初中数学全等三角形判定及性质练习题(附答案)

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八年级全等三角形专题练习(解析版)

八年级全等三角形专题练习(解析版)

一、八年级数学全等三角形解做题压轴题〔难〕1. 〔1〕如图〔1〕,:在△ ABC中,N BAC=90.,AB二AC,直线m经过点A, 8口,直线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.〔2〕如图〔2〕,将〔1〕中的条件改为:在△ ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.〔3〕拓展与应用:如图〔3〕 , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E 三点互不重合〕,点F为N BAC平分线上的一点,且△ ABF和^ ACF均为等边三角形,连接BD、CE,假设N BDA=Z AEC=Z BAC,试判断△ DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3) 4DEF为等边三角形【解析】解:(1)证实:BDL直线m, CEJ_直线m,,N BDA=N CEA=900.: Z BAC=90°, /. Z BAD+Z CAE=90°.•/ Z BAD+Z ABD=90°, /. Z CAE=Z ABD.又AB二“AC〞,「・△ ADB合△ CEA (AAS) . /. AE=BD, AD=CE./. DE=,,AE+AD=H BD+CE.(2)成立.证实如下:: Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD+Z CAE=180°-O r . /. Z DBA=Z CAE.Z BDA=Z AEC=., AB=AC,「・△ AD於△ CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.DE二AE+AD=BD+CE.(3)△ DEF为等边三角形.理由如下:由(2)知,△ ADB合△ CEA, BD=AE, Z DBA =Z CAE,: △ ABF 和^ ACF 均为等边三角形,J Z ABF=Z CAF=60°.・•, Z DBA+Z ABF=Z CAE+Z CAF. /. Z DBF=Z FAE.; BF=AF,,•・丛DBF合△ EAF (AAS) . /. DF=EF, Z BFD=Z AFE.・•, Z DFE=Z DFA+z AFE=Z DFA+Z BFD=60°.・•.A DEF为等边三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS证△ ADB合4 CEA,得出DA=EC, AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证实△ ADB2 J CEA,得出BD=AE, AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由△ ADB2△ CEA得BD=AE, NDBA=N CAE,由△ ABF和△ ACF均等边三角形,得Z ABF=Z CAF=60°, FB=FA,所以N DBA+N ABF=N CAE+N CAF,即N DBF二N FAE,所以△ DBF^ △ EAF,所以FD=FE, Z BFD=Z AFE,再根据N DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60°得到△ DEF是等边三角形.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE, PE 交CD 于 F〔1〕证实:PC=PE;〔2〕求N CPE的度数:〔3〕如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当N ABC=12〔T时,连接【答案】(1)证实见解析(2) 90° (3) AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC, ZABP=ZCBP=45%结合PB=PB得出aABP g^CBP,从而得出结论:⑵、根据全等得出NBAP=NBCP, ZDAP=ZDCP,根据PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案;(3)、首先证实4ABP和^CBP全等,然后得出PA=PC, NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,从而得出NCPF=NEDF=60°,然后得出AEPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】⑴、在正方形ABCD 中,AB=BC, ZABP=ZCBP=45%在ZkABP 和4CBP 中,XV PB=PB AAABP^ACBP (SAS) , ,PA=PC, VPA=PE>:.PC=PE;⑵、由(1)知,A ABP^ACBP,.\ZBAP=ZBCP, JNDAP=NDCP,VPA=PE, .\ZDAP=ZE> /. ZDCP=ZE. VZCFP=ZEFD (对顶角相等), A180° - ZPFC - ZPCF=1800 - ZDFE - NE, BPZCPF=ZEDF=90<>:⑶、AP = CE理由是:在菱形ABCD 中,AB=BC, NABP二NCBP,在2\ABP ^lACBP 中,XV PB=PB /.△ABP^ACBP (SAS),,PA二PC, NBAP=NDCP,VPA=PE,,PC=PE,,NDAP=NDCP, V PA=PC,/DAP=NE, A ZDCP=ZE V ZCFP=ZEFD (对顶角相等),A180°- ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - NE, RPZCPF=ZEDF=180° - ZADC=180° - 120°=60°, AAEPC 是等边三角形,,PC=CE, AAP=CE考点:三角形全等的证实3.如图,在AA8C中,NAC8为锐角,点£>为射线8C上一动点,连接AO.以AO为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.图①图②图③〔1〕假设A3 = AC, ABAC = 90°①当点.在线段BC上时〔与点3不重合〕,试探讨CF与8.的数量关系和位置关系:②当点O在线段C的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中而出相应的图形并说明理由;〔2〕如图3,假设ABwAC, ABAC90° , ZBC4 = 45°,点.在线段8C上运动,试探究CF与8.的位置关系.【答案】〔1〕①CF_LBD,证实见解析:②成立,理由见解析:〔2〕 CF1BD,证实见解析.【解析】【分析】〔1〕①根据同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用"边角边"证实4ACF和4ABD全等,②先求出NCAF=NBAD,然后与①的思路相同求解即可:〔2〕过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE, NAED=45.,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边〞证实4ACF 和4AED全等,根据全等三角形对应角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90°,从而得到CFJ_BD.【详解】解:〔1〕①•••NBAC=90°, 4ADF是等腰直角三角形,.\ZCAF+ZCAD=90% ZBAD+ZACD=90°,.\ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF,.,.△ACF^AABD〔SAS〕,.・.CF=BD, ZACF=ZABD=45",ZACB=45",AZFCB=90°,.-.CF±BD:②成立,理由如下:如图2:VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ ZCAD= ZDAF+ ZCAD, 即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF, AAACF^AABD(SAS), ACF=BD, NACF=NB,VAB=AC, ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/. Z BCF= ZACF+ ZACB=45o+45o=90°,ACF1BD:(2)如图3,过点A作AE_LAC交BC于E,•/ ZBCA=45",••.△ACE是等腰直角三角形,,AC=AE, NAED=45°, VZCAF+ZCAD=90°, ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE, NCAF=NEAD, AD=AF,.•.△ACF^AAED(SAS), /. ZACF=ZAED=45\,ZBCF= ZACF+ ZBCA=45o+45°=90°, ACF1BD.【点睛】此题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图〔1〕,在△A3C中,ZA = 90°, A3 = AC,点.是斜边8C的中点,点E, 产分别在线段A3, 4c上,且NEDF = 90..〔1〕求证:△.所为等腰直角三角形:〔2〕假设△ABC的面积为7,求四边形AEDF•的面积:〔3〕如图〔2〕,如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF = 90°,△.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】〔1〕证实见解析;〔2〕 3.5:〔3〕是,理由见解析.【解析】【分析】〔1〕由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△ BD年△ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.瓦'为等腰直角三角形;〔2〕由题意分析可得S网边形AEDF=S MDF+S AADE=S ABDE+S ACDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可;〔3〕根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△ BDE^ △ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.所为等腰直角三角形.【详解】解:〔1〕证实:如图①,连接AD.「N BAC=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,/. AD±BC , AD=BD,・•, Z 1=Z B=45°,Z EDF=90% Z 2+Z 3=90%又,Z 3+Z 4=90°,/. Z 2=Z 4,在^ BDE 和^ ADF 中,Z 1=Z B, AD=BD,Z 2=Z 4,/. △ BDE合 , ADF(ASA),・•, DE二DF,又;Z EDF=90\・•・ ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF, NON 6=45., 又「N 2+N 3=90°, Z 2+Z 5=90%J Z 3=Z 5,A ADE级△ CDF,・' S N边H,AEDF=S AADF+S CADE二S ABDE+S^CDF,S MBC=2 S 网边毛AEDF,S wijn;AEDF=3.5.(3)是,如图②,连接AD.•/ Z BAC=90\ AB=AC, D 是斜边BC 的中点,/. AD±BC Z AD=BD ,「・Z 1=45°,Z DAF=180°-Z l=180°-45°=135% Z DBE=180°-Z ABC=180°-45°=135%/. Z DAF=Z DBE,「Z EDF=90\/. Z 3+Z 4=90%又;Z 2+Z 3=90°,「・Z 2=Z 4,在仆BDE 和a ADF 中,Z DAF=Z DBE, AD=BD,N 2=Z 4,△ BDE合△ ADF(ASA),・•.DE=DB又:Z EDF=90\.•.A DEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.5.如图,在MBC中,ZC = 90°, AC = 3, BC = 7,点.是8c边上的动点,连接AD,以AO为斜边在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空:AABC的面积等于—;(2)连接CE,求证:CE是NAC3的平分线;(3)点.在6C边上,且CO = 1,当.从点.出发运动至点3停止时,求点E相应的运动路程.王O 1 _【答案】〔I〕—:〔2〕证实见解析:〔3〕 3点【解析】【分析】〔1〕根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得:〔2〕如下图作出辅助线,证实△AEM名ADEN 〔AAS〕,得至I] ME=NE,即可利用角平分线的判定证实:〔3〕由〔2〕可知点E在NACB的平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=!〔AC + C.〕,根据CD的长度计算出CE的长度即可.【详解】解:〔1〕 ZC = 90°, AC = \ BC = 7= -ACxBC = -x3x7 = — ,故答案为:—2〔2〕连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N,AZEMA=Z END=90°,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+Z DEN=90°,•••△ADE是等腰直角三角形AZAED=90\ AE=DEA ZAEM+Z MED=90%, ZAEM=Z DEN,在△AEM 与ZkDEN 中,ZEMA=Z END=90% ZAEM=Z DEN, AE=DEAAAEM^ADEN 〔AAS〕/. ME=NE,点E 在NACB 的平分线上, 即CE 是NAC3的平分线工(3)由(2)可知,点E 在NACB 的平分线上,・•・当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,VAAEM^ADEN,AM=DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZiCME 与 RtZkCNE 中,CE=CE, ME=NE,ARtACME^RtACNE (HL)ACM=CN.,.CN=;(AC + CO),又YNMCE 二NNCE=45°, ZCME=90\・,. CE= y/2CN = —(AC + CD).2当 AC=3, CD=CO=1 时,CE=](3 + 1) = 2&当 AC=3, CD=CB=7 时,5CE=r (3 + 7) = 5 虚,点E 的运动路程为:50-20 = 30,£【点睛】此题考查了全等三角形的综合证实题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角 形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.6.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm, BC=12 cm,点P 从点B 出发,以2cm/s 的 速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts.(1) PC=—cm :(用含t 的式子表示)■I) I)(2)当t 为何值时,△ABPg^DCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻4ABP与以P, Q, C为顶点的直角三角形全等?假设存在,请求出v的值:假设不存在,请说明理由.【答案】(1) (12-2/); (2)1 = 3;(3)存在,P = 2或忏1【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长,再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长:(2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP,列方程求解即得;(3)先分两种情况:当BP=CQ, AB=PC 时,△ABPgZ\PCQ:或当BA=CQ, PB=PC 时,△ABPgaQCP,然后分别列方程计算出t的值,进而计算出v的值.【详解】解:(1)当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时3P = 2/57•・• BC = \2cin:.PC = BC-BP = (n-2i)cm故答案为:(12—27)(2) MBP = ^DCP・•. BP = CP・•・ 2/= 12-2/解得1 = 3.(3)存在,理由如下:①当BP=CQ, AB=PC 时,ZiABP名△PCQ,1. PC=AB=5.•.BP=BC-PC=12-5=7•・• BP = Item:.2t=7解得t=3.5.\CQ=BP=7,那么 3.5v=7解得y = 2.②当B4 = C.,PB = PC 时,MBP = \QCP,: BC = ncm,BP = CP = -BC = 6c7〃 2V BP = Item:.2t = 6解得/ = 3CQ = 3vcm,: AB = CQ = 5cm, 3v = 5解得U3综上所述,当u = 2或i,=,时,A48尸与以P, Q,C为顶点的直角三角形全等.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.:在MBC中,AB = AC,ZBAC = 90° ,尸Q为过点4的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分别为M、N.(1)如图①所示,当P.与BC边有交点时,求证:MN = CN — BM ;(2)如图②所示,当与6C边不相交时,请写出线段8M、CN和MN之间的数量关系,并说明理由. 【答案】(1)见解析:(2) MN = BM + CN (或BM = MN — CN或CN = MN-BM ),理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先证AAA/i运ACN4,得到AM = CN,BM = AN,即可证得MN = CN — BM: (2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M =CN,8M = AN,即可确定MN = BM + CN.【详解】证实:・・・BM_LPQ,CN_LP0,・•. ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,AZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NMM)・•. ZBAM = ZACN,在AAMB和ACN4中,'ZAMB = 4CNA・.• ZBAM = AACN , AB = CA:.AAM“ACN4(A4S),.・.AM =CN,BM =AN,,: MN = AM-AN,:.MN = CN — BM.(2) MN = BM + CN (或BM=MN-CN或CN = MN-BM) .理由:•.・BM_LPQ,CN_LP.,・•・ ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,.\ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NBAM ),:.ZBAM = ZACN,在AAMB和ACNA中,'AAMB = ZCNAZ.B\M = ZACN , AB = CA:.AAM*ACNA( AAS),.・.AM =CN,BM =AN,:.MN = AN + AM = BM+CN.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到80、CN和MN之间的关系式.8.操作发现:如图,己知"配和"DE均为等腰三角形,AB=AC, AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点8, D, E在同一直线上,连接CE.(1)如图1, ZABC= ZACB= ZADE= ZAED=55Q,求证:△BADgZkCAE;(2)在(1)的条件下,求N8EC的度数:拓广探索:(3)如图2,假设NC48=NEAD=120.,8D=4, CF为aBCE中8E边上的高,请直接写出讦的长度.【答案】(1)见解析:(2) 70°; (3) 2【解析】【分析】(1)根据SAS证实△BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证4BAD丝ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30°即可解决问题.(1)证实:如图1中,图1Z ABC=^ ACB = Z ADE=N AED, /. Z EAD=Z CAB,:.Z EAC=A DAB,AE=AD. AC=AB9:.△ BAD^ & CAE (SAS).(2)解:如图1中,设AC交8E于O. •「N A8C=N4C8 = 55°,/. Z 84c=180° - 110° = 70°,BAD^△ CAE,Z ABO=Z ECO,Z EOC=ZAOB,・•, Z CEO = Z 840=70°,即 N BEC= 70°.(3)解:如图2中,A图2Z C48 = N EAD=120\•. Z BAD=A CAE,:AB=AC, AD=AE.△ BAD^ 4 CAE 〔SAS〕,•. Z BAD=A ACE. 8D=EC=4,同理可证N BEC- 8AC=120°,Z F£C=60%CFLEF,Z F=90",•. Z FCE=30\1•. EF=-EC=2. 2此题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.9.在等边aABC中,点.是边8C上一点.作射线AO,点3关于射线AO的对称点为点E.连接CE并延长,交射线AO于点〔1〕如图,连接AE,①AE与AC的数量关系是;②设NBA尸=a,用.表示NBCF的大小;〔2〕如图,用等式表示线段A尸,CF.所之间的数量关系,并证实.【答案】⑴①AB二AE;②NBCF=.:(2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案;②由釉对称性,得:AE二AB, NBAF=NEAF=.,由△A3C是等边三角形,得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解:(2)作NFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形,得GF=FC,再证△ACG会ABCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得至lj结论.【详解】(1)①•・•点4关于射线的对称点为点E , AAB和AE关于射线AD的对称,AAB=AE.故答案是:AB=AE;②•.•点3关于射线的对称点为点E , ,AE二AB, NBAF=NEAF=.,•二△A3c是等边三角形,AAB=AC, ZBAC=ZACB=60" ,:.ZEAC=60° -2a, AE=AC,ZACE=1[180 - (60 - 2a)] = 60 +6?,A ZBCF=ZACE-ZACB=60 +a-60°=a .(2) AF-EF=CF,理由如下:作NFCG=60.交AD于点G,连接BF,•••NBAF=NBCF=a , NADB=NCDF,A ZABC=ZAFC=60c ,••.△FCG是等边三角形,AGF=FC,•二△A3c是等边三角形,ABC=AC, ZACB=60° , AZACG=ZBCF=« .在AACG和ABCF中,CA = CBZACG = ABCF , CG = CF,AACG 仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,•・•点4关于射线AO的对称点为点E , .\AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.\AF-EF=CE【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.如图,AA8C是等边三角形,点.在边4c上〔“点D不与A,C重合〕,点石是射线5c上的一个动点〔点E不与点8,C重合〕,连接OE,以OE为边作作等边三角形hDEF,连接CF.〔1〕如图1,当.石的延长线与A3的延长线相交,且CF在直线OE的同侧时,过点D 作DG//AB, DG 交BC 于点、G ,求证:CF = EG ;〔2〕如图2,当.石反向延长线与A8的反向延长线相交,且.,尸在直线OE的同侧时,求证:CD = CE+CF;〔3〕如图3,当OE反向延长线与线段A8相交,且.,厂在直线O石的异侧时,猜测CD、CE、CP之间的等量关系,并说明理由.【答案】〔1〕证实见详解;〔2〕证实见详解:〔3〕 CF = CO-CE,理由见详解.【解析】【分析】(1)由AABC 是等边三角形,DG//AB,得NCDG=NA=60° , NACB=60.,ACDG 是等边三角形,易证AGDE仝ACDF(SAS),即可得到结论:(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝△ CDF(SAS),即可得到结论;(3)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝A CDF(SAS),即可得到结论.【详解】(1)•・• AA3C是等边三角形,DG//AB, :.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ・•. ACQG是等边三角形,.\DG=DC.是等边三角形, .,.DE=DF, ZEDF=60° , A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即:ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和八CDF中,DE = DFNGDE = NCDF ,DG = DC.,.△GDE^A CDF(SAS),:.CF = EG ;(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,如图2,•・• AABC是等边三角形,DG//AB、:.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,••・ACDG是等边三角形,:.DG=DC.•••ADE/是等边三角形,,DE=DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE> 即:ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和^ CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF ,DG = DC.,.△GDE^ACDF(SAS),:・CF = GE,••. CD = CG = CE+GE = CE+CF(3)CF = CD + CE,理由如下:过点D作DG〃AB交BC于点G,如图3,•・・AA8C是等边三角形,DGUAB, .,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,,ACDG是等边三角形, ADG=DC=GC.•・• ADEF是等边三角形, ,DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即:NGDE=NCDF, 在A GDE和4 CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF , DG = DCAAGDE^ACDF(SAS),,CF = G£=GC+CE=CD+CE.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。

2022年《直角三角形全等的判定》专题练习(附答案)

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1.3 直角三角形全等的判定一、选择题(本大题共8小题)1. 在以下条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )2. 如下图,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,那么图中全等的三角形有( )第2题图第5题图第6题图3.以下说法中正确的选项是〔〕A.a,b,c是三角形的三边长,那么a2+b2=c2B.在直角三角形中,两边长和的平方等于第三边长的平方C.在Rt△ABC中,假设∠C=90°,那么三角形对应的三边满足a2+b2=c2D.在Rt△ABC中,假设∠A=90°,那么三角形对应的三边满足a2+b2=c24. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=B′A,那么以下结论中正确的选项是〔〕A. AC=A′C′B.BC=B′C′C.AC=B′C′D.∠A=∠A′5. 如下图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC交D点,E、F分别是DB、DC的中点,那么图中全等三角形的对数是〔〕6. 如图,在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,那么△BCE的面积等于〔〕A.10 B.7 C.5 D. 47. 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,那么以下条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF8. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,那么有( )A.DE=DBB.DE=AEC.AE=BED.AE=BD第8题图第9题图二、填空题(本大题共4小题)9. :如图,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,AE=DF,AB=DC,那么△ABE≌△__________.10. 如图,BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.第10题图第11题图11. 如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,要使△ABD≌△ACD,假设根据“HL〞判定,还需要加一个条件__________.12. :如图,AB=CD,DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,且DE=BF,∠D=60°,那么∠A=__________.三、计算题(本大题共4小题)13. :如图△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,BD、CE交于O点,且BD=CE求证:OB=OC.14. :Rt△ABC中,∠ACB是直角,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于E,求证:CD⊥BE15. 如图:在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF;说明:〔1〕CF=EB.〔2〕AB=AF+2EB.16. 如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证:BF=2AE;(2)假设CD=2,求AD的长.参考答案:一、选择题(本大题共8小题)1.A2. D3. C4. C5. D6. B7. B8. C二、填空题(本大题共6小题)9.分析:根据直角三角形全等的条件HL判定即可。

人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》练习题(附答案)

人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》练习题(附答案)

人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》练习题(附答案)一选择题1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )A. 斜边和一直角边对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一锐角和斜边对应相等D. 两条直角边对应相等2.一块三角形玻璃被打碎后店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来全等的三角形玻璃能够全等的依据是( )A. ASAB. AASC. SASD. SSS3.如图OD⊥AB于点D OP⊥AC于点P且OD=OP则△AOD与△AOP全等的理由是( )A. SSSB. ASAC. SSAD. HL4.如图为6个边长相等的正方形的组合图形则∠1+∠2+∠3的度数为( )A. 90°B. 135°C. 150°D. 180°5.如图AC是△ABC和△ADC的公共边下列条件中不能判定△ABC≌△ADC的是( )A. AB=AD,∠2=∠1B. AB=AD,∠3=∠4C. ∠2=∠1,∠3=∠4D. ∠2=∠16.如图已知点B、E、C、F在同一直线上且BE=CF,∠ABC=∠DEF那么添加一个条件后.仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )A. AC=DFB. AB=DEC. AC//DFD. ∠A=∠D7.如图点C D在AB同侧∠CAB=∠DBA下列条件中不能判定△ABD≌△BAC的是( )A. ∠D=∠CB. BD=ACC. AD=BCD. ∠CAD=∠DBC8.如图D是AB上一点DF交AC于点E,DE=FE,FC//AB若AB=4,CF=3则BD的长是( )A. 0.5B. 1C. 1.5D. 29.如图△ABC中AB=AC,AD是角平分线BE=CF则下列说法中正确的有( )①AD平分∠EDF;②△EBD≌△FCD;③BD=CD;④AD⊥BC.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图四边形ABCD是一个筝形其中AD=CD AB=CB 在探究筝形的性质时得到如下结论:③四边形ABCD的面积其中正确的结论有.( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二填空题11.如图在3×3的正方形网格中∠1+∠2=_______度.12.如图已知AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D则图中全等的三角形共有______对.13.如图所示的网格是正方形网格点A,B,C,D均落在格点上则∠BAC+∠ACD=____°.14.如图∠A=∠E,AC⊥BE,AB=EF,BE=10,CF=4则AC=______.15.如图在△ABC和△DEF中点B,F,C,E在同一直线上BF=CE,AB//DE请添加一个条件使△ABC≌△DEF这个添加的条件可以是______(只需写一个不添加辅助线).16.如图在△ABC中高AD和BE交于点H且DH=DC则∠ABC=°.17.如图在四边形ABCD中AB=AD,∠BAD=∠BCD=90∘连接AC若AC=6则四边形ABCD的面积为.18.如图∠C=90°,AC=20,BC=10,AX⊥AC点P和点Q同时从点A出发分别在线段AC和射线AX上运动且AB=PQ当AP=______时以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABC全等.19.如图△ABC中AB=AC,AD⊥BC于D点DE⊥AB于点E BF⊥AC于点F,DE=3cm则BF=cm.20.如图所示∠E=∠F=90∘,∠B=∠C,AE=AF结论:①EM=FN②AF//EB③∠FAN=∠EAM④△ACN≌△ABM.其中正确的有______ .三解答题21.如图点A,D,C,F在同一条直线上AD=CF,AB=DE,AB//DE.求证:BC=EF.22.如图点C、F、E、B在一条直线上∠CFD=∠BEA,CE=BF,DF=AE写出CD与AB之间的关系并证明你的结论.23.如图B、C、E三点在同一条直线上AC//DE,AC=CE,∠ACD=∠B.求证:△ABC≌△CDE24.已知:如图在△ABC中BE⊥AC垂足为点E,CD⊥AB垂足为点D且BD=CE.求证:∠ABC=∠ACB.25.如图在△ABC中AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点点E在BC边上且BE=BD 连接AE,DE,DC.(1)求证:△ABE≌△CBD;(2)若∠CAE=30°求∠BDC的度数.答案和解析1.【答案】B【解析】直角三角形全等的判定方法:HL,SAS,ASA,SSS,AAS做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证.【解答】解:A.符合判定HL故本选项正确不符合题意;B.全等三角形的判定必须有边的参与故本选项错误符合题意;C.符合判定AAS故本选项正确不符合题意;D.符合判定SAS故本选项正确不符合题意.故选B.2.【答案】A【解析】本题考查了全等三角形的判定:全等三角形的判定方法中选用哪一种方法取决于题目中的已知条件若已知两边对应相等则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等则必须再找一组对边对应相等若已知一边一角则找另一组角或找这个角的另一组对应邻边.利用全等三角形判定方法进行判断.【解答】解:这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃.故选:A.3.【答案】D【解析】本题考查了直角三角形全等的判定的知识点解题关键点是熟练掌握直角三角形全等的判定方法HL.根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP.【解答】解:∵OD⊥AB且OP⊥AC∴△AOD和△AOP是直角三角形又∵OD=OP且AO=AO∴△AOD≌△AOP(HL).故选D.4.【答案】B【解析】本题考查了全等图形准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键标注字母利用“边角边”证明△ABC和△DEA全等根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4从而求出∠1+∠3=90°再判断出∠2=45°进而计算即可得解.【解答】解:如图在△ABC和△DEA中{AB=DE∠ABC=∠DEA=90°BC=EA,∴△ABC≌△DEA(SAS)∴∠1=∠4∵∠3+∠4=90°∴∠1+∠3=90°又∵∠2=45°∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.故选B.5.【答案】A【解析】本题考查三角形全等的判定方法判定两个三角形全等的一般方法有:SSS SAS ASA AAS等.利用全等三角形的判定定理:SSS SAS ASA AAS等逐项进行分析即可.判定两个三角形全等时必须有边的参与若有两边一角对应相等时这个角必须是两边的夹角.【解答】解:A.AB=AD∠2=∠1再加上公共边AC=AC不能判定△ABC≌△ADC故此选项符合题意;B.AB=AD∠3=∠4再加上公共边AC=AC可利用SAS判定△ABC≌△ADC故此选项不合题意;C.∠2=∠1∠3=∠4再加上公共边AC=AC可利用ASA判定△ABC≌△ADC故此选项不合题意;D.∠2=∠1∠B=∠D再加上公共边AC=AC可利用AAS判定△ABC≌△ADC故此选项不合题意;故选A.6.【答案】A【解析】解:∵BE=CF∴BE+EC=EC+CF即BC=EF且∠ABC=∠DEF∴当AC=DF时满足SSA无法判定△ABC≌△DEF故A不能;当AB=DE时满足SAS可以判定△ABC≌△DEF故B可以;当AC//DF时可得∠ACB=∠F满足ASA可以判定△ABC≌△DEF故C可以;当∠A=∠D时满足AAS可以判定△ABC≌△DEF故D可以;故选:A.根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.本题主要考查全等三角形的判定方法 掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 即SSS SAS ASA AAS 和HL .7.【答案】C【解析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用 能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键 注意:全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS 符合SSA 和AAA 不能推出两三角形全等. 根据图形知道隐含条件BC =BC 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可.【解答】解:A 添加条件∠D =∠C 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 符合全等三角形的判定定理AAS 能推出△ABD ≌△BAC 故本选项错误;B 添加条件BD =AC 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 符合全等三角形的判定定理SAS 能推出△ABD ≌△BAC 故本选项错误;C 添加条件AD =BC 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 不符合全等三角形的判定定理 不能推出△ABD ≌△BAC 故本选项正确;D ∵∠CAB =∠DBA ∠CAD =∠DBC∴∠DAB =∠CBA 还有已知条件∠CAB =∠DBA BC =BC 符合全等三角形的判定定理ASA 能推出△ABD ≌△BAC 故本选项错误;故选C .8.【答案】B【解析】解:∵CF//AB∴∠A =∠FCE ∠ADE =∠F∴在△ADE 和△CFE 中{∠A =∠FCE∠ADE =∠F DE =FE∴△ADE ≌△CFE(AAS)∴AD =CF =3∵AB =4∴DB =AB −AD =4−3=1.故选B .根据平行线的性质 得出∠A =∠FCE ∠ADE =∠F 再根据全等三角形的判定证明△ADE ≌△CFE得出AD=CF根据AB=4CF=3即可求线段DB的长.本题考查了全等三角形的性质和判定平行线的性质的应用能判定△ADE≌△FCE是解此题的关键解题时注意运用全等三角形的对应边相等对应角相等.9.【答案】C【解析】解:∵AB=AC AD平分∠BAC∴BD=DC AD⊥BC故③④正确在RT△BDE和RT△CDF中{BE=CFBD=CD∴RT△BDE≌RT△CDF故②正确∵AD⊥BC∴∠ADC=∠CDF=90°∴BC平分∠EDF.故①错误.故选:C.根据等腰三角形的三线合一可以判断③④正确根据HL可以证明RT△BDE≌RT△CDF可以判断②正确由BC平分∠EDF得出①错误故不难得到结论.本题考查全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质角平分线的定义等知识解题的关键是等腰三角形三线合一的性质的应用属于中考常考题型.10.【答案】C【解析】此题考查全等三角形的判定和性质关键是根据SSS证明△ABD与全等和利用SAS证明与全等.【解答】解:如图在△ABD与中故①正确;∴∠ADB=∠CDB在与中∴∠AOD=∠COD=90°∴AC⊥DB故②正确;故③错误.故选C.11.【答案】90【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质能看懂图形是解题的关键.首先判定两个三角形全等然后根据全等三角形的性质及直角三角形的性质即可判断得出结论.【解答】解:如图所示:∵∠ACB=∠DCE=90°AC=DC BC=EC∴Rt△ACB≌Rt△DCE∴∠2=∠EDC在Rt△DCE中∠1+∠EDC=90°∴∠1+∠2=90°.12.【答案】3【解析】解:①△ABE≌△ACE∵AB=AC EB=EC∴△ABE≌△ACE;②△EBD≌△ECD∵△ABE≌△ACE∴∠ABE=∠ACE∴∠EBD=∠ECD∵EB=EC∴△EBD≌△ECD;③△ABD≌△ACD∵△ABE≌△ACE△EBD≌△ECD∴∠BAD=∠CAD∵∠ABC=∠ABE+∠BED∴∠ABC=∠ACB∵AB=AC∴△ABD≌△ACD∴图中全等的三角形共有3对.在线段AD的两旁猜想所有全等三角形再利用全等三角形的判断方法进行判定三对全等三角形是△ABE≌△ACE△EBD≌△ECD△ABD≌△ACD.本题考查学生观察猜想全等三角形的能力同时也要求会运用全等三角形的几种判断方法进行判断.13.【答案】90【解析】【解答】解:在△DCE和△ABD中∵{CE=BD=1∠E=∠ADB=90°DE=AD=3∴△DCE≌△ABD(SAS)∴∠CDE =∠DAB∵∠CDE +∠ADC =∠ADC +∠DAB =90°∴∠AFD =90°∴∠BAC +∠ACD =90°故【答案】90.【分析】本题网格型问题 考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系 本题构建全等三角形是关键.证明△DCE ≌△ABD(SAS) 得∠CDE =∠DAB 根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论. 14.【答案】6【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质有关知识 由AAS 证明△ABC ≌△EFC 得出对应边相等AC =EC BC =CF =4 求出EC 即可得出AC 的长.【解答】解:∵AC ⊥BE∴∠ACB =∠ECF =90°在△ABC 和△EFC 中{∠ACB =∠ECF ∠A =∠E AB =EF∴△ABC ≌△EFC(AAS)∴AC =EC BC =CF =4∵EC =BE −BC =10−4=6∴AC =EC =6;故答案为6. 15.【答案】AB =ED【解析】解:添加AB =ED∵BF =CE∴BF +FC =CE +FC即BC =EF∵AB//DE∴∠B =∠E在△ABC 和△DEF 中{AB =ED∠B =∠E CB =FE,∴△ABC ≌△DEF(SAS)故【答案】AB =ED .根据等式的性质可得BC =EF 根据平行线的性质可得∠B =∠E 再添加AB =ED 可利用SAS 判定△ABC ≌△DEF .本题考查三角形全等的判定方法 判定两个三角形全等的一般方法有:SSS SAS ASA AAS HL .注意:AAA SSA 不能判定两个三角形全等 判定两个三角形全等时 必须有边的参与 若有两边一角对应相等时 角必须是两边的夹角.16.【答案】45【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质 余角的性质 等腰直角三角形 由三角形的高得到∠ADB =∠ADC =∠BEC =90° 结合余角的性质得到∠HBD =∠CAD 易证△HBD ≌△CAD 得到AD =BD 根据等腰直角三角形得到∠ABD =45° 即可得出结论.【解答】解:∵AD ⊥BC BE ⊥AC∴∠ADB =∠ADC =∠BEC =90°∴∠HBD +∠C =∠CAD +∠C =90°∴∠HBD =∠CAD∵在△HBD 和△CAD 中{∠HBD =∠CAD,HDB =∠CDA,DH =DC,∴△HBD ≌△CAD(AAS)∴AD =BD∵∠ADB =90°∴△ABD 为等腰直角三角形∴∠ABD =45° 即∠ABC =45°故答案为45.17.【答案】18【解析】本题考查全等三角形的判定和性质和三角形的面积.过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E.做出辅助线是解答本题的关键.过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E 证明△AED ≌△ACB 将四边形ABCD 的面积转化为△ACE 的面积 利用三角形面积公式求解即可.【解答】解:过点A 作AE ⊥AC 交CD 的延长线于点E∵∠EAC =∠BAD =90°∴∠EAD =∠CAB∵∠BAD =∠BCD =90∘∴∠ADC +∠ABC =360°−(∠BAD +∠BCD)=180°又∵∠ADE +∠ADC =180∘∴∠ADE =∠ABC在△AED 与△ACB 中{∠EAD =∠CABAD =AB ∠ADE =∠ABC∴△AED ≌△ACB(ASA)∴AE =AC =6 四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积故S 四边形ABCD =12AC ⋅AE =12×6×6=18.故答案为18. 18.【答案】10或20【解析】解:∵AX ⊥AC∴∠PAQ =90°∴∠C=∠PAQ=90°分两种情况:①当AP=BC=10时在Rt△ABC和Rt△QPA中{AB=PQBC=AP∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);②当AP=CA=20时在△ABC和△PQA中{AB=PQAP=AC∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL);综上所述:当点P运动到AP=10或20时△ABC与△APQ全等;故【答案】10或20.分两种情况:①当AP=BC=10时;②当AP=CA=20时;由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA(HL);即可得出结果.本题考查了直角三角形全等的判定方法;熟练掌握直角三角形全等的判定方法本题需要分类讨论难度适中.19.【答案】6【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质三角形的面积利用面积公式得出等式是解题的关键.先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC得出S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=3AB又S△ABC=12AC⋅BF将AC=AB代入即可求出BF.【解答】解:在Rt△ADB与Rt△ADC中{AB=ACAD=AD ∴Rt△ADB≌Rt△ADC∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=3AB∵S△ABC=12AC⋅BF∴12AC⋅BF=3AB ∵AC=AB∴12BF=3cm∴BF=6cm.故【答案】6.20.【答案】①③④【解析】此题考查了全等三角形的性质与判别考查了学生根据图形分析问题解决问题的能力.其中全等三角形的判别方法有:SSS SAS ASA AAS及HL.学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法.由∠E=∠F=90°∠B=∠C AE=AF利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等AE与AF相等AB与AC相等然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN得到∠EAM与∠FAN相等然后再由∠E=∠F=90°AE=AF∠EAM=∠FAN利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等利用全等三角形的对应边相等对应角相等得到选项①和③正确;然后再∠C=∠B AC=AB∠CAN=∠BAM利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等故选项④正确;若选项②正确得到∠F与∠BDN相等且都为90°而∠BDN不一定为90°故②错误.【解答】解:在△ABE和△ACF中∠E=∠F=90°AE=AF∠B=∠C∴△ABE≌△ACF(AAS)∴∠EAB=∠FAC AE=AF AB=AC∴∠EAB−∠MAN=∠FAC−∠NAM即∠EAM=∠FAN在△AEM和△AFN中∠E=∠F=90°AE=AF∠EAM=∠FAN∴△AEM≌△AFN(ASA)∴EM=FN∠FAN=∠EAM故选项①和③正确;在△ACN和△ABM中∠C=∠B∠CAN=∠BAM AC=AB∴△ACN≌△ABM(ASA)故选项④正确;若AF//EB∠F=∠BDN=90°而∠BDN不一定为90°故②错误则正确的选项有:①③④.21.【答案】解:∵AB//DE∴∠A =∠EDF∵AC =AD +DC DF =DC +CF 且AD =CF∴AC =DF在△ABC 和△DEF 中{AB =DE∠A =∠EDF AC =DF∴△ABC ≌△DEF(SAS)∴BC =EF .【解析】先证明AC =DF 再根据SAS 推出△ABC ≌△DEF 便可得结论.本题考查了全等三角形的判定和性质的应用 证明三角形的边相等 往往转化证明三角形的全等. 22.【答案】解:CD//AB CD =AB理由是:∵CE =BF∴CE −EF =BF −EF∴CF =BE在△CFD 和△BEA 中{CF =BE∠CFD =∠BEA DF =AE∴△CFD ≌△BEA(SAS)∴CD =AB ∠C =∠B∴CD//AB .【解析】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角对应相等的重要工具.在判定三角形全等时 关键是选择恰当的判定条件. 求出CF =BE 根据SAS 证△CFD ≌△BEA 推出CD =AB ∠C =∠B 根据平行线的判定推出CD//AB .23.【答案】证明:∵AC//DE∴∠ACB =∠E ∠ACD =∠D∵∠ACD =∠B∴∠D =∠B在△ABC 和△EDC 中{∠B =∠D∠ACB =∠E AC =CE∴△ABC ≌△CDE(AAS).【解析】此题主要考查了全等三角形的判定 平行线的性质.首先根据AC//DE 利用平行线的性质可得:∠ACB =∠E ∠ACD =∠D 再根据∠ACD =∠B 证出∠D =∠B 然后根据全等三角形的判定定理AAS 证出△ABC ≌△CDE 即可.24.【答案】证明:∵BE ⊥AC CD ⊥AB∴∠BDC =∠CEB =90°在Rt △BCD 和Rt △CBE 中{BC =CB BD =CE∴Rt △BCD ≌Rt △CBE(HL)∴∠DBC =∠ECB即∠ABC =∠ACB .【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解题的关键.证明Rt △BCD ≌Rt △CBE(HL) 即可得出结论.25.【答案】(1)证明:∵∠ABC =90°∴∠DBC =90°在△ABE 和△CBD 中{AB =CB∠ABE =∠CBD BE =BD∴△ABE ≌△CBD(SAS);(2)解:∵AB =CB ∠ABC =90°∴∠BCA =45°∴∠AEB =∠CAE +∠BCA =30°+45°=75°∵△ABE ≌△CBD∴∠BDC =∠AEB =75°.【解析】(1)由条件可利用SAS证得结论;(2)由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA利用三角形外角的性质可求得∠AEB再利用全等三角形的性质可求得∠BDC.本题主要考查全等三角形的判定和性质掌握全等三角形的判定方法(即SSS SAS ASA AAS和HL)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等对应角相等)是解题的关键.。

全等三角形证明中考题精选[有答案解析]

全等三角形证明中考题精选[有答案解析]

全等三角形证明中考题精选[有答案解析]七年级数学下---全等三角形证明题1如图,已知人。

是厶ABC勺中线,分别过点B、C作BEL AD于点E,CF丄AD交AD的延长线于点F,求证:BE=CF2•如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中/(1)操作发现:如图2,固定△ ABC使厶DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:①线段DE与AC的位置关系是_____________②设△ BDC的面积为$,△ AEC的面积为S,则(2)猜想论证S与S2的数量关系是 _____________当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC ffiA AEC中BC CE边上的高,请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知/ABC=60,点D是角平分线上一点,BD=CD=, DE// AB交BC于点E (如图4).若在射线BA 上存在点F,使S A DC=S BDE,请直接写出相应的BF的长.3.如图,把一个直角三角形ACB(/ACB=90 )绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB 边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD BE上的点,BF=BG延长CF与DG交于点H. (1)求证:CF=DG (2)求出/ FHG勺度数.全等三角形证明中考题精选[有答案解析]4•如图所示,在△ ABC 中,D E 分别是AB AC 上的点,DE// BQ 如图①,然后将厶ADE 绕A 点顺 时针旋转一定角度,得到图②,然后将 BD CE 分别延长至M N,使DM=BD EN=CE 得到图③, 请解答下列问题:(1)若AB=AC 请探究下列数量关系:① 在图②中,BD 与CE的数量关系是_ _ ;② 在图③中,猜想AM 与 AN 的数量关系、/ MAN 与/BAC 的数量关系,并证明你的猜想;(2)若AB=I?AC( k > 1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究: AM 与 AN 的数量关系、/ MAN 与/BAC 的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.4. (1)如图,在△ ABC ffiA ADE 中, AB 二AC AD=AE Z BAC K DAE=90 .① 当点D 在AC 上时,如图1,线段BD CE 有怎样的数量关系和位置关系? 直接写出你猜想的结论;② 将图1中的△ ADE 绕点A 顺时针旋转口角(O °VaV 90°),如图2,线段BD CE 有怎样的数量 关系和位置关系?请说明理由.(2)当厶ABC^P ^ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段 BD CE 在(1)中的位置关系 仍然成立?不必说明理由.甲: AB AC=AD AE=1, / BAC K DA 字90°;乙:AB AC=AD AE M 1,K BAC K DAE=90 ;丙: 6. CD 经过/ BCA 顶点C 的一条直线,CA=CB E, F 分别是直线CD 上两点,且/ BEC K CFA Ka.(1)若直线CD 经过/ BCA 的内部,且E, F 在射线CD 上,请解决下面两个问题:①如图 1,若/ BCA=90 , Ka =90°,则 BE ______________ CF; EF ___________ |BE - AF| (填“〉”, “v”或“=”);②如图2,若0°<Z BCA : 180°,请添加一个关于Ka 与/ BCA 关系的条件—AB: AC=AD AE M 1,/ BAC K DAE^ 90E__________ ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.7. 如图,已知 AB=AC (1)若 CE=BD 求证:GE=G ;⑵若CE=mBD (m 为正数),试猜想GE 与 GD 有何关系.(只写结论,不证明)8. (1)已知:如图①,在△ AOBf^A COD 中, OA=OJ 3OC=OD / AOB M COD=60,求证:① AC=BD ②/ APB=6(度;(2)如图②,在△ AOBf^A COD 中,若 OA=OBOC=O , / AOB M COD a ,贝U AC 与 BD 间的等量关系式为 _____________ ; Z APB 的大小为 _____________ ;(3)如图③,在△ AOBf^ACOD 中,若 OA=?OBOC=?OD(k > 1),Z AOB ZCOD a ,贝U AC 与 BD间的等量关系式为 10.已知:EG// AF, AB=AC DE=DF 求证:BE=CF参考答案与试题解析(2)如图3,若直线CD 经过/ BCA 的外部,/ a =Z BCA 请提出EF, BE AF 三条线段数量关系的 合理猜想(不要求证明)•Z APB 的大小为 _____2. 解:(1)①DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,••• AC=CD:/ BAC=90 -Z B=90°- 30° =60°,二厶ACD是等边三角形,•••/ ACD=60,又TZ CDE Z BAC=60 ,:Z ACD Z CDE 二DE// AC;②T Z B=30°,Z C=90,二CD=AC=AB /• BD=AD=AC2根据等边三角形的性质,△ ACD的边AC AD上的高相等,•••△ BDC的面积和△ AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S=S2;故答案为:DE// AC S=S;(2)如图,•「△ DEC是由厶ABC绕点C旋转得到,••• BC=CE AC=CD T Z ACN Z BCN=90,Z DCM Z BCN=180 - 90° =90°,•••Z ACN Z DCM T在厶ACNm DCM中,fZACM=ZDCHI ZCND=ZH=90°,[AC=CD•△ACN^A DCM( AAS, • AN=DM•△ BDC的面积和△ AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S i=S2;3、解(1)证明:•••在厶CBF ft^ DBG K答.fBC=BD答《二,:BF=BG•△CBF^A DBG( SAS , • CF=DQ(2)解:•••△ CBF^A DBG •Z BCF Z BDG又T Z CFB Z DFH •Z DHF Z CBF=60 ,•Z FHG=180 -Z DHF=180 - 60°=120°.4、解答:解:(1)①结论:BD=CE BDL CE②结论:BD=CE BDL CE;理由如下:T Z BAC Z DAE=90• Z BAC-Z DAC Z DAE-Z DAC 即Z BAD Z CAE ft^ ABD与△ ACE中, AB=ACT*4皿ZCAE •△ABD^A ACE(SAS • BD=CEb AD=AE延长BD交AC于F,交CE于H.在厶ABF 与厶HCF 中,T Z ABF=/ HCF Z AFB=/ HFC •Z CHF Z BAF=90••• BDL CE(2)结论:乙.AB AC=AD AE / BAC K DAE=905.6.解答:解:(1)①IK BCA=90,/a =90°,.・.K BCE K CBE=90,/ BCE K ACF=90 , • K CBE K ACF v CA=CB K BEC K CFA •△ BCE^A CAF •- BE=CF EF=|BE- AF|. ②所填的条件是:Ka +K BCA=180 . I AE=AD 卩. 7 •••△ CAE^A BAD( SAS , AC 二 AB • / ACE K ABD v DM=BD EN=CE • BM=CN 在厶 ABM ffiA ACN 中, r 瓏二 CN ••• ZAC14=ZAbr 〔AB 二AC • △ ABMm ACN( SAS , • AM=AN •/ BAM K CAN 即K MAN K BAC (2)AM=?AN 在厶BADfy CAE 中 解答: / CAE=/ BAD K MAN K BAC全等三角形证明中考题精选[有答案解析]证明:在厶 BCE 中,/ CBE# BCE=180 -Z BEC=180 — /a. v/ BCA=180 —/a,•••/ CBE Z BCE Z BCA 又v/ ACF Z BCE Z BCA CBE Z ACF又v BC=CA / BEC Z CFA •△BCE^A CAF( AAS •- BE=CF CE=AF又v EF=C- CE, • EF=|BE- AF|.(2) EF=BE+AF7.解证明:(1)过D作DF// CE交BC于F,答: 贝UZ E=Z GDF v AB=AC •/ ACB Z ABC/ DF/ CE •/ DFB Z ACB•Z DFB Z ACB Z ABC • DF=DB v CE=BD •- DF=CE 在厶GDF^ GEC中, (ZE 二ZGDFI ZDGF=ZEGC ,[DF=EC•△GDF^A GEC(AAS. • GE=GD• / AOB Z BOC Z COD Z BOC 即:/ AOC Z BOD 答:又v OA=OB OC=OD •△ AOC^A BOD • AC=BD②由①得:/ OAC Z OBDv/ AEO Z PEB / APB=180 — (/ BEP+Z OBD, / AOB=180 —(/ OAC Z AEO , • Z APB Z AOB=60 .(2) AC=BD a(3) AC=?BD 180°—a.。

八年级数学-全等三角形的判定练习(含答案)

八年级数学-全等三角形的判定练习(含答案)

八年级数学-全等三角形的判定练习(含答案)一、选择题1.如图,点E、F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加一个条件是()A.AD∥BC B.DF∥BE C.∠D=∠B D.∠A=∠C 【答案】C.【解析】∠D=∠B,理由是:∵在△ADF和△CBE中AD BCD BDF BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF≌△CBE(SAS),即选项C正确;具备选项A、选项B,选项D的条件都不能推出两三角形全等,故选C.2.如图,若已知AE=AC,用“SAS”说明△ABC≌△ADE,还需要的一个条件是()A.BC=DE B.AB=AD C.BO=DO D.EO=CO【答案】B.【解析】在△ABC与△ADE中AE ACA AAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△ADE(SAS),故选B.3.如图,AB=CD,AB∥CD,判定△ABC≌△CDA的依据是()A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 【答案】B.【解析】∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,在△ABC与△CDA中,AB CDBAC DCAAC CA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△CDA(SAS).故选B.4.如图所示,AB=BD,BC=BE,要使△ABE≌△DBC,需添加条件()A.∠A=∠D B.∠C=∠E C.∠D=∠ED.∠ABD=∠CB E【答案】D.【解析】∵AB=BD,BC=BE,∴要使△ABE≌△DBC,需添加的条件为∠ABE=∠DBC,又∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE,即∠ABD=∠CBE,∴可添加的条件为∠ABE=∠DBC或∠ABD=∠CBE.综合各选项,D选项符合.故选D.5.如图在△ABD和△ACE都是等边三角形,则△ADC≌△ABE的根据是()A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS【答案】B.【解析】∵△ABD和△A CE都是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,又∵∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,∴∠DAC=∠BAE,∴△ADC≌△ABE(SAS).故选B.6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD,则∠ECA的度数为()A.30° B.35° C.40° D.45°【答案】C.【解析】在BC上截取BF=AB,连DF,则有△ABD≌△FBD(SAS),∴DF=DA=DE,又∵∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°﹣∠A=80°,∴∠FDC=60°,∵∠EDC=∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠A=180°﹣20°﹣100°=60°,∴△DCE≌△DCF(SAS),故∠ECA=∠DCB=40°.故选C.7.如图,△ABC中,AB=AC,BD=CE,BE=CF,若∠A=40°,则∠DEF的度数是()A.75° B.70° C.65° D.60°【答案】B.【解析】∵AB=AC,∴∠B=∠C=12(180°﹣∠A)=70°,在△BDE和△CEF中,BD CEB CBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BDE≌△CEF(SAS),∴∠BDE=∠CEF,∵∠CED=∠B+∠BDE,即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE,∴∠DEF=∠B=70°;故选B.8.如图,AD∥BC,AD=CB,要使△ADF≌△CBE,需要添加的下列选项中的一个条件是()A.AE=CF B.DF=BE C.∠A=∠C D.AE=EF 【答案】A.【解析】只有选项A正确,理由是:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,∵AD∥BC,∴∠A=∠C,在△ADF和△CBE中,AD BCA CAF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADF≌△CBE(SAS),故选A.二、填空题9.如图,点A、D、C、E在同一条直线上,AB∥EF,AB=EF,AD=EC,AE=10,AC=6,则CD 的长为.【答案】2.【解析】∵AB∥EF,∴∠A=∠E,∵AD=EC,∴AD+DC=EC+DC,即AC=ED,在△ABC和△EFD中AB EFA EAC ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△EFD(SAS),∴AC=ED=6,∴CD=AC+ED﹣AE=6+6﹣10=2,10.如图,点F、C在线段BE上,且∠1=∠2,BC=EF,若要使△ABC≌△DEF,则还须补充一个条件.(只要填一个)【答案】AC=DF.【解析】补充AC=DF.∵∠1=∠2,BC=EF,AC=DF∴△ABC≌△DEF,11.如图,△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边上,当时,△ABD≌△ACE.(添加一个适当的条件即可)【答案】BD=CE.【解析】BD=CE,理由是:∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△ABD和△ACE中AB ACB CBD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△ACE(SAS).12.如图,已知AC=AE,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一个).【答案】AB=AD.【解析】AB=AD,理由是:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,∴∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE中,AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△ADE(SAS),13.如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D,下列结论:①∠EAB=∠FAC;②∠C=∠EFA;③AD=AC;④AF=AC.其中正确的结论是(填写所有正确结论的序号).【答案】①②④.【解析】在△ABC与△AEF中,AB AEB EBC EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△AEF(SAS),∴∠EAB=∠FAC,∠C=∠EFA,AF=AC,∴①②④正确;由已知条件不能得出AD=AC,③不正确.三、解答题14.如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC.【答案】证明见解析.【解析】∵∠1=∠2,∴∠ACB=∠DCE,在△ABC和△DE C中,CA CDACB DCEBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC≌△DEC(SAS).15.如图,在△ABD和△FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,∠B=∠E.求证:∠ADB=∠FCE.【答案】证明见解析.【解答】证明:∵BC=DE,∴BC+CD=DE+CD,即BD=CE,在△ABD与△FEC中,AB EFB EBD EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△FEC(SAS),∴∠ADB=∠FCE.16.已知:如图,在△ABC、△AD E中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E 三点在同一直线上,连接BD.求证:(1)△BAD≌△CAE;(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明.【答案】(1)证明见解析;(2)BD⊥CE.【解析】(1)∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS).(2)BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.证明如下:由(1)知△BAD≌△CAE∴∠ADB=∠E.∵∠DAE=90°,∴∠E+∠ADE=90°.∴∠ADB+∠ADE=90°.即∠BDE=90°.∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.。

(完整版)全等三角形练习题及答案

(完整版)全等三角形练习题及答案

全等三角形练习题及答案1、下列判定直角三角形全等的方法,不正确的是()A、两条直角边对应相等。

B、斜边和一锐角对应相等。

C、斜边和一条直角边对应相等。

D、两锐角相等。

2、在△ABC中,∠B=∠C,与△ABC全等的三角形有一个角是100°,那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是()A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C3、下列各条件中,不能作出唯一三角形的是()A.已知两边和夹角B.已知两角和夹边C.已知两边和其中一边的对角 D.已知三边4、在△ABC与△DEF中,已知AB=DE;∠A=∠D;再加一个条件,却不能判断△ABC与△DEF全等的是().A. BC=EF B.AC=DFC.∠B=∠E D.∠C=∠F5、使两个直角三角形全等的条件是()A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B',②BC=B'C',③AC=A'C',④∠A=∠A',⑤∠B=∠B',⑥∠C=∠C',则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是()A、①②③B、①②⑤C、①②④D、②⑤⑥7、如图,已知∠1=∠2,欲得到△ABD≌△ACD,还须从下列条件中补选一个,错误的选法是()A、∠ADB=∠ADCB、∠B=∠CC、DB=DCD、AB=AC8、如图,△ABC≌△ADE,若∠BAE=120°,∠BAD=40°,则∠BAC的度数为A. 40°B. 80°C.120°D. 不能确定9、如图,AE=AF,AB=AC,EC与BF交于点O,∠A=600,∠B=250,则∠EOB的度数为()A.600 B.700C.750D.85010、如图,已知AB=DC,AD=BC,E.F在DB上两点且BF=DE,若∠AEB=120°,∠ADB=30°,则∠BCF= ( )A. 150°B.40°C.80°D. 90°11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等,以上条件能判断两个三角形全等的是( )A.①③ B.②④ C.②③④ D.①②④12、下列条件中,不能判定两个三角形全等的是()A.三条边对应相等 B.两边和一角对应相等C.两角及其一角的对边对应相等 D.两角和它们的夹边对应相等13、如图,已知,,下列条件中不能判定⊿≌⊿的是()(A)(B)(C)(D)∥14、如图,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠A=50°,∠B=30°,则∠D的度数为().A.50° B.30° C.80° D.100°15、如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,则∠ABC的度数是.16、在△ABC和△中,∠A=44°,∠B=67°,∠=69°,∠=44°,且AC=则这两个三角形全等(填“一定”或“不一定”)17、如图,,,,在同一直线上,,,若要使,则还需要补充一个条件:或.18、(只需填写一个你认为适合的条件)如图,已知∠CAB=∠DBA,要使△ABC≌△BAD,需增加的一个条件是。

人教版八年级数学上册全等三角形的判定角边角判定三角形全等专项小练习(附答案)

人教版八年级数学上册全等三角形的判定角边角判定三角形全等专项小练习(附答案)

人教版八年级数学上册全等三角形的判定角边角判定三角形全等专项小练习(附答案)1.如图,已知∠CAB=∠DAB,则下列:①∠C=∠D;②AC=AD;③∠CBA=∠DBA;④BC=BD条件中,不能判定△ABC≌△ABD的是()A.①B.②C.③D.④2.如图,AB=AC,E,F分别是AB,AC的中点,BF,CE交于点D,连接AD.则此图中全等三角形有( )A.2对B.3对C.4对D.5对3.如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是.(只填一个即可)4.如图,已知∠ABC=∠DCB,增加下列条件:①AB=CD;②AC=DB;③∠A=∠D;④∠ABO=∠DCO.能判定△ABC≌△DCB的是.(填正确答案的序号)5.(易错警示题)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B 的坐标是(0,4),点C在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当点C的坐标为时,以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB 全等.6.如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.(1)求证:AB=CD;(2)若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度数.7.(素养提升题)如图所示,已知DE=AE,点E在BC上,AE⊥DE,AB⊥BC,DC ⊥BC,请问,线段AB,DC和线段BC有何大小关系.并说明理由解题模型 发散思维模型 利用“ASA”或“AAS”证明三角形全等的书写模式如图:点A ,B ,C ,D 在一条直线上,AB =CD ,AE ∥BF ,CE ∥DF .求证:△AEC ≌△BFD .【证明】∵AB =CD ,∴AB +BC =CD +BC ,即AC =BD ,∵AE ∥BF ,CE ∥DF ,∴∠A =∠FBC ,∠D =∠ECA .在△AEC 和△BFD 中,A FBC AC BD ECA D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,,,∴△AEC ≌△BFD (ASA ).1.角边角(ASA )书写模式:如图,在△ABC 与△'''A B C 中,''''A A AB A B B B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,,,∴△ABC ≌△A'B'C'(ASA ).2.角角边(AAS )书写模式:如图,在△ABC 与△'''A B C 中,'''A A B B BC B C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪='⎩,,,∴△ABC ≌△A'B'C'(AAS )参考答案1.答案:D2.答案:C3.答案:AD=AC(∠D=∠C或∠ABD=∠ABC等)4.答案:①③④5.答案:(-4,0),(-2,0),(4,0)6.答案:见解析解析:(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C,在△ABE和△DCF中,A DB C AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△ABE≌△DCF(AAS),∴AB=CD;(2)∵△ABE≌△DCF∴AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,∵∠B=40°,∴∠C=40°,∵AB=CF,∴CF=CD,∴∠D=∠CFD=1(18040)70 2︒︒︒⨯-=.7.答案:见解析解析:线段AB,DC和线段BC的关系是:BC=AB+DC.理由如下:∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠ABE=∠ECD=90°,∵AE⊥DE,∴∠AED=90°,在△ABE中,∠BAE+∠AEB=90°,在△DCE中,∠EDC+∠DEC=90°. ∵∠BEA+∠DEC=90°,∴∠BEA=∠EDC,在△ABE和△ECD中,BEA CDEABE ECD DE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△ABE≌△ECD(AAS),∴AB=EC,BE=CD,∴BC=BE+EC=DC+AB.。

全等三角形判定基础练习(有答案)

全等三角形判定基础练习(有答案)

全等三角形判定基础练习(有答案)一.选择题(共3小题)1.如图,已知AD=AE,添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是()A.AB=AC B.∠ADC=∠AEB C.∠B=∠C D.BE=CD2.判定两个三角形全等,给出如下四组条件:①两边和一角对应相等;②两角和一边对应相等;③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等;④三个角对应相等;其中能判定这两个三角形全等的条件是()A.①和②B.①和④C.②和③D.③和④3.如图,下列各组条件中,不能得到△ABC≌△BAD的是()A.BC=AD,∠ABC=∠BAD B.BC=AD,AC=BDC.AC=BD,∠CAB=∠DBA D.BC=AD,∠CAB=∠DBA二.解答题(共6小题)4.如图,AB=CB,BE=BF,∠1=∠2,证明:△ABE≌△CBF.5.如图所示,有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C,P,A在同一条直线上,并且BC=PA.当QP与AB垂直时,△ABC能和△QPA全等吗,请说明理由.6.如图,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,CF、BE相交于点D,且BD=CD.求证:AD平分∠BAC.7.如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点D在BC的延长线上,且BD=AB,过B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.求证:△ABC≌△BDE.8.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,且BD=CE.求证:△ABE≌△ACD.9.如图,已知点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:△ABE≌△ACD.全等三角形判定(孙雨欣)初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共3小题)1.如图,已知AD=AE,添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是()A.AB=AC B.∠ADC=∠AEB C.∠B=∠C D.BE=CD【分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,看看条件是否符合判定定理即可.【解答】解:A、∵在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD(SAS),正确,故本选项错误;B、∵在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD(ASA),正确,故本选项错误;C、∵在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD(AAS),正确,故本选项错误;D、根据AE=AD,BE=CD和∠A=∠A不能推出△ABE和△ACD全等,错误,故本选项正确;故选D.【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.2.判定两个三角形全等,给出如下四组条件:①两边和一角对应相等;②两角和一边对应相等;③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等;④三个角对应相等;其中能判定这两个三角形全等的条件是()A.①和②B.①和④C.②和③D.③和④【分析】认真分析各选项提供的已知条件,结合全等三角形判定方法对选项提供的已知条件逐一判断.【解答】解:①两边和一角对应相等不正确,应该是两边的夹角,故本选项错误,②两角和一边对应相等,符合AAS,故本选项正确,③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等,符合SAS,故本选项正确,④三个角对应相等,可以相似不全等,故本选项错误,故选C.【点评】本题主要考查了对全等三角形的判定方法的理解及运用.常用的判定方法有AAS,SSS,SAS 等,难度适中.3.如图,下列各组条件中,不能得到△ABC≌△BAD的是()A.BC=AD,∠ABC=∠BAD B.BC=AD,AC=BDC.AC=BD,∠CAB=∠DBA D.BC=AD,∠CAB=∠DBA【分析】根据图形可得公共边AB=AB,再加上选项所给条件,利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可.【解答】解:根据图形可得公共边:AB=AB,A、BC=AD,∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD,故此选项不合题意;B、BC=AD,AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD,故此选项不合题意;C、AC=BD,∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD,故此选项不合题意;D、BC=AD,∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD,故此选项符合题意;故选:D.【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.二.解答题(共7小题)4.如图,AB=CB,BE=BF,∠1=∠2,证明:△ABE≌△CBF.【分析】利用∠1=∠2,即可得出∠ABE=∠CBF,再利用全等三角形的判定SAS得出即可.【解答】证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE,即∠ABE=∠CBF,在△ABE与△CBF中,,∴△ABE≌△CBF(SAS).【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.5.如图所示,有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C,P,A在同一条直线上,并且BC=PA.当QP与AB垂直时,△ABC能和△QPA全等吗,请说明理由.【分析】首先根据∠QAP=90°,AB⊥PQ可证出∠PQA=∠BAC,在加上条件BC=AP,∠C=∠QAP=90°,可利用AAS定理证明△ABC和△QPA全等.【解答】△ABC能和△QPA全等;证明:∵∠QAP=90°,∴∠PQA+∠QPA=90°,∵QP⊥AB,∴∠BAC+∠APQ=90°,∴∠PQA=∠BAC,在△ABC和△QPA中,,∴△ABC≌△QPA(AAS).【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.6.如图,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,CF、BE相交于点D,且BD=CD.求证:AD平分∠BAC.【分析】要证AD平分∠BAC,只需证DF=DE.可通过证△BDF≌△CDE(AAS)来实现.根据已知条件,利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE,从而可得出AD平分∠BAC.【解答】证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°.在△BDF与△CDE中,,∴Rt△BDF≌Rt△CDE(AAS).∴DF=DE,∴AD是∠BAC的平分线.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识.发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键.7.如图AB,CD相交于点O,AD=CB,AB⊥DA,CD⊥CB,求证:△ABD≌△CDB.【分析】首先根据AB⊥DA,CD⊥CB,可得∠A=∠C=90°,再利用HL定理证明Rt△ABD≌Rt△CBD即可.【解答】证明:∵AB⊥DA,CD⊥CB,∴∠A=∠C=90°,在Rt△ABD和Rt△CBD中,∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL).【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.8.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,且BD=CE.求证:△ABE≌△ACD.【分析】由AB=AC可得∠B=∠C,然后根据BD=CE可证BE=CD,根据SAS即可判定三角形的全等.【解答】证明∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵BD=EC,∴BE=CD,在△ABE与△ACD中,,∴△ABE≌△ACD(SAS).【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.9.如图,已知点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:△ABE≌△ACD.【分析】根据全等三角形的判定定理ASA推出即可.【解答】证明:∵在△ABE和△ACD中,∴△ABE≌△ACD(ASA).【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.10.如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点D在BC的延长线上,且BD=AB,过B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.求证:△ABC≌△BDE.【分析】利用已知得出∠A=∠DBE,进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可.【解答】证明:在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,∴∠ABE+∠DBE=90°,∵BE⊥AC,∴∠ABE+∠A=90°,∴∠A=∠DBE,∵DE是BD的垂线,∴∠D=90°,在△ABC和△BDE中,∵,∴△ABC≌△BDE(ASA).【点评】此题主要考查了全等三角形的判定,三角形内角和定理的应用,正确发现图形中等量关系∠A=∠DBE是解题关键.。

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)知识回顾1.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定,这三角形就固定了,这是三角形具有稳定性。

2.三角形的内角和定理:三角形的三个内角之和等于180°。

3.三角形的外角定理:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4.全等三角形的性质:若两个三角形全等,则他们的对应边相等;对应角相等;对应边上的中线相等,高线相等,角平分线也相等;且这两个三角形的周长和面积均相等。

5.全等三角形的判定:①边边边(SSS):三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边(SAS):两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角(ASA):两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边(AAS):两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定(HL):直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形。

专项练习题(含答案解析)1.已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB=AD.【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB=∠ACD,利用ASA证明△ACB≌△ACD,根据全等三角形的性质即可得解.【解答】证明:∵∠3=∠4,∴∠ACB=∠ACD,在△ACB和△ACD中,,∴△ACB≌△ACD(ASA),∴AB=AD.2.如图,△ABC是等腰三角形,点D,E分别在腰AC,AB上,且BE=CD,连接BD,CE.求证:BD=CE.【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC=∠DCB,进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等,再利用全等三角形的性质解答即可.【解答】证明:∵△ABC∴∠EBC=∠DCB,在△EBC与△DCB中,,∴△EBC≌△DCB(SAS),∴BD=CE.3.如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小.【分析】由∠BAD=∠EAC可得∠BAC=∠EAD,根据SAS可证△BAC≌△EAD,再根据全等三角形的性质即可求解.【解答】解:∵∠BAD=∠EAC,∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC=∠EAD,在△BAC与△EAD中,,∴△BAC≌△EAD(SAS),∴∠D=∠C=50°.4.如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若AB=4,CD=3,求四边形的面积.【分析】(1)由AC平分∠BAD,得∠BAC=∠DAC,根据CB⊥AB,CD⊥AD,得∠B=90°=∠D,用AAS 可得△ABC≌△ADC;(2)由(1)△ABC≌△ADC,得BC=CD=3,S△ABC=S△ADC,求出S△ABC=AB•BC=6,即可得四边形ABCD的面积是12.【解答】(1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∵CB⊥AB,CD⊥AD,∴∠B=90°=∠D,在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(AAS);(2)解:由(1)知:△ABC≌△ADC,∴BC=CD=3,S△ABC=S△ADC,∴S△ABC=AB•BC=×4×3=6,∴S△ADC=6,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12,答:四边形ABCD的面积是12.5.如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证:DE=BC.【分析】利用平行线的性质得∠EDC=∠B,再利用ASA证明△CDE≌△ABC,可得结论.【解答】证明:∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,在△CDE和△ABC中,,∴△CDE≌△ABC(ASA),∴DE=BC.6.如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.(1)求证:MP=NP;(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).【分析】(1)过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ=∠AQM=∠A=60°,可得△AMQ是等边三角形,易证△QMP≌△CNP(AAS),即可得证;(2)根据等边三角形的性质可知AH=HQ,根据全等三角形的性质可知QP=PC,即可表示出HP的长.【解答】(1)证明:过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,如图所示:在等边△ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°,∵MQ∥BC,∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,∴△AMQ是等边三角形,∴AM=QM,∵AM=CN,∴QM=CN,在△QMP和△CNP中,,∴△QMP≌△CNP(AAS),∴MP=NP;(2)解:∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,∴AH=HQ,∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP,∴PH=HQ+QP=AC,∵AB=a,AB=AC,∴PH=a.7.如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF.有下列三个条件:①AC=DF,②∠ABC =∠DEF,③∠ACB=∠DFE.(1)请在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF.你选取的条件为(填写序号)(只需选一个条件,多选不得分),你判定△ABC≌△DEF的依据是(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”);(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证:AB∥DE.【分析】(1)根据SSS ABC≌△DEF,即可解决问题;(2)根据全等三角形的性质可得∠A=∠EDF,再根据平行线的判定即可解决问题.【解答】(1)解:在△ABC和△DEF中,,∴△ABC≌△DEF(SSS),∴在上述三个条件中选取一个条件,使得△ABC≌△DEF,选取的条件为①,判定△ABC≌△DEF的依据是SSS.故答案为:①,SSS;(答案不唯一).(2)证明:∵△ABC≌△DEF.∴∠A=∠EDF,∴AB∥DE.8.在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF.若AF⊥EF,求证:BD⊥AF;(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.【分析】(1)证明△BCD≌△FCE(SAS),由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC,证出BD∥EF,则可得出结论;(2)由题意画出图形,延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF,由(1)可知BD∥EF,BD=EF,证出∠AEF=90°,得出∠DHE=90°,由直角三角形的性质可得出结论.【解答】(1)证明:在△BCD和△FCE中,,∴△BCD≌△FCE(SAS),∴∠DBC=∠EFC,∴BD∥EF,∵AF⊥EF,∴BD⊥AF;(2)解:由题意补全图形如下:CD=CH.证明:延长BC到F,使CF=BC,连接AF,EF,∵AC⊥BF,BC=CF,∴AB=AF,由(1)可知BD∥EF,BD=EF,∵AB2=AE2+BD2,∴AF2=AE2+EF2,∴∠AEF=90°,∴AE⊥EF,∴BD⊥AE,∴∠DHE=90°,又∵CD=CE,∴CH=CD=CE.9.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数.【分析】(1)可利用SAS证明结论;(2)由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ABD,利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE=∠ABD=∠AED =45°,再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数,进而可求可求解【解答】(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)解:∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,∵∠EAC=60°,∴∠AEC=180°﹣∠ACE﹣∠EAC=180°﹣45°﹣60°=75°,∴∠CED=∠AEC﹣∠AED=75°﹣45°=30°.10.如图,在△ABC中(AB<BC),过点C作CD∥AB,在CD上截取CD=CB,CB上截取CE=AB,连接DE、DB.(1)求证:△ABC≌△ECD;(2)若∠A=90°,AB=3,BD=2,求△BCD的面积.【分析】(1)由CD∥AB得∠ABC=∠ECD,而CD=CB,CE=AB,即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD;(2))由∠A=90°,根据全等三角形的对应角相等证明∠BED=∠CED=∠A=90°,设BE=x,由BD2﹣BE2=CD2﹣EC2=DE2,列方程(2)2﹣x2=(3+x)2﹣32,解方程求得符合题意的x的值为2,则BC =5,再根据勾股定理求出DE的长,即可求出△BCD的面积.【解答】(1)证明:∵CD∥AB,CD=CB,CE=AB,∴∠ABC=∠ECD,在△ABC和△ECD中,,∴△ABC≌△ECD(SAS).(2)解:∵∠A=90°,∴∠CED=∠A=90°,∴∠BED=180°﹣∠CED=90°,设BE=x,∵EC=AB=3,BD=2,∴CD=BC=3+x,∵BD2﹣BE2=CD2﹣EC2=DE2,∴(2)2﹣x2=(3+x)2﹣32,整理得x2+3x﹣10=0,解得x1=2,x2=﹣5(不符合题意,舍去),∴BE=2,BC=3+2=5,∴DE===4,∴S△BCD=BC•DE=×5×4=10,∴△BCD的面积为10.11.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC边上的一点,以AD为直角边作等腰Rt △ADE,其中∠DAE=90°,连接CE.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)若∠BAD=22.5°时,求BD的长.【分析】(1)由“SAS”可证△ACE;(2)由等腰三角形三角形的性质可得BC的长,由角度关系可求∠ADC=67.5°=∠CAD,可得AC=CD =1,即可求解.【解答】(1)证明:∵∠BAC=90°=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)解:∵∠BAC=90°,AB=AC=1,∴BC=,∠B=∠ACB=45°,∵∠BAD=22.5°,∴∠ADC=67.5°=∠CAD,∴AC=CD=1,∴BD=﹣1.12.如图,已知矩形ABCD中,AB=8,BC=x(0<x<8),将△ACB沿AC对折到△ACE的位置,AE和CD交于点F.(1)求证:△CEF≌△ADF;(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示).【分析】(1)根据矩形的性质得到∠B=∠D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得到BC=CE,∠E=∠B =90°,等量代换得到∠E=∠D=90°,AD=CE,根据AAS证明三角形全等即可;(2)设DF=a,则CF=8﹣a,根据矩形的性质和折叠的性质证明AF=CF=8﹣a,在Rt△ADF中,根据勾股定理表示出DF的长,根据正切的定义即可得出答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,BC=AD,根据折叠的性质得:BC=CE,∠E=∠B=90°,∴∠E=∠D=90°,AD=CE,在△CEF与△ADF中,,∴△CEF≌△ADF(AAS);(2)解:设DF=a,则CF=8﹣a,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AD=BC=x,∴∠DCA=∠BAC,根据折叠的性质得:∠EAC=∠BAC,∴∠DCA=∠EAC,∴AF=CF=8﹣a,在Rt△ADF中,∵AD2+DF2=AF2,∴x2+a2=(8﹣a)2,∴a=,∴tan∠DAF==.13.如图,△ABC和△DEF,点E,F在直线BC上,AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F.如图①,易证:BC+BE =BF.请解答下列问题:(1)如图②,如图③,请猜想BC,BE,BF之间的数量关系,并直接写出猜想结论;(2)请选择(1)中任意一种结论进行证明;(3)若AB=6,CE=2,∠F=60°,S△ABC=123,则BC=,BF=.【分析】(1)根据图形分别得出答案;(2)利用AAS证明△ABC≌△DFE,得BC=EF,再根据图形可得结论;(3)首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长,从而得出BC,再对点E的位置进行分类即可.【解答】解:(1)图②:BC+BE=BF,图③:BE﹣BC=BF;(2)图②:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F,∴△ABC≌△DFE(ASA),∴BC=EF,∵BE=BC+CE,∴BC+BE=EF+BC+CE=BF;图③:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F,∴△ABC≌△DFE(ASA),∴BC=EF,∵BE=BF+EF,∴BE﹣BC=BF+EF﹣BC=BF+BC﹣BC=BF;(3)当点E在BC上时,如图,作AH⊥BC于H,∵∠B=∠F=60°,∴∠BAH=30°,∴BH=3,∴AH=3,∵S△ABC=12,∴=12,∴BC=8,∵CE=2,∴BF=BE+EF=8﹣2+8=14;同理,当点E在BC延长线上时,如图②,BF=BC+BE=8+10=18,故答案为:8,14或18.14.△ABC和△ADE都是等边三角形.(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有P A+PB =PC(或P A+PC=PB)成立(不需证明);(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接P A,猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系?并加以证明;(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接P A,猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.【分析】(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)和△BAF≌△CAP(SAS),得AF=AP,∠BAF=∠CAP,再证明△AFP是等边三角形,最后由线段的和可得结论;(3)如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,同理可得结论.【解答】解:(2)PB=P A+PC,理由如下:如图②,在BP上截取BF=PC,连接AF,∵△ABC、△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠P AF=60°,∴△AFP是等边三角形,∴PF=P A,∴PB=BF+PF=PC+P A;(3)PC=P A+PB,理由如下:如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,同理得:△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,PB=CM,∴△AMC≌△APB(SAS),∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,∴∠BAC=∠P AM=60°,∴△AMP是等边三角形,∴PM=P A,∴PC=PM+CM=P A+PB.15.【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置.按图②作出示意图,并连接AG,BH,如图③所示,AB交HO于E,AC 交OG于F,通过证明△OBE≌△OAF,可得OE=OF.请你证明:AG=BH.【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P,D,如图④,猜想并证明DG与BH的位置关系.【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤,按图⑤作出示意图,并连接HB,AG,如图⑥所示,其他条件不变,请你猜想并证明AG与BH的数量关系.【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF,得BE=AF,OE=OF,∠BEO=∠AFO,可证明△BHE≌△AGF (SAS),得BH=AG;【迁移应用】由△BHE≌△AGF,得∠BHE=∠AGF,可得∠AGF+∠GPO=90°,从而∠BHE+∠HPD=90°,∠HDP=90°,故DG⊥BH;【拓展延伸】设AB交OH于T,OG交AC于K,根据△ABC,△HOG是含30°角的直角三角形,AO⊥BC,可得OB=AO,∠OBA=∠OAC=30°,∠BOT=90°﹣∠AOT=∠AOK,即得△BOT∽△AOK,有===,∠BTO=∠AKO,又OH=GO,可得==,故△BTH∽△AKG,即得==,BH=AG.【解答】【情境再现】证明:由阅读材料知△OBE≌△OAF,∴BE=AF,OE=OF,∠BEO=∠AFO,∴∠BEH=∠AFG,∵OH=OG,∴OH﹣OE=OG﹣OF,即EH=GF,在△BHE和△AGF中,,∴△BHE≌△AGF(SAS),∴BH=AG;【迁移应用】解:猜想:DG⊥BH;证明如下:由【情境再现】知:△BHE≌△AGF,∴∠BHE=∠AGF,∵∠HOG=90°,∴∠AGF+∠GPO=90°,∴∠BHE+∠GPO=90°,∵∠GPO=∠HPD,∴∠BHE+∠HPD=90°,∴∠HDP=90°,∴DG⊥BH;【拓展延伸】解:猜想:BH=AG,证明如下:设AB交OH于T,OG交AC于K,如图:由已知得:△ABC,△HOG是含30°角的直角三角形,AO⊥BC,∴∠AOB=90°,∴OB=AO,∠OBA=∠OAC=30°,∠BOT=90°﹣∠AOT=∠AOK,∴△BOT∽△AOK,∴===,∠BTO=∠AKO,∴OT=OK,BT=AK,∠BTH=∠AKG,∵OH=GO,∴HT=OH﹣OT=GO﹣OK=(GO﹣OK)=KG,∴==,∴△BTH∽△AKG,∴==,∴BH=AG19。

人教版八年级数学上册三角形边角边判定三角形全等专项小练习(附答案)

人教版八年级数学上册三角形边角边判定三角形全等专项小练习(附答案)

《12.2 三角形全等的判定课时2》基础练易错诊断(打“√”或“×”)1.两边和任一角分别相等的两个三角形全等.()2.有两边及其一边的对角分别相等的两个三角形全等.()3.在△ABC和△DEF中,若AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,则△ABC≌△DEF.()对点达标知识点一用“SAS”证明三角形全等1.(2021·昆明质检)如图,AB平分∠DAC,要用SAS条件确定△ABC≌△ABD,还需要有条件()A.DB=CBB.AB=ABC.AD=ACD.∠D=∠C2.根据如图所给信息,可得x的长是()A.16B.18C.20D.16或183.(2021·宿州质检)如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加一个条件是()A.∠A=∠CB.∠D=∠BC.AD∥BCD.DF∥BE4.(2020·柳州中考)如图,已知OC平分∠MON,点A,B分别在射线OM,ON上,且OA=OB.求证:△AOC≌△BOC.5.(2020·兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是AC和AB的中点求证:BD=CE.知识点二“SAS”的实际应用6.(2021·武汉期中)如图,将两根钢条AA',BB的中点O连在一起,使AA',BB'可以绕着点O自由旋转,就做成了一个测量工件,则A'B′的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA'B′的理由是.7.如图,一块三角形玻璃碎成了Ⅰ,Ⅱ两块,现需购买同样大小的一块三角形玻璃,为方便起见,只需带上第块玻璃碎片.8.(2021·济南期中)如图,AD,BC表示两根长度相同的木条,若O是AD,BC的中点,经测量AB=9cm,则容器的内径CD为cm.参考答案易错诊断1.×2.×3.√对点达标1.C2.C3.B4.答案:见解析解析:∵OC平分∠MON,∴∠AOC=∠BOC,在△AOC和△BOC中,OA OBAOC BOC OC OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△AOC≌△BOC(SAS).5. 答案:见解析解析:∵AB=AC,D,E分别为AC,AB的中点,∴AD=AE,在△ABD和△ACE中,AB ACA A AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.6.SAS7.I8.9。

【人教版】八年级上小专题(4)全等三角形的性质与判定同步练习及答案

【人教版】八年级上小专题(4)全等三角形的性质与判定同步练习及答案

小专题(四) 全等三角形的性质与判定1.如图所示,D、E是△ABC中BC边上的点,AD=AE,∠ADC=∠AEB,EB=DC,那么∠1和∠2之间是什么关系?说你的理由.2.已知:如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.求证:AE =CE.3.已知:如图,AB,CD交于点O,E,F为AB上两点,OA=OB,OE=OF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.求证:△ACE≌△BDF.4.如图,已知AC交BD于点O,AB=DC,∠A=∠D.(1)请写出符合上述条件的五个结论(并且不再添加辅助线,对顶角除外);(2)从你写出的5个结论中,任选一个加以证明.5.如图,点C,F在线段BE上,BF=EC,∠1=∠2.请你添加一个条件,使△ABC≌△DEF,并加以证明.(不再添加辅助线和字母)6.如图,在△ABC中,MN⊥AC,垂足为N,且MN平分∠AMC,△ABM的周长为9 cm,AN=2 cm,求△ABC的周长.7.如图所示,要测量湖中小岛E距岸边A和D的距离,作法如下:(1)任作线段AB,取中点O;(2)连接DO并延长使DO=CO;(3)连接BC;(4)用仪器测量E,O在一条线上,并交CB 于点F,要测量AE,DE,只需测量BF,CF即可,为什么?8.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示方式放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一直线上,连接DC.(1)请找出图2中的全等三角形,并予以证明;(2)求证:DC⊥BE.9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D、E在边BC上,∠CAE=∠B,E是CD的中点,且AD平分∠BAE,试问:BD与AC相等吗?请说说你的理由.10.(1)如图1,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,且∠ABC、∠DEF 都是钝角,求证:△ABC≌△DEF.(2)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠ABC=∠DEF,且∠ABC、∠DEF都是锐角,请你用尺规在图2中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)参考答案1.在△ADC 和△AEB 中,⎩⎨⎧AD =AE ,∠ADC =∠AEB,DC =EB ,所以△ADC≌△A EB(SAS). 所以∠DAC=∠EAB.因为∠EAB-∠DAE=∠DAC-∠DAE, 所以∠1=∠2.2.证明:∵FC∥AB,∴∠ADE =∠CFE.在△ADE 和△CFE 中,⎩⎨⎧∠ADE=∠CFE,DE =FE ,∠AED =∠CEF,∴△ADE ≌△CFE(ASA). ∴AE=CE.3.证明:∵OA=OB ,OE =OF ,∴OA -OE =OB -OF ,即AE =BF.在△ACE 和△BDF 中,⎩⎨⎧∠A=∠B,∠ACE =∠BDF,AE =BF ,∴△ACE ≌△BDF(AAS).4.(1)五个结论:OB =OC ;OA =OD ;AC =DB ;∠ABO=∠DCO;∠ABC=∠DCB.(2)选证OB =OC.在△ABO 和△DCO 中,⎩⎨⎧∠AOB=∠DOC,∠A =∠D,AB =DC ,∴△ABO ≌△DCO(AAS). ∴OB=OC.5.答案不唯一,可以是∠E=∠B,∠D =∠A,FD =CA ,AB ∥ED 等.以DF =AC 加以证明.∵BF=EC , ∴BF -CF =EC -CF ,即BC =EF.在△ABC 和△DEF 中,⎩⎨⎧BC =EF ,∠1=∠2,CA =FD ,∴△ABC ≌△DEF(SAS).6.因为MN 平分∠AMC,所以∠AMN=∠CMN, 因为MN⊥AC,所以∠MNA=∠MNC=90°.在△AMN 和△CMN 中,⎩⎨⎧∠AMN=∠CMN,MN =MN ,∠MNA =∠MNC,所以△AMN≌△CMN(ASA). 所以AN =NC ,AM =CM.因为AN =2 cm ,所以AC =2AN =4 cm. 又因为△ABM 的周长为9 cm , 所以△ABC 的周长为9+4=13(cm). 7.由条件可知,△AOD ≌△BOC ,∴BC =AD.又∠A=∠B,∠AOE =∠BOF,AO =BO ,故△AOE≌△BOF. ∴AE=BF. ∴DE=CF.因此只要测出BF ,CF 即可知AE ,DE 的长度了. 8.(1)图2中△ABE≌△ACD.证明:∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形, ∴AB =AC ,AE =AD ,∠BAC =∠EAD=90°.∴∠BAC +∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD. ∴△ABE≌△AC D(SAS).(2)证明:由(1)知△ABE≌△ACD,∴∠ACD =∠B=45°. 又∵∠ACB=45°,∴∠BCD =∠ACB+∠ACD=90° .∴DC ⊥BE.9.BD =AC ,理由如下:过D 点作AC 的平行线交AE 的延长线于F ,则∠CAE=∠F. 又∵∠AEC=∠DEF,E 是CD 的中点, ∴CE =DE.∴△AEC≌△FED. ∴AC=FD.又∵AD 平分∠BAE, ∴∠DAE =∠BAD.又∵∠B=∠F,AD 为公共边, ∴△ABD ≌△AFD. ∴BD =DF. ∴BD=AC.10.(1)证明:过点C 作CG⊥AB 交AB 的延长线于G ,过点F 作FH⊥DE 交DE 的延长线于H , ∵∠ABC =∠DEF,且∠ABC、∠DEF 都是钝角, ∴180°-∠ABC=180°-∠DEF,即∠CBG=∠FEH.在△CBG 和△FEH 中,⎩⎨⎧∠G=∠H=90°,∠CBG =∠FEH,BC =EF ,∴△CBG ≌△FEH(AAS).∴CG=FH.在Rt △ACG 和Rt △DFH 中,⎩⎨⎧AC =DF ,CG =FH ,∴Rt △ACG ≌Rt △DFH(HL). ∴∠A =∠D.在△ABC 和△DEF 中,⎩⎨⎧∠ABC=∠DEF,∠A =∠D,AC =DF ,∴△ABC ≌△DEF(AAS). (2)略。

全等三角形的性质及判定(习题及答案)

全等三角形的性质及判定(习题及答案)

全等三角形的性质及判断(习题)例题示范例 1:已知:如图, C 为 AB 中点, CD=BE,CD∥BE.求证:△ ACD≌△ CBE.A【思路剖析】① 读题标明:DA CB EDCB E② 梳理思路:要证全等,需要三组条件,此中一定有一组边相等.由已知得, CD=BE;依据条件 C 为 AB 中点,得 AC=CB;这样已经有两组条件都是边,接下来看第三边或已知两边的夹角.由条件 CD∥BE,得∠ ACD=∠B.发现两边及其夹角相等,所以由SAS可证两三角形全等.【过程书写】先准备不可以直接用的两组条件,再书写全等模块.过程书写中需要注意字母对应.证明:如图∵C为 AB中点∴ AC=CB∵CD∥BE∴∠ ACD=∠B在△ ACD和△ CBE中AC= CB(已证)ACD= B (已证)CD = BE(已知)∴△ ACD≌△ CBE(SAS)稳固练习1.如图,△ ABC≌△ AED,有以下结论:①AC=AE;②∠ DAB=∠EAB;③ED=BC;④∠ EAB=∠DAC.此中正确的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个EA A1F EB C2BD C D第1 题图第2 题图2.如图, B, C, F,E 在同向来线上,∠ 1=∠2,BF=EC,要使△ABC≌△ DEF,还需要增添一组条件,这个条件能够是,原因是;这个条件也能够是,原因是;这个条件还能够是,原因是.3.如图, D 是线段 AB 的中点,∠ C=∠E,∠ B=∠A,找出图中的一对全等三角形是,原因是.A C AGD FE CHB E B D第3 题图第4 题图4.如图, AB=AD,∠ BAE=∠DAC,要使△ ABC≌△ ADE,还需要增添一组条件,这个条件能够是,原因是;这个条件也能够是,原因是;这个条件还能够是,原因是.5.如图,将两根钢条 AA' ,BB' 的中点连在一同,使 AA' ,BB' 能够绕着中点O 自由旋转,这样就做成了一个丈量工具,A'B'的长等于内槽宽 AB.此中判断△ OAB≌△OA'B' 的原因是()A. SAS B.ASA C.SSS D.AASAAOB'B A'BC DFE第5 题图第6题图6.要丈量河两岸相对的两点A,B 的距离,先在AB 的垂线BF上取两点 C,D,使 CD=BC,再定出 BF 的垂线 DE,使 A,C,E 在一条直线上(如下图),能够说明△ EDC≌△ ABC,得ED=AB,所以测得 ED的长就是 AB 的长.判断△ EDC≌△ABC最适合的原因是()A. SAS B.ASA C.SSS D.AAA7.已知:如图, M 是AB 的中点,∠ 1=∠2,∠ C=∠D.求证:△ AMC≌△ BMD.C D【思路剖析】① 读题标明:② 梳理思路:要证全等,需要由已知得:依据条件所以,由【过程书写】证明:如图12A M B组条件,此中一定有一组相等.=,=.,得=.可证两三角形全等.8. 已知:如图,点 B, F, C, E 在同一条直线上,且 BC=EF,AB∥DE,AB=DE.A求证:△ ABC≌△ DEF.【思路剖析】B F① 读题标明:② 梳理思路:要证全等,需要组条件,此中一定有一组由已知得:=,=依据条件,得=所以,由可证两三角形全等.【过程书写】证明:如图CED相等...思虑小结1.两个三角形全等的判断有,, _,,此中 AAA,SSA不可以证明三角形全等,请举反例进行说明.2.如图, A,B 两点分别位于一个池塘的两头,小明想用绳索丈量A,B 间的距离,但绳索不够长,一个叔叔帮他出了这样一个想法:先在地上取一个能够直接抵达 A 点和 B 点的点 C,连结 AC 并延伸到 D,使 CD=CA;连结 BC并延伸到 E,使CE=CB,连结 DE 并丈量出它的长度, DE 的长度就是 A,B 间的距离.你能说明此中的道理吗A ECB D【参照答案】稳固练习1. B2.AC=DF,SAS;∠ B=∠ E, ASA;∠ A=∠D,AAS3.△BCD≌△ AED,AAS4.AC=AE,SAS;∠ B=∠ D,ASA;∠ C=∠E,AAS5. A6. B7.①略②3,边∠1,∠ 2;∠ C,∠ DM 是 AB的中点, AM,BMAAS【过程书写】证明:如图,∵M 是 AB的中点∴AM=BM在△ AMC 和△ BMD中 C= D (已知)1 = 2(已知)AM = BM (已证)∴△ AMC≌△ BMD(AAS)8.①略②3,边BC,EF, AB,DEAB∥DE,∠ B,∠E SAS【过程书写】证明:如图,∵AB∥ DE∴∠ B=∠E在△ ABC和△ DEF中AB = DE (已知)B = E(已证)BC= EF(已知)∴△ ABC≌△ DEF(SAS)思虑小结1.SAS,SSS,ASA,AASAAA 反例:大小三角板SSA反例:作图略2.证明:如图,在△ ABC和△ DEC中AC = DC (已知)ACB= DCE(对顶角相等)BC= EC(已知)∴△ ABC≌△ DEC( SAS)∴AB=DE(全等三角形对应边相等)即DE的长度就是 A,B 间的距离。

人教版八年级上册12.2全等三角形判定同步练习(包含答案)

人教版八年级上册12.2全等三角形判定同步练习(包含答案)

12.2全等三角形判定知识要点:三角形全等的判定(1)边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等。

(2)边角边(SAS):两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

(3)角边角(ASA):两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

(4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

(5)斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

一、单选题1.如图,12∠=∠,下列条件中不能使...ABD ACD ∆≅∆的是( )A .AB AC = B .B C ∠=∠ C .ADB ADC ∠=∠D .DB DC = 2.如图所示,则下面图形中与图中△ABC 一定全等的三角形是( )A .B .C .D .3.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上,已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是( )A.90°B.120°C.135°D.150°4.有一个小口瓶(如图所示),想知道它的内径是多少,但是尺子不能伸到里边直接测,于是拿两根长度相同的细木条,把两根细木条的中点固定在一起,木条可以绕中点转动,这样只要量出AB的长,就可以知道玻璃瓶的内径是多少,那么△OAB≌△OCD理由是()A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边5.如图,用尺规作出∠OBF=∠AOB,作图痕迹MN是A.以点B为圆心,OD为半径的弧B.以点B为圆心,DC为半径的弧C.以点E为圆心,OD为半径的弧D.以点E为圆心,DC为半径的弧6.如图,已知,,,则图中全等三角形的总对数是A.3 B.4 C.5 D.67.如图,FE=BC,DE=AB,∠B=∠E=40°,∠F=70°,则∠A=( )A.40°B.50°C.60°D.70°8.如图,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=9cm,CF=5cm,则BD等于()A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm9.如图,已知AC=DB,AO=DO,CD=100 m,则A,B两点间的距离( )A.大于100 m B.等于100 mC.小于100 m D.无法确定10.如图,AB⊥BC且AB=BC,DE⊥CD且DE=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是()A.36 B.48 C.72 D.108二、填空题11.如图,若AB=AD,加上一个条件_____,则有△ABC≌△ADC.12.如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=__________.13.如图,已知∠1=∠2=90°,AD=AE,那么图中有____对全等三角形.14.如图,Rt∆ABC 中,∠BAC = 90°,AB =AC ,分别过点B、C 作过点A 的直线的垂线BD、CE ,垂足分别为D、E ,若BD = 4,CE=2,则DE= (_________)15.如图,∠ACB =90°,AC =BC ,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,垂足分别为E ,D ,AD =25,DE =17,则BE =______.三、解答题16.如图,点E ,F 在CD 上,AD CB ,DE CF =,A B ∠=∠,试判断AF 与BE 有怎样的数量和位置关系,并说明理由.17.已知:如图,AB=AC ,PB=PC ,PD ⊥AB ,PE ⊥AC ,垂足分别为D 、E .证明:(1)PD=PE .(2)AD=AE .18.已知:如图,AE ∥CF ,AB=CD ,点B 、E 、F 、D 在同一直线上,∠A=∠C .求证:(1)AB∥CD;(2)BF=DE.19.如图,点M.N在线段AC上,AM=CN,AB∥CD,AB=CD.请说明△ABN≌△CDM的理由;答案1.D 2.B3.A4.A5.D6.D7.D8.C9.B10.C11.BC =DC12.150°13.314.615.816.解:AF 与BE 平行且相等,因为AD CB ,所以C D ∠=∠.因为DE CF =,所以CE DF =.又因为A B ∠=∠,所以AFD BEC ∆≅∆.所以AF BE =,AFD BEC ∠=∠.所以AF BE .17.解:证明:(1)连接AP .在△ABP 和△ACP 中,AB=AC PB=PC AP=AP ⎧⎪⎨⎪⎩,∴△ABP ≌△ACP (SSS ).∴∠BAP=∠CAP ,又∵PD ⊥AB ,PE ⊥AC ,垂足分别为D 、E ,∴PD=PE (角平分线上点到角的两边距离相等).(2)在△APD 和△APE 中,∵90PAD PAE ADP AEP AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△APD ≌△APE (AAS ),∴AD=AE ;18.解:(1)∵AB ∥CD ,∴∠B=∠D .在△ABE 和△CDF 中,A CAB CD B D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABE ≌△CDF (ASA ),∴∠B=∠D ,∴AB ∥CD ;(2)∵△ABE ≌△CDF ,∴BE=DF .∴BE+EF=DF+EF ,∴BF=DE .19.∵AM=CN∴AM+MN=CN+MN即AN=CM∵AB ∥CD∴∠A=∠C在△ABN 和△CDM 中=AN CMA C AB CD=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ABN ≌△CDM (SAS )人教版八年级上册12.2全等三角形判定同步练习(包含答案)11 / 11。

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》课后练习及答案解析

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》课后练习及答案解析

人教版八年级数学上册《第十二章全等三角形》课后练习及答案解析一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列说法正确的是( )A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示,a,b,c 分别表示△ABC 的三边长,则下面与△ABC 一定全等的三角形是( )3.如图所示,已知△ABE ≌△ACD ,∠1=∠2,∠B=∠C , 下列不正确的等式是( ) B.∠BAE=∠CADA.AB=AC C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是( )A .BC=B /C / B .∠A=∠A / C .AC=A /C /D .∠C=∠C / 5.如图所示,点B 、C 、E 在同一条直线上,△ABC 与△CDE都是等边三角形,则下列结论不一定成立的是( )A.△ACE ≌△BCDB.△BGC ≌△AFCC.△DCG ≌△ECFD.△ADB ≌△CEA6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两点C,D ,使CD=BC ,再作出BF 的垂线DE ,使A,C,E 在一条直线上(如图所示),可以说明△EDC ≌△ABC ,得ED=AB ,因此测得ED 的长就是AB 的长,判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是( ) 第3题图第5题图 第2题图第6题图AB C DA.边角边B.角边角C.边边边D.边边角7.已知:如图所示,AC=CD ,∠B=∠E=90°,AC ⊥CD ,则不正确的结论是( )A .∠A 与∠D 互为余角B .∠A=∠2C .△ABC ≌△CED D .∠1=∠28. 在△ABC 和△FED 中,已知∠C=∠D ,∠B=∠E ,要判定这两个三角形全等,还需要条件( ) A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D.∠A=∠F 9.如图所示,在△ABC 中,AB=AC ,∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ,CE 相交于O 点,且BD 交AC 于点D ,CE 交AB 于 点E .某同学分析图形后得出以下结论:①△BCD ≌△CBE ; ②△BAD ≌△BCD ;③△BDA ≌△CEA ;④△BOE ≌△COD ;⑤△ACE ≌△BCE ,上述结论一定正确的是( ) A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④10、下列命题中:⑴形状相同的两个三角形是全等形;⑵在两个三角形中,相等的角是对应角,相等的边是对应边;⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等,其中真命题的个数有( ) A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个二、填空题(每题3分,共21分)11.如图6,AC=AD,BC=BD,则△ABC≌ ;应用的判定方法是 .12.如图7,△ABD≌△BAC,若AD=BC,则∠BAD的对应角为 .13.已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3cm ,则点D到AC的距离为 .B C DA 图6 D O CBA 图8 A D CB图7 第9题图 第7题图14.如图8,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠AOD= ,根据 可得△AOD≌△COB,从而可以得到AD= .15.如图9,∠A=∠D=90°,AC=DB,欲使OB=OC,可以先利用“HL”说明 ≌ 得到AB=DC,再利用“ ”证明△AOB≌ 得到OB=OC. 16.如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是 .17.如图10,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带________去配,这样做的数学依据是是 . 三、解答题(共29分)18. (6分)如右图,已知△ABC 中,AB =AC ,AD 平分∠BAC ,请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由.解: ∵AD 平分∠BAC∴∠________=∠_________(角平分线的定义)在△ABD 和△ACD 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴△ABD ≌△ACD ( ) 19. (8分)如图,已知△≌△是对应角.(1)写出相等的线段与相等的角;(2)若EF=2.1 cm ,FH=1.1 cm ,HM=3.3 cm ,求MN和HG 的长度.第19题图图10 DCBA20.(7分)如图,A、B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B点出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过D作DE∥AB,使E、C、A在同一直线上,则DE的长就是A、B之间的距离,请你说明道理.21.(8分)已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:△ABC≌△DEF.四、解答题(共20分)22.(10分)已知:BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,求证:①△BEC≌△DAE;②DF⊥BC.B C EF A23.(10分)如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.12章·全等三角形(详细答案)一、选择题 CBDCD BDCDC二、填空题 11、△ABD SSS 12、∠ABC 13、3cm 14、∠COB SAS CB 15、△ABC △DCB AAS △DOC 16、相等 17、○3 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等三、解答题18、AD CAD AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD SAS19、B 解:(1)EF=MN EG=HN FG=MH ∠F=∠M ∠E=∠N ∠EGF=∠MHN (2)∵△EFG ≌△NMH ∴MN=EF=2.1cm∴GF=HM=3.3cm ∵FH=1.1cm ∴HG=GF -FH=3.3-1.1=2.2cm 20、解:∵DE ∥AB ∴∠A=∠E在△ABC 与△CDE 中∠A=∠E BC=CD∠ACB=∠ECD∴△ABC ≌△CDE(ASA)∴AB=DE21、证明:∵AB ∥DE∴∠A=∠EDF∵BC ∥EFCA∴∠ACB=∠F∵AD=CF∴AC=DF在△ABC与△DEF中∠A=∠EDFAC=DF∠ACB=∠F△ABC≌△DEF(ASA)四、解答题22、证明:①∵BE⊥CD∴∠BEC=∠DEA=90°在Rt△BEC与Rt△DEA中BC=DABE=DE∴Rt△BEC≌Rt△DEA(HL)②∵Rt△BEC≌Rt△DEA∴∠C=∠DAE∵∠DEA=90°∴∠D+∠DAE=90°∴∠D+∠C=90°∴∠DFC=90°∴DF⊥BC23、证明:在△ABC与△ADC中1=∠2AC=AC3=∠4∴△ABC≌△ADC(ASA)∴CB=CD在△ECD与△ECB中CB=CD∠3=∠4CE=CE∴△ECD≌△ECB(SAS)∴∠5=∠6第十二章全等三角形一、填空题(每小题4分,共32分).1.已知:///ABC A B C ∆∆≌,/A A ∠=∠,/B B ∠=∠,70C ∠=︒,15AB cm =,则/C ∠=_________,//A B =__________.2.如图1,在ABC ∆中,AB=AC ,AD ⊥BC 于D 点,E 、F 分别为DB 、DC 的中点,则图中共有全等三角形_______对.图1 图2 图33. 已知△ABC ≌△A ′B ′C ′,若△ABC 的面积为10 cm 2,则△A ′B ′C ′的面积为______ cm 2,若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ,则△ABC 的周长为________c m . 4. 如图2所示,∠1=∠2,要使△ABD ≌△ACD ,需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可).5.如图3所示,点F 、C 在线段BE 上,且∠1=∠2,BC =EF ,若要使△ABC ≌△DEF ,则还需补充一个条件________,依据是________________.6.三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点,且该点在三角形______部. 7.如图4,两平面镜α、β的夹角 θ,入射光线AO 平行于β,入射到α上,经两 次反射后的出射光线CB 平行于α,则角θ等于________.8.如图5,直线AE ∥BD ,点C 在BD 上,若AE =4,BD =8,△ABD 的面积为16,则ACE △ 的面积为______.二、选择题(每小题4分,共24分) 9.如图6,AE =AF ,AB =AC ,E C 与B F 交于点O ,∠A =600,∠B =250,则∠E OB 的度数为( )A 、600B 、700C 、750D 、85010.△ABC ≌△DEF ,且△ABC 的周长为100 cm ,A 、B 分别与D 、E 对应,且AB =35 cm ,DF =30 cm ,则EF 的长为( ) A .35 cm B .30 cm C .45 cm D .55 cm11.图7是一个由四根木条钉成的框架,拉动其中两根木条后,它的形状将会改变,若固定其形状,下列有四种加固木条的方法,不能固定形状的是钉在________两点上的木条.( )A .A 、FB .C 、E C .C 、AD .E 、F12.要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ,使CD= BC ,再定出BF 的垂线DE ,使A 、C 、E 在一条直线上,可以证明△EDC ≌△ABC , 得到ED=AB ,因此测得ED 的长就是AB 的长(如图8),判定△EDC ≌△ABC 的理由是( )NAMC B图7 图8 图9 图10A.边角边公理 B.角边角公理; C.边边边公理 D.斜边直角边公理13.如图9,在△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:5:10,又△MNC≌△ABC,则∠BCM:∠BCN等于()A.1:2 B.1:3C.2:3 D.1:414.如图10,P是∠AOB平分线上一点,CD⊥OP于F,并分别交OA、OB于CD,则CD_____P点到∠AOB两边距离之和.( )A.小于B.大于C.等于D.不能确定三、解答题(共46分)中,∠ACB=90°,延长BC至B',使15.已知如图11,ABCC B'=BC,连结A B'.求证:△AB B'是等腰三角形.图11第十二章全等三角形。

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)一.全等三角形的判定与性质1.(2022•淄博)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E.若BD=10,CD=4,则BE的长为()A.6B.7C.8D.9【答案】B【解答】解:如图,连接AI,BI,CI,DI,过点I作IT⊥AC于点T.∵I是△ABD的内心,∴∠BAI=∠CAI,∵AB=AC,AI=AI,∴△BAI≌△CAI(SAS),∴IB=IC,∵∠ITD=∠IED=90°,∠IDT=∠IDE,DI=DI,∴△IDT≌△IDE(AAS),∴DE=DT,IT=IE,∵∠BEI=∠CTI=90°,∴Rt△BEI≌Rt△CTI(HL),∴BE=CT,设BE=CT=x,∵DE=DT,∴10﹣x=x﹣4,∴x=7,∴BE=7.故选:B.2.(2022•湘西州)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,M为BC的中点,H为AB上一点,过点C作CG∥AB,交HM的延长线于点G,若AC=8,AB=6,则四边形ACGH周长的最小值是()A.24B.22C.20D.18【答案】B【解答】解:∵CG∥AB,∴∠B=∠MCG,∵M是BC的中点,∴BM=CM,在△BMH和△CMG中,,∴△BMH≌△CMG(ASA),∴HM=GM,BH=CG,∵AB=6,AC=8,∴四边形ACGH的周长=AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH,∴当GH最小时,即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值,∵∠A=90°,MH⊥AB,∴GH∥AC,∴四边形ACGH为矩形,∴GH=8,∴四边形ACGH的周长最小值为14+8=22,故选:B.3.(2022•南充)如图,正方形ABCD边长为1,点E在边AB上(不与A,B重合),将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A1处,连接A1B,将A1B绕点B 顺时针旋转90°得到A2B,连接A1A,A1C,A2C.给出下列四个结论:①△ABA1≌△CBA2;②∠ADE+∠A1CB=45°;③点P是直线DE上动点,则CP+A1P的最小值为;④当∠ADE=30°时,△A1BE的面积为.其中正确的结论是.(填写序号)【答案】①②③【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴BA=BC,∠ABC=90°,∵∠A1BA2=∠ABC=90∴∠ABA1=∠CBA2,∵BA1=BA2,∴△ABA1≌△CBA2(SAS),故①正确,过点D作DT⊥CA1于点T,∵CD=DA1,∴∠CDT=∠A1DT,∵∠ADE=∠A1DE,∠ADC=90°,∴∠ADE+∠CDT=45°,∵∠CDT+∠DCT=90°,∠DCT+∠BCA1=90°,∴∠CDT=∠BCA1,∴∠ADE+∠BCA1=45°,故②正确.连接P A,AC.∵A,A1关于DE对称,∴P A=P A1,∴P A1+PC=P A+PC≥AC=,∴P A1+PC的最小值为,故③正确,过点A1作A1H⊥AB于点H,∵∠ADE=30°,∴AE=A1E=AD•tan30°=,∴EB=AB﹣AE=1﹣,∵∠A1EB=60°,∴A1H=A1E•sin60°=×=,∴=×(1﹣)×=,故④错误.故答案为:①②③.4.(2022•朝阳)等边三角形ABC中,D是边BC上的一点,BD=2CD,以AD 为边作等边三角形ADE,连接CE.若CE=2,则等边三角形ABC的边长为.【答案】3或.【解答】解:如图,E点在AD的右边,∵△ADE与△ABC都是等边三角形,∴AC=AB,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°,∴∠DAE﹣∠CAD=∠BAC﹣∠CAD,即∠CAE=∠BAD.在△CAE和△BAD中,,∴△CAE≌△BAD(SAS),∴CE=BD=2,∵BD=2CD,∴CD=1,∴BC=BD+CD=2+1=3,∴等边三角形ABC3,如图,E点在AD的左边,同上,△BAE≌△CAD(SAS),∴BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°,∴∠EBD=120°,过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F,则∠EBF=60°,∴EF=BE=CD,BF=BE=CD,∴CF=BF+BD+CD=CD,在Rt△EFC中,CE=2,∴EF2+CF2=CE2=4,∴+=4,∴CD=或CD=﹣(舍去),∴BC=,∴等边三角形ABC的边长为,故答案为:3或.5.(2022•日照)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,4),P 是x轴上一动点,把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF,连接OF,则线段OF长的最小值是.【答案】2【解答】解:方法一:∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF,∴∠APF=60°,PF=P A,∴△APF是等边三角形,∴AP=AF,如图,当点F1在x轴上时,△P1AF1为等边三角形,则P1A=P1F1=AF1,∠AP1F1=60°,∵AO⊥P1F1,∴P1O=F1O,∠AOP1=90°,∴∠P1AO=30°,且AO=4,由勾股定理得:P1O=F1O=,∴P1A=P1F1=AF1=,∴点F1的坐标为(,0),如图,当点F2在y轴上时,∵△P2AF2为等边三角形,AO⊥P2O,∴AO=F2O=4,∴点F2的坐标为(0,﹣4),∵tan∠OF1F2===,∴∠OF1F2=60°,∴点F运动所形成的图象是一条直线,∴当OF⊥F1F2时,线段OF最短,设直线F1F2的解析式为y=kx+b,则,解得,∴直线F1F2的解析式为y=x﹣4,∵AO=F2O=4,AO⊥P1F1,∴F1F2=AF1=,在Rt△OF1F2中,设点O到F1F2的距离为h,则×OF1×OF2=×F1F2×h,∴××4=××h,解得h=2,即线段OF的最小值为2;方法二:如图,在第二象限作等边三角形AOB,连接BP、AF,过点B作BP′⊥x轴于点P′,∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF,∴∠APF=60°,PF=P A,∴△APF是等边三角形,∴AP=AF,∠P AF=60°,∵△AOB是等边三角形,∴AB=AO=OB=4,∠BAO=60°,∴∠BAP=60°+∠OAP=∠OAF,在△BAP和△OAF中,,∴△BAP≌△OAF(SAS),∴BP=OF,∵P是x轴上一动点,∴当BP⊥x轴时,BP最小,即点P与点P′重合时BP=BP′最小,∵∠BOP′=30°,∠BP′O=90°,∴BP′=OB=×4=2,∴OF的最小值为2,故答案为2.二.勾股定理6.(2022•内江)勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3=.【答案】48【解答】解:设八个全等的直角三角形的长直角边为a,短直角边是b,则:S1=(a+b)2,S2=42=16,S3=(a﹣b)2,且:a2+b2=EF2=16,∴S1+S2+S3=(a+b)2+16+(a﹣b)2=2(a2+b2)+16=2×16+16=48.故答案为:48.7.(2022•常州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12.在Rt △DEF中,∠F=90°,DF=3,EF=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,Rt△DEF从起始位置(点D与点B重合)平移至终止位置(点E与点A 重合),且斜边DE始终在线段AB上,则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是.【答案】21【解答】解:如图,连接CF交AB于点M,连接CF′交AB于点N,过点F 作FG⊥AB于点H,过点F′作F′H⊥AB于点H,连接FF′,则四边形FGHF′是矩形,Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N.在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∴DE===5,在Rt△ABC中,AC=9,BC=12,∴AB===15,∵•DF•EF=•DE•GF,∴FG=,∴BG===,∴GE=BE﹣BG=,AH=GE=,∴F′H=FG=,∴FF′=GH=AB﹣BG﹣AH=15﹣5=10,∵BF∥AC,∴==,∴BM=AB=,同法可证AN=AB=,∴MN=15﹣﹣=,∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积=×(10+)×=21,故答案为:21.8.(2022•武汉)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接DF.过点C作AB的垂线CJ,垂足为J,分别交DF,LH于点I,K.若CI=5,CJ=4,则四边形AJKL的面积是.【答案】80【解答】解:过点D作DM⊥CI,交CI的延长线于点M,过点F作FN⊥CI 于点N,∵△ABC为直角三角形,四边形ACDE,BCFG为正方形,过点C作AB的垂线CJ,CJ=4,∴AC=CD,∠ACD=90°,∠AJC=∠CMD=90°,∠CAJ+∠ACJ=90°,BC=CF,∠BCF=90°,∠CNF=∠BJC=90°,∠FCN+∠CFN=90°,∴∠ACJ+∠DCM=90°,∠FCN+∠BCJ=90°,∴∠CAJ=∠DCM,∠BCJ=∠CFN,∴△ACJ≌△CDM(AAS),△BCJ≌△CFN(AAS),∴AJ=CM,DM=CJ=4,BJ=CN,NF=CJ=4,∴DM=NF,∴△DMI≌△FNI(AAS),∴DI=FI,MI=NI,∵∠DCF=90°,∴DI=FI=CI=5,在Rt△DMI中,由勾股定理可得:MI===3,∴NI=MI=3,∴AJ=CM=CI+MI=5+3=8,BJ=CN=CI﹣NI=5﹣3=2,∴AB=AJ+BJ=8+2=10,∵四边形ABHL为正方形,∴AL=AB=10,∵四边形AJKL为矩形,∴四边形AJKL的面积为:AL•AJ=10×8=80,故答案为:80.三.等腰直角三角形(共2小题)9.(2022•宜宾)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE =90°,点D是BC边上的动点(不与点B、C重合),DE与AC交于点F,连结CE.下列结论:①BD=CE;②∠DAC=∠CED;③若BD=2CD,则=;④在△ABC内存在唯一一点P,使得P A+PB+PC的值最小,若点D在AP的延长线上,且AP的长为2,则CE=2+.其中含所有正确结论的选项是()A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④【答案】B【解答】解:如图1中,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=EC,∠ADB=∠AEC,故①正确,∵∠ADB+∠ADC=180°,∴∠AEC+∠ADC=180°,∴∠DAE+∠DCE=180°,∴∠DAE=∠DCE=90°,取DE的中点O,连接OA,OA,OC,则OA=OD=OE=OC,∴A,D,C,E四点共圆,∴∠DAC=∠CED,故②正确,设CD=m,则BD=CE=2m.DE=m,OA=m,过点C作CJ⊥DF于点J,∵tan∠CDF===2,∴CJ=m,∵AO⊥DE,CJ⊥DE,∴AO∥CJ,∴===,故③正确.如图2中,将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM,连接PN,∴BP=BN,PC=NM,∠PBN=60°,∴△BPN是等边三角形,∴BP=PN,∴P A+PB+PC=AP+PN+MN,∴当点A,点P,点N,点M共线时,P A+PB+PC值最小,此时∠APB=∠APC =∠BPC=120°,PB=PC,AD⊥BC,∴∠BPD=∠CPD=60°,设PD=t,则BD=AD=t,∴2+t=t,∴t=+1,∴CE=BD=t=3+,故④错误.故选:B.10.(2022•绵阳)如图,四边形ABCD中,∠ADC=90°,AC⊥BC,∠ABC=45°,AC与BD交于点E,若AB=2,CD=2,则△ABE的面积为.【答案】【解答】解:过点D作DF⊥AC于点F,∵AC⊥BC,∠ABC=45°,∴AC=BC=AB=2,∵∠ADC=90°,CD=2,∴AD=,∵,∴DF=,∴AF=,∴CF=,∵DF∥BC,∴△DEF∽△BEC,∴,即,∴EF=,∴AE=,∴.故答案为:.11.(2022•安徽)已知点O是边长为6的等边△ABC的中心,点P在△ABC外,△ABC,△P AB,△PBC,△PCA的面积分别记为S0,S1,S2,S3.若S1+S2+S3=2S0,则线段OP长的最小值是()A.B.C.3D.【答案】B【解答】解:如图,不妨假设点P在AB的左侧,∵S△P AB +S△ABC=S△PBC+S△P AC,∴S1+S0=S2+S3,∵S1+S2+S3=2S0,∴S1+S1+S0=2,∴S1=S0,∵△ABC是等边三角形,边长为6,∴S0=×62=9,∴S1=,过点P作AB的平行线PM,连接CO延长CO交AB于点R,交PM于点T.∵△P AB的面积是定值,∴点P的运动轨迹是直线PM,∵O是△ABC的中心,∴CT⊥AB,CT⊥PM,∴•AB•RT=,CR=3,OR=,∴RT=,∴OT=OR+TR=,∵OP≥OT,∴OP的最小值为,当点P在②区域时,同法可得OP的最小值为,如图,当点P在①③⑤区域时,OP的最小值为,当点P在②④⑥区域时,最小值为,∵<,故选:B.12.(2022•温州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以其三边为边向外作正方形,连结CF,作GM⊥CF于点M,BJ⊥GM于点J,AK⊥BJ于点K,交CF于点L.若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,CE=+,则CH的长为()A.B.C.2D.【答案】C【解答】解:设CF交AB于点P,过C作CN⊥AB于点N,如图:设正方形JKLM边长为m,∴正方形JKLM面积为m2,∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,∴正方形ABGF的面积为5m2,∴AF=AB=m,由已知可得:∠AFL=90°﹣∠MFG=∠MGF,∠ALF=90°=∠FMG,AF =GF,∴△AFL≌△FGM(AAS),∴AL=FM,设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m,在Rt△AFL中,AL2+FL2=2,∴x2+(x+m)2=(m)2,解得x=m或x=﹣2m(舍去),∴AL=FM=m,FL=2m,∵tan∠AFL====,∴=,∴AP=,∴FP===m,BP=AB﹣AP=m﹣=,∴AP=BP,即P为AB中点,∵∠ACB=90°,∴CP=AP=BP=,∵∠CPN=∠APF,∠CNP=90°=∠F AP,∴△CPN∽△FP A,∴==,即==,∴CN=m,PN=m,∴AN=AP+PN=m,∴tan∠BAC====,∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形,∴△AEC∽△BCH,∴=,∵CE=+,∴=,∴CH=2,故选:C.13.(2022•湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.如图,在6×6的正方形网格图形ABCD中,M,N分别是AB,BC上的格点,BM=4,BN=2.若点P是这个网格图形中的格点,连结PM,PN,则所有满足∠MPN=45°的△PMN中,边PM的长的最大值是()A.4B.6C.2D.3【答案】C【解答】解:如图所示:∵BM=NC=4,BN=CP=2,且∠B=∠C=90°,∴△BMN≌△CNP(SAS),∴MN=NP,∠BMN=∠CNP,∵∠BMN+∠BNM=90°,∴∠BNM+∠CNP=90°,∴∠MNP=90°,∴△NMP为等腰直角三角形,根据题意得到点P的轨迹为圆弧,当MP为直径时最长,在Rt△BMN和Rt△NCP中,根据勾股定理得:MN=NP==2,则PM==2.故选:C.14.(2022•苏州)如图,点A的坐标为(0,2),点B是x轴正半轴上的一点,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为(m,3),则m的值为()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:过C作CD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E,如图:∵CD⊥x轴,CE⊥y=90°,∴四边形EODC是矩形,∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC,∴AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∵A(0,2),C(m,3),∴CE=m=OD,CD=3,OA=2,∴AE=OE﹣OA=CD﹣OA=1,∴AC===BC=AB,在Rt△BCD中,BD===,在Rt△AOB中,OB===,∵OB+BD=OD=m,∴+=m,化简变形得:3m4﹣22m2﹣25=0,解得m=或m=﹣(舍去),∴m=,故选:C.三.等腰直角三角形(共1小题)15.(2022•成都)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB的长为.【答案】7【解答】解:设MN交BC于D,连接EC,如图:由作图可知:MN是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE=4,∴∠ECB=∠B=45°,∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°,在Rt△ACE中,AE===3,∴AB=AE+BE=3+4=7,故答案为:7.四.等边三角形的性质(共2小题)16.(2022•张家界)如图,点O是等边三角形ABC内一点,OA=2,OB=1,OC=,则△AOB与△BOC的面积之和为()A.B.C.D.【答案】C【解答】解:将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB,连接OD,∴OB=BD,∠OBD=60°,CD=OA=2,∴△BOD是等边三角形,∴OD=OB=1,∵OD2+OC2=12+()2=4,CD2=22=4,∴OD2+OC2=CD2,∴∠DOC=90°,∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD=S△BOD+S△COD=×12+=,故选:C.17.(2022•鄂州)如图,在边长为6的等边△ABC中,D、E分别为边BC、AC 上的点,AD与BE相交于点P,若BD=CE=2,则△ABP的周长为.【答案】【解答】解:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°,在△ABD和△BCE中,∴△ABD≌△BCE(SAS)∴∠BAD=∠CBE,∴∠APE=∠ABP+∠BAD=∠ABP+∠CBE=∠ABD=60°,∴∠APB=120°,在CB上取一点F使CF=CE=2,则BF=BC﹣CF=4,∴∠C=60°,∴△CEF是等边三角形,∴∠BFE=120°,即∠APB=∠BFE,∴△APB∽△BFE,∴==2,设BP=x,则AP=2x,作BH⊥AD延长线于H,∵∠BPD=∠APE=60°,∴∠PBH=30°,∴PH=,BH=,∴AH=AP+PH=2x+=x,在Rt△ABH中,AH2+BH2=AB2,即(x)2+(x)2=62,解得x=或﹣(舍去),∴AP=,BP=,∴△ABP的周长为AB+AP+BP=6++=6+=,故答案为:.五.含30度角的直角三角形(共1小题)18.(2022•十堰)【阅读材料】如图①,四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D =180°,点E,F分别在BC,CD上,若∠BAD=2∠EAF,则EF=BE+DF.【解决问题】如图②,在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形ABCD.已知CD=CB=100m,∠D=60°,∠ABC=120°,∠BCD=150°,道路AD,AB上分别有景点M,N,且DM=100m,BN=50(﹣1)m,若在M,N之间修一条直路,则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m (结果取整数,参考数据:≈1.7).【答案】370【解答】解:解法一:如图,延长DC,AB交于点G,过点N作NH⊥AD于H,∵∠D=60°,∠ABC=120°,∠BCD=150°,∴∠A=360°﹣60°﹣120°﹣150°=30°,∴∠G=90°,∴AD=2DG,Rt△CGB中,∠BCG=180°﹣150°=30°,∴BG=BC=50,CG=50,∴DG=CD+CG=100+50,∴AD=2DG=200+100,AG=DG=150+100,∵DM=100,∴AM=AD﹣DM=200+100﹣100=100+100,∵BG=50,BN=50(﹣1),∴AN=AG﹣BG﹣BN=150+100﹣50﹣50(﹣1)=150+50,Rt△ANH中,∵∠A=30°,∴NH=AN=75+25,AH=NH=75+75,由勾股定理得:MN===50(+1),∴AM+AN﹣MN=100+100+150+50﹣50(+1)=200+100≈370(m).答:路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m.解法二:如图,延长DC,AB交于点G,连接CN,CM,则∠G=90°,∵CD=DM,∠D=60°,∴△DCM是等边三角形,∴∠DCM=60°,由解法一可知:CG=50,GN=BG+BN=50+50(﹣1)=50,∴△CGN是等腰直角三角形,∴∠GCN=45°,∴∠BCN=45°﹣30°=15°,∴∠MCN=150°﹣60°﹣15°=75°=∠BCD,由【阅读材料】的结论得:MN=DM+BN=100+50(﹣1)=50+50,∵AM+AN﹣MN=100+100+150+50﹣50(+1)=200+100≈370(m).答:路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m.故答案为:370.六.等腰直角三角形(共2小题)19.(2022•长沙)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于P、Q两点;②作直线PQ交AB于点D;③以点D为圆心,AD长为半径画弧交PQ于点M,连接AM、BM.若AB=2,则AM的长为()A.4B.2C.D.【答案】B【解答】解:由作图可知,PQ是AB的垂直平分线,∴AM=BM,∵以点D为圆心,AD长为半径画弧交PQ于点M,∴DA=DM=DB,∴∠DAM=∠DMA,∠DBM=∠DMB,∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB=180°,∴2∠DMA+2∠DMB=180°,∴∠DMA+∠DMB=90°,即∠AMB=90°,∴△AMB是等腰直角三角形,∴AM=AB=×2=2,故选:B.20.(2022•河南)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D 为AB的中点,点P在AC上,且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转,点P 的对应点为点Q,连接AQ,DQ.当∠ADQ=90°时,AQ的长为.【答案】或【解答】解:如图:∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴AB=AC=4,∵点D为AB的中点,∴CD=AD=AB=2,∠ADC=90°,∵∠ADQ=90°,∴点C、D、Q在同一条直线上,由旋转得:CQ=CP=CQ′=1,分两种情况:当点Q在CD上,在Rt△ADQ中,DQ=CD﹣CQ=1,∴AQ===,当点Q在DC的延长线上,在Rt△ADQ′中,DQ′=CD+CQ′=3,∴AQ′===,综上所述:当∠ADQ=90°时,AQ的长为或,故答案为:或.30。

全等三角形经典题型50题[含答案]

全等三角形经典题型50题[含答案]

全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS )∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB=∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。

全等三角形的判定(SSS与SAS)(精选精练)(专项练习)(教师版)24-2025学年八年级数学上册

全等三角形的判定(SSS与SAS)(精选精练)(专项练习)(教师版)24-2025学年八年级数学上册

专题12.4全等三角形的判定(SSS 与SAS)(精选精练)(专项练习)一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.(23-24八年级上·河南信阳·期末)如图,AB AC =,BD CD =,35BAD ∠=︒,120ADB ∠=︒,则C ∠的度数为()A .25︒B .30︒C .35︒D .55︒2.(23-24八年级上·广西百色·期末)如图,O 为AC 的中点,若要利用“SAS ”来判定△≌△AOB COD ,则应补充的一个条件是()A .A C ∠=∠B .AB CD =C .B C ∠=∠D .OB OD=3.(22-23九年级上·重庆大渡口·期末)如图,在正方形ABCD 中,点E F ,分别在边CD BC ,上,且DE CF =,连接AE DF ,,DG 平分ADF ∠交AB 于点G .若70AED ∠=︒,则AGD ∠的度数为()A .50︒B .55︒C .60︒D .65︒4.(2024·陕西咸阳·三模)如图,在ABC 中,D 为边BC 的中点,1AB =,2AD =,延长AD 至点E ,使得DE AD =,则AC 长度可以是()A .4B .5C .6D .75.(17-18八年级上·辽宁营口·阶段练习)如图,AD 是ABC 的中线,E ,F 分别是AD 和AD 延长线上的点,且DE DF =,连接BF CE ,.则下列说法:①CE BF =;②ABD △和ACD 面积相等;③BF CE ∥;④BDF CDE △△≌.其中正确的有()A .4个B .3个C .2个D .1个6.(23-24八年级上·安徽安庆·期末)如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则1∠与2∠的和为()A .80︒B .90︒C .100︒D .110︒7.(23-24八年级上·湖北孝感·期中)如图,已知48AOB ∠=︒,点C 为射线OB 上一点,用尺规按如下步骤作图:①以点O 为圆心,以任意长为半径作弧,交OA 于点D ,交OB 于点E ;②以点C 为圆心,以OD 长为半径作弧,交OC 于点F ;③以点F 为圆心,以DE 长为半径作弧,交前面的弧于点G ;④连接CG 并延长交OA 于点H .则AHC ∠的度数为()A .24︒B .42︒C .48︒D .96︒8.(23-24八年级上·山东德州·阶段练习)如图,平面上有ACD 与BCE ,其中AD 与BE 相交于P 点,如图,若AC BC AD BECD CE ===,,,55ACE ∠=︒,155BCD ∠=︒,则BPD ∠的度数为()A .110︒B .125︒C .130︒D .155︒9.(23-24七年级下·山西太原·阶段练习)如图1,两个大小不同的三角板叠放在一起,图2是由它得到的抽象几何图形,已知AB AC =,AE AD =,90CAB DAE ∠=∠=︒,且点B ,C ,E 在同一条直线上,10cm BC =,4cm CE =,连接DC .现有一只壁虎以2cm/s 的速度沿B C D --的路线爬行,则壁虎爬到点D 所用的时间为()A .10sB .11sC .12sD .13s10.(21-22八年级上·云南昭通·期末)如图,AD 是ABC 的中线,E ,F 分别是AD 和AD 延长线上的点,且CE BF ,连接BF CE ,,下列说法:①DE DF =;②ABD 和ACD 面积相等;③CE BF =;④BDF CDE ≌;⑤CEF F ∠∠=.其中正确的有()A .1个B .5个C .3个D .4个二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.(23-24八年级上·江苏南京·期末)如图,已知12∠=∠,要用“SAS ”判定ABD ACD △≌△,则需要补充的一个条件为.12.(23-24八年级上·河北保定·期末)如图,在ABC 与ADE V 中,E 在BC 边上,AD AB =,AE AC =,DE BC =,若125∠=︒,则DAB ∠=.13.(23-24八年级上·吉林松原·期中)如图,为了测量A 、B 两点之间的距离,在地面上找到一点C ,使90ACB ∠=︒,然后在BC 的延长线上确定点D ,使BC CD =,那么只要测量出AD 的长度就得到A 、B 两点之间的距离,其中ABC ADC △△≌的依据是.14.(23-24八年级上·重庆江津·期中)如图,BE BA =,DE AB ∥,DE BC =,若3825BAC E ∠=︒∠=︒,,则BDE ∠=.15.(23-24八年级上·江苏泰州·期中)如图,在ABC 中,点D 、E 分别在AC 、BC 上,AD DE =,AB BE =,80A ∠=︒,则DEC ∠=︒.16.(23-24八年级上·河南洛阳·期中)如图,在长方形ABCD 中,20cm AB =,点E 在边AD 上,且12cm AE =.动点P 在边AB 上,从点A 出发以4cm/s 的速度向点B 运动,同时,点Q 在边BC 上,以cm/s v 的速度由点B 向点C 运动,若在运动过程中存在EAP 与PBQ 全等的时刻,则v 的值为.17.(23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习)已知,如图,在ABC 中,点D 是AB 上一点,CD 平分ACB ∠,2A ADC ∠=∠,6BD =,4AC =,则BC 的长为.18.(23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习)如图,AC 平分DCB ∠,CB CD =,DA 的延长线交BC 于点E ,若BAE x ∠=︒,则EAC ∠的度数为.(用含x 的代数式表示).三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(8分)(23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习)如图,在ABF △和DCE △中,,,AB DC AF DE BE CF ===,且点,,,B E F C 在同一条直线上.求证:B C ∠=∠.20.(8分)(23-24八年级上·江苏泰州·期中)如图,点B F C E 、、、在一条直线上,AB DE =,,,AC DF BF CE AD ==交BE 于点O .(1)求证:B E ∠=∠;(2)求证:,AD BE 互相平分.21.(10分)(23-24八年级上·天津宁河·期中)如图,已知AD AB AC AE DAB CAE ==∠=∠,,,连接DC BE ,.(1)求证:BAE DAC ≌;(2)若13520CAD D ∠=︒∠=︒,,求E ∠的度数.22.(10分)(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)如图,在ABC 中,D 为AB 上一点,E 为AC 中点,连接DE 并延长至点F 使得EF ED =,连CF .(1)求证:CF AB ∥;(2)若50ABC ∠=︒,连接BE ,CA 平分BCF ∠,求A ∠的度数.23.(10分)(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)已知等腰三角形ABC ,AB AC =,D 为射线BC 上一动点,连接AD ,以AD 为边在直线AD 的右侧作等腰三角形ADE ,DAE BAC ∠=∠,AD AE =,连接CE .(1)如图1,当点D 在边BC 上时,请探究BC ,CD ,CE 之间的数量关系.(2)如图2,当点D 在BC 的延长线上时,(1)中BC ,CD ,CE 之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请你写出新的结论,并说明理由.24.(12分)(23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图,在ABC 中,AD 是BC 边上的中线,分别以AB ,AC 为直角边作直角ABE 和ACF △,其中AB AE =,90BAE ∠=︒,AC AF =,90CAF =︒∠,连接EF ,延长AD 至点G ,使DG AD =,连接BG .【初步探索】(1)试说明:AC BG ∥;【衍生拓展】(2)探究EF 和AD 之间的数量关系,并说明理由.参考答案:1.A【分析】本题主要考查了全等三角形的性质,正确判断对应角,对应边是解决本题的关键.在ABD △中,根据三角形内角和定理求得B ∠,根据全等三角形的对应角相等即可解决.【详解】解:在ABD △中,18025B BAD ADB ∠=︒-∠-∠=︒,∵AB AC =,BD CD =,AD AD =,∴()SSS ABD ACD ≌,∴25C B ∠=∠=︒.故选:A .2.D【分析】本题主要考查了添加一个条件,使得用“SAS ”来判定△≌△AOB COD ,根据已知条件得出OA OC =,AOB COD ∠=∠,故只需要OB OD =即可使用SAS 证明△≌△AOB COD .【详解】解:∵O 为AC 的中点,∴OA OC =,∵AOB COD ∠=∠,∴当添加OB OD =时,()SAS AOB COD ≌△△.故选:D .3.B【分析】可以先证明ADE DCF ≌,则70ADF ∠=︒,利用角平分线可得35ADG ∠=︒,再利用直角三角形的两锐角互余解题即可.【详解】解:∵正方形ABCD∴90AD DC ADC C DAG AD BC ∠∠∠====︒ ,,,在ADE 和DCF 中,AD DC ADE C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ADE DCF≌∴70AED DFC ADF ∠∠∠===︒∵DG 平分ADF∠∴1352ADG ADF ∠∠==︒∴9055ADG ADG ∠∠=︒-=︒故选B .【点睛】本题考查正方形的性质,全等三角形的性质和判定,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.4.A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形三边关系;证明ABD ECD ≌,得1CE AB ==,在AEC △中由三边不等关系确定AC 的取值范围,根据范围即可完成求解.【详解】解:D 为边BC 的中点,BD CD ∴=;在ABD △与BCD △中,BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,ABD ECD ∴ ≌,1CE AB ∴==;AE CE AC AE CE -<<+ ,4AE AD DE =+=,35AC ∴<<,故AC 可以为4,故选:A .5.D【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识点,熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键.根据三角形中线的定义可得BD CD =,然后利用“SAS ”证明BDF V 和CDE 全等,根据全等三角形对应边相等可得CE BF =,全等三角形对应角相等可得F CED ∠=∠,再根据内错角相等,两直线平行可得BF CE ∥,最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确.【详解】解:∵AD 是ABC 的中线,∴BD CD =,在BDF V 和CDE 中,BD CD BDF CDE DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS BDF CDE ≌ ,故④正确;∴CE BF F CED =∠=∠,,故①正确,∴BF CE ∥,故③正确;∵BD CD =,点A 到BD CD 、的距离相等,∴ABD △和ACD 面积相等,故②正确,综上所述,正确的是①②③④,共4个.故选:D .6.B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,互余.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.如图,证明()SAS ABC DFE ≌,则1BAC ∠=∠,由290BAC ∠+∠=︒,可得1290∠+∠=︒,然后作答即可.【详解】解:如图,∵BC ED =,90BCA DEF ∠=∠=︒,AC FE =,∴()SAS ABC DFE ≌,∴1BAC ∠=∠,∵290BAC ∠+∠=︒,∴1290∠+∠=︒,故选:B .7.D【分析】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角,三角形全等的判定和性质,三角形外角的性质,根据作图,由全等三角形的判定定理SSS 可以推知DOE GCF ≌,得到GCF DOE ∠=∠,即48ACO AOB ∠=∠=︒,再利用三角形外角性质求解即可.【详解】解:由作图可知,在DOE 与GCF 中,OD CG DE GF OE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,则()SSS DOE GCF ≌.∴GCF DOE ∠=∠,即48ACO AOB ∠=∠=︒,∴484896AHC AOB ACO ∠=∠+∠=︒+︒=︒.故选:D .8.C【分析】易证≌ACD BCE V V ,由全等三角形的性质可知:A B ∠=∠,再根据已知条件和四边形的内角和为360︒,即可求出BPD ∠的度数.【详解】解:在ACD 和BCE 中,AC BC CD CE AD BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴()SSS ACD BCE ≌,∴BCE ACD ∠=∠,∴BCA ECD ∠=∠,∵55ACE ∠=︒,155BCD ∠=︒,∴100BCA ECD ︒∠+∠=,∴50BCA ECD ︒∠=∠=,∵55ACE ∠=︒,∴105ACD ∠=︒∴75A D ︒∠+∠=,∴75B D ∠+∠=︒,∵155BCD ∠=︒,∴36075155130BPD ︒︒︒︒∠=--=,故选:C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理,解题的关键是利用整体的数学思想求出75B D ∠+∠=︒.9.C【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出ABE ACD ≌,属于手拉手型全等,所以()10414cm CD BE ==+=,最后根据时间=路程÷速度即可解答.本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.【详解】解:BAC EAD ∠=∠ ,BAC CAE EAD CAE ∴∠+∠=∠+∠,BAE CAD ∴∠=∠,在ABE 与ACD 中,AB AC BAE CAD AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,(SAS)ABE ACD ∴ ≌,10414(cm)CD BE BC CE ∴==+=+=,则()101424cm BC CD +=+= 壁虎以2cm/s 的速度B 处往D 处爬,24212()t s ∴=÷=.故选:C .10.B【分析】根据三角形中线的定义可得BD CD =,然后利用“边角边”证明BDF 和CDE 全等,根据全等三角形对应边相等可得CE BF =,全等三角形对应角相等可得F CED ∠∠=,再根据内错角相等,两直线平行可得BF CE ,最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确.【详解】解:∵AD 是ABC 的中线,∴BD CD =,在BDF 和CDE 中,BD CD BDF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS BDF CDE ≌,故④正确∴CE BF F CED ∠∠==,,故①正确,∵CEF CED ∠∠=,∴CEF F ∠∠=,故⑤正确,∴BF CE ,故③正确,∵BD CD =,点A 到BD CD 、的距离相等,∴ABD 和ACD 面积相等,故②正确,综上所述,正确的有5个,故选:B .【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键.11.BD CD=【分析】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握,根据用“SAS ”判定ABD ACD △≌△,已知12∠=∠及公共边AD ,添加的条件是BD CD =.【详解】解:添加的条件是BD CD =,理由是:在ABD △与ACD 中,11AD AD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS ABD ACD ≌,故答案为:BD CD =.12.25︒/25度【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理,证明()SSS ABC ADE ≌得到AED C ∠=∠,再根据三角形内角和定理和平角的定义可得2125∠=∠=︒.【详解】解:∵AD AB =,AE AC =,DE BC =,∴()SSS ABC ADE ≌,∴AED C ∠=∠,∵11802C AEC AEC AED ∠++=︒=++∠∠∠∠∠,∴2125∠=∠=︒,故答案为:25︒.13.SAS /边角边【分析】本题考查了全等三角形的判定,根据SAS 即可证明ACB ACD ≌ 是解题的关键.【详解】解:AC BD ^ ,90ACB ACD ∴∠=∠=︒,在ACB △和ACD 中,AC AC ACB ACD BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()SAS ACB ACD \≌ ,故答案为:SAS .14.117︒/117度【分析】本题考查了全等三角形的判定及其性质等知识,根据平行线的性质得出∠=∠ABC BED ,进而利用SAS 证明ABC 和EBD △全等,利用全等三角形的性质解答即可.【详解】解:∵DE AB ∥,ABC BED ∴∠=∠,在ABC 和EBD △中,BA BE ABC BED BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()SAS ABC EBD ∴ ≌,38BAC EBD ∴∠=∠=︒,1801803825117BDE EBD E ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,故答案为:117︒.15.100【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键.先证出EBD ABD △≌△,再根据全等三角形的性质可得80BED A ∠=∠=︒,由此即可得.【详解】解:在EBD △和ABD △中,ED AD BE BA BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()SSS EBD ABD ∴ ≌,80BED A ∴∠=∠=︒,180100DEC BED ∴∠=︒-∠=︒,故答案为:100.16.4或245【分析】本题主要考查三角形全等的判定.设运动s t ,则4 cm AP t =,()204cm BP AB AP t =-=-, cm BQ vt =,由于在长方形ABCD 中,90A B ∠=∠=︒,因此①当AE BP =,AP BQ =时,()SAS AEP BPQ ≌,②当AE BQ =,AP BP =时,()SAS AEP BQP ≌,代入即可求解v 的值.【详解】设运动s t ,则4 cm AP t =,()204cm BP AB AP t =-=-, cm BQ vt =,∵在长方形ABCD 中,90A B ∠=∠=︒,∴①当AE BP =,AP BQ =,即12204t =-,4t vt =时,()SAS AEP BPQ ≌,解得:2t =,4v =或当AE BQ =,AP BP =,即12vt =,4204t t =-时,()SAS AEP BQP ≌,解得:52t =,245v =.综上所述,v 的值为4或245.故答案为:4或24517.10【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是证明ACD ECD ≌△△,在BC 边上取点E ,使EC AC =,连接DE ,证明ACD ECD ≌△△,再根据已知条件证得6BD BE ==,即可得解.【详解】解:如图,在BC 边上取点E ,使EC AC =,连接DE ,∵CD 平分ACB ∠,∴ACD ECD ∠=∠,∵CD CD =,∴()SAS ACD ECD ≌,∴4AC CE ==,ADC EDC ∠=∠,∵22A ADC ADE ADC EDC ADC ∠=∠∠=∠+∠=∠,,∴A ADE DEC ∠=∠=∠,∴BDE BED ∠=∠,∴6BD BE ==,∴6410BC BE CE =+=+=.故答案为:10.18.1802x-【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,利用SAS 证明ABC ADC △△≌得D DCA B BCA ∠+∠=∠+∠,根据三角形的外角定理推出B BCA CAE ∠+∠=∠,进而根据三角形内角和定理即可求解,解题的关键是利用SAS 证明ABC ADC △△≌.【详解】解:∵AC 平分DCB ∠,∴BCA DCA ∠=∠,在ABC 和ADC △中,CB CD BCA DCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC ADC △△≌,∴B D ∠=∠,∴B BCA D DCA ∠+∠=∠+∠,∵EAC D DCA ∠=∠+∠,∴B BCA EAC ∠+∠=∠,∵180180B BCA BAC BAE EAC ∠+∠=︒-∠=︒-∠-∠,∴180CAE BAE EAC ∠=︒-∠-∠,∵BAE x ∠=︒,∴1802x EAC -⎛⎫∠=︒ ⎪⎝⎭,故答案为:1802x -.19.见解析【分析】由BE CF =可得BF CE =,然后利用SSS 证明ABF DCE ≌即可证明结论.【详解】解:∵BE CF =,∴BE EF EF FC +=+,即BF CE =,在ABF 和DCE 中AB CD AF DE BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴ABF DCE ≌,∴B C ∠=∠.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.20.(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键是:(1)利用SSS 证明ABC DEF ≌△△,然后根据全等三角形的性质即可得证;(2)利用AAS 证明ABO DEO △△≌,然后根据全等三角形的性质即可得证.【详解】(1)证明:∵BF CE =,∴BC EF =,在ABC 和DEF 中AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴()SSS ABC DEF ≌,∴B E ∠=∠;(2)证明:在ABO 和DEO 中B E AOB DOE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AAS ABO DEO ≌,∴AO DO =,=BO EO ,即AD ,BE 互相平分.21.(1)见解析(2)25E ∠=︒【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质;(1)根据题意由DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠,可得DAC BAE ∠=∠,即可求证;(2)由()SAS BAE DAC ≌,可得E C ∠=∠,再由内角和为180︒即可求解.【详解】(1)证明:∵DAB CAE ∠=∠,∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠,∴DAC BAE ∠=∠,又∵AD AB AC AE ==,,∴()SAS BAE DAC ≌;(2)∵()SAS BAE DAC ≌,∴E C ∠=∠,∵13520CAD D ∠=︒∠=︒,,∴1801801352025C CAD D ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,∴25E C ∠=∠=︒.22.(1)见详解(2)65︒【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.(1)求出AED CEF ≌,根据全等三角形的性质得出A ACF ∠=∠,根据平行线的判定得出即可;(2)根据(1)求出A ACB ∠=∠,根据三角形内角和定理求出即可.【详解】(1)证明:∵E 为AC 中点,AE CE ∴=,在AED △和CEF △中AE CE AED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()AED CEF SAS ∴ ≌,A ACF ∴∠=∠,∴CF AB ∥;(2)解:∵AC 平分BCF ∠,ACB ACF ∴∠=∠,A ACF ∠=∠ ,A ACB ∴∠=∠,180,50A ABC ACB ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒ ,18050652A ︒-︒∴∠==︒,65A ∴∠=︒.23.(1)CE CD BC+=(2)不成立.CE CD BC-=【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.(1)证明BAD CAE ∠=∠.再证明()SAS BAD CAE ≌△△,可得CE BD =,再进一步可得结论;(2)证明BAD CAE ∠=∠.再证明()SAS BAD CAE ≌△△,可得CE BD =,再进一步可得结论;【详解】(1)解:∵BAC DAE ∠=∠,∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠,即BAD CAE ∠=∠.在BAD 与CAE V 中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS BAD CAE ≌△△,∴CE BD =,∴CE CD BD CD BC +=+=.(2)不成立.CE CD BC -=.理由:∵BAC DAE ∠=∠,∴BAD CAE ∠=∠.在BAD 与CAE V 中,,,,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAD CAE ∴△≌△,∴CE BD =,∴CE CD BD CD BC -=-=.24.(1)见解析(2)2EF AD =,理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质,熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键.(1)根据AD 是边BC 的中线,得出BD CD =,利用SAS 证明GDB ADC ≌,得出DBG ACD Ð=Ð,根据“内错角相等,两直线平行”,即可证明AC BG ∥;(2)由(1)得AC BG ∥,GDB ADC ≌,得出180BAC ABG ∠+∠=︒,BG AC =,推出BG AF =,ABG EAF ∠=∠,利用SAS 证明ABG EAF ≌,得出AG EF =,根据DG AD =,AG DG AD =+,得出2AG AD =,即可证明2EF AD =.【详解】解:(1)∵AD 是边BC 的中线,∴BD CD =,在GDB △和ADC △中,DG AD GDB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS GDB ADC ≌,∴DBG ACD Ð=Ð,∴AC BG ∥;(2)2EF AD =,理由如下,∵由(1)得AC BG ∥,GDB ADC ≌,∴180BAC ABG ∠+∠=︒,BG AC =,∵AC AF =,∴BG AF =,∵3603609090180BAC EAF BAE CAF Ð+Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°,∴ABG EAF ∠=∠,在ABG 和EAF △中,AB AE ABG EAF BG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS ABG EAF ≌,∴AG EF =,∵DG AD =,AG DG AD =+,∴2AG AD =,∴2EF AD =.。

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)
八年级全等三角形简单证明题及解 答(5道)
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目 录
• 题目一:基本的全等三角形证明 • 题目二:利用角平分线性质证明 • 题目三:通过边边边条件证明 • 题目四:结合中线性质进行证明 • 题目五:综合应用多种性质证明 • 总结与拓展
01
题目一:基本的全等三角形证明
题目描述
• 已知三角形$ABC$和三角形$DEF$,其中$AB = DE$,$AC = DF$,$\angle BAC = \angle EDF$。求证:$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由第二步可知,△BDE∽△CFD。
详细解答
4. 第四步,根据相似三角形的性质,对应边成比例,所以BD/CF=DE/DF。
5. 第五步,因为BD=AD(已知),所以AD/CF=DE/DF。又因为AE/EC=DE/EF(已知), 所以AD/CF=AE/EC。
6. 第六步,交叉相乘得AD*EC=AE*CF,即AE/AD=EC/CF。又因为∠A=∠ACF(对顶角相 等),所以△ADE∽△ACF。
第三步,根据相似三 角形的性质,有 AB/AC = BD/DC。
综上,我们证明了 AB/AC = BD/DC。
03
题目三:通过边边边条件证明
题目描述
已知
△ABC和△DEF中,AB = DE,BC = EF,AC = DF。
求证
△ABC ≌ △DEF。
题目描述
【分析】
本题主要考察全等三角形的判定方法——边边边条件。根据已知条件,我们可以 直接应用边边边定理来证明两个三角形全等。
题目描述
01
【解答】
02
证明
03
04
∵ 在△ABC和△DEF中,AB = DE,BC = EF,AC = DF(已
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初中数学全等三角形判定及性质练习题一、单选题1 •如图,将厶ABC沿BC方向平移2cm得到ZXDEF,若厶ABC的周长为16cm,则四边形ABFD的周长为()A.16 CInB. 18 CmC. 20 CmD. 22 Cm2.如图,在RtZXABC中,ZC = 90o, AC = 12cm, BC = GCn一条线段PQ = AB, P,0两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,若AABC和AAPQ全等•则AP的值为()A. 6 CmB.12cmC.12cm 或6cmD.以上都不对3•如图,ΛACB=ΛA f CB∖ ZBCB' = 32。

,则ZACA'的度数为()A.30oB.32C.35oD.45o4.如图,AB,CD表示两根长度相等的铁条,若O为AB.CD的中点,经测≡AC = 15c m,则容器内径为()A. 12 cmB. 13 CmC. 14 CmD. 15 Cm5. 如图,ZACB = 90°, AC = BC, AD 丄 CE, BE 丄 CE ,垂足分别是点 D,E,AD = 3,BE = I,则 DE 的长是()6•在△ ABC 中,若AD 是ZXABC 的中线,AB = 39 AC = 5,则AD 的长度可以是(C.57. 在正方形网格中,OoB 的位宜如图所示,到ZAoB 两边距离相等的点是()A.M 点 B ・N 点 C.P 点 D.Q 点8. 如图,AB = AC, BE 丄AC 于点E 、CF 丄AB 于点F, BE,CF 相交于点D,则① △ABE =ΛACF ,②厶BDF ≡∆CDE ;③点、D 在ZBAC 的平分线上•以上结论正确的有()2 D .√ΓOA.®B•② C.①② D.①②®9.已知ZXABC 与ZXDEF全等,ZA = ZD = 90o,ZB = 25° ,则ZE 的度数是()A.25oB.65oC.25o或55°D. 25°或65°10.如图,在Z∖PAB中,ZA = ZEM,N, K分别是PA.PB. AB ±的点,且AM=BK.BN = AK,若ZMKN = 44°,则ZP的度数为()A.44oB.66oC.88oD.92o二、解答题11 •如图所示,EF分别为线段AC上的两个点,且DE丄AC于点E.BF丄Ae于点F,若AB = CD、AE = CF、BD交AC 于点M.(1)试猜想£>£与3尸的关系,并证明你的结论;⑵求HE:MB = MD・D12.如图,点P是△/!BC内一点,EF分别是边Ae,BC上的两点,连接PE, PF,且PE = PF,点D 为AC延长线上一点,连接PD,且DE=BF,ZAEP+ ZBFP = 180。

.(1)求证:ZXDfP 三ABFP;(2)已知AB = AE+BF,若ZACB = SO o9求ZAP3 的度数・D三. 填空题13•如图•将厶ABC绕点C按顺时针方向旋转至ΛA f B,C .使点A落在BC的延长线上已知ZA = 27。

,ZB = 40°,则ZAeB z= ______ 度.14.如图,AC = BC.请你添加一对边或一对角相等的条件,使AD = 3£・你所添加的条件是_____ •15.如图,O是AABC内一点,且O到三边AB. BC, CA的距离OF = OD = OE ,若ZBAC = 70°,16•已知:如图•在长方形ABCD中,AB = ^AD = 6.延长BC到点E使CE = 2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC—CD—D4向终点A运动,设点P的运动时间为/ 秒,当F的值为秒时,MBP和ADCE全等.17•如图所示,已知EA丄AB. BCll EA y EA = AB = IBC, D为AB的中点,那么下列结论:①DE = AC ,②DE丄4C,③ZEAF = ZADF ,(4) ZC = ZADF^中正确的有_(填序号)・D参考答案1.答案:C解析:根据题意,将周长为16Cm的AABC沿BC方向平移2cm得到ADEF,.∙. AD = CF = 2cm,BF = BC+ CF = BC+ 2, DF = AC又48 + 80 + 4( = 16€01,二四边形ABFD 的周长为AD +AB +BF+ DF = 2 +AB + BC + 2 +AC = 20(cm).2.答案:C解析:当厶ABC≡Δ0PA 时,AP = BC = 6cm:当厶ABC ≡ΛPQA时,AP = AC = I2cm.故选C.3.答案:B解析:∙.8CB三M'CB', .∙.ZACB = ZA'CB',.∙. ZACB - ZA'CB' = ZACB n - ZACB ,即ZACA = ZBCg.√ ZBCB, = 320, .-.ZACA f的度数为32。

.4.答案:D解析:T 点O 为AB > CZ)的中点,.∙MO = BO, CO = DO.又∙.∙ ZAoC = ADOB, .∖ΛAOC三MOD(SAS),.∙.AC = BD,二容器内径为15cm.故选D5.答案:B解析:∙.∙BE丄CE, AD丄CE, .∙.ZE = ZADC = 90。

,.∙. ZEBC+ZBCE = 90。

..ZBCEtZACD = QO-EBC = ZDCA.ZE = ZADC在ZkCEB 和AADC 中,ZEBC = ZDCA ,BC = AC.∖ΛCEB三Z∖ADC( A4S),:.BE = DC = ∖, CE = AD = 3.:.DE = EC-CD = 3-\ = 2.故选B6.答案:B解析:如图,延长AD到点E,使DE = Ar>,连接EC..AD是BC边上的中线,.∙.BD = CD.BD = CD在AABD和ZXECD 中,ZADB = AEDC , AD = DE. △ABD =ΛECD(SAS), :. CE=AB.∙.∙AB = 3, AC = 5, .∖5-3< A£<5+3 , 即2<2AD<S, :Λ<AD<4,故选BE7.答案:A解析:从题图上可以看出点M在ZAoB的平分线上,其他三点不在ZAOB的平分线上,所以点M到ZAoB两边的距离相等.故选A.8.答案:D解析:如图,连接AD,∙.∙ BE丄AC于点E,CF丄A3于点F,.∙. ZAEB = ZAFC = 90o, ZDEC = ZDFB =90°,在MBE和AACF 中,ZBAE = ZFDB< AAEB = ZAFC, .∖ΛABE≡ΔACF( AAS),故①正确:. .AE = AFAB = AC∙.∙ AB = AC,/. EC = BF ,住厶DEC和厶DFB中,ZEDC = ZFDBZDEC = ZDFB, . ADEC 三ADFB(AAS),故②正确;.∙. DE = DFEC = FB ∙.∙ DE丄AC, DF丄AB.∙. D4平分ZCAB•故③正确;B9.答案:D解析:∙.∙ ZA = 90°, ZB = 25o, .∙. ZC = 90°- 25° = 65°.•.•△ABC与厶DEF全等,.∙.ZE与ZB是对应角时,ZE = 25°;ZE与Ze是对应角时,ZE = 65°..∙. ZE的度数是25°或65°.故选D.10.答案:DAM = BK y解析:在ZXAMK 和ABKN 中J ZΛ = ZB.AK = BN、. .△AMK 三厶BKN ZAMK = ZBKN.∙.∙乙MKB = ZMKN + 乙NKB = ZA + ZAMK,.∙. ZA = AMKN = 44°..∙. ZP = 180o-ZA-ZB = 92°.11.答案:解-.(I)DE = BF,且DE//BF.证明如下:∙.∙ DE丄AC, BF 丄AC,.∙. ZDEC = ZBFA = 90o, .∙. DEUBF.∙.∙ AE = CF,/. ZAE+ EF = CF + EF、AF = CE.AB = CD,在RtΔA^F和RtACDE中」AF = CE,.∙. RtΔAfiF ≡ Rt∆CDE(HL), .∖DE = BF.ZDEM=ZBFM、(2)证明:在ΛDEM和Z∖BFM中J ZDME = ZBMF、DE = BF.,△DEM三ABFM (AAS), .∙. MB = MD.解析:12.答案:解:⑴证明:∙.∙ ZAEP + ZBFP = 180o, ZAEP + ZDEP = 180°,.∙. ZDEP = ZBFP.又∙.∙ DE = BF, PE = FP,.△DEP 三AEFP(SAS).⑵•込DEP 三厶BFP,:. PB = PD y ZD = ZFBP.∙.∙ AB = AE +BF = AE +DE = AD, AP = AP,. .△APB 三AAPD(SSS),.∙. ZD = ZABP = AFBP. APAD = ZPAB.∙.∙ ZACB = 80°, /. ZCAB + ZCBA = 100°,.∙. ZPAB + ZPBA = 50°,/. ZAPB = 130°.解析:13.答案:46解析:∖ΛABC绕点C按顺时针方向旋转至△AB f C,:.Z^ABC ≡^AB,C,.∙.ZA = ZA z, ZB = ZB'.∙.∙ ZA = 27o, ZB = 40o, AZA Z = 27o, ZB'= 40。

,.∙.ZAG4z = ZA÷ZB = 27o+40o = 67o, ZBCB'= ZA'+ ZB'= 27。

+40。

= 67。

..∙. ZACB f = 180o-ZACA,- ZBCB' = 180o-67° - 67° = 46°.14.答案:CZ) = CE (答案不唯一)解析:因为AC = BC, ZC = ZC,当CD = CE时,AADC三厶BEe(SAS∖所以AD = BE.15.答案:125°解IJf: ∙.∙OF = OD = OE,:. OB y OC分别平分ZABC和ZACB. ∙/ ZBAC = 70° ,.∙. ZABC ÷ ZACB = 180° - 70° = 110° ,.∙. ZOBC + ZOCB =丄(ZABC + ZACB)=丄Xlloo = 55° ,2 2.∙. ABOC = 180。

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