样的 Lk 应为
Lk In lk ekT
第2章解线性方程组的直接方法5_6
~ ~ ~ = ∏ uii ⋅ ukk = det Ak −1 ⋅ u kk det Ak
i =1
k −1
~ = det Ak > 0 u kk det Ak −1
(记 det A0 = 1)
以上 k = 1 ,2 , ⋯ , n
2
因此 ~ u11 ~ U= ~ u11 =
4. 解LTx = y:
4.1 xn = yn / ann
4.2 for i=n-1,n-1,…,1 do
xi = ( yi −
k = i +1
∑a
n
ki k
x ) / aii
11
例1.
用平方根法解对称正定方程组
6 7 5 x1 9 7 13 8 x2 = 10 5 8 6 x 9 3
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤
16
§2.6
对角占优矩阵: 对角占优矩阵
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法 补充
i = 1 ,2 ,⋯ , n
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i
n
则称A为严格对角占优矩阵. 若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 ,2 ,⋯ , n
17
则称A为弱对角占优矩阵.
有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有一类方程组 在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组 其形式为: 即三对角线方程组,其形式为 有着重要的作用 即三对角线方程组 其形式为
第三章线性代数方程组解法
中，选取绝对值最大的元素作为主元素，如果它位于第r 行第s列，则通过交换k,r两行及交换k,s两列，使主元素位 (k a kk ) 的位置，然后进行消元计算。由于作列的交换 于 改变了方程中未知量的次序，因此回代过程要按未知量 调换后的编号顺序求解。
- x1 - 0.5x2 + 2x3 = 5 5x1 - 4x2 + 0.5x3 = 9
解 [A,b] =
0.01
2
- 0.5 2 0.5 9
-5 5 9 5 (3) 0 (1) (3)
5
-4
0.5 2
9 5
- 1 - 0.5 5 -4 0.5 2.10
-1 - 0.5 0.01 -4 2
- 0.5 – 5 0.5 9
(i, j=k+1, …, n)
回代过程:
( (n xn bnn ) / ann) ; n
xi (bi(i )
j i 1
a
(i ) ij
( x j ) / aiii )
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。 1. 消元过程(共需n-1次消元） 第k次消元时需除：n-k 第k次消元时需乘：(n-k)(n-k+1) 共需乘除次数： [(n-1)+(n-1)n]+[(n-2)+(n-2)(n-1)]+…+[1+1×2] = n3/3+n2 /2-5n/6 2. 回代过程 需除：n 需乘：1+2+…+(n-1)= (n-1)n/2 共需乘除次数：n+ (n-1)n/2= n2/2+n/2 所以总共需乘除次数: n3/3+n2 /2-5n/6+n2/2+n/2 = n3/3+n2 -n/3 。 n3/3+n2 -n/3<<(n+1) n! (n-1)+n(克莱姆法则需的乘除次数),因此 顺序高斯消去法从计算量上考虑是可行的。
LU分解
~ T ~T T T ~T T ~ ( LDU ) = U D L = U DL = LDU
~ 由分解的唯一性有， T = L 即，于是可得下面的结论。 U
定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 则 A可以唯一分解为A= LDLT ，这里
k =1 k =1
得公式 u1j=a1j li1=ai1 / u11
j=1,2,…,n i=2,3,…,n
l ii = 1
当i ≤ j时,有 aij = ∑ l1k ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj + uij
k =1 n k =1 i k =1 n i i −1
a ji = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki + l ji ⋅ uii
3 2
例 用直接三角分解法解方程组
1 5 x1 11 2 4 1 12 x2 = 27 − 2 − 4 5 x3 12
解：由前面的公式可得
1 2 1 5 A = LU = 2 1 − 1 2 − 1 3 1 4
k = 1, d 1 = a11 = 5
k = 2,
d2 = a22 − u21l21 = 2.8
u 32 = a 32 − u 31l 21 = − 3.2
j = 3,
k = 3,
l32 = u 32 / d 2 = − 1.14286
d 3 = a33 − u 31l31 − u 32 l32 = 2.14285
LU分解法的基本思想 LU分解法的基本思想 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U 的乘积，其中L 的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角 矩阵，而且要求L的对角元素都是1 矩阵，而且要求L的对角元素都是1；
第2章线性方程组求解方法第2讲
y1 1 1 1 y2 3 3 y 34 3 5
1 2 3 x1 1 再解 5 9 x2 3 ,得 34 17 x 5 3 5
计算方法 2.3.1
线性代数方程组求解方法
直接三角分解法
将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A的元
素得到计算L、 U元素的递推公式，而不需要任何中间步骤 ，这就是所谓的直接三角分解法。一旦实现了矩阵A的LU分
解，那么求解线性代数方程组Ax=b的问题就等价于求解两
个三角方程组 Ly=b，求y Ux=y，求x 的问题，而这两个线性代数方程组只要回代，就可以求出其
1 u11 u12 u13 u 22 u 23 l21 1 l l 1 u 33 31 32 l l l 1 n1 n 2 n 3
计算方法
线性代数方程组求解方法
克罗脱(Grout)分解
a11 a12 a21 a22 a 31 a32 an 1 an 2 ... a1n ... a2n a3n ... ann ... u1n ... u 2n ... u 3n 1
a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 a a ... a b nn n n1 n 2
u11 u12 ... u1n y 1 l21 u 22 ... u 2n y 2 l l ... u y nn n n1 n 2
设A
A=LU=L1U1 其中, L、L1 为单位下三角矩阵， U、 U1为上三角矩阵。由 于U１－1
计算机方法线性方程组的解法
高斯-塞德尔迭代格式
k k x1k 1 0.1x 2 0.2 x 3 0.72 k 1 k 1 k x 0 . 1 x 0 . 2 x 0.83 2 1 3 k 1 k 1 k 1 x 0 . 2 x 0 . 2 x 0.84 1 2 3
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商 业经济中的各种问题。 求解线性方程组 Ax b 的求解方法，其中
A R nn
， x, b R n 。
* x* ( x1* , x2 , * T , xn )
… … …
…
( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) xn 1 ( a n1 x1 an 2 x2 an 3 x3 a nn 1 x n 1 bn ) a nn
写成矩阵形式： x( k 1) D1 ( Lx( k 1) Ux( k ) ) D1b
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
x1 0.1 x2 0.2 x3 0.72 x2 0.1 x1 0.2 x3 0.83 x 0.2 x 0.2 x 0.84 1 2 3
据此建立迭代公式：
(k ) (k ) x1(k +1) =0.1x2 +0.2x3 +0.72 (k +1) (k ) (k ) x2 =0.1x1 +0.2x3 +0.83 (k +1) (k ) (k ) x =0.2 x +0.2 x 1 2 +0.84 3
研究生数值分(8)直接三角分解法
(b) 对k+2,3,…,n 按计算公式(3),(4)依次
计算U的第k行元素 uki (i k, k 1, , n) 与L的第
k列元素 lik (i k 1, , n; k n)
20 求解三角形方程组LY=b，即按计算公
(i k, k 1, , n) （3）
k 1
lik (aik liju jk ) / ukk j 1
(i k 1, , n; k n) （4）
在我们利用杜利特尔矩阵分解解线性方程 组AX=b时,只要实现矩阵分解A=LU,依次解三角 形方程组LY=b与UX=Y即可。
计算公式：
y1
yk
对那些明确是1或是0的元素不再求。 由矩阵乘法规则与相等条件,
利用 aij 在上述计算过程中，
导出计算 lij 或 uij 的公式。
例如
第一步计算由 ai1 li1u11 得
u1i a1i (i 1,2, ,n)
第二步计算由 a1i u1i 得 li1 ai1 / u11 (i 2,3, ,n)
, n 1)
因此有 1 c1 / a1且0 1 1 由 a2 b2 a21 b2 a2 1 b2 a2 c2 0 有 2 c2 / a2且0 2 1
一般地，用归纳法可以证明
ai ci 0 （即0 i 1） (i 1, 2, , n 1)
因此我们从关系式（2）解出待定系数为
5 3 2, 2 3 5
3
2
3
4
b 7
1
0
2、用追赶法求方程组的解
4 1 0 0 x1 3
1
4
1
4-线性方程组的解法
17
定理 1 矩阵 A 可以三角分解的条件如下：
1. 若矩阵 A 的所有顺序主子式不等于零; 2. 若矩阵 A 对称正定; 3. 若矩阵 A 严格对角占优，即：
akk akj , k 1, 2, n 。
j k
18
2 2 1 A 4 5 4 例 3 已知矩阵 ，检验 A 是否满足三角分解的条件， 2 4 3
n n n n a11 a1 a b k 1n 1 n n n akk akn bk n n ann bn
7
消元公式：
(0) aij aij , bi(0) bi , ( i , j 1, 2, ..., n) For k 1, 2, ..., n 1 (k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj b( k ) b( k 1) l b( k 1) i i ik k ( k 1) ( k 1) akk ; i , j k 1, ..., n lik aik
利用增广矩阵的初等行变换法表示为：
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 3 2 1 3 2 A b 4 1 2 1 3 6 7 3 1
k 1
1
ai1 lik uk1 li1u11 ，
k 1
1
即： li1 ai1 u11 i 2, 3,, n .
这是 U 的第一行和 L 的第一列。
22
设： U 的前 m 1 行和 L 前 m 1 列均已算出，那么：
amj lmk ukj lmk ukj lmmumj ,
直接三角分解法
• 直接三角分解法简介 • 直接三角分解法的算法原理 • 直接三角分解法的实现过程 • 直接三角分解法的应用案例 • 直接三角分解法的优化与改进
01
直接三角分解法简介
定义与特点
定义
高效
直接三角分解法是一种线性代数中的方法 ，用于将一个矩阵分解为一个下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积。
计算分解矩阵
根据所选方法计算出左奇 异矩阵、右奇异矩阵和奇 异值矩阵。
提取关键信息
从分解矩阵中提取关键信 息，如主成分或特征向量， 用于后续分析。
结果
可视化结果
将分解结果以图表、图像等形式呈现，便于直观 理解。
量化分析
对分解结果进行量化分析，如计算各主成分的贡 献率或方差解释率。
决策建议
根据分析结果提供决策建议，指导后续工作。
图像修复
通过直接三角分解法，可以将图像中的损坏或缺失部分进行修复或替 换，从而得到完整的图像。
05
直接三角分解法的优化与改进
算法优化
减少计算量
通过选择合适的算法和数据结构，减少不必要的计算和重复计算， 提高算法的效率。
并行化处理
将算法中的计算任务分解为多个子任务，并利用多核处理器或多 线程技术并行处理，加快计算速度。
利用三角分解法，可以方便地计算矩阵的逆和行列式，对于解决一些数学问题具有重要意义。
在机器学习中的应用
矩阵分解
在推荐系统和协同过滤等机器学习算法中，矩阵分解是一种常见的方法。通过直接三角分 解法，可以将矩阵分解成低秩矩阵和稀疏矩阵，从而更好地表示用户和物品之间的关系。
降维处理
在处理高维数据时，直接三角分解法可以用于降维处理，将高维数据投影到低维空间，保 留主要特征，降低计算复杂度。
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因为 k u11u22 ukk 0 k 1,2,n ukk 0
1 u11 l u22 21 A ln1 ln 2 1
• 追赶法解三对角方程组
b1 a 2 c1 b2 a3 c2 b3 c3 ai bi ci an an 1 bn 1 x1 d1 x d 2 2 x3 d 3 xi d i cn 1 xn 1 d n 1 bn xn d n
分解公式
k 1 m 1
2 2 akk lkm lkm lkm lkk
k 1
2 lkk akk lkm m 1
第一步 ： a l 2 l a 11 11 11 11
ai1 l11 li1 li1 ai1 / l11
ik
aik lim lkm
其中L为单位下三角阵，D是对角元全为正的对角 阵且这种分解式唯一;
2A LLT
其中L为下三角阵，当限定L的对角元为正时的分 解式唯一（Cholesky分解）.
August 5, 2013 yfnie@ 5
平方根法（Cholesky分解）
定理证明
证明： 因为 A对称正定，故其顺序主式 k 0k 1,2,n ， 从而A 有唯一的Doolittle分解
August 5, 2013
yfnie@
8
平方根法（Cholesky分解）：
l11 l11 l21 ln1 l l22 l22 A 21 ln1 lnn lnn
n m 1
August 5, 2013
yfnie@
2
3.3 列主元直接三角分解法
设对 Ab的分解已完成k-1步，即L 的前k-1列,U之 的前k-1行已求出：
u11 l21 lk 1 ln1 u12 u22 lk 2 ln 2 u1,k 1 u 2,k 1 lk ,k 1 ln ,k 1 u1k u2 k akk ank u1,n 1 u2,n 1 ak ,n 1 an ,n 1
方程求解公式
y1 d1 i 2,3,, n 得 yi d i li yi 1
由
u1 c1 x1 y1 u2 x2 y 2 cn 1 un xn yn
m 1
n
i 2,3n
设L前k-1列元素已求出，则 第k步
August 5, 2013
lim lkm lik lkk
m 1 k 1
k 1
m k 1
l
n
im km
l
lim lkm lik lkk
m 1
yfnie@
9
平方根法（Cholesky分解）
lk 1,1 lk 1, 2 uk 1,k 1 uk 1,k
u k 1,n 1
第k步计算：先选主元，再计算列，最后计算行
August 5, 2013 yfnie@ 3
k 1 u kj akj lkm u mj m 1 k 1 aik lim u mk m 1 lik u kk
满足严格 对角占优 条件
August 5, 2013
b1 c1
bn an
严格对角 占优的矩 阵行列式 不等于零 ， 故该系数 矩阵的各 级顺序主 子式不等 于零。
bi ai ci
i 2,3,, n 1
yfnie@
14
追赶法解三对角方程组
分解公式
若A为上述三对角阵时，则A有三角分解：
a
n
ij
i , 且存在某一 i0 使得有
ai0i0
j 1且j i0
a
n
i0 j
则称矩阵A按行对角占优。
若满足 aii
j 1且j i
a
n
ij
i ,
则称矩阵A按行严格对角占优。 类似地，也可定义按列对角占优和按列严格对角 占优的概念。通常的对角占优是指按行或者按列。
August 5, 2013 yfnie@ 13
k
m 1
用平方根法解对称正定的方程组时，不必考虑选主 元的问题，算法本身数值稳定。 • 用Gauss顺序消去法求解对称正定的方程组Ax＝b，
max
1i , j n
( aijk ) max aii 1i , j n
(k 1,2,, n)
这表明用Gauss顺序消去法求解对称正定方程组也不 用选主元。
7
平方根法（Cholesky分解） 改写
u11 D D D
T T
续2
L LD
u1 unn
unn
则 A LD D L LD LD L LT 这时 L 为一般的下三角矩阵，故 A L LT，若 L 的对角 元全为正时，由Doolittle分解的唯一性及上述分解 的推理过程，可以得到Cholesky分解的唯一性。
b1 c1 1 u1 c1 a b l 1 c2 u 2 c2 2 2 2 l3 1 an 1 bn 1 cn ln 1 un
aik lim l km
m 1 k 1 k 1 aik lim l km m 1 lik l kk lik
i k 1, k 2,, n
l kk
l11 l 21 l31 A l41 ln1
l11 l21 l31 l22 l22 l32 l32 l33 l33 l42 l43 l44 ln 2 ln 3 ln 4 lnn
xn yn / unn
n yk ukm xm m k 1 xk
k n 1, n 2,,1
ukk
yfnie@ 1
August 5, 2013
直接三角分解法
ukj akj lkm umj ,
m 1 k 1
续
k 1 m 1
y k bk l km y m
发现计算 y k 的规律与计算 u kj 的规律相同,因此计 算 y 的求方程组的过程可用三角分解的紧凑格 式取代。事实上，这只要把 b 做为A的第n＋1列 进行直接三角分解即可。
Reamrk：上述直接三角分解法所对应的是Gauss 顺序消去法，二者的乘除运算次数是相当的。实 际中对阶数较高的线性方程组，应采用选主元的 三角分解法求解，以保证计算结果的可靠性。
August 5, 2013
u 1 u12 1n u11 u11 u2 n 1 u22 LDR unn 1
yfnie@ 6
平方根法（Cholesky分解）
AT A LDR T RT DT LT RT ( DLT ) L( DR )
j k , k 1, n 1 i k 1,n
参选主元量
k 1 sik aik lim u mk m 1 i k , k 1, n.
k 1 若 skk max sik , 则无需交换，且skk akk lkm umk ukk m 1 lik sik / skk , i k 1, , n,
•三角分解解线性方程组的公式
Ax b 的求解过程为: Ly b Ux y
yk bk lkm ym
m 1 k 1
可推导求解单位下三角形方程组 Ly b 的递归公式为 :
y1 b1
k 2,3,, n
求解上三角形方程组Ux y 的递归公式为:
续1
由Doolittle分解的唯一性有
L R T R L （D可逆） T R LT DL DR
T
即 A LDLT ,由Doolittle分解的唯一性，及 的分解过程可知该分解式的唯一性。
U DR
August 5, 2013
yfnie@
yfnie@
l41 ln1 l42 ln 2 l43 ln 3 l44 ln 4 lnn
10
August 5, 2013
几点说明
• 在分解过程中有n次开方运算，故Cholesky分解法 也称为平方根法。 •由
2 2 akk lkm lkm akk max aii 1 i n
1 3 1 3 2 n 9n cn n 6 6
•为避免开方运算，也可对A做 A LDL 分解。
T
August 5, 2013 yfnie@ 12
3.5 三对角线性方程组求解
矩阵 A aij nn 若满足
• 矩阵对角占优的概念
aii
j 1且j i
之后按原公式计算第k行中u的其它元素uk ,k 1 , , uk ,n 1
若 si k max sik ,则需将第k行与第ik行完全交换，这样 满足前面情形，按第一种情形实施计算。
k
3.4 平方根法（Cholesky分解）
1. 正定矩阵的Cholesky分解 定义：设A为n阶n 2 对称正定矩阵，L是非奇异下 A LLT 为矩阵A的Cholesky分解。 三角矩阵，称 定理: n阶n 2 对称正定矩阵A一定存在分解: 1A LDLT