反例在数学教学中的运用
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用摘要：数学是所有科目中对思维要求最缜密的学科之一,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，那么，对于数学这门课程，教师如何来教，学生如何来学，方法固然是最重要的。
本篇论文就将浅谈一下反例在数学教学中的作用。
本篇论文是经过在网上查阅大量的相关期刊和在图书馆查阅大量的相关书目,结合自己的学习以及工作阅历最终完成的。
本文的创新点在于通过引用一些非常典型的例题做分析说明，而且例题都涉及到了中学数学的重要章节和必考内容。
本篇论文的目的在于改变现有的教学状态，能够激发学生的学习热情，培养学生的创造能力，鼓励学生要有敢于质疑和敢于探究的科学精神，培养学生良好的思维品质和学习习惯。
【关键词】教学作用构造逆向思维一、反例的含义在数学中，要证明一个命题是正确的，就必须经过严格的推理论证[[1]]。
而要证明一个命题是错误的，非常简单的做法就是举出反例。
反例,顾名思义就是指反面的例子,通常是指能够满足命题条件却不满足命题结论的例子。
在数学教学中，反例的作用不容小觑。
反例在判断对错时很有说服力，因此，在数学教学中重视运用反例，能让学生牢记所学内容，激发学生的学习热情，增加学生的见识，使其灵活多变,也学会换角度思考问题。
二、反例的来源与构造证明一个猜想是合理的、正确的,就必须经过严格的、缜密的推理论证;而证明一个猜想是不正确的,只需找到猜想命题的反例就可以了。
在教学过程中往往会有这样的情形,要说明一个命题是假命题, 教师就会直接给出一个反例, 说明反例虽然符合命题的各种条件, 却不能使命题的结论成立, 教师很少给学生分析甚至不做分析说明反例是如何得到的。
学生非常佩服老师学识渊博,能信手拈来一个又一个非常具有说服力的反例,却只能对老师的才华望其项背。
仿佛舞台上的魔术师,能从口袋里变出很多观众意想不到的东西,观众觉得特别神奇，但却永远也学不会。
所以,在教学过程中,教师应该尽可能地给学生讲解如何来构造反例,让学生知其然,更知其所以然。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用在初中数学教学中，使用反例是一种非常重要的教学策略。
反例指的是通过给出一个不符合条件、不成立或者错误的例子来证明一些命题或者定理不成立。
通过引入反例，可以帮助学生深入理解数学概念，培养逻辑思维和推理能力，提高解题能力。
首先，通过反例可以帮助学生理解一些概念的本质和条件。
例如，在初中数学中学习平行线的性质时，反例可以帮助学生理解不平行线的特征。
通过给出两条不平行的线段，可以引导学生观察、分析两条线段的性质，从而找到平行线的共同特征，加深对平行线定义的理解。
其次，通过反例可以帮助学生发现并纠正错误的观念。
在初中数学中，学生常常会产生一些错误的观念，导致在解题中出现错误。
通过引入反例，可以让学生认识到这些观念的错误性，从而及时进行修正。
例如，在学习二次方程的求解过程中，学生可能会错误地认为只有两个实数解。
通过给出一个无解的二次方程，学生可以发现其错误的观念，并学会正确区分二次方程的解的个数。
此外，通过反例可以帮助学生培养逻辑思维和推理能力。
数学是一门重视逻辑思维和推理能力的学科，而反例正是基于逻辑思维和推理能力来构造的。
通过反例的引入，学生需要运用已有的数学知识和逻辑推理，从而构造一个不成立的例子。
这样的训练可以培养学生的逻辑思维和推理能力，提高解决数学问题的能力。
最后，通过反例可以激发学生的思考和探究欲望。
数学是一门探究性很强的学科，而反例的引入可以给学生提供一个思考和探究的契机。
通过分析和讨论反例，学生可以进一步深入理解一些数学概念，并激发他们探索更多的例子和情况，培养他们的自主学习能力。
综上所述，在初中数学教学中，反例是一种有效的教学策略。
通过使用反例，可以帮助学生理解数学概念的本质和条件，纠正错误的观念，培养逻辑思维和推理能力，激发学生的思考和探究欲望。
因此，在教学过程中，我们应该更加注重反例的运用，使学生能够全面、深入地理解数学知识。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用初中数学教学中的反例是一种教学方法，通过引入反例，展示错误的思路和结论，帮助学生更好地理解和掌握数学概念和原理。
反例在初中数学教学中的运用有以下几个方面：1. 验证和理解定理：通过引入反例，可以验证和理解定理的条件和结论。
在学习平行线性质时，可以引入一组平行线的反例，让学生发现平行线具有不相交的性质，从而理解平行线的定义和性质。
2. 理解数学概念和特性：通过引入反例，可以帮助学生理解和区分数学概念和特性。
在学习三角形的分类时，可以引入一组具有边长比例相等但不全等的三角形的反例，让学生理解边长比例相等不是全等的必要条件。
3. 纠正错误观念和认识：通过引入反例，可以帮助学生纠正错误的观念和认识。
在学习数列的有界性时，可以引入一个无界数列的反例，让学生认识到数列有界性的重要性以及无界数列的性质。
4. 引导学生思考和解决问题：通过引入反例，可以激发学生的思考和解决问题的能力。
在学习方程解的性质时，可以引入一个只有一个解的反例，让学生思考为什么这个方程只有一个解，从而培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
5. 加深对数学原理的理解和应用：通过引入反例，可以加深学生对数学原理的理解和应用。
在学习函数性质时，可以引入一个不满足函数定义的反例，让学生理解函数定义的必要性和应用范围，从而提高对函数性质的理解和运用能力。
反例在初中数学教学中的运用可以帮助学生真正理解和掌握数学概念和原理，培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高数学学习的效果和质量。
教师在运用反例时应注意引入的反例要具有代表性和启发性，能够引发学生思考和讨论，同时也需要合理安排教学环节，使得学生能够在实践中发现和理解数学原理。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用一、反例的定义反例是指能够证明一个命题为假的实例。
当我们判断一个命题是否为真时，可以通过举一个反例来证明它的反面。
反例在数学教学中，是一种常用的方法，它能够帮助学生更好地理解和运用数学概念，并帮助学生建立正确的思维方式。
二、反例在数学教学中的作用1. 帮助学生理解数学概念的本质在数学教学中，很多概念都是抽象的，学生很难从定义中直接理解其含义。
此时，可以通过举一个反例来让学生更好地理解这个概念的本质。
在初中代数中，我们知道两个负数的相乘结果是正数，但很多学生无法理解这个现象。
可以通过举例子让学生看到负数相乘的结果是正数，这样学生就能更好地理解这个概念。
2. 帮助学生发现和纠正错误的观念学生在学习数学的过程中，常常会有一些错误的观念。
在初中几何中，有些学生会认为平行线必然会相交，这是他们对平行概念的错误理解。
此时，可以通过举一个反例来帮助学生发现和纠正这个错误的观念，从而提高他们对数学知识的正确理解。
3. 帮助学生提高问题解决能力在解决数学问题时，有些问题是需要通过找到一个反例来证明其错误的。
在初中数学中，有一类问题是关于数列的，学生需要判断给定的数列是否满足某种性质。
此时，可以通过找到一个反例来证明这个数列不满足该性质，从而解决问题。
四、反例在数学教学中的评价反例在数学教学中是一种非常有效的教学方法。
它能够帮助学生更好地理解数学概念的本质，发现和纠正错误观念，提高问题解决能力。
通过举例子来验证一个命题的反面，可以让学生从不同的角度思考问题，培养学生的创新思维。
反例的运用也需要注意适度，不能过分依赖反例，而忽视了正例的证明和理解。
要在教学中灵活运用反例和正例相结合的方法，帮助学生全面理解和掌握数学知识。
高等数学教学中的反问题及反例
高等数学教学中的反问题及反例
【原创实用版】
目录
一、引言
二、高等数学中的反问题
三、高等数学中的反例
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
五、结论
正文
一、引言
高等数学是现代科学和技术领域的重要基础学科，其教学目的是培养和加强学生的基本运算能力、基本应用能力和逻辑思维能力。
在高等数学教学过程中，反问题和反例的教学方法被广泛应用，它们对于加深学生对概念的理解、提高学生的运算能力和应用能力具有重要的作用。
二、高等数学中的反问题
反问题是指将问题的条件和结论互换，从而形成的新问题。
在高等数学中，反问题的提出可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程，同时也能够培养学生的逆向思维能力。
例如，在求解微分方程时，通过提出反问题，可以帮助学生更好地理解微分方程的解法。
三、高等数学中的反例
反例是指在某个命题中，存在的一个对象使得该命题不成立。
在高等数学中，反例的存在可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围，防止学生片面理解概念和定理。
例如，在极限的求解过程中，通过引入反例，可以帮助学生理解极限存在的条件。
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
在高等数学教学过程中，教师应该注重反问题和反例的教学方法。
通过引入反问题，可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程；通过引入反例，可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围。
同时，教师应该引导学生主动寻找反问题和反例，培养学生的自主学习能力和探索能力。
五、结论
反问题和反例在高等数学教学中具有重要的作用，它们可以帮助学生更好地理解概念和定理，提高学生的运算能力和应用能力。
实践数学教学反例(3篇)
第1篇摘要：本文通过分析实践数学教学中的反例，探讨当前数学教学中存在的问题，并提出相应的改进措施，旨在提高数学教学质量，促进学生全面发展。
一、引言数学作为一门基础学科，在培养学生逻辑思维、空间想象、问题解决等方面具有重要意义。
然而，在实际的数学教学中，我们常常会遇到一些反例，这些问题不仅影响了学生的学习效果，也制约了数学教学的深入发展。
本文将从以下几个方面对实践数学教学中的反例进行分析。
二、反例一：重理论轻实践在数学教学中，有些教师过于注重理论知识的传授，忽视了学生的实践操作能力培养。
这种教学方式导致学生在面对实际问题时，往往束手无策。
以下是一个典型的反例：案例：在讲解“三角形面积计算”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有让学生动手操作验证。
当学生遇到实际问题时，如计算不规则图形的面积，他们无法运用所学知识解决问题。
改进措施：教师在讲解理论知识的同时，应注重实践操作环节，让学生通过动手操作、实验探究等方式，加深对知识的理解。
三、反例二：忽视学生个体差异在数学教学中，每个学生都有自己的学习特点和需求。
然而，有些教师忽视了学生的个体差异，采用“一刀切”的教学方式，导致部分学生跟不上教学进度，产生厌学情绪。
以下是一个典型的反例：案例：在讲解“分数乘法”时，教师按照统一进度进行讲解，对于基础薄弱的学生来说，他们很难跟上教师的节奏，导致学习效果不佳。
改进措施：教师应关注学生的个体差异，根据学生的实际情况调整教学进度，采用分层教学、个性化辅导等方式，满足不同学生的学习需求。
四、反例三：过度依赖教材，忽视创新教育在数学教学中，有些教师过度依赖教材，按照教材内容进行讲解，忽视了创新教育的重要性。
以下是一个典型的反例：案例：在讲解“圆的周长和面积”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有引导学生进行创新思维训练。
改进措施：教师应关注创新教育，鼓励学生在学习过程中发挥想象力，提出自己的观点和想法，培养学生的创新思维。
五、反例四：忽视数学与其他学科的融合数学与其他学科之间存在着紧密的联系。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用在初中数学教学中，反例的运用是非常重要的。
通过引入反例，可以帮助学生深入理解数学概念，解决问题和掌握定理等。
下面我们将详细介绍反例在初中数学教学中的运用。
一、反例的定义与意义反例指的是推翻一个命题或定理的例子，即通过举出一个特殊的例子，使得原本的命题或定理不再成立。
反例可以帮助学生发现并理解一些普遍规律之外的特殊情况，以便深入理解、把握数学的本质和规律。
反例的运用能够激发学生的思考和探索欲望，帮助他们从新的角度思考问题，培养分析问题、找到问题的本质的能力。
通过反例的引入可以帮助学生从错误中学习，发现和纠正自己的错误，进一步巩固对数学知识的理解和掌握。
二、反例在初中数学教学中的具体运用1. 引入新概念在引入新概念时，可以通过反例的方式揭示概念的重点和特征。
在引入相反数的概念时，可以通过给出一对不是相反数的数字，让学生发现这组数字并不满足相反数的定义，从而引导学生找出相反数的共同特征。
2. 解决问题在解决问题的过程中，反例常常帮助学生找到解题的思路和方法。
通过给出一些错误的方法或答案，从而让学生发现问题的关键和解题的难点。
当教授求两个有理数的和时，可以先引入一组不满足有理数加法交换律的数字，从而帮助学生发现并理解交换律的重要性。
3. 证明定理在教学定理证明的过程中，反例可以帮助学生理解定理的适用范围和条件。
通过给出一些违反定理条件的例子，让学生发现这样的条件对定理的成立是必不可少的。
在教学三角形内角和定理时，可以给出一个超过180度的三角形，让学生发现只有满足三角形内角和等于180度的条件，定理才成立。
4. 纠正错误学生在学习数学中常常会犯一些错误，通过引入反例可以帮助学生找到错误并进行纠正。
在学习分数的乘法时，学生可能会错误地认为分数的乘积一定比原来的数更大，通过给出一个分数的乘积比原来的数更小的例子，可以纠正学生的错误观念，帮助他们正确理解分数乘法的规则。
三、注意事项在运用反例时，需要注意以下几点：1. 反例需具体明确。
反例在中学数学教学中的作用
反例在中学数学教学中的作用首先，反例可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
在数学中，许多概念是抽象的，不容易直接理解。
通过引入反例，学生可以看到具体的例子，帮助他们形象地理解概念。
例如，在学习数列的收敛性时，引入一个反例可以让学生观察到一个不收敛的数列，从而理解收敛的概念。
其次，反例可以帮助学生发现和理解数学规律和定理。
数学中有许多规律和定理，它们的证明往往需要使用严谨的逻辑推理。
通过引入反例，学生可以发现一些规律不总是成立，从而激发他们思考为什么这些规律不成立，以及真实的规律是什么。
例如，学习三角形的内角和时，学生可能会发现一个反例，一个三角形的内角和大于180度，这有助于他们理解三角形内角和定理的真实含义。
此外，反例可以帮助学生培养他们的逻辑思维和推理能力。
在引入反例时，学生需要运用逻辑思维来找到一个合适的例子，并用推理来解释为何这个例子是一个反例。
通过这个过程，学生可以加深他们对逻辑思维和推理的理解，并且能够更好地运用这些技能解决数学问题。
这对他们在解决其他问题时也非常有用。
此外，引入反例还能帮助学生识别和纠正他们的错误。
在学习数学中，学生可能会犯错误或产生误解。
通过引入一个反例，学生可以发现自己的错误，并更好地理解正确的概念、规律和定理。
这有助于他们避免类似的错误，并帮助他们在学习和应用数学时更准确地思考。
在教学中，教师可以灵活运用反例。
他们可以在讲解新概念时引入反例，以便更好地帮助学生理解和记忆概念。
同时，在复习和巩固知识时，教师也可以通过让学生寻找和讨论反例来检验他们对知识的掌握程度。
这不仅能够加深学生对数学的理解，还能够激发学生的学习兴趣和思维能力。
然而，引入反例也需要一定的谨慎。
教师应该选择合适的反例，避免过于复杂或抽象的例子，以免给学生带来混淆。
此外，教师还应该确保学生充分理解反例的含义和作用，并与他们讨论为何这个例子是一个反例。
只有这样，学生才能真正受益于反例。
总的来说，反例在中学数学教学中具有非常重要的作用。
反例教学法在数学分析中的作用和构造
反例教学法在数学分析中的作用和构造反例教学法在数学分析和数学教学中引起越来越多的重视，它不仅能够加深学生对基础概念的理解，还能使数学思维的形成更具有深度和准确性。
因此，本文讨论了反例教学法在数学分析中的作用和构造。
思路解析反例教学法（CET）是由R.I. Jucowitz提出的教学模式，它基于实例失败的原则，即学生通过掌握反例，学习和理解更普遍的数学概念。
反例教学法的目的在于，通过提供与学生知识水平相关的实例，培养学生的数学解决问题的能力和技能，以从反例中获得知识。
反例教学法在数学分析中的作用通常，反例教学法能够有效支持数学分析，主要表现在：首先，反例教学法能够帮助学生明确和更好地理解基本数学概念。
学生通过反例学习，能够更好地理解数学原理，以掌握数学分析的基础知识；其次，反例教学法能够锻炼学生的数学逻辑思维能力和分析能力，从而提升学生对数学分析的准确性；最后，反例教学法能够激发学生对数学分析的学习兴趣，在拓宽思路、增强能力上发挥积极作用，促进学生学习数学分析的兴趣。
构造反例教学法反例教学法的构造分为三个步骤：第一步，要求老师对学生的能力进行全面考察，准确把握学生学习和知识水平，从而实现针对性教学；第二步，根据学生的不同学习水平，老师在例题中使用不同的反例，以针对性地提高其学习效果，达到突出重点、强化训练的目的；第三步，老师在介绍反例时，要充分运用可视化技术，以图表、模型等形式表示反例，使学生更加清晰地理解反例的内涵，并深入学习和掌握反例。
结论从上面的分析可以看出，反例教学法在数学分析中发挥着重要作用，它不仅能够提高学生的分析能力和解决问题的能力，而且还能增强学生的数学思维能力，从而改善学生的学习效果。
而构造反例教学法既要考虑学生的学习能力和知识水平，又要注重可视化技术，只有这样，才能真正发挥反例教学法的优势，增强学生的数学分析能力。
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用
数学是一门综合性学科，其中运用了证明、推理和假设等复杂的理论，对学生进行数学教学时，需要从不同的角度和多种方式来探讨和推动学生的学习进度。
通常给学生展示正例是广泛应用的一种教学方式，而反例在数学教学中也有重要的作用，具有十分重要的教育意义。
首先，反例在数学教学中能够更好地帮助学生理解知识点，这是因为正例可以提供一种假设，然后反例可以扩展该假设的有效范围。
比如，在学习内容是“定义域和值域”时，可以以反例的方式提出，“给定函数f(x) = x2 3x + 2，它的定义域是什么？该函数的值域是什么？”这样的反例，针对性更强，可以让学生对具体问题有更深刻的理解。
其次，反例能够有效地发展学生的创造能力和思维能力。
数学是客观性学科，学习时仅通过实例来理解规律是比较吃力的，只有借助反例，学生才能更清晰地看到数学规律，从而促进了学生学习兴趣和思维能力的培养。
另外，学生通过反例也可以善于发现问题，在解决实际问题时更具有创新能力。
最后，反例在数学教学中还有一个重要的作用，就是可以有效地帮助学生提高数学处理能力，这是因为反例提供的情景比正例更加完整，学生必须具备良好的数学处理能力才能解决问题。
比如，如果使用反例来教授“函数f(x)的导数”，而不是直接明示f(x)的导数，学生必须具备一定的处理能力，才能计算出函数f(x)的导数。
以上是反例在数学教学中的作用。
反例是一种有效的教学方式，能够使学生受益匪浅。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用一、引言数学是一门具有抽象性、逻辑性和形式性特点的学科，对于学生来说，理解数学概念和定理常常需要进行抽象思维和逻辑推理。
在初中数学教学中，为帮助学生更好地理解和掌握数学知识，教师可以通过使用反例的方法，引导学生深入思考、发现规律，从而提高他们的数学思维能力和问题解决能力。
二、反例的概念和作用反例是指通过举出一个与所要证明或阐述性质相违背的具体例子，从而使所要证明的命题不成立或所要阐述的性质无效。
在数学教学中，反例可以用来引导学生对数学问题进行深入思考，帮助他们理解概念、发现规律、提高数学思维能力。
具体作用有以下几点：1. 检验定理的正确性：通过反例可以验证定理的正确性，帮助学生理解和掌握定理的内涵和外延，避免一些误解和迷惑。
2. 引发思考和发现规律：通过展示反例，可以引导学生主动发现问题的本质和规律，激发他们的学习兴趣。
3. 推动思维发展：通过解决反例问题，学生需要运用逻辑推理、分析判断等思维方法，从而提高他们的数学思维能力和问题解决能力。
4. 培养数学直观：反例可以帮助学生抽象化、形式化的数学概念具体化，提高他们的数学直观和几何空间想象能力。
三、反例在初中数学教学中的具体运用1. 反例检验命题的正确性在教授某个定理时，教师可以提出一个命题，并要求学生验证其正确性。
学生可以通过构造一个反例来验证该命题是否成立，从而加深对定理内涵的理解。
在学习平行线的性质时，教师可以提出“两条平行线一定会相交”的命题。
学生可以通过画图构造两条平行线，并发现它们始终不会相交的反例，从而验证该命题的不成立性。
2. 反例引导思考、发现规律在课堂中，教师可以通过展示一个反例，引导学生主动思考和发现问题的本质和规律，从而激发他们的学习兴趣和探索欲望。
在学习因式分解时，教师可以给出一个多项式，要求学生将其进行因式分解。
学生可能通过试错法，先对其进行试除，发现无法被整除，再尝试其他方法，最终找到正确的分解方法。
反例在数学教学中的运用
反例在数学教学中的运用在数学教学中，反例是一种非常重要的教学策略，可以帮助学生更好地理解和掌握数学概念和定理。
反例指的是通过给出一个特殊情况的例子，来否定一个命题或者证伪一个定理。
通过引入反例，可以帮助学生更好地理解和记忆数学的抽象概念，培养他们的推理能力和创新思维。
一、引发兴趣和好奇心在数学教学中，引入反例可以帮助激发学生对数学的兴趣和好奇心。
传统的数学教学通常是基于一般规律和定理来进行讲解和推导，这样容易让学生产生距离感，并且难以理解和记忆。
而通过引入反例，可以让学生从一个特殊的例子开始思考和探索，从而引发他们对数学问题的兴趣和好奇心。
例如，在讲解负数乘法时，可以引入一个反例：(-2)×(-3)=6，这个例子直观地展示了负数乘法规律的异常，引发学生思考、质疑和探索。
二、帮助理解抽象概念数学中存在很多抽象概念，如零的性质、负数的性质等等，这些概念对于许多学生来说很难理解和掌握。
通过引入反例，可以将抽象的概念具体化，使其更易于理解。
例如，在讲解零乘法时，可以引入一个反例：0×2=1，这个反例可以帮助学生理解零与任何数相乘都等于零的规律。
同样，可以引入反例来帮助学生理解其他数学概念，如对角线不一定相等、平行线不一定没有交点等等。
三、矫正错误观念学生在学习过程中往往会形成一些错误的观念和惯性思维。
而通过引入反例，可以帮助学生纠正错误观念，从而更好地掌握和理解数学概念和定理。
例如，在讲解奇数相乘和偶数相乘的特性时，可以引入反例：3×5=15（奇数相乘为奇数），4×6=24（偶数相乘为偶数），通过这两个反例可以帮助学生纠正“奇数相乘为偶数”和“偶数相乘为奇数”的错误观念。
四、培养推理能力引入反例可以培养学生的推理能力和思维方式。
通过分析反例，学生需要从中发现规律，进而得出一般结论。
这种思维过程可以帮助学生培养逻辑思维和推理能力。
例如，在讲解直角三角形的性质时，可以引入一个反例：两条边长相等的三角形不一定是直角三角形，通过这个反例学生可以发现只有两条边长相等并且夹角为90度的三角形才是直角三角形。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用引言：反例是数学教学中一个非常重要的概念和方法。
它指的是通过举出一个例子，证明一个命题为假。
在初中数学教学中，我们通常用反例来帮助学生更好地理解和掌握抽象的数学概念，培养他们的逻辑思维和推理能力。
本文将以初中数学教学中常见的几个概念为例，探讨反例在数学教学中的运用方法。
一、分数的加减乘除分数是初中数学中一个比较抽象和难以理解的概念。
为了帮助学生更好地理解和掌握分数的加减乘除运算规律，我们可以通过反例来进行教学。
在教学分数的加法时，我们通常会告诉学生分母相同的分数可以直接相加，而分母不同的分数需要化为相同分母再相加。
我们也可以通过一个反例来帮助学生理解这个规律。
我们可以举出一个例子：1/2 + 1/3 = 5/6，这个例子就是一个反例，它告诉学生分数的加法并不一定遵循分母相同就可以直接相加的规律。
同样的道理，在教学分数的减法、乘法和除法时，我们也可以通过反例来帮助学生更好地理解和掌握相应的运算规律。
这样，学生就能够通过实际的例子来感受到分数的加减乘除运算规律，从而更好地理解和掌握这些概念。
二、几何图形的性质几何图形的性质是初中数学中一个非常重要的内容。
为了让学生更好地理解和掌握几何图形的性质，我们可以通过反例来进行教学。
在教学平行四边形的性质时，我们通常会告诉学生对角线互相平分和相互等长。
我们也可以通过一个反例来帮助学生理解这个性质。
我们可以举出一个例子：一个不是矩形的平行四边形，它的对角线不互相平分和相互等长。
这个例子可以让学生明白，只有矩形才满足对角线互相平分和相互等长的性质。
在教学函数的定义时，我们通常会告诉学生每个自变量对应一个唯一的因变量。
我们也可以通过一个反例来帮助学生理解这个定义。
我们可以举出一个例子：f(x) = x^2，这个函数就不满足每个自变量对应一个唯一的因变量的性质。
在数学课堂教学中反例的作用
在数学课堂教学中反例的作用苏轼曾有诗云“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。
当你对某一问题百思不得其解时，如果跳出问题本身，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外收获。
所以在小学数学教学中，教师不仅应从正面讲清概念、性质、法则、公式等基础知识，还需要通过恰当列举反例启发引导学生从反面揭示知识的本质，让学生在反例的辨析中全面深刻地认识事物的内涵与外延。
一、克服认识缺陷，获得正确认识小学数学同其他学科相比具有更高的抽象性和概括性。
但由于小学生的整体感知往往是笼统的、不精细的，他们往往不能一下子看出事物的主要方面或特征，以及事物各部分之间的联系，从而产生错误的认识。
因此，运用反例进行教学有利于克服小学生这一感知上的缺陷。
如，在教学分数的概念时，小学生容易得出以下笼统而粗浅的分数概念：把单位“1”分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
他们忽略了至关重要的“平均分”。
此时教师可以出示以下反例：把一个长方形分成大小不均的两份（出示图），每份是不是这个长方形的二分之一？让学生辨析并说明理由。
通过错例辨析，学生明白了只有“平均分”才会得出分数1/2。
又如，学生在学完小数的基本性质后，容易理解成去掉小数点后面的0，小数的大小不变。
这时我出示“5.002=5.2”，让学生辨析正误。
学生通过讨论，发现去掉小数点后面的0，小数的大小发生了变化。
通过辨析，学生理解了“小数末尾”和“小数点后面”的区别，从而真正掌握了小数的基本性质。
反例凸显了所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进了学生对所学知识的全面深刻理解。
二、克服学生因思维定式影响而产生的负迁移由于小学生的概括能力、分析能力较低，他们不可能一下子就牢固地掌握基础知识，因此他们在新知识的学习过程中容易产生负迁移。
运用反例进行教学是防止、克服这一弱点的好办法。
学完分数的乘除和加减混合运算后，有些学生常常产生因简便运算的定式影响而带来运算顺序负迁移。
如：①×÷×=1；②0.8 +1.2÷4=0.5。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用反例是指与某一命题相矛盾的命题，或者与某一结论相矛盾的结论。
在初中数学教学中，反例的运用有利于引导学生进行深入思考和探究，帮助他们理解数学概念和规律。
本文将探讨反例在初中数学教学中的运用，并分析其在提高学生数学思维能力和解决问题能力方面的作用。
一、反例在初中数学教学中的具体运用1. 辅助概念理解在初中数学教学中，老师可以通过反例来辅助学生对概念的理解。
在教学中涉及到“两角相等的三角形一定全等”这一定理时，老师可以通过给出一个反例来引导学生思考，比如一个三角形的两边长和一个角度等于另一个三角形的两边长和相应角度，但这两个三角形并不全等。
通过这个反例，学生可以深刻理解“两角相等的三角形不一定全等”的概念，从而更好地掌握相关知识。
2. 拓展思维能力反例在初中数学教学中还可以帮助学生拓展思维能力。
当学生遇到某个问题无法解决时，老师可以引导他们通过构造反例来找到问题的突破口。
在解决一元一次方程时，学生可能会遇到无解或者有无穷多解的情况，老师可以要求学生通过构造反例来分析问题的本质，理清解题思路。
3. 培养解决问题的能力反例在初中数学教学中还可以培养学生解决问题的能力。
通过构造反例，可以让学生在实践中逐步养成审题、分析问题、构造反例、总结规律的解题方法，培养他们的问题解决能力和逻辑思维能力。
二、反例在初中数学教学中的作用1. 帮助学生理解概念反例在初中数学教学中可以帮助学生深入理解数学概念。
通过构造反例，学生可以从实际例子中看到概念的局限性和特点，从而更加深刻地理解概念的内涵和外延。
这有利于帮助学生理解数学概念，提高他们的学习效果。
2. 提高学生的数学思维能力反例在初中数学教学中也可以帮助学生提高数学思维能力。
通过构造反例，学生需要对问题进行分析和思考，找到问题的破绽，从而促进他们的逻辑思维和创造思维，培养他们的数学思维能力。
三、初中数学教学中反例运用的注意事项1. 确保反例的准确性在初中数学教学中，老师在引导学生构造反例时，要确保反例的准确性。
反例在数学教学中的应用
反例在数学教学中的应用
反例在数学教学中有很重要的应用，可以帮助学生更深入地理解和掌握数学概念。
具体来说，反例可应用于以下几个方面：
1. 明确概念的条件限制：对于某些数学概念来说，只有特定的条件下才能成立，反例可以帮助学生明确这些条件限制。
例如，学生可能会认为两个奇数的和一定是奇数，但给出反例后，例如
3+5=8，学生就会了解到这个结论只在两个奇数的和小于偶数的情况下成立。
2. 辅助证明定理：在学习证明数学定理时，反例可以作为一种辅助工具。
通过给出反例，学生可以了解到一个结论的确切形式，从而更容易理解和证明相关的定理。
反例也可以被用来发现证明定理的缺陷或不足。
3. 明确问题的限制范围：在解决数学问题时，有时需要明确题目限制的范围。
例如，如果要找到比2更小的正整数，反例可以帮助学生明确这个范围的限制，例如1和0都不是正整数，因此找到比2更小的正整数需要从1开始。
总之，反例是一个非常有用的工具，可以帮助学生更深入地理解和掌握数学概念，在解决问题和证明定理时也可以提供帮助。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用在初中数学教学中，教师通常会通过引入反例的方法来帮助学生理解一些概念和定理。
反例是指能够证明某个命题为假的具体例子，通过反例的引入，可以使学生不仅仅是通过抽象的推理和证明来理解数学概念，还能够通过实际的例子来更加深入地理解数学的规律和性质。
反例在初中数学教学中的运用可以帮助学生理解数学概念的本质和边界。
对于一些概念和定理，学生往往只是被告知它的定义和性质，但却没有真正理解它们的内涵。
通过引入反例，可以帮助学生发现一些特殊情况，从而更好地把握概念和定理的本质。
在教学过程中，教师可以通过引入一些特殊的三角形来说明三角形内角和的问题。
学生可能会认为对于任意三角形，三个内角和总是等于180度，但通过引入一些特殊的三角形，如等腰直角三角形（45度90度45度）、钝角三角形等，可以使学生发现在这些特殊情况下，三个内角和并不等于180度，从而帮助学生更好地理解三角形内角和的性质。
反例在初中数学教学中的运用可以帮助学生防止一些常见错误。
在学生的学习过程中，往往会出现一些常见错误，如迷信事例、盲目推理等。
这些错误往往会影响学生对数学概念和问题的理解和解决能力。
通过引入反例，可以帮助学生发现并纠正这些错误。
在教学过程中，当学生错误地认为两个互质数的积一定是互质数时，教师可以通过引入一个反例（如2和4），让学生发现这个命题并不成立，从而帮助他们纠正这个错误的观念。
反例在初中数学教学中的运用也可以培养学生的分析和解决问题的能力。
通过引导学生发现问题，分析问题的关键，并找到反例进行思考和探讨，可以激发学生的思维，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
在教学过程中，当学生学习平方根的概念和性质时，教师可以通过引入一些特殊的数，如负数、0等，让学生思考这些特殊数的平方根是否存在，以及它们的性质是怎样的，从而培养学生的分析和解决问题的能力。
反例在初中数学教学中的运用具有重要的作用。
通过引入反例，可以帮助学生深入理解数学概念的本质和边界，避免常见错误，并培养学生的分析和解决问题的能力。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用初中数学教学中，反例具有重要的作用。
反例可以帮助学生理解知识点的本质，辨别正确与错误的推理，加深对数学概念的理解，提高数学思维能力等。
下面从数学教学中几个角度来探讨反例的运用。
一、辨别正确与错误的推理在数学教学中，常常会给出一个命题并要求学生证明其正确性。
此时，反例可以用来帮助学生辨别正确与错误的推理。
例如：正误命题：对于任意正整数 a、b，若 a+b 是奇数，则 a 和 b 必须一个是奇数，一个是偶数。
学生可能会直接用分类讨论法进行证明，但这种做法可能会感到比较繁琐。
此时，我们可以借助反例的思想来帮助学生更快、更简单地完成证明。
我们可以让学生举两组（a,b）使得 a+b 是奇数的反例，然后再分别讨论这两组反例中 a 和 b 的奇偶性，从而找到规律并证明原命题错误。
二、加深对概念的理解在数学教学中，反例可以用来帮助学生加深对概念的理解。
例如：定义：平方数是某个正整数的平方，例如 1、4、9 等。
学生有时候难以理解这个概念，很可能会以为只要是正整数就是平方数。
此时，我们可以通过举出非平方数的反例来加深学生对平方数的理解。
我们可以让学生分别判断 2、3、5、6、7、8、10 等数是否是平方数，从而使学生对平方数的概念有更加准确的认识。
三、发现问题、提高数学思维能力在数学教学中，反例不仅可以帮助学生理解知识点，也可以帮助学生发现问题、提高数学思维能力。
例如：问题：有一个班级，里面有 31 个学生。
他们每一个人的身高都在 1.4~1.8 米之间。
证明：这个班级里面至少有两个人的身高相差不超过 0.04 米。
此题中，如果学生直接进行分类讨论，可能会感到比较棘手。
此时，我们可以让学生尝试用反证法解决问题。
假设班级中不存在两个学生的身高相差不超过 0.04 米，然后找出两个身高相差最接近但又不相同的学生进行讨论，从而找出问题所在并进行证明。
通过这样的练习，学生不仅能够掌握反证法的使用方法，还能够提高自己的数学思维能力。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用
反例是指一个命题的反命题或者是一个错误的示例。
在初中数学教学中，反例是一种非常有用的教学方法，可以帮助学生更好地理解和掌握数学的概念和性质。
下面将详细介绍反例在初中数学教学中的运用。
反例可以帮助学生纠正错误的观念和思维方式。
在学习数学的过程中，学生可能会对一些概念和定义有一些误解或者错误的理解。
通过给学生展示一个具体的反例，可以让他们发现自己的错误，并重新修正自己的观念。
在讲解直角三角形的时候，老师可以给学生举一个不是直角三角形的例子，比如边长相等的等边三角形，让学生发现直角三角形的特点并纠正错误的观念。
反例可以帮助学生深入理解数学概念的本质。
有时候，学生只是机械地记住了一些规则和定义，却没有真正理解其背后的意义和原理。
通过给学生展示一些反例，可以帮助他们思考为什么这个规则或者定义是成立的。
在讲解加法交换律的时候，老师可以给学生举一个不满足加法交换律的例子，比如3+4和4+3的结果不相等，让学生思考为什么加法交换律在一般情况下是成立的。
反例还可以帮助学生提高数学问题解决能力。
在解决数学问题的过程中，学生可能会遇到一些困难和挑战。
通过给学生展示一些反例，可以帮助他们更好地思考和解决问题。
在讲解因式分解的时候，老师可以给学生一个不能因式分解的多项式，让学生思考如何解决这个问题。
通过解决这个问题，学生可以提高自己的问题解决能力和思维能力。
反例在中学数学教学中的应用研究
反例在中学数学教学中的应用研究今天咱们一起来聊聊一个很有趣的数学小秘密——反例在数学学习里的奇妙用处。
啥是反例呢？简单来说，反例就是能证明某个说法不对的例子。
就像你和小伙伴玩游戏，有人定了个规则，要是你能找到一个不符合这个规则的情况，那这个情况就是反例啦。
下面咱们就来看看反例在中学数学里都有哪些好玩的应用吧。
一、用反例来理解数学概念。
在数学里，有好多概念听起来有点绕，不太好懂。
这时候，反例就能派上大用场啦！比如说，我们学“质数”这个概念的时候，老师会告诉我们，质数就是除了1和它本身，再也没有别的因数的数。
那我们怎么才能真正明白这个概念呢？这时候反例就来帮忙啦。
比如说数字6，6除了能被1和6整除，还能被2和3整除，所以6就不是质数。
通过这个反例，我们就能更清楚地知道，什么样的数不是质数，那反过来，也就更容易理解什么样的数是质数啦。
就好像你在找宝藏，知道了哪些地方没有宝藏，那剩下的地方就更有可能藏着宝藏哟！二、用反例来判断数学命题的对错。
有时候，数学里会有一些命题，让我们判断它是对还是错。
这时候，反例就是我们的“小侦探”啦！比如有个命题说：“所有的偶数都是合数。
”合数就是除了能被1和本身整除外，还能被其他数整除的数。
那这个命题对不对呢？我们来找找反例。
你看数字2 ，2是偶数吧，但是它只能被1和2整除，它可不是合数哟，所以2就是这个命题的反例。
通过这个反例，我们就知道这个命题是错的啦。
这就像你在判断一个人说的话是不是真的，找到了一个和他说的不一样的情况，那就说明他说的不对咯。
三、用反例来纠正做题时的错误。
在做数学题的时候，我们有时候会不小心犯错。
这时候，反例就能像一个小老师一样，帮我们找出错误。
比如说，有一道题让我们判断“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形一定是等边三角形”这个说法对不对。
有的小伙伴可能会觉得对，那我们就来找找反例。
想象一下，有一个三角形，它的两个角都是60°，第三个角是60°，那它确实是等边三角形。
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反例在数学教学中的运用江西省湖口中学崔小昊[内容提要]当前，在数学教学过程中，教师对运用反例的作用认识不够，教材也没有给予足够的重视。
虽然证明在数学学习中有重要的作用，但作为问题的另一方面，也应清楚反例在数学学习中的重要性。
注重反例教学培养学生思维的严密性、灵活性及注重反例构造培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。
反例构造还是诱发学生创造力的很好载体。
[关键词] 数学教学；反例；思维；反例构造在数学教学中，要证明一个命题正确，必须经过严格的推证，而要否定一个命题却只需举出一个与结论相矛盾的例子就行。
这种与命题相矛盾的例子称为反例。
反例具有直观、说服力强等突出特点，它在数学教学中得到广泛运用。
因此在中学数学教学中有意识地使用反例，并加强对反例构造方法的指导，对学生创新思维的发展是大有裨益的。
一、注重反例教学，培养学生思维的严密性数学是一门严谨的学科，主要体现于对数学概念的理解、解决实际数学问题的思维。
1、反例用于强化概念在概念的学习中，有些学生不注意领会定义中的关键性词句，不善于抓住概念的本质属性，经常出现理解上的混肴或应用上的失误。
对此，教师在教学中，不仅要运用正面的例子加以阐述，而且要善于借助反例的简明且具有说服力的否定来澄清学生的片面认识，强化对概念的理解，这样往往能起到正面例子难以起到的作用。
例如，学习《等腰直角三角形》时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”、“直角”、“三角形”三方面组成。
一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至连三角形的两边之和大于第三边都不考虑了。
此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。
另外“等腰”、“三角形”等性质亦可如是强调。
因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数学反例，突显出所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。
面的射影是底面的中心”这一条件，误认为“底面是正三角形，各侧面均为等腰三角形的三棱锥就是正三棱锥”。
对此，可举反例如下：如图1所示，三棱锥ABCS-中，SC,ACBCSAAB。
显然底面为正2==3====SB三角形，侧面均为等腰三角形，但三棱锥ABC S -却不是正三棱锥。
2、反例用于纠正错解面对学生解题中所出现的共性错解，教师一般不要急于点破，而应示以反例，曲中窥直，用反例说明解法有误，从而引导学生去追寻问题错误的根源，并指导学生纠正错误，最终让师生共同品尝成功的“甘甜”。
例如，学生在学习了等比数列前n 项和公式后，在求等比数列前n 项和时往往直接应用公式qq a S n n --=1)1(1，而不考虑公比是否等于1。
对此，教师可以设计这样一道题，求和：ααααn cos cos cos cos ++++ 32.多数学生都能熟练地套用公式，但大多数学生都忽略了0=αcos 和1=αcos 这两种情况应另类考虑，经教师提醒后，学生终于认识到0=αcos 时，{αn cos }不是等比数列；当1=αcos 时，{αn cos }虽是等比数列，但q =1，因此求和时也不能套用上面的公式。
这一反例可以促进学生对等比数列分类条件的重视，使学生知道对待每一个数学问题，必须仔细观察，培养自己敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性。
二、注重反例教学，培养学生思维的灵活性因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以注重反例教学不但能使学生发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，提高思维的灵活性。
1、反例用于强调条件学生在学习公式、法则、定理时，往往侧重于记忆其结论，不注意它们的使用范围，以致使用时生搬硬套、错误百出的现象极为严重。
因此，教师在讲授时，要反复强调公式、法则、定理中的限制条件，指出它们的应用范围，并可根据学生的知识水平，适当地举出一些反例，以突出“限制条件”的重要性。
例如，用均值不等式2b a +≥ab （+∈R b a ,，当且仅当b a =时取等号），3c b a ++≥3abc （+∈R c b a ,,，当且仅当c b a ==时取等号）求最值时，必须满足两个条件：其一是必须保证不等式的右边为常数；其二是必须能取到等号。
例1：已知+∈R b a ,且12=+b a ，求ab 的最大值。
错解： ∵2b a +≥ab ∴ab ≤2)2(b a + ……① 当且仅当b a =时，即31==b a 时 ab ≤91)2(23131=+ ∴31==b a 时，ab 的最大值是91. 但若41=a ，21=b 时，ab =81，很明显8191<，因而91并不是ab 的最大值。
其错误的原因就在于①式右边不是常数。
正解： ∵12=+b a∴b a ⋅)2(≤2122=+b a ∴ab ≤81 当且仅当b a =2时，即41=a ，21=b 时取等号， ∴ab 的最大值是81. 例2：0>x ，243xx +的最小值。
错解： ∵0>x∴224243x x x x x ++=+≥642332=⋅⋅⋅xx x ……② ∴243xx +的最小值为6. 显然，此解法是错误的，因为②式取等号的条件是242xx x ==，而满足此等式的x 是不存在的。
故②式不能取等号，只能得出6432>+xx . 正解： ∵0>x∴224232343x x x xx ++=+≥33293423233⋅=⋅⋅⋅x x x 当且仅当2423xx =即3923⋅=x 时取等号， ∴243xx +的最小值为393⋅. 2、反例用于畅通思路当学生遇到难题时，思维非常容易受阻，迫使他们寻求新的解法，从而提高思维的灵活性。
例：设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数为E ，面数为F ，则它们之间的关系一定正确的是（ ）。
①E nF 2= ②E mV 2= ③2+=+E F V ④E mF 2=A)、③ B)、①③ C)、①②③ D)、①②③④大部分同学一遇到题目中只有字母，无数字时，就不知从何处下手。
实际上，做这类题时，最好的方法就是举例子验证。
分析：由欧拉公式知③是正确的，且在四个答案中都有。
那么还有哪些是正确的呢？由于正多面体只有5种，可举几个正多面体为例验证一下。
有的同学用的是正四面体，发现n =3，m =3，F =4，E =6，V =4，则①、②、④也都正确，认为全部正确，选(D).其实在正六面体中，n =4，m =3，F =6，E =12，V =8，此时④中的mF =18，E 2=24, mF ≠E 2，所以该题的正确答案选(C).又如图2所示，有一长方体1111D C B A ABCD -，其长cm AB 5=，宽cm AD 4=，高cm AA 31=，求由顶点A 沿着表面到对角顶点1C 的最短路线的长。
开始时，有较多学生误认为长、宽和高之和123451=++=++CC BC AB 为所求路线之长。
当教师举出自A 沿棱AB 和右侧面对角线1BC 和1C 所得路线长为1210435221<=++=+BC AB 时，学生们清醒地意识到原来的解答有误，并兴趣盎然地探求新的解题思路。
类似地出现： 108.9344354221<≈+=++=+DC AD 及 3444.941345322111+<≈+=++=+C A AA 教师进一步稍加点拨，学生们受反例的启发，思路又自然地被引向展开侧面的深层考虑。
由图3可知，A 沿着表面到1C 的最短路线的长为cm 745)43(22=++. 三、注重反例教学，培养学生思维的深刻性 反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以运用反例时不能就事论事，而要把问题的产生过程，如何举出反例的思维过程充分展现给学生，使反例的提出与整个推理过程有机地结合，从而培养学生思维的深刻性。
例如，“x sin y =在第一象限内是增函数”这一说法正确吗？大部分同学在刚开始学习正弦函数时，对于上述命题很难做出正确的判断。
认为从正弦函数图像中可以看出该命题是正确的。
其实这一说法是错误的。
因为，当我们取π351-=x ，62π=x 这里虽有21x x <，可是)()(21x f x f >。
那错在什么地方？就错在忽视了x sin y =的单调增区间是)22,22(ππππ+-k k ，所以当两个角在同一象限但不在同一单调区间内时，上述命题的说法则是错误的。
又如，若2a ，2b ，2c 成等差数列， 问c b +1，c a +1，ba +1是否也成等差数列。
这时，同学们可能会立刻用自己学过的等差数列知识来求证。
比如有位同学是这样解：∵2a ，2b ，2c 成等差数列∴2b -2a =2c -2b整理得：(b +a )(b -a )=(c +b )(c -b )即:ab bc b c a b +-=+- 图2A1C 1图31C 11C 1再在两边同时除以(a +c )得:))(())((c a b a b c c b c a a b ++-=++- 把上式拆成:ca b a c b c a +-+=+-+1111 ∴c b +1，c a +1，ba +1也成等差数列。
初看此解的过程好像是正确的，但你只要仔细想一下就会发现问题的所在。
若a =c =-b 时，虽然2a ，2b ，2c 还是成等差数列，但(b +a )，(c +b )都等于零，分母是不能为零的，所以结论是不成立的。
再如，学生学习《三垂线定理及逆定理》时，往往忽视“平面内的一条直线”中“内” 的特定条件。
教学中可用如下反例来启发学生，如图4所示，在正方体1111D C B A A B C D -中，因为B A 1∥1CD ，1CD ⊥D C 1，所以D C 1⊥B A 1，又11B A 是B A 1在平面11D B 内的射影，故D C 1⊥11B A 。
事实上，因为11B A ∥11D C ，︒=∠4511D DC ，所以D C 1与11B A 所成的角为45º，并不垂直。
造成上述错误的原因是忽视了“D C 1不在平面11D B 内”，用这个反例来说明定理中“内”字的重要性，使学生的体会尤为深刻。
四、注重反例构造，培养学生思维的发散性教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构造反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构造并不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构造反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。