试讲教案(函数单调性)

试讲教案(函数单调性) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课题1．3．1 函数的单调性

教学目标

(一)知识目标：

1、理解函数单调性的概念；

2、初步掌握判别函数单调性的方法．

(二)能力目标：

1、使学生领会数行结合的数学思想方法；

2、培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

(三)情感目标：

在函数单调性的学习过程中，培养学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．

教学重点

形成增（减）函数的形式化定义．

教学难点

形成增（减）函数概念的过程中，如何从图像升降的直观认识过度到函数增减的数字符号语言表述；用定义证明函数的单调性．

教学方法

引导发现法，探究法等．

教学准备(教具)

直尺，彩色粉笔，多媒体．

课型

新授课．

课时

第一课时．

教学过程

（一）情景引入

先请同学们观察一张一个小女孩荡秋千的图片，然后让同学们回想一下荡秋千时的运动状态是怎么样的？

y=f(x)

2

问题1：我们荡秋千的运动轨迹是不是和2x y =的函数图像很是相似，那么请同学们仔细观察上面的图形，看看有怎样的变化规律

分析：通过上面的问题我们知道函数图像有“上升”的和“下降”的，而函数图像的“上升”和“下降”反应了函数的一个基本性质——单调性，这就是我们今天要研究的内容．

（二）新知讲解

问题2：请学生完成下面的表格，观察x 和y 的变化，看看能发现什么规律？ 分析：区间(,0)-∞上，函数的图像在下降，也就是y 随着x 的增大而减小； 区间(0,)+∞上，函数的图像在上升，也就是y 随着x 的增大而增大． 问题3：我们怎样用数学符号来表示“y 随着x 的增大而增大”和“y 随着x 的增大当21x x <时，都有)()(21x f x f <， 即()f x 随x 的增大而增大．

当2

1

x x <时，都有1

2

()()f x f x >，

即()f x 随x 的增大而增大．

单调性定义：

在定义域Ｉ内某个区间D 上的任意两个自变量1x 、2x ，当21x x <时，都有

)()(21x f x f <（12()()f x f x >），则说)(x f y =在区间D 上是增函数（减函数）．

图1 图2

代数表示：

任意1x 、2x ，当12x x <时， 任意1x 、2x ，当12x x <时， 都有12()()f x f x <． 都有12()()f x f x >．

说明：1、如果函数()y f x =在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这个区间叫做()y f x =的单调区间；

2、函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念． （三）例题讲解

例1 如下图是定义在[5,5]-上的函数()y f x =，根据函数图像说出函数的单调区间，以及每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：()y f x =的单调区间是[5,2)--、[2,1)-、[1,3)、[3,5]，其中()y f x =在区间

[5,2)--、[1,3)上是减函数，在区间[2,1)-、[3,5]上是增函数．

老师：根据图像我们可以直观的得出函数的单调区间，如果不作出函数图像或者函数的图像不易作出时，又怎样来判断函数的单调性呢？下面来看例2．

例2 判断函数()21f x x =+的单调性．

分析：根据单调性的定义可知，对),0(+∞上的任意两个值12,x x ，当12x x <时，若有12()()f x f x <，则()f x 为 增函数；若有12()()f x f x >，则()f x 为 减函数．因此只需比较1()f x ，2()f x 的大小．如何比较两个数的大小呢？常用方法就是作差法．

解：设12,x x 是R 上任意两个实数，且12x x <，有120x x -<，

1212()()2()0f x f x x x -=-<，

即12()()f x f x <，所以()21f x x =+为增函数． 判断步骤：1）取值：取区间上任意的12,x x ，且12x x <；

2）定号：比较1()f x ，2()f x 的大小，常用方法是作差法；

3）判断：根据定义判断函数的单调性．

（四）练习题：判断函数1

()f x x

=在),0(+∞上的单调性．

解：设12,x x 是),0(+∞上任意两个实数，且12x x <，由()12,0,x x ∈+∞得，

120x x >，则又由12x x <，得210x x ->，所以

21

121212

11()()0x x f x f x x x x x --=

-=>， 即12()()f x f x >．所以1

()f x x

=在),0(+∞上为减函数． （五）课时小结（提问式小结）

问题1：增（减）函数的图像有什么特点？如何根据图像指出单调区间？ 问题2：怎么样用定义法证明（判断）函数的单调性？

（六）课后作业

1． 复习本节课的知识．

2． 习题1．3 A 组1，2，3题．

3． 思考题：判断函数1

()f x x =在),0(+∞上的单调性．

4．预习我们下一节要讲的最大、最小值．

（七）板书设计

无多媒体教学板书

有多媒体教学板书