十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题08 数列 考试版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题08 数列
一、选择题
1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10
C.S n =2n 2
-8n
D.S n =12
n 2
-2n
2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2
+b,n ∈N *
,则( )
A.当b=1
2时,a 10>10 B.当b=1
4时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10
D.当b=-4时,a 10>10
3.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10
D.12
4.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 4
5.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212
.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23
f
B.√223
f
C.√2512
f
D.√2712
f
6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20
,接下来的两项是20
,21
,再接下来的三项是20
,21
,22
,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
A.440
B.330
C.220
D.110
7.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3
C.3
D.8
8.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )
A.100
B.99
C.98
D.97
9.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.a1d>0,dS4>0
B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0
D.a1d<0,dS4>0
10.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5
B.7
C.9
D.11
11.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )
A.17
2B.19
2
C.10
D.12
12.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21
B.42
C.63
D.84
13.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=1
4
,a3a5=4(a4-1),则a2=()
A.2
B.1
C.1
D.1
14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )
A.31
B.32
C.63
D.64
15.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )
A.n(n+1)
B.n(n-1)
C.n(n+1)
2D.n(n-1)
2
16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )
A.1
3B.-1
3
C.1
9
D.-1
9
17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为2
3
的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )
A.S n=2a n-1
B.S n=3a n-2
C.S n=4-3a n
D.S n=3-2a n
18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若
b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n
2,c n+1=b n+a n
2
,则()
A.{S n}为递减数列
B.{S n}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列
D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列
19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6
20.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5
D.-7
21.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)n
a n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830
二、填空题
1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .
2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S
10S 5
= .
3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n ∈N *
)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 .
4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 .
5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=3
4
,则S 4= .
6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13
,a 42
=a 6,则S 5=________.
7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .
9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1
(n ∈N *
),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1
=1
2,则q=.
10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *
}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑
k=1n
1
S k
=____________.
12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .
13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=63
4,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *
,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = .
19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2
-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *
).则数列{1
a n
}前10项的和为____________.
21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .
23.(2015·陕西·文T13)中位数为 1 010的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 .
24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文
T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且
a 1a 5=4,则
log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .
26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=
1
1-a n
,a 8=2,则a 1=____________.
28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .
30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2
-5x+4=0的两个根,则S 6= .
32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23
a n +13
,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题
1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.
2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.
3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n ={
1,n 为奇数,
b n 2
,n 为偶数,
求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *
).
4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;
(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k
,其中k ∈N *
. ①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; ②求∑i=12n
a i c i (n ∈N *
).
5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *
,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√
a n 2
b n
,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *
. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M - 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *
)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *
)满足:b 1=1,1S n
=
2b n
−
2b n+1
,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.
①求数列{b n }的通项公式;
②设m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n ∈N *
),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.
7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .
8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *
,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.
(1)设{a n }是首项为1,公比为12
的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *
,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:
(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.。