数学系常微分方程期末试卷A及答案
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试卷份数 考试 本科 考试科目 常微分方程
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12-13-2学期期末考试
《常微分方程》A 参考答案及评分标准
（数学与计算机科学学院）
制卷审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．1,1±=±=x y 2．x x 2cos ,2sin
3．xoy 平面
4．充分必要 5．开
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．D 7．C 8．A 9．D 10．D
三、简答题（每小题6分，本题共30分）
11．解 分离变量得
x y x y d e d e = （3分）
等式两端积分得通积分
C x y +=e e （6分）
12．解 方程化为
x
y
x y 21d d += (2分) 令xu y =，则x
u
x
u x y d d d d +=，代入上式，得 u x
u x +=1d d (4分) 分量变量，积分，通解为
1-=Cx u (5分)
原方程通解为
x Cx y -=2 (6分)
13．解 对应齐次方程
dy y
dx x
=
的通解为 Cx y = （2分）
令非齐次方程的特解为
x x C y )(= （3分）
代入原方程，确定出
/1
()c x x
=
（4分） 再求初等积分得
C x x C +=ln )( （5分）
因此原方程的通解为
Cx y =+x x ln （6分）
14．解： 由于
x
N
y M y ∂∂==∂∂e ，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y y x y
x
y
=+⎰⎰
d 2d
e （4分）
即 C y x y
=+2
e （6分）
15．解： 令
dx
y dt
=，则：32dy y x dt =-- 2分
因为01023≠--，又由1
023
λλ-=+得
2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-为两相异实根，且均为负 4分
故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。 6分
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解：对应的齐次方程的特征方程为：
012=-λ （1分）
特征根为：
1,121-==λλ （2分）
故齐次方程的通解为：
x x C C y -+=e e 21 （4分）
因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为
x Ax x y e )(1= （6分）
代入原方程，有
x
x x x Ax Ax A e 2
1e e e 2=
-+， （7分） 可解出
4
1
=
A ． （8分） 故原方程的通解为
x
x x x C C y e 4
1e e 21+
+=- （10分）
17．解： 特征方程为
012
1=--=
-λ
λλE A
即 022
=--λλ
特征根为 21=λ，12-=λ （2分）
21=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0021212
11b a 可确定出
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a （5分） 同样可算出12-=λ对应的特征向量为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122b a （8分） 所以，原方程组的通解为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--t t t t C C y x e e 2e e 2221 （10分）
五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）
18．证明 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由维尔公式
⎰=-
x
0d )(0e
)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分）
)(e
)()(x
0d )(0x p x W x W x s
s p ⎰='-
由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有
0)(>'x W 或 0)(<'x W
故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数． （10分） 19．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，
且任一解的存在区间都是),(∞+-∞． （2分）
显然，该方程有零解0)(≡x y ． （5分）
假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(01
01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ， (8分)
这是因为零解也满足初值条件)()(01
01x y x y '== 0， 于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞)∞+．
这与)(1x y 是非零解矛盾． （10分）