第6章 习题答案

第六章 分子动理论

6-1 一立方容器，每边长20cm 其中贮有

，

的气体，当把气体加热到

时，容器每个壁所受到的压力为多大？

解：根据理想气体状态方程NkT pV =得1

1kT V

p N =

。所以

221111N/cm 5.13N/m 135100101325300400

==⨯====p T T V kT kT V p V NkT p

6-2 一氧气瓶的容积是 ，其中氧气的压强是 ，规定瓶内氧气压强降到

时就得充气，以免混入其他气体而需洗瓶，今有一玻璃室，每天需用

氧气

，问一瓶氧气能用几天。

解：一瓶氧的摩尔数为RT pV =

ν，用完后瓶中还剩氧气的摩尔数为RT

V

p '='ν，实际能用的摩尔数为RT p p )(-'-='=ννν∆.每天所用氧气的摩尔数为RT

V p '

'''=''ν。一瓶氧气能用的天

数为

)d (6.9400

32

110132)(=⨯-='''''-=''=

V p V p p n νν∆ 6-3 有一水银气压计，当水银柱为0.76m 高时，管顶离水银柱液面0.12m ，管的截面

积为2.0×10-4m 2

，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m ，此时温度为

27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He 的摩尔质量为0.004kg ·mol -1

)?

解：当压强计顶部中混入氦气，其压强为)(21h h g p -=ρ，由理想气体状态方程得氦气的质量为

kg

1095.1004.0300

31.810

0.2)16.012.0()6.076.0(546.13)(64

21--⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯-⨯=

-=

=RT

V h h g RT pV

M ρμ 6-4 在常温下(例如27℃)，气体分子的平均平动能等于多少ev?在多高的温度下，气体分子的平均平动能等于1000ev?

解：

23.8810ev -⨯ ，301K

i N 21 4 6

8

2

)s m (1-⋅i V

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

解：s /m 7.2141

==

υ

s /25.6m s /m 1.65641

0.5020.4080.3060.2040.10212

22222

==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

υ

6-6 下列系统各有多少个自由度：

(1)在一平面上滑动的粒子；

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：（1）确定平面上运动的粒子需要2个独立坐标，所以自由度数为2；

（2）确定硬币的平动需要两个独立坐标，确定转动需要一个坐标，确定硬币位置共需3个坐标，所以自由度数为3；

（3）这是一个自由刚体，有6个自由度，其中3个平动自由度和3个转动自由度。

6-7某种理想气体，在atm P 1=，l V 8.44=时，内能J E 6807=，问它是单原子、双原子、多原子分子的哪一种？

解：由RT i

E RT

pV νν2

==可得3108.441013256807

223

=⨯⨯⨯==-pV E i 。 自由度为3，所以是单原子分子。

6-8某刚性双原子理想气体，处于0℃。试求：

⑴分子平均平动动能；⑵分子平均转动动能；⑶分子平均动能；⑷分子平均能量；⑸2

1

摩尔的该气体内能。

解：（1）J 1065.515.2731038.12

3

232123k --⨯=⨯⨯⨯==

kT ε （2）J 1076.321-⨯==kT r ε （3）J 1041.921-⨯=+=kr kt k εεε

（4）J 1041.921-⨯==k εε

（5）J 1084.215.27331.85.05.22

53⨯=⨯⨯⨯==RT E ν 6-9设有N 个粒子的系统，其速率分布如题6-9图所示．求 (1)分布函数)(v f 的表达式； (2)a 与0v 之间的关系；

(3)速度在1.50v 到2.00v 之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．

(5)0.50v 到10v 区间内粒子平均速率．

题6-9图

解：(1)⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤≤≤≤=)

2(0)2(/)0(/)(00000v v v v v N

a v v Nv av v f (2 由归一化条件

1)2(21d /d /d )(00020

00

=-+=

+

=

⎰⎰

⎰

∞

υυυυυυυυυυυ

υN

a

N a N a N a f 得

32υN

a =

（3）3

21d d )(025.10.25.10

N a a Nf N ==

=

=

⎰

⎰

υυυυυυυυ （4）020

2

9

11

d d d )(0

υυυυυυυυυυυ

υ=

+=

⎰⎰

⎰

∞

a N a f （5）0.50v 到10v 区间内粒子数为 4

83d d )(05.00

5.00

N

a a Nf N ==

=

=

⎰

⎰

υυυυ

υυυυυυ∆ 0.50v 到10v 区间内粒子数平均速率为

9

73871d 1

d )(1

02

5.00

2

5.00

0υυυυυυυυυυυυυ====

⎰

⎰

a N a N

Nf N

∆∆∆

6-10 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于1

100

-⋅-p p v v 与

1100-⋅+p p v v 之间的分子数占总分子数的百分比．

解：把m

kT

2p =

υ代入麦克斯韦速率分布函数，有 υυυυυd 1

π4

d 2322

p

e

N

N p

-

=

所以，

0166.0100

2

π

41

π41

2322==

≈--

e e N N p

p

υυυυυ∆∆ 6-11三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度相同，而方均根速率

之比为()2

12

A

v :()2

1

2B

v :()2

12C

v =1:2:4，则其压强之比A p :B p :C

p =？

解：由23

1

υnm p =

得 16:4:1::2

C 2B 2==υυυ：：A C B A p p p

6-12 1mol 氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：J 5.373923==

RT E kt ；J 2493==RT E kr ；J 5.62322

5

==RT E 6-13 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气

分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比．

解：（1）由nkT p =可得

1:1::==H

H O O H O kT p

kT p n n

（2）由m

kT

π8=

υ得 4:132

2

:===

O

H

H O m m υυ 6-14 一真空管的真空度约为1.38×10-3

Pa(即1.0×10-5

mmHg)，试 求在27℃时单位

体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d ＝3×10-10

m)．

解：31723

3

m 1033.3300

1038.11038..1---⨯=⨯⨯⨯==kT p n