材料力学第3章轴向拉压变形

C
3.位移计算 外力功：
W V
P B W 2
B
P B P 2l 2 1 2 EA
B 2 Pl




2 1 EA
例 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结 点A的位移A 。已知 P =10 kN, 杆长 l =2m，杆径 d =25mm, =30°，材料的弹性模量 E =210GPa。
1
C 2
45º A2
A A1 P
A`
A3
B
（3）确定A点的位移 A点的水平位移：
1
x AA 2＝l2 0.404 mm
B点的铅锤位移：
y＝AA 4 A 4 A 5 1.404mm
C 2
45º A2
A A1 P
A` 45º A
A3 A1 A4
小变形情况下，按原结构尺寸求内力, 切线代圆弧计算位移。
P 解： FN1 FN 2 2 cos C B P 2 l ( ) 2 2 1 FN1l 2 cos Vε 2 EA 2 EA 3 N 2 10 10 3 A ) (2 10 mm) ( 2 cos 30 F π 3 2 (210 10 MPa)[ (25mm) ] 4 3 64.67 10 N mm 64.67 J
B l2
C
2 F1 l2 （F1＋F2） l1 ＋ 2 EA 2 EA 2 2 2 F1 l F2 l1 2 F1 F2 l1 2 EA F1
2 EA
A
l1
B F2
C l2
Vε1 W
2
FN l 2 EA 2 EA
FN l Vε2 W 2 EA
2
F1 l
2
A
B
C
F2 l1 2 EA
C
1
2
1
3
2


A F
A F
A
静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构 的约束反力或内力 静不定结构: 静力学平衡方程不能求解,超静 定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的 数目；两者的差值称为静不定的次数
•静不定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静 定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理 关系列出需要的变形补充方程；则可解静不定问题。 补充方程：为求静不定结构的全部未知力，除了利用 平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程 的数目等于多余未知力的数目。 •根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结 合物理关系（胡克定律），则可列出需要的补充方程。
2
例：图示桁架，节点B承受载荷P 作用，各杆拉压刚度均为EA，试 求节点B的垂直位移Δy。 解：1.轴力分析(由节点B、C平衡)
N 1 2P
拉 压 压
C

N2 P N3 P
2.应变能计算
N 12 l1 N 22 l 2 N 32 l 3 P 2l 2 1 V 2 EA 2 EA 2 EA EA
东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量其力， 有三均”作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其 弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图)
二、横向变形与泊松比 d1 F d 绝对变形： F l l1
d d1 - d
d 横向线应变 d
试验表明：单向应力状态下，当应力不超过材料 的比例极限时，一点处的纵向线应变 与横向线 应变的绝对值之比为一常数：
A2 A3 A5
例 图示杆系，荷载 P =100kN, 求结点A的位移A。 已知两杆均为长度l =2m，直径d =25mm的圆杆， =30º，杆材(钢)的弹性模量E = 210GPa。 解：先求两杆的轴力。 B 1 C 2 FN1 A F
Fx 0
y
FN1 FN 2


A F
FN2 x
l ? l ( F1 ) l ( F2 )
F1l F2l2 EA EA F1l F2l1 EA
F1l l ( F1 ) EA
A
l1
B F2
C l2
A
B
C
F2 l1 l ( F2 ) EA
叠加原理：当因变量与自变量成线性齐次关系 时，可应用叠加原理。 在弹性范围内，小变形时，杆的应力、变形与外 力成正比，因此可用叠加原理。
1
C 2
45º A2
A A1 P
N 2l2 AA 2 l2 EA2 1104 0.707 0.404mm 9 6 7010 25010
B
（3）确定B点的新位置 设想将托架在节点A拆开，AB杆 伸长变形后变为BA1，CA杆压缩 变形后变为CA2。分别以B点和C 点为圆心，以BA1和CA2为半径， 作圆弧相交于A`。A`点即为变形 后A点的位置。 因为是小变形， A` A1和A` A2 是 两段极其微小的短弧，因而可用 分别垂直于AB和AC的垂线线段来 代替，这两段直线的交点即为A3。 A3变形后A点的位置。
2 Pl l1 l2 ΔA cos cos Eπd 2 cos 2
3 3
代入数值得
2(100 10 N)(2 10 mm) ΔA (210 103 MPa )[ π (25mm) 2 ] cos 2 30 1.293mm()
B 1
C
此例可以进一步加深对变形 和位移两个概念的理解。
第三章 轴向拉压变形
研究目的：1、分析拉压杆的拉压刚度； 2、求解简单静不定问题。
§3-1 拉（压）杆的变形·胡克定律
一、拉(压)杆的纵向变形、胡克定律 d1 F d F l l1
Fl FN l l E EA EA
l l1 - l 绝对变形：
l E l
拉（压）杆的胡克定律

A A'
2 变形 杆件几何尺寸的 改变，标量 结点位置的移动， 矢量
位移
二者间的函数关系
与各杆件间的约束有关，实 际是变形的几何相容条件。
§3-3 拉(压)杆内的应变能
应变能——弹性体受力而变形时所积蓄的能量（ Vε） F l l1 应变能的计算： l
能量守恒原理(忽略动能与热能 的变化) 弹性体的
纵向应变：
l
EA — 杆截面的拉压刚度。
Fl FN l l E EA EA
l
胡克定律
？
到底是谁首先提出弹性定律
弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般 认为，它是由英国物理学家胡克1660年（1635—1703）在进行螺 旋弹簧拉伸实验时发现的，故一般称为胡克定律 。 其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正 比关系的记载。
l 1
(4)补充方程变为
FN1 FN 3
EA 2 cos E3 A3
联立平衡方程、补充方程，求解得
FN1 FN 2 FN 3
F
E3 A3 2 cos EA cos 2 F EA 3 1 2 cos E3 A3
在静不定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它 杆的刚度的比值有关。 增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增 大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴 力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。
应变能密度
vε
——杆件单位体积内的应变能
F l l1
F
1 Vε 2 F l vε V Al 1 ( E ) 2
2
2E
应变能密度单位：
J / m3
思考：1、应变能的计算能否使用力的叠加原理？ l2 l1 2 FN l V W F2 ε F
1
2
A l1
B 1
3 V 64 . 67 10 N mm 64.67 J C ε

A F
2
而
1 PΔA Vε 2
2Vε 2 64.67 10 3 N mm ΔA 3 P 100 10 N 1.293mm ()
§3-4 简单静不定问题
B C B D C
B
D
B
X 0
N 2 N1 cos 0
1
Y 0
N1 sin P 0
C 2
y
45º
A P
N1 2P＝ 14.14kN(拉力）
N 2 P＝10 kN(压力）
N1 A P
x N
2
B
（2) 计算杆的变形
N 1l1 AA 1＝ l1 EA1 1.414 10 4 1.0 0.707 mm 9 6 200 10 100 10
l 0.3 10 3 0 . 5 10 l 600 10 3
计算横截面应力
3
E 200 109 0.5 10 3
108 Pa 100 MPa
例： d1=100mm, L=600mm,
Δl=0.3mm, E=200GPa,
u=0.3，试计算：1）横截面上的正应力， 2）及横向变形量 ， 3）预紧螺栓所需力。
2 FN1 cos P F 0 y
得
FN1 FN 2
P 2 cos
由胡克定律得两杆的伸长： B 1 C

A F
2
FN1l FN 2l l1 l2 EA EA Pl 2 EA cos
2 Pl Eπd 2 cos
根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点 A只有竖向位移。
2) 计算横向应变
' 0.3 0.5 10 3 0.15 10 3
计算横向变形
d ' d 0.15 10 3 100 10 3 0.015mm