18.2.3三定一动的平行四边形存在性问题总结

（2005•武汉）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标 分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象 限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标 是 ． （2，5）
2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-2,1),B(3,-3),C(4,0),点D 是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一个平行四 边形,求在平面内符合这样条件的点D的坐标.
(1) m=1 y=x+1 y= x - 2x + 1 O (2)点C、D是定点，点P、E两个动点 设P点坐标（X，x+1 得 （ x+1）- （ ），则点E坐标（X， x - 2x + 1 ）由 PE=DC x - 2x + 1
2 2 2
A P D B E C
）=2
练习
二次函数 y= 2x - 2 的图象与X轴交于A 、B两点,如图所示，与y 轴交于C点.直线x=m(m＞1)与X轴交于点D. （1）求A 、B 、C三点的坐标。 （2）在直线x=m(m＞1)上取一点P（点P在第一象限），要使以 PDB为顶点的三角形与以B为顶点的三角形相似，求P点得坐标 （用含m的代数式表示） 2 （3）在（2）成立的条件下，问抛物线 y= 2x - 2 的图象上是否 存在一点Q,使四边形ABPQ是平行四边形?若存在，请求出此时 m的值；若不存在，请说明理由。 y
C D
三定点确定的三条线段肯定有一条是平行四边 D 形的对角线 但是哪一条不确定， 故分情况讨论： ⑴BC为对角线， A ⑵AC为对角线。 ⑶AB为对角线。 D
B
已知三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标，使其构成平行四边形 2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 点D是平面内一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一个平 行四边形,则在平面内符合这样条件的点D的坐标为
利用平行四边形对边平行且相等的性质。 转化为线段的平移问题。 在平移过程中，图形上的每一点都沿相同方向移动相同的距离。 D (-4,2) C(0,2)
平移线段法
D (4,2)
→
(-1,0) A O 三定点确定的三条线段肯定有一条是平行四边 D 形的对角线 但是哪一条不确定， 故分情况讨论： ⑴BC为对角线， ⑵AC为对角线。 ⑶AB为对角线。
8 2 ∴BP 2 QR 5 5
2 12 12 6 ∴2 ，∴R( ， ) ， 5 5 5 5
12 6 经检验R( ， ) 在抛物线上， 5 5
显然，□ PBQR的点R不在抛物线上.
R R
(2)当PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形时
4 ∵BQ t PR 5
②当S取得最小值时，t
4 5
8 6 ∴P( ， 2) ，Q(2 ， ) 5 5
R
R
点P、B、Q都是定点，只有 点R一个动点位置不确定 分两种情况：
R
解:假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： (1)当PB为一条边，使四边形PBRQ为平行四边形时
例1. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为2cm，点A、
C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和 B，且12a+5c=0 （1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点A沿AB边以2cm/ｓ的速度向点B移动，同时点Q由点 B开始沿BC边以1cm/ｓ的速度向点C移动，那么： ①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关 系式，并写出t的取值范围； ②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在， 请说明理由。
4 14 ∴2 5 5
8 14 8 14 ∴R( ， ) ，经检验R( ， ) 不在抛物线上 5 5 5 5
12 6 综上所述，当S最小时，抛物线上存在点R( ， ) ，使得以P、B、Q、R 5 5
为顶点的四边形是平行四边形。
第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B （3,0）C（0，-1）三点。
O
（2012•衢州）如图，已知函数y=2x和函数
的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面 积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边 形是平行四边形，则满足条件的P点坐标 是 ． P1（0，﹣4）P2（﹣4，﹣4）P3（4，4）
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
→
B(3,0) D (2,-2)
已知三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标，使其构成平行四边形 2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 点D是平面内一点,若四边形AB CD是平行四边形,则在平 面内符合这样条件的点D的坐标为
利用平行四边形对边平行且相等的性质。 转化为线段的平移问题。 在平移过程中，图形上的每一点都沿相同方向移动相同的距离。 C(0,2)
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P ，使Q、P、 A、B为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
y
点A、B是定点， 点Q 、P两个动点 分两种情况： AB为一条边 AB为一条对角线
A （-1,0） O
Q
P

（3,0） x B
解:假设在抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： (1)当AB为一条边时
2
A
O C
B
x
三定一动确定
平行四边形的方法
C D
A
B
三定一动确定平行四边形的方法 三定点确定的三条线段肯定有一条是平行四边 形的对角线 但是哪一条不确定， 故分三种情况讨论：有三种结果. ⑴BC为对角线， ⑵AC为对角线。 ⑶AB为对角线。
C D
A
B
三个定点一个动点平行四边形存在性问题
抛砖引玉
1.点A、B 、C是平面内不在同一条直线上的三点, 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好 构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的 点D有( C ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
四个顶点的顺序已确定 故D点是唯一确定的.
(-1,0) A
O
B(3,0) D (2,-2)
（2008•江西）如图：在平面直角坐标系中，有A（0，1）， B（﹣1，0），C（1，0）三点坐标． （1）若点D与A，B，C三点构成平行四边形， 请写出所有符合条件的点D的坐标； （2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．
y P Q
由题意可知 PQ=4，所以P点 横坐标X=±4
A （-1,0）
Q
P
O
B （3,0）
x
(2)当AB为一条对角线时
y
由题意可知AO=BE=1 所以OE=3-1=2 所以P点横坐标X=2
Q E O A （-1,0） B P （3,0） x
例3.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B 点在y轴上 (1)求m值及二次函数的关系式. (2)D为直线A B与二次函数图象对称轴的 交点,P线段A B上的一个动点(点P与A 、 B不重合),过P作x轴的垂线与二次函数的 图象交于E点,在线段A B上是否存在一点 P,使四边形DCEP是平行四边形?若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理 由。