二元一次不等式(组)的解法与平面区域

y
x–y=6 x
O
横坐标 x
–3
–2 -8
–1 -7
0 -6
1 -5
2 -4
3 -3
点 P 的纵坐标 y1 - 9
点 A 的纵坐标 y2 - 8
-6
-5
-3
6
4
0
横坐标 x 点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2
–3 -9 -8
–2
–1
0
1
y
2
x3 –y=6
-8
-6
-7
-5
-6
-3
-56-4x-2 y+2=0
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
课堂小结：
⑴ 二元一次不等式表示平面区域：
直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法： 直线定界，特殊点定域。 ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域： 各个不等式所表示平面区域的公共部分。
（4）口诀：上大下小斜截式 上正下负一般式 （B>0）
强调：若B<0时则恰好结论相反;若B=0则最易判断。
例题2:根据下列各图中的平面区域用不等式 表示出来（图１包含y轴）
6x+5y=22
３ y=x
１
1
－４
练习:
(1)画出不等式 4x―3y≤12 表示的平面区域
y
4x―3y-12=0 x x
(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域
y
x=1
例题
例2、用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集。 x<2y
直线把平面内所有点分成三类:
a)在直线x – y = 6上的点
b)在直线x – y = 6左上方区域内的点 c)在直线x – y = 6右下方区域内
的点
y
O
左上方区域
-6
6
x 右下方区域
x–y=6
验证：设点P（x，y 1）是直
线x – y = 6上的点，选取点 A（x，y 2），使它的坐标 满足不等式x – y < 6，请完 成下面的表格，
3.3.1 二元一次不等式（组）与 平面区域
一、引入:
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000
元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来
30000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个
人贷款中获益10%.那么,信贷部应刻如何分配资
金呢？
问题：这个问题中存在一些不等关系
应该用什么不等式模型来刻画呢？
示的平面区域
强调：若直线不过原点，通常选（0，0） 点;若直线过原点，通常选（1，0）、（-1，0）、
（0，1）、(0,-1)等特殊点代入检验并判断。_
y x–y=6 x
O
例题
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
解：(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线） (2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 4y - 4， 因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以，原点在x + 4y – 4 < 0 表示的平面区域内， 不等式x + 4y – 4 < 0 表示的区域如图所示。 1
拓展引申
共同探讨：对于二元一次不等式 Ax+By+C＞0（A、B不同时为 0），如何确定其所表示的平面区域？
（注：由斜截式转化为一般式进行研究探讨或由一般式 化归为斜截式进行研究探讨，并作比较）
结论2：当B>0时
Ax+By+C>0表示直线上方区域 Ax+By+C<0表示直线下方区域
口诀：上正下负一般式 （B>0）
新知探究：
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式： 含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式； （2）二元一次不等式组： 由几个二元一次不等式组成的不等式组； （3）二元一次不等式（组）的解集：
满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x，y）构成的集合；
（4）二元一次不等式（组）的解集可以看成是直角坐标系 内的点构成的集合。
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资 金y元。则
x y 25000000 (12%) x (10%) y 30000 x 0, y 0
所以得到分配资金应该满足的条件：
x y 25000000 12 x 10 y 3000000 x 0 y 0
即：画二元一次不等式表示的平面区域的方法：可根 据二元一次不等式与B的关系来确定 Ax+By+C>0与B的关系为:B>0时表示直线上方区 域, B<0时表示直线下方区域。Ax+By+C<0与B的关系 为:B>0时表示直线下方区域, B<0时表示直线上方区域
作业：
课本
p93 A 1,2
y
0 x-2y=0
x 3x+y-12=0
练习2：
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y +
6 = 0的（ B ）
（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ D ）
练习2： x 3y 6 0 3、不等式组 x y 2 0
表示的平面区域是（
B）
2，求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。
解：此平面区域在x-y=0的右下方， x-y≥0
Y
x-y=0
它又在x+2y-4=0的左下方， x+2y-4≤0 它还在y+2=0的上方， y+2≥0
x+2y-4=0 o
2
4
则用不等式可表示为:
O
x
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代
入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只
需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据
Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表
示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原
点作为特殊点
注2：
直线定界，特殊点定域。
提出：采用“选点法”来确定二元一次不等式所表
2、二元一次不等式（组）的解集表示的图形
（1）复习回顾 一元一次不等式（组）的解集所表示的图形 ——数轴上的区间。
x 3 0 如：不等式组 的解集为数轴上的一个区间（如图）。 x 4 0
-3≤x≤4
思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集
表示什么图形？
下面研究一个具体的二元一次不等式 x – y < 6 的解集所表示的图形。 作出x – y = 6的图像—— 一条直线
标的点都在直线x – y = 6的左
上方；反过来，直线x – y = 6
O
左上方的点的坐标都满足不等
式 x – y < 6。
结论
不等式x – y < 6表示直线x – y = 6左上方的平面区域；
注意：把直
不等式x – y > 6表示直线x – y = 6右下方的平面区域；
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
y
4 x x+4y―4=0
练习1： 请 尝 试 画 出 下 列 式 子表 所示 的 区 域 （ 1 ） y x 1 ( 2 ) y x 1 ( 3 ) y x 1
你有什么发现？
能不能猜想出y>kx+b表示的是直线y=kx+b 的 哪部分区域？同样， y<kx+b表示的又是 直线y=kx+b的哪部分区域？
-3
x 0
O
4
思考：
(1) 当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标
有什么关系？
y2>y1
(2) 直线x – y = 6左上方的点的坐标与不等式x – y <
6有什么关系？
(3) 直线x – y = 6右下方点的坐标呢？
结论
在平面直角坐标系中，以二元
一次不等式x – y < 6的解为坐
y
x–y=6 x
直线叫做这两个区域的边界。
一般地：
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标
系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成
的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线）
注1： 二元一次不等式表示相
应直线的某一侧区域， 虚线表示不包括边界， 若包括边界则画成实线
y
Ax + By + C = 0
结论１：y>kx+b表示直线上方的平面区域 y<kx+b表示直线下方的平面区域 口诀：上大下小斜截式
口诀：上大下小斜截式
• 例题1： 画出下列不等式所表示的平面区域
(1) y 2 x 1 (3) y 2 (5) 2 x y 1 0
(2) x 2 (4) x y 2 0