高中学业水平测试数学试卷(包含答案-让你百分百过)
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题含答案
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|0B x x =>，则下列结论不正确的是（）A.1A B ∈ B.A B∅⊆ C.{}2A B ⊆ D.{}|0x x A B>= 【答案】D 【解析】【分析】根据交集、并集的定义求出A B ⋂，A B ⋃，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =，所以{}1,2⋂=A B ，{}{}|01A B x x ⋃=≥⋃-，所以1A B ∈ ，A B ∅⊆ ，{}2A B ⊆⋂，故A 、B 、C 正确，D 错误；故选：D 2.函数的定义域是（）A.1-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， B.1-2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，C.12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、分式的分母不为零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意210x ->，解得12x >，所以()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.复数()i 2i z =+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.【详解】()1i i 22i z =-+=+，故对应的点为()1,2-，位于第二象限，故选：B4.已知平面向量()1,1a =- ，()2,b λ= ，若a b ⊥，则实数λ=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1a =- ，()2,b λ= 且a b ⊥，所以()1210a b λ⋅=⨯+-⨯=，解得2λ=.故选：A 5.已知πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2θ=（）A.3B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到tan 3θ=，再利用二倍角公式求解即可.【详解】若πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1sin cos cos 22θθθ+=，化简得31sin cos 022θθ-=，解得3tan 3θ=，由二倍角公式得232322tan 33tan221tan 3θθθ⨯===-，故B 正确.故选：B6.上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r 的圆台的体积为（）A.37πrB.321πrC.(35πr+D.(35πr+【答案】A 【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r ，所以()23221π227π33V r r r r r ⎡⎤=++⨯=⎣⎦.故选：A7.从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）A.35B.710C.45 D.910【答案】C 【解析】【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数所有可能结果有()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共10个，其中满足两个数的和不小于5的有()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共8个，所以这两个数的和不小于5的概率84105P ==.故选：C8.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为3log 100Ov k =，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为2m /s 时耗氧量的单位数为8100，则游速为1m /s 的鲑鱼耗氧量是静止状态下鲑鱼耗氧量的（）A.3倍 B.6倍C.9倍D.12倍【答案】C 【解析】【分析】利用给定条件得到31log 2100O v =，再算出不同情况的消耗氧气的数量，再作比值求倍数即可.【详解】由题意得381002log 100k =，解得12k =，故31log 2100O v =，当1v =时，有311log 2100O=，解得900O =，当0v =时，有310log 2100O=，解得100O =，故得9009100=倍，故C 正确.故选：C9.不等式()()e e 10xx --<（其中e 为自然对数的底数）的解集是（）A.{01}xx <<∣ B.{|0e}x x << C.{0x x <∣或1}x > D.{0xx <∣或e}x >【答案】B 【解析】【分析】写出不等式的等价不等式组，解得即可.【详解】不等式()()e e 10xx --<等价于e 0e 10x x -<⎧⎨->⎩或e 0e 10x x ->⎧⎨-<⎩，解得0e x <<或x ∈∅，所以不等式的解集为{|0e}x x <<.故选：B10.已知a 为实数，则“0x ∀>，12ax x+≥”是“1a ≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用分离参数法求出a 的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.【详解】若10,2,x ax x ∀>+≥则22121(1)1,a x x x≥-+=--+当1x =时，不等式的右边取得最大值1，故1,a ≥充分性成立；若1,a ≥则0x >时,12,ax x+≥≥当且仅当1x a ==时取等，即12ax x +≥恒成立，因此，由 1 a ≥可以推出0,x ">1 2ax x+≥，故必要性成立.综上所述，10,2x ax x∀>+≥是 1 a ≥的充要条件.故选：C.11.若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,2 B.(]0,4 C.(]0,6 D.(]0,8【答案】A 【解析】【分析】利用给定的区间，求出π6x ω+的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可.【详解】当ππ[,]126x ∈-时，πππππ[,+]661266x ωωω+∈-，若函数π()sin(0)6f x x ωω=+>在区间ππ[,]126-上单调递增，则πππ2π662πππ2π2612k k ωω⎧+≤+⎪⎪⎨⎪-+≤-⎪⎩，Z k ∈，解得212,824,Z k k k ωω≤+≤-∈，又0ω>，当0k =时,可得02ω<≤.故选：A.12.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC所成角的余弦值为3．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（）A.2B.2C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP 的几何特点列方程组求出半径，再根据面积计算公式即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为123cos 3A AO ∠=，棱台的高为2r ，所以126sin 3A AO ∠=，111122sin 63r AA BB CC A AO =====∠，211333323O P AP AB ==⨯=，同理136O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以()21326PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-=⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()22233236PQ r x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以()2133262PQ O P O Q x =+=+=,所以1sin 2ABC S AB AC A =⋅=△111111111sin 24A B C S A B A C A =⋅= ，()1111124BCB C S BC B C PQ =+=正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，故侧面积为4,所以此棱台的表面积是442S =++=.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.下列不等式正确的是（）A.4> B.4< C.24log 3log 5> D.24log 3log 5<【答案】BC 【解析】【分析】根据指数幂的运算及指数函数的性质判断A 、B ，根据对数的运算性质及对于函数的性质判断C 、D.【详解】414142222224⨯==⎭==⎛⎫< ⎪⎝A 错误，B 正确；2421log 5log 5log log 32==<，故C 正确，D 错误.故选：BC14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.11//BC A DB.1//BC 平面11A ADDC.111BC B D ⊥D.1BC ⊥平面11A B CD【答案】BD 【解析】【分析】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，根据正方体的性质得到11//BC AD ，即可判断A 、B 、C ，证明11BC B C ⊥、1CD BC ⊥，即可判断D.【详解】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，对于A ：在正方体中11//AB D C 且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//BC AD ，又11A D AD ⊥，所以11BC A D ⊥，所以A 错误；对于B ，因为11//BC AD ，1AD ⊂平面11A ADD ，1BC ⊄平面11A ADD ，所以1//BC 平面11A ADD ，所以B 正确；对于C ：因为11AB D 为等边三角形，所以1160AD B ∠=︒，又11//BC AD ，所以11AD B ∠为异面直线1BC 与11B D 所成的角，即直线1BC 与11B D 所成的角为60︒，则1BC 与11B D 不垂直，所以C 错误；对于D ：在正方体中，11BC B C ⊥，CD ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1CD BC ⊥，又1CD B C C ⋂=，1,CD B C ⊂平面11A B CD ，所以1BC ⊥平面11A B CD ，所以D 正确．故选：BD ．15.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（）A.()f x 的最小值是3-B.()f x 5C.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角恒等变换将函数化为二次函数，求解最值判断A ，B ，利用换元法求解零点，再判断范围求解C ，D 即可.【详解】易得2213()2sin cos 22sin 12sin 2(sin )22f x x x x x x =+=+-=--+，故函数()f x 在1sin 2x =时，取得的最大值为32，当sin 1x =-时，函数取得的最小值为3-，故A 正确，B 错误，令[]sin 1,1x t =∈-，故2()212f t t t =+-，令()0f t =，解得11322t =+或21322t =-，当113122t =+>时，排除，无法解出x ，当21322t =-时，可得13sin 22x =-，而sin y x =在π(,0)6-上单调递增，故当π(,0)6x ∈-，1sin ,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1130222-<-<，则()f x 在区间π,06⎛⎫-⎪⎝⎭内存在零点，故C 正确，而当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0y x =>，1022y =-<，显然sin y x =和122y =-无交点，则()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，故D 正确.故选：ACD.16.在ABC 中，3AB =，1AC =，π3BAC ∠=，点D ，M 分别满足3AB AD = ，2BC MC = ，AM 与CD 相交于点F ，则（）A.1233CD AB AC=- B.12AF AM=C.132AM =D.13cos 13DFM ∠=【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则判断A ，设AF AM λ=，用AD 、AC 表示AF ，根据共线定理的推论得到方程求出λ，即可判断B ，由1122AM AB AC =+及数量积的运算判断C ，求出cos ,CD AM ，即可判断D.【详解】对于A ，13CD AD AC AB AC =-=-，故A 错误；对于B ，设AF AM λ=，又1122AM AB AC =+ ，∴1132222AF AB AC AD AC λλλλ=+=+，又F ，D ，C 三点共线，∴3122λλ+=，12λ∴=，∴12AF AM = ，故B 正确；对于C ，1122AM AB AC =+，∴()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+111391231424⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2AM ∴= ，故C 正确；对于D ， 111322CD AM AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211111111331163263222AB AB AC AC =-⋅-=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ，又222211212191311393932CD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-=-⋅+=⨯+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴1CD =，又2AM =，12cos cos ,13132CD AM DFM CD AM CD AM⋅∴∠===⋅ ，故D 正确．故选：BCD．非选择题部分（共48分）三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17.已知A ，B 是相互独立事件，()23P A =，()12P B =，则()P AB =_____________．【答案】13【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可.【详解】因为A ，B 是相互独立事件，所以()()()211323P AB P A P B ==⨯=.故答案为：1318.函数2()log f x x =的反函数为_______.【答案】2xy =【解析】【分析】设2log y x =，由指对数式的互化得到2y x =，再将,x y 位置互换即可得出答案.【详解】解：设2log y x =，则2y x =，所以函数2()log f x x =的反函数为2x y =.故答案为：2x y =.19.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，则()2023f =_____________．【答案】2【解析】【分析】利用给定条件，得到函数的周期性，将所求函数值化为已知函数值，代入求解即可.【详解】由题意得()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，故()()()224f x f x f x -=-=-，可得()()442()f x f x f x -=--=，故得函数的周期4T =，而令1x =，可得()214f =，解得()12f =，则()()()()()2023450533211f f f f f =⨯+==-==.故答案为：220.已知,,a b c 是同一平面上的3个向量，满足3a =，b = ，6a b ⋅=- ，则向量a 与b 的夹角为_____________，若向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则c r 的最大值为_____________．【答案】①.3π4##135︒②.【解析】【分析】由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 求出向量a 与b 的夹角，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，即可得到,,,O A B C 四点共圆，利用正弦定理求出AOB 外接圆的直径，即可求出c的最大值.【详解】因为3a =，b = ，6a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以3π,4a b = ，因为3a =，b = ，3π,4a b = ，如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c a OC OA AC -=-= ，c b OC OB BC -=-= ，又向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则π4ACB ∠=，又3π4AOB ∠=，所以,,,O A B C 四点共圆，又AB b a =- ，所以AB == 设AOB 外接圆的半径为R ，由正弦定理23πsin 42AB R ===c故答案为：3π4四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，[]95,105（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a 的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；（2）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．【答案】（1）0.035a =，估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1（2）7次【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可.（2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以()100.010.0250.020.011a ⨯++++=，解得0.035a =.因为()100.010.0250.350.6⨯+=<，()100.010.0250.0350.70.6⨯++=>，所以中位数位于第三组[)75,85中，设中位数为x ，则()0.10.250.035750.6x ++-=，解得0.257582.10.035x =+≈，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1.【小问2详解】由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.10.250.350.7++=，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为100.77⨯=次.22.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1PA AC ==，BC =（1）求三棱锥-P ABC 的体积；（2）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（3）设点D 在棱PB 上，AD CD =，求二面角D AC B --的正弦值．【答案】（1）6（2）证明见解析（3）3【解析】【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.（2）先利用线面垂直判定定理得到BC ⊥平面PAC ，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.【小问1详解】因为,1,AC BC AC BC ⊥==，所以111222ABC S AC BC =⋅=⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ,所以三棱锥-P ABC 的体积11326V =⨯⨯=.【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面PBC ,所以PA BC ⊥,又,,AC BC PA AC A ⊥⋂=,PA AC ⊂平面PAC ,所以BC ⊥平面PAC ,因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问3详解】过点D 作DE AB ⊥于E ,取AC 的中点F ,连接,EF 因为PA ⊥平面,ABC PA ⊂平面,PAB 所以平面PAB ⊥平面ABC ,又平面PAB ⋂平面,ABC AB DE =⊂平面,PAB 所以DE ⊥平面,ABC DE ∥PA ，因为,AD CD =且F 是AC 的中点,所以,,,DF AC AC DE DF DE D AC ⊥⊥⋂=⊥平面DEF ,,EF AC ⊥所以DFE ∠是二面角——D AC B 的平面角,因为,,EF AC AC BC F ⊥⊥是AC 的中点，所以E 是AB 的中点，又DE //PA ，所以D 是PB 的中点,在Rt DEF △中,32DF ===，所以12sin 332DE DFE DF ∠==即二面角——D AC B的正弦值为3.23.已知函数()2π2sin 2f x x x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R a ∈．（1）若1a =，求()f x 在区间[]0,1上的最大值；（2）若关于x 的方程()10f x a ++=有且只有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．证明：（ⅰ）1322x x x +=；（ⅱ）()()311217818f x f x x +-+≤．【答案】（1）0（2）（ⅰ）证明见解析.（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分析法得到函数的单调性，再求解最值即可.（2）（ⅰ）合理构造新函数，求出一个零点，再结合对称性求解即可.（ⅱ）将目标式合理表示为函数，利用不等式的性质证明即可.【小问1详解】由已知得1a =,则2π()(1)sin()12f x x x =---，易知2(1)y x =-，πsin()2y x =-在区间[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上单调递减,所以max ()(0)0.f x f ==【小问2详解】（ⅰ）若2π()(1)sin()1,2f x x a x =---且()10,f x a ++=即2π(1)(sin()1)02x a x ---=有且只有三个实数根，所以0,a <令2π()(1)(sin()1),2g x x a x =---且(1)0g =，则()g x 的图象关于直线1x =对称，所以1322 2.x x x +==（ⅱ）由题意可知，令3πsin 2t x =，则有1()10,f x a ++=()310f x a ++=()()()()2311333217841cos π8271f x f x x x a x x a +-+=--+-++()()233342cos π1571x x a x a =--+++2233ππ4(sin 1)722(12sin )(242)1822a x a a a a x a t t =--++--=+++，因为0,a <所以2(242)1818a t t +++≤，即311(21)7()818f x f x x +-+≤得证.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理表示出目标式，然后结合不等式的性质，得到所要求的不等关系即可．。
福建省高二学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2023年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至4页，第II 卷5至6页． 注意事项：1．答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：样本数据，，，的标准差1x 2x L n xs =柱体体积公式，其中为底面面积，为高V Sh =S h 台体体积公式，()13V S S h '=++其中，分别为上、下底面面积，为高S 'S h 锥体体积公式， 13V Sh=其中为底面面积，为高S h 球的表面积公式，24S R π=球的体积公式， 343V R π=其中为球的半径R 第I 卷（选择题57分）一、单项选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则（ ）{}1,2,3A ={}2,3,4B =A B = A. B.C.D.{}1,2,3{}1,2,3,4{}2,3,4{}2,3【答案】D 【解析】【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答. 【详解】集合，，则. {}1,2,3A ={}2,3,4B ={}2,3A B ⋂=故选：D2. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边x 380︒相同的是（ ） A. B.C.D.20︒30︒40︒50︒【答案】A 【解析】【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到380︒{}|380360,Z k k ββ=︒+⋅︒∈1k =-，又，所以易知BCD 均不符合题意.20β=︒Z k ∈故选：A .3. 函数的定义域是（ ） ()()ln 2f x x =-A. B.C. D.()0,2()2,+∞[2,)+∞(,2)-∞【答案】B 【解析】【分析】解，即可得出函数的定义域. 20x ->【详解】解，可得，20x ->2x >所以，函数的定义域是. ()()ln 2f x x =-()2,+∞故选：B.4. 函数的零点所在的区间是 ()27xf x x =+-()A .B. C. D.()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C 【解析】【分析】由函数可得f （2）•f （3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间．【详解】∵函数f （x ）＝2x +x ﹣7，∴f （2）＝﹣1＜0，f （3）＝4＞0，f （2）•f （3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得，函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间是 （2，3）， 故选C ．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 5. 计算（ ） 1ln 3ln 3+=A. B. 0C. 2D. 31-【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算法则即可求出结果. 【详解】因为， 11ln 3ln ln 3ln 3ln 3ln 303-+=+=-=故选：B.6. 已知，则的最小值为（ ） 0x >4x x+A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立， 0x >44x x +≥=4x x =2x =所以的最小值为. 4x x+2故选：C.7. 下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ）A. ，B. ，()1,2a =r()0,0b = ()1,2a =r()1,2b =-- C. ，D. ，()1,2a =r()5,10b = ()1,2a =r()1,2b =- 【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A 错误；bB.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B 错误； a b =-C.，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C 错误；5b a = D.不存在实数，使，所以向量不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D 正确. λb a λ=,a b 故选：D8. 的内角、、所对的边分别为、、，且，，则边的值为ABC A B C a b c a =60A = 45C = c （） A.B.C.D.12【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理可求得边的长. c 【详解】因为，，由正弦定理，可得a =60A = 45C = sin sin c aC A=.sin sin a Cc A===故选：B.9. 甲、乙两人进行投篮比赛，他们每次投中的概率分别为，，且他们是否投中互不影响．若甲、0.50.6乙各投篮一次，则两人都投中的概率为（ ） A. B.C.D.0.20.30.4 1.1【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解.【详解】设甲投中为事件，乙投中为事件，两事件相互独立， A B 所以. ()()()0.50.60.3P AB P A P B ==⨯=故选：B10. 为了得到y = sin(x+),的图象，只需把曲线y=sinx 上所有的点 13x R ∈A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 3π13C. 向右平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度 3π13【答案】B 【解析】【详解】需把曲线y=sinx 上所有的点向左平行移动个单位长度,得到y = sin(x+),的图象. 1313x R ∈故选B.11. 不等式的解集为（ ） ()20x x ->A. 或.B. 或.{2x x <-0}x >{0x x <2}x >C. D.{}|02x x <<{}|20x x -<<【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】不等式，解得：或， ()20x x ->2x >0x <所以不等式的解集为或. {0x x <2}x >故选：B12. 设，，，则，，的大小关系是（ ）134a =132b =13log 2c =a b c A. B. a b c >>a c b >>C. D.c b a >>b c a >>【答案】A 【解析】【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，可得，，进而根据指数函数以及对数函数232a =3log 2c =-的性质，即可得出答案. 【详解】因为，，1213334220a b ==>=>133log 2log 20c ==-<所以，. a b c >>故选：A.13. 函数的图象大致是（ ）||2x y =A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】设，根据解析式得出函数的奇偶性以及单调性，即可得出答案.()||2x f x =【详解】设，则，所以为偶函数，所以A 、B 项错误.()||2x f x =()()||2x f x f x --==()f x 又当时，为增函数，所以C 项错误，故D 项正确.0x ≥()2xf x =故选：D.14. “”是“”的（ ） a c b c >a b >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.【详解】若，则，又因为，所以，即， a c b c >()0a c b c a b c -=->0c ≥0a b ->a b >若，因为，当时，不成立， a b >0c ≥0c =a c b c >所以“”是“”的充分不必要条件. a c b c >a b >故选：A.15. 某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为．现要在观测台的表面涂一层防水漆，若每3m 平方米需用涂料，则共需要涂料（单位：）（ ） 0.5kg kg A. B.C.D.1.5π 4.5π6π18π【答案】D 【解析】【分析】先利用球的表面积公式求出表面积，再根据条件即可求出结果.【详解】因为，所以球的表面积为，又每平方米需用涂料，所以共需3r =24π36πS R ==0.5kg 涂料.36π0.518π⨯=kg 故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．16. 下列函数中，是偶函数的有（ ） A. B.C.D.21y x =+2log y x =2x y =cos y x =【答案】AD 【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后将代入，结合偶函数的性质，即可得出答案.x -【详解】对于A 项，设，函数定义域为R ，且，()21f x x =+()f x ()()21f x x f x -=+=所以函数为偶函数，故A 正确；21y x =+对于B 项，因为函数的定义域为，不关于原点对称， 2log y x =()0,∞+所以函数为非奇非偶函数，故B 错误；2log y x =对于C 项，设，函数定义域为R ，但，()2xg x =()g x ()22xx g x --=≠所以函数不是偶函数，故C 错误；2xy =对于D 项，设，函数定义域为R ，()cos h x x =()h x 且，所以函数为偶函数，故D 正确. ()()()cos cos h x x x h x -=-==cos y x =故选：AD.17. 袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（ ）A. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C. “至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件D. “至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件 【答案】BC 【解析】【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为.将事件用集合表示出来，即可得出答{}0,1,2Ω=案.【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为. {}0,1,2Ω=对于A 项，“恰有一个红球”可用来表示，“都是红球”可用事件来表示. {}1A ={}0B =所以，事件互斥，但不是对立事件，故A 项错误； ,A B ,A B 对于B 项，“恰有一个黑球” 可用来表示，“都是黑球”可用事件来表示. {}1A ={}2C =所以事件互斥，故B 项正确； ,A C 对于C 项，“至少有一个黑球”可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示. {}1,2D ={}0B =所以，事件为互斥事件，也是对立事件，故C 项正确； ,B D 对于D 项，“至少有一个红球” 可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示. {}0,1E ={}0B =所以，事件，即交事件为“都是红球”，故D 项错误. {}0B E = 故选：BC .18. 如图，在长方体中，，下列命题正确的有（ ）1111ABCD A B C D -AB BC =A. 11A B CC ⊥B.11//A B B C C. 平面平面 1A BD ⊥11AAC C D. 平面平面 1//A BD 11CB D 【答案】CD 【解析】【分析】根据长方体的性质推得，即可判断A 项；根据长方体的性质推得四边形是11//AA CC 11DCB A 平行四边形，得出，即可判断B 项；根据长方体的性质以及线面垂直的判定定理，可得出11//A D B C 平面，即可得出C 项；根据长方体的性质以及线面平行的判定定理，可得出平面BD ⊥11AAC C 1//A D ，平面，然后即可判定面面平行，得出D 项.11CB D //BD 11CB D 【详解】对于A 项，由长方体的性质可知. 11//AA CC 又不垂直，所以不垂直，故A 错误； 11,AA A B 11,A B CC 对于B 项，由长方体的性质可知，， 11//A B CD 11A B CD =所以，四边形是平行四边形， 11DCB A 所以，.11//A D B C 因为不平行，所以不平行，故B 错误；11,A B A D 11,A B B C 对于C 项，因为，根据长方体的性质可知是正方形， AB BC =ABCD 所以，.BD AC ⊥根据长方体的性质可知，平面，平面， 1CC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，.1CC BD ⊥因为平面，平面，， AC ⊂11AAC C 1CC ⊂11AAC C 1AC CC C = 所以，平面.BD ⊥11AAC C 因为平面，所以平面平面，故C 项正确； BD ⊂1A BD 1A BD ⊥11AAC C 对于D 项，由B 知，.11//A D B C因为平面，平面，所以平面. 1B C ⊂11CB D 1A D ⊄11CB D 1//A D 11CB D 根据长方体的性质可知，，且， 11//BB DD 11BB DD =所以，四边形为平行四边形，所以.11DBB D 11//B D BD 因为平面，平面，所以平面. 11B D ⊂11CB D BD ⊄11CB D //BD 11CB D 因为平面，平面，， 1A D ⊂1A BD BD ⊂1A BD 1A D BD D ⋂=所以平面平面，故D 项正确. 1//A BD 11CB D 故选：CD.19. 某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（ ）A. 该简谐运动的振幅是 3cmB. 该简谐运动的初相是2π5C. 该简谐运动往复运动一次需要 2sD. 该简谐运动往复运动25次 100s 【答案】ABD 【解析】【分析】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A ；设该函数解析式为，由简谐运动在一个周期内的图象可得，把点代入解()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>ω()2.2,3-析式可得，可判断BCD.π33sin 2.22ϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭【详解】对于A ，由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是，故A 正确； 3cm 对于B ，设该函数解析式为， ()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>由简谐运动在一个周期内的图象可得，可得，所以12π3.2 1.22ω=-=T 112π3.2 1.222ω=-=⨯T ，所以， π4,2ω==T ()π3sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x 因为把点代入解析式可得， ()2.2,3-π33sin 2.22ϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭所以，所以， ()π1.1π2π2ϕ+=-+∈k k Z ()1.6π2πϕ=-+∈k k Z若，则，故B 正确； 2π1.6π2π5ϕ=-+=k 1k =对于C ，由B 可知，故C 错误；4s T =对于D ，该简谐运动往复运动次，故D 正确. 100s 100425÷=故选：ABD .第II 卷（非选择题43分）（请考生在答题卡上作答）三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．20. 已知为虚数单位，计算________． i ()i 1i -=【答案】## 1i +i+1【解析】【分析】根据复数的乘法运算，计算即可得出答案. 【详解】因为.()2i 1i i i 1i -=-=+故答案为：.1i +21. 已知函数，则________．221,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩((1))f f -=【答案】1 【解析】【分析】根据分段函数的表达式由内向外计算即可. 【详解】，，()1112f -=+=()22log 21f ==.()()11∴-=f f 故答案为：1.22. 已知向量，，且与的夹角为，则________．()1,0a =b =a b θcos θ=【答案】## 120.5【解析】【分析】先求向量与的数量积及和的模，再利用向量夹角公式即得．a b a b【详解】向量，，()1,0a =(b = 所以，，，1101⋅=⨯+= a b 1a = 2b == 则，1cos 1221θ⋅===⨯⋅a b b a故答案为：． 1223. 已知定义在上的函数同时满足下列两个条件：R ()f x ①，，；②，，． 1x ∀2R x ∈()()()1212f x x f x f x +=1x ∀2R x ∈()()12120f x f x x x -<-试给出函数的一个解析式：________．()f x ()f x =【答案】（答案不唯一）0.5x 【解析】【分析】根据已知结合指数函数的性质，即可得出答案.【详解】根据指数函数的性质，可知指数函数满足①；1212x x x x a a a +=由②可知，函数为单调递减函数.所以可取，即可满足.()x f x a=()01a <<故答案为：. 0.5x 四、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 24. 已知为第一象限角，且． α3cos 5α=（1）求的值；sin α（2）求的值．)t n(a π2α-【答案】（1）45（2） 247【解析】【分析】（1）根据条件，利用平方关系即可求出结果；（2）先利用（1）中结论求出，再利用诱导公式和正切的二倍角公式即可求出结果. 4tan 3α=【小问1详解】因为为第一象限角，且，所以. α3cos 5α=4sin 5α==【小问2详解】 由（1）知，又. 4tan 3α=282tan 243tan(π2)tan2161tan 719αααα-=-=-=-=--25. 如图，三棱锥中，，分别是，的中点．A BCD -E F AC BC（1）求证：平面；//EF ABD（2）若，，，，，，求三棱锥的AD BD ⊥3AD =4BD =5AC =BC=30CBD ∠=︒A BCD -体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）分别取的中点为，连结.可证明四边形为平行四边形，,AD BD ,G H ,,GE GH HF GHFE ，然后即可根据线面平行的判定定理得出证明；//EF GH （2）在中，根据余弦定理求得.进而在中，根据勾股定理得出.结合BCD △4CD =ADC △AD CD ⊥已知条件，根据线面垂直的判定定理即可得出平面.根据面积公式求出的面积，即AD ⊥BCD BCD △可根据棱锥的体积公式得出答案.【小问1详解】如图，分别取的中点为，连结.,AD BD ,G H ,,GE GH HF 因为分别为的中点，,,,E F G H ,,,AC BC AD BD 所以，，且，，， //GE CD 12GE CD =//HF CD 12HF CD =所以，且.//GE HF GE HF =所以，四边形为平行四边形，GHFE 所以，.//EF GH 因为平面，平面，GH ÌABD EF ⊄ABD 所以，平面.//EF ABD 【小问2详解】由已知可得，在中，有，，，BCD △4BD =BC =30CBD ∠=︒根据余弦定理可知，2222cos CD BD BC BD BD CBD =+-⨯∠(2242416=+-⨯⨯=，所以，.4CD =在中，有，ADC △22291625AD CD AC +=+==所以，，.90ADC ∠=︒AD CD ⊥因为，平面，平面，，AD BD ⊥CD ⊂BCD BD ⊂BCD CD BD D =I 所以，平面.AD ⊥BCD又， 1sin 2BCD S BD BC BCD =⨯⨯⨯∠ 11422=⨯⨯=所以，. 11333A BCD BCD V S AD -=⨯⨯=⨯= 26. 某地有农村居民320户，城镇居民180户．为了获得该地居民的户月均用水量的信息，采用分层抽样的方法抽取得样本，并观测的指标值（单位：），计算得农村居民户样本的均值为，方差为A A t 8.3，城镇居民户样本的均值为，方差为．10.8614.134.62（1）根据以上信息，能否求出的均值和方差？说明你的依据；A （2）如果中农村居民户、城镇居民户的样本量都是25，求的均值和方差；A A （3）能否用（2）的结论估计该地居民的户月均用水量的均值和方差？若能，请说明理由；若不能，请给出一个可以用来估计该地居民的户月均用水量的均值和方差的样本．【答案】（1）能，理由见解析（2）均值为，方差为11.231.15（3）不能，样本中农村户数为32，城镇居民户数为18【解析】【分析】（1）根据分层抽样求出从农村以及城镇居民抽取的户数，进而即可根据分层抽样的均值以及方差公式，求出结果；（2）根据分层抽样的均值以及方差公式，即可求出结果；（3）根据分层抽样，重新计算分配农村居民以及城镇居民的户数，即可.【小问1详解】能，理由如下： 设农村居民均值为，方差为，城镇居民均值为，方差为. 8.3x =210.86x s =14.1y =234.62y s =因为，则可知样本的户数为， 320161809=A *25,,120k k N k ∈≤≤其中农村居民的户数为，城镇居民为.16k 9k所以，样本的均值为， A 16910.38825k x k y z k +==方差()(){}22222116925x y s k s x z k s y z k ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. ()(){}2211610.868.310.388934.6214.110.38825k k k ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦27.16425627.16=≈【小问2详解】样本的均值为， A 1252511.250x y z +==样本方差()(){}222221111252550x y s s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. ()(){}2212510.868.311.22534.6214.111.231.1550⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦【小问3详解】不能，因为没有按分层抽样抽取样本，样本数据不能客观反映总体. 根据分层抽样抽取人数为，所以，2550k =2k =所以，应从农村居民中抽取户数为，从城镇居民中抽取户数为. 1632k =918k =。
2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案
2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学真题卷（答案在最后）本试卷共三大题，25小题，满分为100分.共4页.考试时间为90分钟.一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B = {}1,2,3，故选：D2.设命题:p x ∃∈R ，10x -≥，则命题p 的否定为（）A.R x ∀∈，10x -≤B.R x ∀∈，10x -<C.R x ∃∈，10x -≤D.R x ∃∈，10x -<【答案】B 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为：R x ∀∈，10x -<．故选：B ．3.已知i 为虚数单位，()1i i 5i a +=+，则实数a 等于（）A.1-B.1C.5- D.5【答案】C 【解析】【分析】化简方程可得i 5i a -=+，由此可求a .【详解】因为()1i i 5i a +=+，即2i i 5i a +=+，可得i 5i a -=+，所以5a =-.故选：C.4.已知2= a，b =，a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（）A.π4B.34π C.6π D.56π【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的定义求解．【详解】由已知2cos ,2a b a b a b ⋅===，又,],0π[a b ∈ ，∴π,4a b = ，故选：A ．5.如图，在长方体，1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，AB =，则异面直线CD 与11A C 所成的角的大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角．【详解】∵11//CD C D ，∴111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，在直角111AC D中，11111,A D AD C D AB ====，11111113tan 3A D A C D C D ∠==，所以11130AC D ∠=︒，所以异面直线CD 与11A C 所成的角是30︒，故选：A ．6.下列函数为奇函数的是（）A.2y x =B.e xy = C.tan y x= D.ln y x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数的性质，直接判断函数的奇偶性.【详解】A.2y x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，故A 错误；B.e x y =是非奇非偶函数，故B 错误；C.tan y x =是奇函数，故C 正确；D.ln y x =的定义域是()0,∞+，是非奇非偶函数，故D 错误.故选：C7.已知扇形的半径是1cm ，圆心角为2，则该扇形的面积是（）A.21cmB.22cm C.24cm D.28cm 【答案】A 【解析】【分析】根据扇形的面积计算公式可得.【详解】由扇形的面积公式，可得2211··2·1122S r α===，故选：A.8.已知:p a b >，33:q a b >，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可.【详解】因为3y x =在R 上单调递增，所以当a b >时，33a b >成立，反之当33a b >时，a b >成立，所以p 是q 的充要条件.故选：C9.从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：mm ），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（）A.5.40B.5.42C.5.44D.5.46【答案】A 【解析】【分析】根据众数的定义求解.【详解】根据众数的定义可得，该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值5.40.故选：A.10.为了得到函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果.【详解】对于A ，得πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭满足题意；对于B ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不满足题意；C ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意；D ，得π2cos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意.故选：A.11.函数()()lg 2f x x =-的零点是（）A.2B.3C.2,0D.()3,0【答案】B 【解析】【分析】令()0f x =，解方程可得结论.【详解】令()0f x =，可得()lg 20x -=，所以21x -=，故3x =.所以函数()()lg 2f x x =-的零点是3.故选：B.12.如图，在ABC V 中，2BO OC =，则AO 等于（）A.1133AB AC +B.1233AB AC +C.2133AB AC +D.2233AB AC +【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果.【详解】因为2BO OC =，所以()2AO AB AC AO -=- ，即得2132,33AO AC AB AO AC AB =+=+ .故选：B.13.抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M =“点数不大于2”，事件N =“点数大于1”，则下列结论中正确的是（）A.M 是不可能事件B.N 是必然事件C.M N ⋂是不可能事件D.M N ⋃是必然事件【答案】D 【解析】【分析】根据事件的定义判断．【详解】事件M 是点数为1或2，事件N 是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，M N ⋂是点为2，是随机事件，是可能发生的，M N ⋃是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件，故选：D ．14.函数23,0log ,0x x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用函数图象与x 非正半轴的交点个数及在(0,)+∞上单调性判断即可.【详解】当0x >时，函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，排除AB ；当0x ≤时，由0y =，得0x =或1x =-，此时函数图象与x 非正半轴有2个交点，排除C ，选项D 符合题意.故选：D15.从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a ，b ，则使log a b 为整数的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.【详解】由条件可知，得到不同的对数为2log 42=，2log 83=，4log 382=，41log 22=，82log 43=，81log 23=，共6个对数，其中为整数的有2个，所以概率2163P ==.故选：B16.设函数()f x 是定义域为R 的偶函数，若()f x 在区间[]2,1--上单调递减，则（）A.()()12f f ->-B.()()11f f -<C.()()12f f >-D.()()12f f <【答案】D 【解析】【分析】结合函数的单调性比较()()1,2f f --，结合偶函数性质可得()()()()11,22f f f f -=-=，由此确定结论.【详解】因为函数()f x 在区间[]2,1--上单调递减，21-<-，所以()()21f f ->-，A 错误；因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，所以()()()()11,22f f f f -=-=，B 错误；所以()()21f f >，()()21f f ->，D 正确，C 错误.故选：D.17.已知两条直线l ，m 与平面α，则下列结论中正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若l α⊥，//m α，则l m ⊥C.若//l α，m l ⊥，则m α⊥D.若l α⊥，m l ⊥，则//m α【答案】B 【解析】【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可.【详解】对于A ：若//l α，//m α，则//l m 或l 与m 相交或异面，故A 错误；对于B ；因为//m α，则存在直线a α⊂，使得//m a ，又l α⊥，所以l a ⊥，则l m ⊥，故B 正确；对于C ：因为//l α，m l ⊥，则m α⊥或//m α或m 与平面α相交（不垂直）或m α⊂，故C 错误；对于D ：因为l α⊥，m l ⊥，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B18.已知函数()22xxf x -=-，()22xxg x -=+，下列关于函数()f x 和()g x 的三个结论：①()g x 的值域是[)2,+∞；②存在0R x ∈，使得()03f x =，()04g x =；③任意x ，R y ∈，都有()()()()f x y f x y f x g y ++-=.其中所有正确结论的编号是（）A.①B.①②C.①③D.②③【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式判断①，联立方程，再结合122xx-=，判断②，根据指数运算，即可判断③.【详解】①()222x x g x -=+≥=，当22-=x x ，即0x =时等号成立，故①正确；②联立223224x x x x--⎧-=⎨+=⎩，解得：722x=，122x -=，显然这样122x x -=矛盾，故②错误；③()()2222x yx y x y x y f x y f x y +----+++-=-+-，()()()()22222222x x y y x y x y x y x y f x g y --+--+--=-+=+--，所以()()()()f x y f x y f x g y ++-=，故③正确.故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.2cos 3π=________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】结合诱导公式和特殊角三角函数结论求解.【详解】2πππ1cos cos πcos 3332⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：12-.20.已知()2,1a = ，(),2b x =- ，若a b ⊥ ，则x =________.【答案】1【解析】【分析】根据向量垂直坐标表示列方程求x 即可.【详解】因为()2,1a = ，(),2b x =- ，a b ⊥ ，所以220x -=，所以=1故答案为：1.21.某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n 人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则n =________.【答案】300【解析】【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n 人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人，则每个学生被抽到的概率为1001600p =，可得114401600176016n =++，解得300n =（人），故答案为：300.22.如图，城市A 在观察站B 的北偏东40︒方向上且相距20km ，在观察站C 的北偏西20︒方向上相距30km .则观察站B 和C 相距________km.【答案】【解析】【分析】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，利用余弦定理求.BC 【详解】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理可得2222·cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠，所以21400900220307002BC =+-⨯⨯⨯=，故BC =故答案为：.三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.23.已知函数()1sin 2f x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.【答案】（1）πT =；（2）π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解；（2）结合正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间，再求其与π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦交集即可.【小问1详解】因为()1sin 2f x x =+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，Z k ∈，则ππππ44k x k -+≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点.（1）求证：1BD AC ⊥；（2）若2AB =，1AA =，求三棱锥1B DCC -的表面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得.（2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可.【小问1详解】证法一：由题意知，ABC V 为正三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，又因为1AC CC C = ，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.证法二：如图，取1CC 中点E ，连接DE ，BE ，则BDE ∠或其补角即为异面直线1AC 与BD 所成的角，在BDE V 中，3BD =，3DE =，6BE =则BDE V 为直角三角形，90BDE ∠=︒，即异面直线1AC 与BD 所成的角为直角，故1BD AC ⊥.【小问2详解】因为ABC V 为正三角形，2AB =，所以3BD =，所以BCD △的面积11322S BD DC =⋅=，又1CC ⊥平面ABC ，所以1CC BC ⊥，1CC DC ⊥，所以1C CD 的面积21122S DC CC =⋅=1BC C △的面积31122S BC CC =⋅=，由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，所以1BD C D ⊥，13C D =，所以1BC D 的面积4113322S BD DC =⋅=，所以三棱锥1B DCC -的表面积123432S S S S S =+++=.25.为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长72米，宽54米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x 米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中13x ≤≤.（1）若种植植物的区域面积不小于3640平方米，求x 的取值范围；（2）若修建观赏通道的总费用为11881199m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭元，种植植物的费用为m x元/平方米（m 为正常数）.当x 为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m 表示）.（完成此计划的总费用=修建观赏通道的总费用+种植植物的总费用）【答案】（1）[]1,2；（2）32x =，最低总费用3474m 元.【解析】【分析】（1）由条件求出种植植物的区域面积，结合条件列不等式求其解可得结论；（2）根据条件求出完成此计划所需要的总费用，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】由题意得种植植物的区域面积为()()7254x x --，所以()()72543640x x --≥，即21262480x x -+≥，解得2x ≤或124x ≥.又13x ≤≤，得12x ≤≤，所以x 的取值范围为[]1,2.【小问2详解】设完成此计划所需要的总费用为S 元，则()()1188997254119930041263004126m S x x m x m x m m x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=--⋅+-=+-≥⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭36001263474m m m =-=，当且仅当94x x =即32x =时等号成立.所以，当32x =时，完成此计划所需要的最低总费用3474m 元.。
2023年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要2023年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考试数学试题求的。
1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.一个正方体的六个面上分别有字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与D 面相对的面上的字母是( )A. BB. EC. B 或FD. E 或F3.直线的倾斜角是( )A. B.C. D.4.函数的定义域是( )A.B.C. D. R5.随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是( )A. B.C. D.6.等差数列中，若，公差，则( )A. 10B. 12C. 14D. 227.已知函数则( )A. 4B. 2C.D.8.已知，且为第一象限角，则( )A. B.C.D.9.函数的零点所在的区间是( )A. B.C.D.10.函数的最小正周期是( )A. B. C. D.11.如图，在长方体体中，分别是棱的中点，以下说法正确的是( )A.平面 B. 平面C. D.12.函数的图象大致为( )A. B.C. D.13.为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )A. 向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度C. 向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度14.已知，则的大小关系是( )A. B. C. D.15.下列各组向量中，可以用来表示向量的是( )A. B.C. ，D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
16.数列的前n项和为，且，则__________.17.的内角所对的边分别为，且，则__________.18.已知向量与满足，且，则与的夹角等于__________.19.一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数x与所用时间分钟的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程据此可预测加工200个零件所用的时间约为__________分钟．20.某工厂要建造一个容积为的长方体形无盖水池．如果该水池池底的一边长为，池底的造价为每平方米200元，池壁的造价为每平方米100元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为__________三、解答题：本题共5小题，共50分。
2024年2024年高中数学学业水平合格考试题及答案
2023年高中数学学业水平试题及答案1．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =（）A ．2i +B ．2i -C ．12i+D ．12i-【答案】D【解析】∵复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，∴12i z =-，故选D ．2．在ABC V 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（）A ．1B ．2C D【答案】D【解析】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=故选D ．3．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为（）A ．3πB ．28πC ．D ．3【答案】A【解析】因圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，=，所以圆台的体积为221285(2244)33V π=+⨯+=，故选A ．4．，则原图形面积为（）A ．4B ．C ．2D ．3【答案】A【解析】底边长为a ，高为h 的三角形的面积为12S ah =，在斜二测直观图中，若三角形的底边与x '轴平行或重合，则原三角形的斜二测直观图的面积为112sin 45228S a h ah '=⨯︒=，则S ='，由于平面多边形可由若干各三角形拼接而成，故平面多边形的面积是其直观图面积的倍，4=，故选A ．5．已知向量a ，b ，c 满足()3,0=a ，()0,4=b ，()()1λλλ=+-∈R c a b ，则c 的最小值为（）A ．56B ．125C ．365D ．485【答案】B【解析】由条件可知()3,44λλ=-c ，则===c ，当1625λ=时，min 125=c ，故选B ．6．在平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD AB AD ==⊥，点P 为平行四边形ABCD所在平面内一点，则()PA PC PB +⋅uu r uu u r uu r的最小值是（）A ．58-B ．12-C ．38-D ．14-【答案】A【解析】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(1,0),(1,2)A B C ，所以(1,)PB x y =--uu r ，(,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=--uu r uu u r，故22315()(12)(1)(22)()22428PA PC PB x x y y x y ⎛⎫⎛⎫+⋅=--+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r uu r ，所以31,42x y ==时，()PA PC PB +⋅uu r uu u r uu r 取得最小值58-，故选A ．7．两个不同的圆锥的底面是球O 的同一截面，顶点均在球O 表面上，若球O 的体积为V ，则这两个圆锥体积之和的最大值为（）A ．13VB ．12VC ．23VD ．34V【答案】B【解析】设球半径为R ，两个圆锥中较小的高为h (0)h R <≤，则另一个圆锥的高为2R h -，圆锥底面半径为r ，则222()R R h r =-+，222r Rh h =-，两个圆锥的体积和为222112()(2)(2)333f h r h r R h R Rh h πππ=+-=-，所以h R =时，3max 2()3f h R π=，343V R π=球，因此max 1()2f h V =，故选B ．8．已知在三角形ABC 中，4BC =，2AB AC =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围是（）A ．32,329⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．32,329⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()0,32D ．[)0,32【答案】A【解析】因为4BC =，2AB AC =，所以44AB AC AB AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，即2424AC AC AC AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得443AC <<，由余弦定理222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，所以222cos 2AC AB BC AB AC AB AC CAB AB AC AC AB +-⋅=⋅∠=⋅⋅⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r 22225162AC AC AB BC -+-==，因为443AC <<，所以216169AC <<，所以2516323292AC --<<，即32,329AB AC ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭uu u r uuu r ，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的是（）A ．若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB uu u r 与CD uu u r是共线向量B ．若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB uu u r 与CD uu u r不是共线向量C ．若向量AB uu u r 与CD uu u r是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上D ．若向量AB uu u r 与AC uuu r是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上【答案】AD【解析】A 项为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，则向量AB uu u r ，CD uu u r 的方向相同或相反，因此AB uu u r 与CD uu u r是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB uu u r ，CD uu u r 的方向不确定，不能判断AB uu u r 与CD uu u r 是否共线；C 项为假命题，因为AB uu u r ，CD uu u r两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB uu u r ，AC uuu r 两个向量所在的直线有公共点A ，且AB uu u r 与AC uuu r是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线，故选AD ．10．如图，,M N 为正方体中所在棱的中点，过,M N 两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】BD【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形，故选BD ．11．已知,,a b c 分别是ABC V 三个内角,,A B C 的对边，下列四个命题中正确的是（）A ．若ABC V 是锐角三角形，则sin cos AB >B ．若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰三角形C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形D ．若ABC V 是等边三角形，则cos cos cos a b cA B C==【答案】ACD【解析】对于A ，因为ABC V 是锐角三角形，所以2A B π+>，所以sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即sin cos A B >，故A 正确；对于B ，由cos cos a A b B =及正弦定理，可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=，所以ABC V 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ，由cos cos b C c B b +=及正弦定理化边为角，可知sin cos sin cos sin B C C B B +=，即sin sin A B =，因为,A B 为ABC V 的内角，所以A B =，所以ABC V 是等腰三角形，故C 正确；对于D ，由ABC V 是等边三角形，所以A B C ==，所以tan tan tan A B C ==，由正弦定理cos cos cos a b cA B C==，故D 正确，故选ACD ．12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A ．该半正多面体的体积为203B ．该半正多面体过,,A BC 三点的截面面积为2C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2VF E +-=【答案】ACD【解析】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的．对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为1120222811323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故正确；对于B ，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以2364S =⨯⨯=，故错误；对于C ，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积22448S R πππ==⨯=，故正确；对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确，故选ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若复数i32ia z -=+为纯虚数（a ∈R ），则z =_______．【答案】13【解析】()()()()()()i 32i 3223i i 3223i 32i 32i 32i 131313a a a a a a z ----+--+====-++-，由纯虚数的定义知，3201323013a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩，解得23a =，所以1i 3z =-，故13z =，故答案为13．14．已知向量()2,1a a =+m ，()0,a =n ，若()()22+⊥-m n m n ，则实数a =_________．【答案】1-【解析】因为()()22+⊥-m n m n ，所以()()220+⋅-=m n m n ，即()2220-=m n ，所以()()()22221400a a a +++=-，解得1a =-，故答案为1-．15．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，则ACD △的面积为_________．【答案】335【解析】由题意得133sin 22ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=△，则1sin 3212sin 2ABDACDAB AD BAD S AB S AC AC AD CAD ⨯⨯⨯∠===⨯⨯⨯∠△△，所以23355ACD ABC S S ==△△，故答案为335．16．在复平面内，等腰直角三角形12OZ Z 以2OZ 为斜边（其中O 为坐标原点），若2Z对应的复数21z =，则直角顶点1Z 对应的复数1z =___________．【答案】133122i ++或131322i -++【解析】因为21z =+，所以22z =，点2Z的坐标为(．设点1Z 的坐标为(),x y，则(211,Z Z x y =--uuuu r．由题意得121OZ Z Z ⊥uuu r uuuu r，12OZ ==uuu r r所以()(22210x y x x y y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得132312x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或132132x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以复数1133122z i +-=+或131322i +，故答案为1133122z i +-=+或131322i +．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求实数m 取何值时，复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z ．（1）位于第二象限；（2）位于第一或第三象限；（3）在直线10x y --=上．【答案】（1）102m -<<或12m <<；（2）12m <-或01m <<或2m >；（3）1m =-或3．【解析】（1）复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z 的坐标为()22232,mm m m ---，若点Z 位于第二象限，则2223200m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩，解得102m -<<或12m <<．（2）若点Z 位于第一或第三象限，则2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或222320m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩，解得12m <-或01m <<或2m >．（3）若点Z 在直线10x y --=上，则2223210m m m m ---+-=，解得1m =-或3．18．（12分）如图，△ABC 中，90ACB ∠=o ，30,ABC BC ∠==o ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C ，M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【答案】（1）209π；（2）25581π．【解析】（1）连接OM ，则OM AB ⊥，设,OM r OB r ==-，在BMO V 中，15sin23ABC r ∠=⇒=，22049S r ππ∴==．（2）90,30,ACB ABC BC ∠=︒∠=︒=Q ，153AC ∴=，∴231414333332781AC V V BC V r ππππ=⨯⨯-==⨯-⨯=-圆锥球．19．（12分）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon ，于1996年收入世界文化遗产名录（如图1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）．C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点S ）．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3．14，结果精确到个位）；（2）从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．【答案】（1）20347；（2）m ．【解析】（1）因圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m ，则此圆锥的侧面积为 3.14618339.122AB S SA π=⋅⋅≈⨯⨯=(2m )．又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得339.126020347⨯≈(朵)，所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．（2）将圆锥SO 沿母线SA 剪开展在同一平面内得如图所示的扇形SAA '，点A到点A '，连接A C '，则A C '为最小长度，扇形弧AA '长等于圆锥SO 底面圆周长12AB ππ⋅=，于是得扇形圆心角122183ASA ππ'∠==，在A SC '△中，118,63SA SC SA '===，由余弦定理得2222cos A C SA SC SA SC A SC ''''=+-⋅∠，即22221862186cos 4683A C π'=+-⨯⨯=，解得A C '=，所以灯光带的最小长度为m ．20．（12分）如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ．（1）试确定R 与r 的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为1S ､2S ，球的表面积为3S ，求123::S S S ；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比．【答案】（1）32r =；（2）123::3:8S S S =；（3）3:8．【解析】（1）由几何体的特征，得到△ABC 为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故30ABC ∠=︒，所以AC R =，BC =，所以322BC r ==．（2）球心到圆锥底面的距离12R OO =，所以小圆锥的高为22R R R -=，故小圆锥的母线长为R ，，所以212S R =⋅，2232S R π=⋅，234S R π=⋅，故123:::3:8S S S =．（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为321232R r R ππ⋅⋅⋅=，球的体积为343R π，体积之比为334:3:823R R ππ=．21．（12分）△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，cos cos 2cos 0a C c A b B ++=．（1）求B ；（2）若6b =，求△ABC 面积S 的最大值．【答案】（1）23π；（2）．【解析】（1）∵cos cos 2cos 0a C c A b B ++=，∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=，∴()sin 2sin cos A C B B +=-，即sin 2sin cos B B B =-，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2B =-，∵0B π<<，∴23B π=．（2）23B π=，6b =，由余弦定理得22222362cos b a c ac B a c ac ==+-=++，∵222a c ac +≥，∴22363a c ac ac =++≥，解得12ac ≤，当且仅当a ＝c 时取等号，∴13sin 24S ac B ac ==≤，∴当a c =时，△ABC 面积S 的最大值为．22．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：BNC V 区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA V 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC V 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘MNC V 周围筑起护栏．已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒．（1）若20m AM =，求护栏的长度（MNC V 的周长）；（2）若鱼塘MNC V 的面积是“民宿”CMA V 倍，求ACM ∠；（3）当ACM ∠为何值时，鱼塘MNC V 的面积最小，最小面积是多少？【答案】（1）60+；（2）15︒；（3）15ACM ∠=︒时，CMN △的面积取最小值为21200(2-．【解析】（1）∵40m AC =，BC =，AC BC ⊥，∴3tan 3AC B BC ==，∴30B =︒，∴60A =︒，∴280AB AC ==，在ACM △中，由余弦定理可得：22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，则CM =，∴222AC AM CM =+，∴CM AB ⊥，∵30MCN ∠=︒，∴tan 3020MN CM =︒=，∴240CN MN ==，∴护栏的长度（MNC V的周长）为204060++=+．（2）设ACM θ∠=（060θ︒<<︒），因为鱼塘MNC V 的面积是“民宿”CMA V倍，所以11sin 30sin 22CN CM CA CM θ⋅︒=⋅，即CN θ=，60BCN θ∠=︒-，BCN △中，由三角形外角定理可得90CNA B BCN θ∠=∠+∠=︒-，在CAN △中，由40sin 60sin(90)cos CN CA θθ==︒︒-，得cos CN θ=，从而203cos θθ=，即1sin 22θ=，由02120θ<<︒︒，得230θ=︒，所以15θ=︒，即15ACM ∠=︒．（3）设ACM θ∠=（060θ︒<<︒），由（2）知cos CN θ=，90BCM θ∠=︒-，BCM V 中，由外角定理可得120CMA B BCM θ∠=∠+∠=︒-，又在ACM △中，由()sin60sin 120CM CA θ=︒︒-，得()203sin 120CM θ=︒-，所以()1300sin 302sin 120cos 1322CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒==︒-V=，sin23cos23222所以当且仅当26090θ︒+=︒，1200(2．即15θ=︒时，CMN△的面积取最小值为2。
湖南省2024年高中学业水平合格考数学试卷试题(含答案详解)
湖南省2024年普通高中学业水平合格性考试考前押题卷（三）数学时量：90分钟，满分：100分本试题卷包括选择题､填空题和解答题三部分，共4页.注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名､准考证号､考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸､试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保证字体工整､笔迹清晰､卡面清洁.一､单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋂等于（）A ．{}1B ．{}3C ．{}1,3D ．{}1,2,3,42．命题“0x ∃∈R ，2001x x +≥”的否定是（）A ．0x ∃∈R ，2001x x +<B ．0x ∃∈R ，2001x x +≤C ．x ∀∈R ，21x x +<D ．x ∀∈R ，21x x +≤3．设p ：四棱柱是正方体，q ：四棱柱是长方体，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()ln(1)f x x =+的定义域是（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．(1,)-+∞5．已知23m =，25n =，则2m n +的值为（）A ．53B ．2C ．8D ．156．图象中，最有可能是2log y x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．复数1i z =+（i 为虚数单位）的模是（）A ．1B ．iC D ．28．已知扇形的半径为1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．609．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a=，AD b = ，则BD 可以表示为（）A ．a b +B ．b a- C ．()12a b+ D ．()12b a- 10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3，则tan θ值为（）A ．35B ．45C ．43D ．3411．为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的A ，B ，C 三所中学抽取80名学生进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有400，560，320名学生，则从C 学校中应抽取的人数为（）A ．10B ．20C ．30D ．4012．已知a为非零向量，则()43a -⨯= （）A ．12a -B ．4a- C ．3a D ．10a13．下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则ac bc >C ．若a b >，c d >，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则ac bd >14．已知2nm =，则22m n +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．415．从5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取1张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．4516．已知sin y x =，则sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是（）A ．πsin(6y x =+B ．πsin()6y x =-C ．πsin()3y x =+D ．πsin()3y x =-17．已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（）A ．2π3B ．πC ．4π3D ．2π18．已知四棱锥S ABCD -底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，则（）A ．SB SC ⊥B ．SD AB ⊥C ．SA ⊥平面ABCDD ．//SA 平面SBC二､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19．函数,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则()3f =.20．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期T=．21．函数()2f x x x =+的零点个数为．22．在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，则AC =．三､解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.23．已知向量()1,2a =r ，()2,b x = ，()3,c y = ，且a b ⊥ ，a c ∥.(1)求向量b 与c的坐标；(2)若m a b =+ ，n a c =- ，求向量m 与n的夹角的大小.24．从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14.（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在(]8,10范围内的学生人数；（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.25．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是BC ，PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PDB ；(2)求证：AC ⊥平面PDB .1．B【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】集合{}1,3A =，{}2,3,4B =，则A B ⋂等于{}3.故选：B 2．C【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.【详解】命题“0x ∃∈R ，2001x x +≥”的否定为“x ∀∈R ，21x x +<”，故选：C.3．A【分析】结合正方体和长方体的定义，根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】根据真数大于0，即可求解.【详解】由题意可得10x +>，解得1x >-，所以函数()ln(1)f x x =+的定义域是(1,)-+∞.故选：D 5．D【分析】根据指数的运算求解即可.【详解】2223515m n m n +=⨯=⨯=.故选：D 6．C【分析】利用对数函数的定义域，确定图象位置即可判断作答.【详解】函数2log y x =的定义域为(0,)+∞，因此函数2log y x =的图象总在y 轴右侧，选项ABD 不满足，C 满足.故选：C 7．C【分析】由复数模计算公式可得答案.【详解】由题可得z =.故选：C 8．B【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】易知π603=，由扇形弧长公式可得ππ133l =⨯=.故选：B 9．B【分析】根据向量减法运算法则直接计算.【详解】由题意得，BD AD AB =-，因为AB a=，AD b = ，所以BD AD AB b a =-=- .故选：B 10．D【分析】由三角函数的定义可得出tan θ的值.【详解】已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3，由三角函数的定义可得3tan 4θ=.故选：D.11．B【分析】根据分层抽样原理求出从C 学校抽取的人数作答.【详解】依题意，从三所中学抽取80名学生，应从C 学校抽取的人数为3208020400560320⨯=++.故选：B 12．A【分析】根据数乘运算的运算性质计算即可.【详解】()4312a a -⨯=-.故选：A.13．C【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】对于A ，取特殊值，1a =-，2b =-，满足条件，但不满足结论，故A 错误；对于B ，由a b >，若0c =，则ac bc =，故B 错误；对于C ，由同向不等式的性质知，a b >，c d >可推出a c b d +>+，故C 正确；对于D ，取3,0,1,2a b c d ===-=-，满足条件，但ac bd <，故D 错误.故选：C.14．D【分析】由基本不等式求解即可.【详解】2224m n mn +≥=，当且仅当“m n =”时取等.故22m n +的最小值为4.故选：D.15．C【分析】由古典概型计算公式可得答案.【详解】设随机抽取一张卡片为事件A ，抽取卡片数字为奇数为事件B ，则()()53,n A n B ==，则相应概率为()()35n B P n A ==.故选：C 16．B【分析】根据给定条件，利用函数图象变换求出函数解析式作答.【详解】把sin y x =上的所有点全部向右移动π6个单位的函数解析式是πsin()6y x =-.故选：B 17．A【分析】根据圆锥体积公式直接计算.【详解】由题意知，圆锥底面积为2π1πS =⨯=，圆锥的高2h =，则圆锥的体积为311π2332πV Sh ==⨯⨯=.故选：A 18．B【分析】推导出BC SC ⊥，可判断A 选项；利用线面垂直的性质可判断B 选项；利用反证法可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为SD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则BC SD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则BC CD ⊥，因为SD CD D = ，SD 、CD ⊂平面SCD ，所以，BC ⊥平面SCD ，因为SC ⊂平面SCD ，则BC SC ⊥，故SBC ∠为锐角，A 错；对于B 选项，因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则SD AB ⊥，B 对；对于C 选项，若SA ⊥平面ABCD ，且SD ⊥平面ABCD ，则SA 、SD 平行或重合，矛盾，假设不成立，C 错；对于D 选项，若//SA 平面SBC ，则SA 与平面SBC 无公共点，这与SA 平面SBC S =矛盾，假设不成立，D 错.故选：B.19．3【分析】根据给定的分段函数，代入计算作答.【详解】函数,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，所以()33f =.故答案为：320．π【分析】根据正余弦函数的周期公式2T πω=即可求解.【详解】根据正余弦函数的周期公式2T πω=可知：函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期22T ππ==，故答案为：π.21．2【分析】函数的零点个数就是对应方程的实数根的个数，直接解方程求解.【详解】令20x x +=，解得：0x =或=1x -，函数的零点个数就是方程20x x +=的实数根的个数，所以函数的零点有2个.故答案为：2【点睛】本题考查函数零点个数，属于基础题型.22．【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.【详解】在ABC 中，3BC =，30A =︒，60B =︒，由正弦定理sin sin AC BCB A =，得sin 3sin 60sin sin 30BC B AC A ︒===︒故答案为：23．(1)()2,1b =-r，()3,6c = (2)3π4【分析】（1）根据向量垂直和平行列方程，化简求得,x y ，进而求得b 与c.（2）先求得m 与n，然后根据夹角公式求得正确答案.【详解】（1）由于a b ⊥ ，a c ∥，所以22=01=23x y +⎧⎨⨯⨯⎩，解得1,6x y =-=，所以()2,1b =-r，()3,6c = .（2）()==3,1m a b + ，()==2,4n a c ---，=64=10m n m n ⋅---，所以cos ,=2m n m n m n⋅-⋅，由于0,πm n ≤≤ ，所以3π,=4m n .24．（1）200人；（2）0.700.【分析】（1）根据频数和为1，求出(]8,10的频率，即可求解；（2）根据频率分布直方图，求出(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14频率和，即可得出结论.【详解】（1）该周课外阅读时间在(]8,10的频率为：12(0.0250.0500.0750.1500.0750.025)0.200-⨯+++++=，该周课外阅读时间在(]8,10范围内的学生人数10000.200200⨯=人；（2）阅读时间超过6小时的概率为：2(0.1500.1000.0750.025)0.700⨯+++=，所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.700.【点睛】本题考查补全频率分布直方图以及应用，属于基础题.25．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据中位线的性质证明MN PB ∥即可；（2）根据线面垂直的判定与性质，证明AC BD ⊥，AC PD ⊥即可【详解】（1）因为M ，N 分别是BC ，PC 的中点，故MN PB ∥.又PB ⊂平面PDB ，MN ⊄平面PDB ，故//MN 平面PDB.（2）因为PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，故AC PD ⊥.又因为四棱锥P ABCD -的底面是正方形，则AC BD ⊥.又BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PDB ，故AC ⊥平面PDB.。
2025年安徽高中学业水平合格性考试数学试卷试题(含答案详解)
2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题一、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,32.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.43.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥4.函数()1xf x x =+-的定义域是（）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞5.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.67.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-8.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥ B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<9.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β10.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．2711.若一个圆台的高为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.3B.3C. D.12.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >13.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为4的矩形C.面积为D.面积为324的菱形14.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)15.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）A.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -16.要得到函数()1sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,sin 43a A B π===，则b =（）A.233B.C.D.18.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0ax b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．19.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.20.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率________．21.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b的夹角为60︒，则2a b += ______.22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．24.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x+元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学模拟题（参考答案）二、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.25.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,3【解析】C 依题意，集合{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =--≤=≤≤，而{1,0,1,2,3}B =-，所以{}1,2A B = .26.已知函数()()2,1,2,1x x f x f x x -≤⎧=⎨>⎩的值为（）A.2- B.0C.2D.4【解析】D 因为21>，所以()24f =.27.命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是（）A.2R,0x x ∀∉≥B.2R,0x x ∀∈<C.2R,0x x ∃∈<D.2R,0x x ∃∈≥【解析】C命题：2R,0x x ∀∈≥是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：2R,0x x ∀∈≥的否定是：2R,0x x ∃∈<.28.函数()1xf x x =+-）A.[1,)+∞ B.[1,)-+∞ C.(,1)(1,)-∞⋃+∞ D.()1,+∞【解析】D 由解析式有意义可得1010x x -≥⎧⎨-≠⎩，故1x >，故函数的定义域为(1,)+∞.29.“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】A 因为关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根，所以240m ∆=-≥，所以2m ≤-或2m ≥，因为{}3mm >∣是集合{2m m ≤-∣或}2m ≥的真子集，所以“3m >”是“关于x 的一元二次方程210x mx -+=有实数根”的充分不必要条件.30.计算：332log 6log 4-=（）A.1B.2C.3D.6【解析】B 由对数运算法则化简得23333333362log 6log 4log 36log 4log log 9log 324-=-====.31.已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ .若a b，则实数m =（）A.1B.1- C.9D.9-【解析】B 因为向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，且a b，得()1313m ⨯=-⨯，得m =1-.32.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +≥-的解集为（）A.{2x x <-或)1x ≥B.{}12x x ≤<C.{1x x <-或}2x ≥ D.{}12x x -≤<【解析】D 由x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <可得01a b a<⎧⎪⎨=⎪⎩，故02ax b x +≥-可变形为102x x +≤-，不等式102x x +≤-等价于()()12020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得12x -≤<.33.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB.若m ⊥n ，n //α，则m ⊥αC.若m //β，β⊥α，则m ⊥αD.若m //n ，m //β，则n //β【解析】A 对A ：根据线面垂直的性质：两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线互相平行，故选项A 正确；对B ：若m ⊥n ，n //α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项B 错误；对C ：若m //β，β⊥α，则m α⊂或//m α或m 与α相交，故选项C 错误；对D ：若m //n ，m //β，则n //β或n β⊂，故选项D 错误.34.为了了解某校高一学生的视力情况，随机抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为()A.64B ．54C.48D ．27【解析】C 由题意知[4.7，0.32，[4.6，4.7)之间频率为1－(0.62＋0.05＋0.11)＝1－0.78＝0.22，所以a ＝(0.22＋0.32)×100＝54.35.，母线长为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为（）A.73π3B.53π3C. D.【解析】A 设圆台的上底面半径为r '，下底面半径为r ，母线为l ，则圆台的侧面积()π6πS r r l '=+=，可得3r r '+=，又因为圆台的高h 1r r '-==，故有12r r '==，，圆台的体积()()221173πππ124333V h r r r r ''=++=++=圆台．36.若两个正实数,x y 满足4x y xy +=，且不等式234yx m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{}14m m -<<B.{|1m m <-或}4m >C.{}41m m -<< D.{|0m m <或}3m >【解析】A 若两个正实数x ，y 满足4x y xy +=，则141x y+=，144()224444y y y x x x x y x y +=++=+++ ，当且仅当48x y ==时取得等号，不等式234y x m m +>-恒成立，等价为23()4min ym m x -<+，则234m m -<，解得14-<<m ．37.如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3O A ''=，1O C ''=，则原图形是（）A.面积为B.面积为324的矩形C.面积为D.面积为4的菱形【解析】C 451D O A O C C D '∠''''''=== ，，所以O D ''=故在原图中，OD =1CD C D ''==3OC ===，所以四边形OABC 为菱形(如图所示)，3OA =，则原图形面积为S OA OD =⨯=38.下列区间包含函数()24x f x x =+-零点的为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】C 因为函数2x y =在()-∞+∞，上单调递增，函数4y x =-在()-∞+∞，上单调递增，函数()24x f x x =+-在()-∞+∞，上单调递增，因为()()()()11250,0140,1=230,220,(3)70f f f f f --=-<=-<-<=>=>，所以()()120f f <，函数零点在区间(1,2)内.39.在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（）B.1233AB AC +B.2133AB AC +C.1433AB AC-+D.1433AB AC -【解析】B 在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则13BM BC = ，所以121()333AM AB BM AB AC AB AB AC =+=+-=+ .40.要得到函数()13sin 2cos 222x x f x =+的图象，只需把函数()sin 2g x x =的图象（）A.向左平移π6个单位长度 B.向右平移π6个单位长度C .向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度【解析】A ()13πsin 2cos 2sin 2223f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，把函数()sin 2g x x =的图象向左平移π6个单位得到ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足要求，A 正确，其他选项均不合要求.41.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3,sin 43a A B π===，则b =（）A.3B.C.D.【解析】A因为3,sin 43a A B π===，由正弦定理sin sin ab A B =，23=，解得3b =.42.已知0a >，0b >，当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg()0a x b x+-⋅≤恒成立，则12a b +的最小值为（）A.2+B.6+C.8D.9【解析】C 当(0,)x ∈+∞时，不等式2(1)lg0a x b x +-⋅≤恒成立，得当10x b +-≥时，2lg a x ≤恒成立，且当10x b +-≤时，2lg 0a x ≥恒成立，即当1x b ≥-时，2x a ≥恒成立，且当1x b ≤-时，02x a <≤恒成立，因此21a b ≤-且21a b ≥-，则21a b =-，即21a b +=，于是12124(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当4b a a b =，即122b a ==时取等号，所以12a b +的最小值为8.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共15分．43.已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2f f -=______.【解析】已知函数()21,03,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()23f -=，所以()()()230f f f -==．44.已知数学考试中，李明成绩不低于90分的概率为0.1，不低于60分且低于90分的概率为0.6，则李明成绩低于60分的概率__________．【解析】记事件A ：“李明成绩不低于90分”，事件B ：“李明成绩不低于60分且低于90分”，事件C ：“李明成绩低于60分”，则()0.1P A =，()0.6P B =，A 与B 互斥，所以()()110.10.60.3P C A B P A B =+=-+=--=.45.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b 的夹角为60︒，则2a b += ______.【解析】2a b += ，46.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，则异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为______．【解析】如下图所示，连接1AD 、AE 、DE ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，因为11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，故11//AD BC ，所以，异面直线1BC 和1D E 所成角为1AD E ∠或其补角，因为AE ===，同理可得1AD =，DE =，由勾股定理可得13D E ===，由余弦定理可得222111112cos 22AD D E AE AD E AD D E +-∠==⋅，所以，145AD E ∠=，故异面直线1BC 和1D E 所成角的大小为45 .三、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．47.如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，12BC AD =，E 是PD的中点．（1）求证：BC ∥AD ；（2）求证：CE ∥平面PAB ．【解析】（1）在四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ，∴BC ∥AD ．（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，∵E 是PD 的中点，∴EF ∥AD ，12EF AD =，又由（1）可得BC ∥AD ，且12BC AD =，∴BC ∥EF ，BC ＝EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴EC ∥FB ，∵EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB．48.已知3tan 4α=-，求（1）求5sin(2)cos 2sin 2ππααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求sin cos sin 2cos αααα+-的值.【解析】（1）由诱导公式得，原式sin sin 32tan cos 2αααα--===--.（2）原式tan 11tan 211αα+==--.25.某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x +元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.（1）若10a =，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.【解析】（1）设甲工程队的总造价为1y 元，因为荣举室的左右两面墙的长度均为x 米，且长方体底面积为24平方米，可得底面长方形的另一边长为24x米，则甲工程队的总造价为：[]12416233003400126001800()12600,1,6y x x xx x =⨯⨯+⨯⨯++=++∈，又由168x x +≥=，当且仅当4x =时，等号成立，所以()1min 180081260027000y =⨯+=（元），当10a =时，设乙工程队的总造价为2y 元，则()[]21800102218000(1),1,6y x x x x⨯+=⨯∈=+，因为函数21y x=+在[]1,6x ∈上为单调递减函数，所以()2min 24000y =（元），由2700024000>，所以学校选择乙工程队进行建造.(2)若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为270000540021600-=（元），若乙工程队确保自己被选中，则满足()2min 21600y ≤，又由乙工程队的造价为()[]2180022180601(1,)a x y a x xx =∈+=+，由（1）知，当6x =时，()2min 21800(1)24006y a a =⋅+=，由022400016a ≤，解得9a ≤，因为0a >，所以09a <≤，所以实数a 的最大值为9.。
2023年江苏省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解全文
江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试试卷数学参考公式：锥体的体积公式：13V Sh=，其中S 是底面积，h 是高.一､选择题：本大题共28小题，每小题3分，共84分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2,0,2,0,2,4A B =-=，则A B = （）A.{}0,2 B.{}2,2,4- C.{}2,0,2- D.{}2,0,2,4-2.已知a b >，则（）A.33a b +>+B.33a b ->-C.33a b> D.22a b >3.已知3i z =-，则z =（）A.3B.4C. D.104.已知五个数2,,6,5,3a 的平均数为4，则=a （）A.3B.4C.5D.65.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定为（）A.x ∀∈R ，210x x ++≤B.x ∃∈R ，210x x ++≤C.x ∃∈R ，210x x ++< D.x ∃∈R ，210x x ++>6.已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin α= A.55B.5-C.255D.5-7.函数()f x =）A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.[)1,+∞ D.()1,+∞8.要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（）A.向左平移3π个单位B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位9.党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（）A.16B.30C.32D.6210.从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（）A.14B.13C.23D.3411.已知3321log ,log 2,log 32a b c ===，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.b<c<aD.c b a<<12.已知直线l 平面α，直线m ⊂平面α，则l 与m 不可能（）A.平行B.相交C.异面D.垂直13.已知函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增，则下列实数可作为α值的是（）A.-2B.12C.2D.314.已知tan 3α=-，则sin 2cos sin cos αααα+=-（）A.52B.14C.54-D.72-15.对于两个非空实数集合A 和B ，我们把集合{},,x x a b a A b B =+∈∈∣记作A B *.若集合{}{}0,1,0,1A B ==-，则A B *中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.416.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()()3log 21f x x =+，则()1f -=（）A.-1B.0C.1D.217.甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（）A.0.09B.0.42C.0.51D.0.618.甲､乙､丙､丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是（）A.甲B.乙C.丙D.丁19.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BD 与平面ABCD 所成角的正切值为（）A .1B.32C.22D.3320.在一次实验中，某小组测得一组数据()(),1,2,,11i i x y i = ，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间[]2,3-上，下列四个函数模型(,a b 为待定系数）中，最能反映,x y 函数关系的是（）A.y a bx =+B.x y a b =+C.log b y a x=+ D.b y a x=+21.在ABC 中，已知3cos25A =-，则sin A =（）A. B.45C.55D.25522.已知ABC 是边长为2的等边三角形，,,D E F 分别是边,,AB BC CA 的中点，则（）A.AB AC AE+=B.AB AC BC-=C.12EF AB= D.12DE DF ⋅=23.在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（）A.一个点B.一条直线C.一个平面D.一个球面24.已知向量()(()()2,0,,a b a kb ka b ==+⊥-，则实数k =（）A.1-B.0C.1D.1-或125.两游艇自某地同时出发，一艇以10km/h 的速度向正北方向行驶，另一艇以8km/h 的速度向北偏东θ（090θ︒<<︒）角的方向行驶.若经过30min km ，则θ=（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒26.2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（）A.6倍B.210倍C.310倍D.610倍27.若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（）A .4πB.8πC.12πD.16π28.若函数()221,3sin 1,3x x m x f x m x x ⎧--+<=⎨+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数m 的可能值共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二､解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.29.如图，三棱锥-P ABC 的底面ABC 和侧面PBC 都是边长为2的等边三角形，,M N 分别是,AB BC 的中点，PN AN ⊥.（1）证明：MN //平面PAC ；（2）求三棱锥-P ABC 的体积.30.已知函数()sin f x x =.（1）求函数23πy f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期；（2）若()()211[]28f x m f x +-≥，求实数m 的取值范围.江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试试卷数学一､选择题：本大题共28小题，每小题3分，共84分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2,0,2,0,2,4A B =-=，则A B = （）A.{}0,2 B.{}2,2,4- C.{}2,0,2- D.{}2,0,2,4-【答案】A【分析】根据交集定义直接计算即可.【详解】集合{}{}2,0,2,0,2,4A B =-=，则{}0,2A B =I .故选：A2.已知a b >，则（）A.33a b +>+B.33a b ->-C.33a b> D.22a b >【答案】A【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可.【详解】A 选项：a b >，则33a b +>+，故A 正确；B 选项：a b >，则a b -<-，所以33a b -<-，故B 错误；C 选项：当0a b >>或0a b >>时，11a b <，则33a b<，故C 错误；D 选项：当0a b >>时，22a b <，故D 错误.故选：A ．3.已知3i z =-，则z =（）A.3B.4C.D.10【答案】C【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.【详解】因为3i z =-，所以z ==故选：C.4.已知五个数2,,6,5,3a 的平均数为4，则=a （）A.3 B.4C.5D.6【答案】B【分析】根据平均数的计算公式列式计算，即可求得答案.【详解】由题意可得26534,201645a a ++++=∴=-=，故选：B5.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定为（）A.x ∀∈R ，210x x ++≤B.x ∃∈R ，210x x ++≤C.x ∃∈R ，210x x ++<D.x ∃∈R ，210x x ++>【答案】B【分析】全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，再把结论否定.【详解】由题意x ∀∈R ，210x x ++>，否定是x ∃∈R ，210x x ++≤故选：B ．6.已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin α=A.5B.55-C.5D.【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值．【详解】解：角α的终边经过点()2,1P -，则sin α55==-，故选B ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.函数()f x =）A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.[)1,+∞ D.()1,+∞【答案】D【分析】函数定义域满足101x ≥-，10x -≠，解得答案.【详解】函数()f x =101x ≥-，10x -≠，解得1x >.故选：D8.要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（）A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位【答案】A【分析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果.【详解】根据相位变换的左加右减有：2sin y x =向左移动3π个单位得到2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.9.党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（）A.16B.30C.32D.62【答案】C【分析】由扇形图计算参加数学类和理化类的人数，即可求得答案.【详解】由扇形统计图可知参加数学类的人数为20031%62⨯=，参加理化类的人数为20015%30⨯=，故参加数学类的人数比参加理化类的人数多623032-=，故选：C10.从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（）A.14B.13C.23D.34【答案】D【分析】列举出所有的基本事件，然后得到甲被选中的情况，利用古典概型求解即可【详解】从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙丁），（乙丙丁），4种情况，甲被选中共有3种情况，故对应的概率为34故选：D11.已知3321log ,log 2,log 32a b c ===，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.b<c<aD.c b a<<【答案】A【分析】利用对数函数的单调性得到a<0，0l b <<，1c >，得到答案.【详解】331log log 102a =<=；33310log log 2l g 13ob <=<<=；22log 321logc ==>，所以a b c <<.故选：A12.已知直线l 平面α，直线m ⊂平面α，则l 与m 不可能（）A.平行B.相交C.异面D.垂直【答案】B【分析】若l 与m 相交，得到l 与α有交点，这与题设矛盾，得到答案.【详解】直线l 平面α，直线m ⊂平面α，则l 与m 可能平行，异面和垂直，若l 与m 相交，l m A = ，则∈A l ，A m ∈，直线m ⊂平面α，故A α∈，即l 与α有交点，这与题设矛盾.故选：B13.已知函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增，则下列实数可作为α值的是（）A.-2B.12C.2D.3【答案】C【分析】()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，A 错误，()12f x x =不是偶函数，B 错误，定义判断C 正确，()3f x x=函数为奇函数，D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：2α=-，()2f x x -=，函数在()0,∞+上单调递减，错误；对选项B ：12α=，()12f x x =，函数定义域为[)0,∞+，不是偶函数，错误；对选项C ：2α=，()2f x x =，函数定义域为R ，()()()2f x x f x -=-=，函数为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，正确；对选项D ：3α=，()3f x x =，函数定义域为R ，()()()3f x x f x -=-=-，函数为奇函数，错误；故选：C14.已知tan 3α=-，则sin 2cos sin cos αααα+=-（）A.52B.14C.54-D.72-【答案】B【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案.【详解】由题意tan 3α=-，可知cos 0α≠，则sin 2cos tan 2321sin cos tan 1314αααααα++-+===----，故选：B15.对于两个非空实数集合A 和B ，我们把集合{},,x x a b a A b B =+∈∈∣记作A B *.若集合{}{}0,1,0,1A B ==-，则A B *中元素的个数为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】C【分析】计算{}0,1,1A B *=-，得到元素个数.【详解】{}{}0,1,0,1A B ==-，则{}0,1,1A B *=-，则A B *中元素的个数为3故选：C16.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()()3log 21f x x =+，则()1f -=（）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案.【详解】因为函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()()3log 21f x x =+，所以()()()311log 211f f -=-=-+=-.故选：A.17.甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（）A.0.09B.0.42C.0.51D.0.6【答案】C【分析】甲乙都不能译出密码得概率为1049P =.，密码被破译的概率为11P -，得到答案.【详解】甲乙都不能译出密码得概率为()()110.310.30.49P =-⨯-=，故密码被破译的概率为110.51P -=.故选：C18.甲､乙､丙､丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【分析】分别假设甲､乙､丙､丁的预测错误，看能否推出与题意相矛盾的情况，即可判断答案.【详解】若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题意；若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丁预测错误，则其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；故选：A19.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BD 与平面ABCD 所成角的正切值为（）A.1B.2C.2D.33【答案】C【分析】连接BD ，1DD ⊥平面ABCD ，故1DBD ∠是1BD 与平面ABCD 所成角，计算得到答案.【详解】如图所示：连接BD ，因为1DD ⊥平面ABCD ，故1DBD ∠线1BD 与平面ABCD 所成角，设正方体棱长为1，则11,DD DB ==，112tan 2DD DBD DB ∴∠==.故选：C20.在一次实验中，某小组测得一组数据()(),1,2,,11i i x y i = ，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间[]2,3-上，下列四个函数模型(,a b 为待定系数）中，最能反映,x y 函数关系的是（）A.y a bx=+ B.x y a b =+C.log b y a x=+ D.b y a x=+【答案】B 【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项.【详解】由散点图的定义域可排除C 、D 选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.故选：B21.在ABC 中，已知3cos25A =-，则sin A =（）A. B.45 C.55 D.255【答案】D【分析】确定sin 0A >，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】()0,πA ∈，sin 0A >，23cos212sin 5A A =-=-，解得25sin 5A =.故选：D22.已知ABC 是边长为2的等边三角形，,,D E F 分别是边,,AB BC CA 的中点，则（）A.AB AC AE += B.AB AC BC -= C.12EF AB = D.12DE DF ⋅= 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则得到ABC 错误，12cos 60DE DF DE DF =⋅⋅︒= ，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：AB+AC =2AE ，错误；对选项B ：AB AC CB -= ，错误；对选项C ：12EF BA = ，错误；对选项D ：1cos 6011212DE DF DE DF =︒=⋅⋅=⨯⨯ ，正确.故选：D23.在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（）A.一个点B.一条直线C.一个平面D.一个球面【答案】B 【分析】易得空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，如图，设点O 为ABC 的外心，且直线l ⊥平面ABC ，点P 为直线l 上任意一点，证明PA PB PC ==即可.【详解】空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，如图，设点O 为ABC 的外心，且直线l ⊥平面ABC ，点P 为直线l 上任意一点，则OA OB OC ==，且,,OA OB OC ⊂平面ABC ，所以直线l OA ⊥，直线l OB ⊥，直线l OC ⊥，当点P 与点O 重合时，PA PB PC ==，即直线l 的点到ABC 的三个顶点距离相等，当点P 与点O 不重合时，由勾股定理可得PA PB PC ==，即直线l 的点到ABC 的三个定点距离相等，综上直线l 的点到ABC 的三个顶点距离相等，反之到ABC 的三个顶点距离相等的点都在直线l 上，所以空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线.故选：B24.已知向量()(()()2,0,,a b a kb ka b ==+⊥- ，则实数k =（）A.1- B.0 C.1D.1-或1【答案】D 【分析】求出()(),a kb ka b +- 的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案.【详解】由已知向量()(2,0,a b == ，可得()()(2),(21,a kb k ka b k +=+-=- ，由()()a kb ka b +⊥- 可得(2)(21,0k k +⋅-=，即(2)(21)30k k k +--=，解得1k =±，故选：D25.两游艇自某地同时出发，一艇以10km/h 的速度向正北方向行驶，另一艇以8km/h 的速度向北偏东θ（090θ︒<<︒）角的方向行驶.若经过30minkm ，则θ=（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】C【分析】如图，设点A 为出发点，点B 为10km/h 的船30min 后到达的点，点C 为8km/h 的船30min 后到达的点，再利用余弦定理即可得解.【详解】如图，设点A 为出发点，点B 为10km/h 的船30min 后到达的点，点C 为8km/h 的船30min 后到达的点，则5km,4km,AB AC BC BAC θ===∠=，则2222516211cos 22542AB AC BC AB AC θ+-+-===⋅⨯⨯，又因090θ︒<<︒，所以60θ=︒.故选：C.26.2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（）A.6倍B.210倍C.310倍D.610倍【答案】C 【分析】代入数据计算16.8110E =，13.8210E =，计算得到答案.【详解】1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，16.8110E =；2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，13.8210E =，16.83113.82101010E E ==.故选：C27.若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（）A.4πB.8πC.12πD.16π【答案】B【分析】设底面圆半径为r ，则圆柱的高为，圆柱侧面积为4πS =案.【详解】设底面圆半径为r ，则圆柱的高为，圆柱侧面积为2242π4π4π×8π2r r S r +-=⋅==，当且仅当r =，即r =时等号成立.故选：B.28.若函数()221,3sin 1,3x x m x f x m x x ⎧--+<=⎨+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数m 的可能值共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，讨论m 的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m 的值，可得答案.【详解】当3x <时，()2221(1)f x x x m x m m =--+=--≥-，当3x ≥时，()sin 1f x m x =+，若0m =，()f x 的值域为[)0,∞+，不合题意；若0m >，则3x ≥时，[]()1,1f x m m ∈-++，min ()1f x m =-+，由于1m m -+>-，由题意可知需使2,2m m -=-∴=；若0m <，则3x ≥时，[]()1,1f x m m ∈+-+，min ()1f x m =+，0m ->，故需使12,3m m +=-∴=-，即实数m 的可能值共有2个，故选：B二､解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.29.如图，三棱锥-P ABC 的底面ABC 和侧面PBC 都是边长为2的等边三角形，,M N 分别是,AB BC 的中点，PN AN ⊥.（1）证明：MN //平面PAC ；（2）求三棱锥-P ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求证；（2）先证明PN ^平面ABC ，即可求出三棱锥的体积【小问1详解】因为,M N 分别是,AB BC 的中点，所以//MN AC ，因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以MN //平面PAC ；【小问2详解】因为PBC 是等边三角形，N 是BC 的中点，所以PN BC ⊥，因为PN AN ⊥，,AN BC ⊂平面ABC ，,AN BC N ⋂=所以PN ^平面ABC ，因为底面ABC 和侧面PBC 都是边长为2的等边三角形，所以1132231334P ABC ABC V S PN -=⨯=⨯⨯⨯ 30.已知函数()sin f x x =.（1）求函数23πy f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期；（2）若()()211[]28f x m f x +-≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）π（2）21,2⎡⎫-++∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）确定πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再计算周期即可.（2）设1sin 2x t -=，31,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，考虑0t >，0=t ，0t <三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.【小问1详解】3π23πsin 2y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】()()211[]28f x m f x +-≥，即211sin sin 28x m x +-≥，设1sin 2x t -=，1sin 2x t =+，31,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当0t >时，即21128t mt ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，整理得到118m t t ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，111182t t ⎛⎫-+-≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当18t t =，即24t =时等号成立，故212m ≥--；当0=t 时，不等式恒成立；当0t <时，即21128t mt ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，整理得到118m t t ⎛⎫≥--++ ⎪-⎝⎭，1211182t t ⎛⎫--++≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当18t t -=-，即24t =-时等号成立，故212m ≥-+.综上所述：12m ≥-+，即1,2m ⎡⎫∈-++∞⎪⎢⎪⎣⎭。
2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题+答案解析
2023-2024学年2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题✽一、单选题：本题共15小题，每小题4分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，且，则( )A. 1B. 2C. 3D. 42.设，则( ) A. 1 B. iC.D.3.已知，，则向量在向量上的投影向量是( )A.B.C.D.4.设a ，b ，c ，d 都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A. B.C. D.5.已知，且，则( )A. B.C.D.6.设向量，若，则( ) A. 4B. 3C. 2D. 17.下列函数中，定义域和值域都是R 的是( )A. B.C.D.8.若，则下列不等式正确的是( )A. B. C. D.9.设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为10m、宽为6m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪如图所示如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为( )A. 1mB. 2mC. 3mD. 4m11.有20种不同的绿色食品，每100克包含的能量单位：如下：110 120 120 120 123 123 140 146 150 162164 174 190 210 235 249 280 318 428 432根据以上数据，估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是( )A. 165B. 164C. 163D. 16212.“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为15cm和12cm，高为厚度不计，则该升的1平升约为精确到( )A. B. C. D.13.如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数( )A. B. 2 C. D. 314.某对夫妇打算生育三个孩子，假设生男孩、女孩是等可能的，且不考虑多胞胎情形，则这三个孩子中男、女孩均有的概率是( )A. B. C. D.15.为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共12分。
2023年7月浙江高中学业水平考试数学试卷试题真题(含答案详解)
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。
，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。
表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。
2023年7月辽宁高中学业水平合格考数学试卷真题(含答案)
(1)cos ,a b ；(2)
()()
2a b a b +⋅- ．18．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、且各轮问题能否回答正确互不影响．求：(1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；(2)该选手至多进入第二轮考核的概率．
19．
《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑形的四面体的统称.如图所示，ABCD (1)求证：三棱锥1A ABC -(2)若4AB =，3AD =20．已知函数()2sin f x =(1)求()f x 的图象的对称中心和对称轴；(2)写出()f x 的单调递增区间；(3)当ππ,33x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求21．已知()f x 为定义在(1)0x <时，()f x 的解析式；
f x≤的解集．
(2)不等式()1
选项C ，若αβ⊥，βγ⊥，则
选项D ，若l m ⊥，l α∥，则如图，设直线11B C 为m ，直线满足l m ⊥，l α∥，但m α⊂故选：A.5．C
【分析】根据对数函数所过定点，令【详解】因为对数函数()f x 所以令211x +=，解得0x =，
此时()0log 10a f ==，即(f 故选：C ．6．C
【分析】根据正方体的体对角线求得球的半径，进而求得球的体积【详解】由正方体的对角线为其外接球的直径()
2
2222333R =++，解得R =
所以外接球的体积343πV R =
【详解】
1。
2024年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学含答案
2024年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。
时量90分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合A={0，1，2}，则下列结论正确的是A．1∈AB．3∈AC．0∉AD．2∉A2．下列函数中，定义域为R的是A．y=√xB．y=1x+2C．y=x2D．y=log2(x+1)3．已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a//b，则m等于A．2B．1C．4D．34．某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为A．13B．14C．34D．125．已知i为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是A．5B．1－3iC．3iD．3+i6．已知幂函数y=xα的图像经过点(2，4)，则α等于A．－2B．2C．－12D．127．函数y=3x的图象大致是B．A．D．C．8．已知x，y是实数，则“x－y<0”是“x<y”的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件(x>0)，则f(x)的最小值是9．已知函数f(x)=x+9xA．3B．2C．10D．610．下列命题为真命题的是A．∀x∈R，x2>1B．∀x∈R，x2=1C．∃x∈R，x+2=0D．∃x∈R，|x|+1=0。
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高中学业水平测试数学试卷（四）一、选择题（本大题共30个小题，每小题2分，共60分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．请将正确答案的代号填在表格中。
1．设集合A ={0，1，2，4，5，7}，集合B ={1，3，6，8，9}，集合C={3，7，9}，则集合 （A ∩B ）∪C 等于A ．{0，1，2，6，9}B ．{3，7，9}C ．{1，3，7，9}D ．{3，6，7，9} 2．下列各组函数中，表示相同函数的是 A ．xx y =与1=y B ．x y =与2)(x y = 【C ．2+=x y 与242--=x x y D ．||x y =与2x y =3．已知几何体的三视图如右图，则该几何体为（ ） A.正三棱柱 B.三棱锥 C.长方体 D.三棱台 4．已知函数y =x 2，那么它的反函数为（ ）A. y=x 2log （x>0）B. yx 2= C. y=2log x D. y x 2= 5．已知53cos =α，则α2cos 等于 @A ．257 B ．257- C ．2516 D ．2516- 6．函数x y 2sin 4=是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数 7．抛物线y x 62=的准线方程为( ) 8．在空间下列命题中正确的是A ．同平行于同一个平面的两条直线平行B ．垂直于同一直线的两条直线平行A B 1C正视图；侧视图俯视图.C. 平行于同一直线的两条直线平行 D ．与同一个平面成等角的两条直线平行 9．“两条直线a 、b 为异面直线”是“直线a 、b 不相交”的 A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．将x y sin =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得图象上个点的横坐标扩大到原来的2倍，则得到的图象解析式为 A ．)32sin(π+=x y B ．)32sin(π-=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)32sin(π+=x y11．如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么a 的值等于！A ．1B ．31-C ．32-D ．-2 12．复数ii z 1+=（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 13．在△ABC 中，已知a=4，A=45°B=60°则b 等于 A ．364 B ．22 C ．32 D ．62 14．直线043=+y x 与圆9)4()3(22=-++y x 的位置关系是@A ．相切B ．相离C ．相交但不过圆心D ．相交且通过圆心 15．等轴双曲线122=-y x 的渐近线方程为（ ） 16．已知向量a=（1，2），b=（-4，x ），且a ⊥b ，则x 的值是 A ．-8 B ．-2C ．2D ．817．已知正四棱锥的侧棱与底面边长相等，则侧棱与底面所成的角等于 A ．30° B ．45°…C ．60°D ．70° 18．cos3000的值等于A ．21 B ．-21 C ．23 D ．-2319．设a=0.7-0.1b=0.7-0.2 c=log 30.7则下列结果正确的是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ． b ＜a ＜c20．若偶函数)(x f y =在]1,(--∞上是增函数，则下列各式成立的是 A ．)2()2(->f f B ．)3()2(f f >-~C ．)()3(πf f <D ．)3()2(f f <- 21. 当输入的值为3时,输出的结果为（ ） A.8 B.20 C.2 D. 622.十进制数119化为六进制数是（ ） A.315 B.513 C.35 D. 1123.已知{a n }为等差数列7,22583==+a a a 则a ）^A.15B.11C.29D.2024.不等式的01832<++-x x 解是（ ）A.x<-3或25.x,y满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy 的最大值为（ ）A.3B.1.5C.-3D.026.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥的两个事件是（）.?A.至少有1个白球与都是白球B.至少有1个白球与至少有1个红球C.恰有1个红球与恰有1白球D.至少有1个白球与都是红球 27.【28.若直线倾斜角是 45，且过点)2,1(，则其方程为（ ）A. 01=+-y xB. 01=--y xC. 01=-+y xD.03=--y x28.某校有老师200人，男生1200人，女生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女生中抽取的人数为80人，则n=( ) A.192 B.200 C.33 D.24029.关于命题“矩形的对角线相等”的逆命题，否命题，逆否命题，下列说法正确的是（ ） A.逆命题真 B.否命题真 C.逆否命题假 D.逆否命题真30.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 与平面ABCD 所成的角的正弦值为（ ） A.23 B.21C.22D.33 ^二、填空题（本大题共6个小题，每题2分，共12分）请将答案填在题中横线上 31．45与80的等比中项是32．已知一个球的半径R=3cm ，那么它的体积是 cm 333．过点P (－2,2) 和Q (－2,4)的直线的倾斜角为34．函数)34(log 5.0-=x y 的定义域是35．已知双曲线 12222=-b y a x 离心率 45=e ，实半轴长为4，则双曲线方程为36．已知→a =4，→b =3，且→→⊥b a ，则⎪⎭⎫⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→b a b a 2=三、解答题（本大题共4个小题，共28分）!37．（本小题满分6分）已知等差数列{n a }中， 3a =9, 9a =3，求⑴1a 和公差d ；⑵前15项的和S 15。
38.（本小题满分8分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若︒=︒==30,60,8C B a ，求ABC ∆的面积。
39．（本小题满分8分）已知直三棱柱ABCD —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点。
（1）求证：平面AMC 1∥平面NB 1C ； （2）求A 1B 与B 1C 所成的角的大小；*40.（本小题满分8分）双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同焦点，且经过点4)，求其方程。
高中学业水平测试数学试卷参考答案一、选择题（每小题2二、填空题（每题321．±60；22．π36；23．–2；24．]1,43(；25．191622=-y x ；26．-2 三、解答题（共42分，27-30每题8分，31题10分） 27．（本小题满分8分） 解：∵cos α=-54，α∈),2(ππ∴sin α=53 （1分）sin )3(πα-=)3sin cos 3cos(sin παπα- （3分）=10343+ （5分） *cos2α=1cos 22-α （7分）=257（8分） 28．（本小题满分8分）解：移项，273310522+-+-x x x x -1>0 （1分）通分整理得：027313222>+-+-x x x x （2分） 0)2)(13()1)(12(>----x x x x （4分）原不等式等价于0)2)(13)(1)(12(>----x x x x （6分） ∴原不等式解集为：}212131|{〉或〈〈或x x x x <（8分） —29．（本小题满分8分）解：设首项为1a ，公差为d ，⎩⎨⎧=+=+389211d a d a （3分）解得1a =11，d =-1（5分） S 15=2)1()115(1511152)1(1-⨯-+⨯=-+d n n na =60（8分） 30．（本小题满分8分）解：⑴∵AD=DC=a ，PD=a ，PA=PC=2a ∴AD 2+PD 2=PA 2，DC 2+PD 2=PC 2（1分）∴∠PDA=900，∠PDC=900（2分）∴PD ⊥平面ABCD （3分）}⑵连结AC 、BD 交于O ，∵ABCD 是正方形∴AC ⊥BD （4分） ∵PD ⊥平面ABCD ∴AC ⊥PB （5分） ∴异面直线PB 与AC 所成角为900（6分）⑶作AE ⊥PB 于E ，连结EO ，∵AC ⊥PB ，AE ⊥PB ∴PB ⊥平面AEO ∴PB ⊥EO ∴∠AEO 为二面角A-PB-D 的平面角（7分） 在Rt △PAB 中，a PB a AB A PA 3,,2===∴a aa AE 36322==a OA 22=，∵AC ⊥平面PBD ∴AO ⊥OE ， ∴在Rt △AOE 中，236322sin =⋅==∠AE OA AEO ∴60=∠AEO （8分） 31．（本小题满分10分）解：①⎩⎨⎧=+=+2222221b a y a x b ny mx 消去x 得2)(22222222-+-+a b ny b y n b m a （2分）即0)1(42222222>-+n b m a m b aBACD[POE∴12222>+n b m a （4分）②设P （x 1,y 1）Q(x 2,y 2), 分别消去①中方程组x ，y ，由韦达定理可知y 1y 2=22222222n b m a m b a b +-,（6分）x 1x 2=22222222n b m a n b a a +-，（8分）由OP ⊥OQ 得02121=+y y x x （9分） 代入化简得222222n m ba b a +=+ （10分）。