距离空间和赋范线性空间
数值分析(03)赋范线性空间(1)
m ax x i
1 i n
s=0; for i=1:n if abs(x(i))>s,s=abs(x(i));end end
作业 1 用 for 语 句 、 if 语 句 编 写 计 算 矩 阵 1 范 数 A 1 的 程 序 。 2 用 for 语 句 、 if 语 句 编 写 计 算 矩 阵 范 数 A
对 1 5，解齐次方程组 ( 5 I A ) x 0，有
1 2 1
x1 x 3 x2 2 x3
0 2 0
1 1 2 0 0 1
0 1 0
1 2 0
T
基础解系为 1 (1, 2 ,1 )
n n n n n n
上的一个矩阵的范数,也记为 A .
大多数情况下 , 矩阵范数常与向量范数 混合在一起 使用 , 这就要求矩阵的范数和 向量的范数具有相容性 , 即 Ax A x
数值分析
数值分析
常用的矩阵范数有两种 : (1 ) Forbeniu s范 数 (即 矩 阵 的 欧 氏 范 数 ) A
T
x1 x 3
基础解系为 1 ( 0 ,1,0 ) , 2 ( 1,0 ,1 )
矩阵 A 属于 2 , 3 3的全部特征向量为 x
(2)
T
k 1 1 k 2 2 k 1 ( 0 ,1 , 0 ) k 2 ( 1 , 0 ,1 )
T
T
k 1 , k 2 不全为 0 .
( 2 ) A 的不同特征值的特征向 量是线性无关的 .
数值分析
; 值 征 特 零 无A 异 奇 非A 阵 矩
数值分析
(3)实 对 称 矩 阵 的 特 征 值 都 是 实 数 , 且 一 定 有 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 . (4)实 对 称 矩 阵 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 一定是互相正交的.
数值分析04赋范线性空间
2）性质
除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋
范线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列） 。 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构 （有相同的 代数运算性质） 。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
例：在 R 中，按范数 x 2
n
i 1
b
n
xi ，(R n , x 2 )是 Banach 空间;
2
x(t ) ，(C[ a ,b ] , x )是 Banach 空间； 在 C[ a ,b ] 中，按范数 x tmax [ a ,b ]
在L
2 [ a ,b ]
注：由于( E , )在 (x, y ) x y 定义下也是 ( E , ) ， 所以在(E ,
)中可类似定义——邻域、开集、闭集、极
限点、收敛点列、柯西点列等，并可讨论相关的性质。
4）巴拿赫空间（Banach） 如果赋范线性空间 (E , )按范数导出的距离空间
( E , ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
(E , )或 E 。
（2） 赋范线性空间与距离空间的关系
若在(E , )中，按范数定义距离，即
x, y E , (x, y ) x y ，
由范数导出 的距离
验证得知 满足距离的三个条件，因此，(E , )在范数意 义下（以后均指这种情况）是距离空间 ( E , ) 。
第1章 距离空间和赋范空间(2)kj
U ( x0 , r ) 和 S ( x0 , r ) 是以 x0 为中心, 以 r 为半径的开球和闭球.
下面的一些定理, 其证明与 R n 中的情形完全类似, 因此我们略去 它们的证明. 定理 1.4.1 (开集的基本性质)开集具有如下的性质: (1) 空集 和全空间 X 是开集. (2) 任意个开集的并集是开集. (3) 有限个开集的交集是开集. 定理 1.4.2 设 X 是距离空间, A Ì X . 则以下三项是等价的: (1) x Î A¢. (2) 对任意 > 0, U ( x, ) -{x} 中包含 A 中的点.
(3) 对任一闭球 S , 存在闭球 S1 Ì S , 使得 S 1 A = Æ.
证明 (1) (2). 设 ( A) = Æ. 则对于任何开球 U , U Ç ( A)C ¹ Æ (否 则 U Ì A , 从而 U Ì ( A), 这与 ( A) = Æ 矛盾 ). 由于 U Ç ( A)C 是开集 , 因此存在开球 U1 Ì U Ç ( A)C . 此时 U1 A = Æ, 于是更加有 U1 A = Æ. 反 过 来 , 对 任 意 x Î X 和 > 0, 由假设条件, 存在开球
(2) (3). 注意到对任意 A Ì Y , 成立 T -1 ( AC ) = (T -1 ( A))C . 利用开
集与闭集的对偶性即知. ■ 3 空间的可分性 在 R1 中有一个既是可列, 又是稠密的子集, 就是有理数集 Q . 这个 事实有时候是很有用的. 对于一般的距离空间, 不见得总是存在一个可 列的稠密子集 . 为了区别这两类不同的距离空间 , 我们给出下面的定 义. 定义 1.4.5 设 X 是距离空间. 若在 X 中存在一个可列的稠密子集, 则称 X 是可分的. 例如 , 空间 R n 是可分的 . 这是因为 R n 中的有理点所成的集 Q n 是 R n 的可列的稠密子集. 下面考察几个重要空间的可分性. 例 2 空间 l p (1 £ p < ¥) 是可分的 . 为叙述简便计, 下面只对实 A = { ( r1 , , rn , 0, ) : ri Î Q, n = 1, 2, }. 则 A 是 l p 中的可列集. 我们证明 A 在 l p 中稠密. 根据定理 1.4.6, 只需证 明 对 任 意 x Î l p 和 > 0,
距离空间和赋范空间关系
距离空间和赋范空间关系1 简介距离空间和赋范空间是数学中比较基础的概念，它们都是描述空间中元素之间的距离关系的。
在实际科学中，距离空间和赋范空间被广泛地应用于物理学、计算机科学、工程学和金融学等领域。
在本文中，我们将介绍距离空间和赋范空间的概念及其关系。
2 距离空间距离空间是指具有度量结构的空间。
所谓度量，是指一种函数，它能够计算空间中两个元素之间的距离。
距离空间的定义是具有以下三个性质的集合：1. 集合中的每个元素可以用一个点来表示；2. 对于任意两个元素x和y，都存在一个非负的实数d(x,y)，表示它们之间的距离；3. 三角不等式，即对于任意三个元素x、y和z，有d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z)。
距离空间应用广泛，比如在计算机科学中，可以将计算机中的各项指标抽象成元素，然后利用距离空间的度量函数计算它们之间的距离。
在物理学中，距离空间可以用于描述物体间的距离关系。
3 赋范空间赋范空间是指在距离空间的基础上，添加了一个额外的结构——范数。
范数是一种函数，它可以计算空间中每个元素的“大小”。
它定义为一个从空间到实数的函数，通常表示为||x||，它满足以下三个性质：1. 零向量的范数为0：||0||=0；2. 非零向量的范数为正数：||x||>0，x≠0；3. 范数满足线性性：||αx+βy||≤|α|||x||+|β|||y||，其中α、β是任意实数，x和y是任意空间中的向量。
赋范空间的例子包括实数域上的向量空间和函数空间。
在金融学中，赋范空间可以用于描述资产组合的投资风险和收益率之间的关系。
4 距离空间和赋范空间的关系每个赋范空间都可以看作距离空间，因为对于任意两个元素x和y，它们之间的距离可以定义为它们的差的范数，即d(x,y)=||x-y||。
因此，每个赋范空间都是一个距离空间。
但是，并非每个距离空间都可以定义出范数。
与距离空间相比，赋范空间更加抽象，因为它不仅仅是描述空间中的元素之间的距离关系，还涉及到元素的“大小”问题。
泛函分析中的八大空间
泛函分析中的八大空间泛函分析绪论总结参考教材是孙炯老师的《泛函分析》❞泛函分析学习目标1、了解和掌握空间理论（距离、赋范、内积空间）和线性算子理论（线性算子空间、线性算子谱分析）中基本概念和理论。
2、运用全新的、现代数学的视点审视、处理数学基础课程中的一些问题。
3、将分析中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑形式中加以研究，综合运用分析、代数、几何手段处理问题。
❞泛函分析研究对象与方法泛函分析综合分析、代数、几何的观点和方法来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题。
泛函分析的特点是把古典分析的基本概念和方法一般化、并将这些概念和方法几何化。
解析几何的创立，将代数问题几何化、几何问题代数化，那么这种模式可类比的推广到泛函分析的研究中。
❞（1）建立一个新的空间框架，空间中元素包括函数、运算。
「注」：空间中的元素？空间的结构（距离、范数、内积）（2）在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题，把分析中的问题结合几何、代数的方法加以处理。
「注」：泛函分析主要研究无穷维空间到无穷维空间的映射、运算，因此关注无穷维空间的性质，收敛性问题（如加法与无穷级数的区别）一些个人思考在三维实向量空间中进行了坐标分解，这样可以更清楚的表示这个向量的相关一些信息，那么空间的几何结构变得非常明了；另外将一个矩阵映射进行了分解，那么它的作用效果，也变得很明了。
所以自然联想到，无穷维空间能否有这样的几何结构（坐标系、正交性、元素能否分解？）、其中的映射又能否分解？但是在这其中就会遇到新的问题，也就是无穷项相加，就会有收敛性的问题。
❞泛函分析主要内容（1）空间、极限的概念，讨论他们的性质.包括：距离空间、赋范空间、内积空间、Hilbert空间.（2）研究线性算子（线性算子空间）.包括：有界线性算子、有界线性算子的重要性质、共轭空间。
其中：一致有界原则、开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理.（3）线性算子的谱理论.线性算子的谱分解从结构上展示了线性算子的基本运算特征，特别是自共轭算子的谱分解，与有限维空间对称矩阵的分解很类似.❞定义1：设有集合,且存在映射,使得对任意的都有：1.非负性：;2.对称性：;3.三角不等式：映射称为集合上的一个度量，称为度量空间.度量函数有时也用表示.下边我们给出一些常用的度量空间：1.,度量函数为经典度量.这样的实空间就称为欧式空间.2.(平凡度量)在任何一个集合上，我们都可以定义上述度量，因此任何一个集合上都可以让其变为一个度量空间.1.(空间) 所有的方勒贝格可积函数，定义度量：1.(空间) 所有的在可测的本性有界的函数，定义度量：表示它的本性上界.1.(空间和空间) 元素是数列：.2.3.(连续函数空间) 如果不做声明时，我们的定义的度量是：4.当然还可以有其他度量：有了度量函数后，我们可以定义收敛性：定义2：设为距离空间中的一个点列(或称序列), 这里如果存在中的点, 使得当时, , , 则称点列收敛于, 记为有时也简记为称为的极限.注意到，这里一定要要求在集合中！命题1：设是距离空间中的收敛点列,则下列性质成立:(i) 的极限唯一;(ii) 对任意的, 数列有界.(iii) 如果收敛，那么它的任意子列也收敛.定义3：距离空间中的点列叫做基本点列或柯西点列,若对任给的, 存在, 使得当时,如果中的任一基本点列必收敛于中的某一点,则称为完备的距离空间.注意到：一个空间是否完备与它的集合和度量都有关系，比如：按照最大值定义的度量是完备的，但是按照积分定义的度量不完备，在比如上配备欧式度量，点列是基本列但是不收敛，因为不在集合中.一个不完备的空间，我们可以想方设法的添加一些元素使其完备，然而是否任何的不完备空间都能这样做使其完备呢？这就要需要我们的完备化定理了！在此之前，我们需要引入一些其他有必要的东西！定义4设是两个度量空间, 如果存在映射：满足：(1):是满射；(2):.则称和是等距同构的, 称为等距同构映射, 有时简称等距同构。
泛函中四大空间
泛函中四大空间的认识第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。
赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。
完备的赋范线性空间是Banach 空间。
赋范线性空间的性质类似于熟悉的n R ，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于n R 。
赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。
特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。
任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。
距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于n R 的空间结构。
事实上，n R 上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。
但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。
内积空间实际上是定义了内积的线性空间。
在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。
Hilbert 空间是完备的内积空间。
与一般的Banach 空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。
1 线性空间（1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若,x y X ∀∈，都有唯一的一个元素z X ∈与之对应，称为x y 与的和，记作z x y =+,x X K α∀∈∈，都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应，称为x α与的积，记作u x α=且,,x y z X ∀∈，,K αβ∈，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律：10 x y y x +=+20 ()()x y z x y z ++=++30 在X 中存在零元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=40 x X ∀∈，存在负元素x X ∀-∈，使得()x x θ+-=50 1x x ⋅=60 ()()x x αβαβ=70 ()+x x x αβαβ+=80 ()x y x y ααα+=+当K R =时，称X 为实线性空间；当K C =时，称X 为复线性空间（2）维数：10 设X 为线性空间，12,,,n x x x X ∈ 若不存在全为0的数12,,,n K ααα∈ ，使得11220n n x x x ααα+++=则称向量组12,,,n x x x 是线性相关的，否则称为线性无关。
距离空间赋范空间内积空间的关系
一、概述距离空间、赋范空间和内积空间是数学中常见的概念，它们各自具有独特的性质和结构。
研究它们之间的关系，有助于深入理解空间的性质及其在实际问题中的应用。
本文将着重探讨距离空间与赋范空间、内积空间之间的关系，并展示它们在数学和实际问题中的应用。
二、距离空间的定义及性质距离空间是指一个集合X上配备了一个距离函数d的空间，满足以下性质：1. 非负性：对于所有的x, y∈X，有d(x, y)≥0，且d(x, y)=0当且仅当x=y。
2. 对称性：对于所有的x, y∈X，有d(x, y)=d(y, x)。
3. 三角不等式：对于所有的x, y, z∈X，有d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z)。
三、赋范空间的定义及性质赋范空间是指一个实数域上的向量空间X上配备了一个范数函数||·||的空间，满足以下性质：1. 非负性：对于所有的x∈X，有||x||≥0，且||x||=0当且仅当x=0。
2. 齐次性：对于所有的x∈X和所有的实数α，有||αx||=|α|·||x||。
3. 三角不等式：对于所有的x, y∈X，有||x+y||≤||x||+||y||。
四、内积空间的定义及性质内积空间是指一个实数域上的向量空间X上配备了一个内积函数lt;·, ·gt;的空间，满足以下性质：1. 对称性：对于所有的x, y∈X，有lt;x, ygt; = lt;y, xgt;。
2. 线性性：对于所有的x, y, z∈X和所有的实数α，β，有lt;αx+βy, zgt; = αlt;x, zgt+βlt;y, zgt。
3. 正定性：对于所有的x∈X，有lt;x, xgt; ≥0，且lt;x, xgt;=0当且仅当x=0。
五、距离空间与赋范空间的关系1. 距离空间是赋范空间的特例，在距离空间中可以定义范数函数||x-y||=d(x, y)，因此任何一个距离空间都是赋范空间。
2. 赋范空间的范数函数可以直接导出距离函数，即距离空间中的距离函数可以由赋范空间中的范数函数定义而来。
第二章-赋范线性空间
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
数值分析(03)赋范线性空间
A的特征值1 5, 2,3 3,
数值分析
数值分析
第二步：由(i I A)x 0求A的特征向量，
对1 5，解齐次方程组(5I A)x 0，有
1 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 1 0 1 0 0 0
x1 x2
x3 2x3
基础解系为1 (1,2,1)T
矩阵A属于1 5的全部特征向量
为 x(1) k1 k(1,2,1)T , k 0
数值分析
数值分析
对2,3 3，解齐次方程组(3I A)x 0，有
1 0 1 1 0 1 2 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0
3 用max（求最大）、sum（求和）编写计算矩阵1 范数
A 的程序。 1
数值分析
例：证明
x
= max 1 i n
xi
为向量范数.
证：(1)显然 x 0,
x 0 xi 0, i 1, 2, ..., n x 0
(2)
kx
= max 1 i n
程序3
计算向量的 范数
x
max 1 i n
xi
s=0;
for i=1:n
if abs(x(i))>s,s=abs(x(i));end
end
作业
1 用for语句、if 语句编写计算矩阵1 范数 A 的程序。 1
2 用for语句、if 语句编写计算矩阵 范数 A 的程序。
数值分析
数值分析
2. Rnn , A (aij )nn 定义(矩阵的范数)
第1章 距离空间和赋范空间(1)kj
在 [a, b] 上一致收敛于函数 x(t ).
d ( xn , x) = max xn (t ) - x(t ) .
a£t £b
因 此 d ( xn , x) 0 当 且 仅 当 max xn (t ) - x(t ) 0. 这 相 当 于 {x n (t )} 在
a£t £b
[a, b] 上一致收敛于函数 x(t ). ■
x(t ), 则当 n ¥ 时 0 £ mE ( f n ³ ) £ mE ( xn - x ³ ) 0.
故 { f n } 依测度收敛于 0. 注意到 0 £ f n (t ) £ 1, 利用有界收敛定理得到
n¥
lim d ( xn , x) = lim ò f n dt = 0.
对任意 x, y, z Î s, 利用(2)式得到
¥ ¥ | xi - zi | | zi - yi | 1 | xi - yi | 1 £ + ) å i i ( 2 1 + | xi - yi | 1 + | xi - zi | 1 + | zi - yi | i =1 2
(2)
d ( x, y ) = å
d 1 ( x, y ) = å xi - yi ,
i =1
n
d 2 ( x, y ) max xi y i .
1i n
容易验证 d 1 和 d 2 也是 K n 上的距离. 注意 (K n , d ), (K n , d 1 ) 和 (K n , d 2 ) 这 三个空间上的距离是不同的, 因此它们是不同的距离空间. 由(1)式定义 的距离称为 K n 上的欧氏距离. 今后若无特别申明, 将 K n 视为距离空间 时, 其距离总是指的是欧氏距离. 设 E 是 K n 的非空子集, 则 K n 上的距离也是 E 上的距离, 因此 E 按 照 这 个 距 离 成 为 距 离 空 间 . 称 之 为 Kn 的 子 空 间 . 例 如 , 区 间
赋范线性空间
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
线性距离空间构成赋范线性空间和内积空间的充要条件
赋予 距 离 构 成线 性 距 离 空 间 ，但 赋 范 线 性 空 间 不 一 定 能 赋 予 内积 构 成 内积 空 间 ，从 而 线 性 距 离 空 间 不一 定 能 赋 予 内积 构 成 内积 空 间 。本 文 给 出 线 性 距 离 空 间 构 成 赋 范 线 性 空 间 的一
个 充 要 条 件 和线 性距 离空 间构成 内积 空 间 的 三个 充 要 条 件 。 １ 线 性 距 离 空 间 构 成 赋 范 线 性 空 间 的 充 要 条 件 定 理 １ ［［ … ２ 若 （ ｌ・Ｉ）是 赋 范线 性 空 间 ， （ ｄ ］ ，ｌ Ｉ 则 Ｘ， ）是 线 性 距 离 空 间 ， 中 ｅ ｘ Ｙ 其 （ ，）
２ 线性 距 离 空 间构 成 内积 空 间的 充 要 条 件 定 理 ５ 川 Ｅ （Ｉ）若 （ ， ・ ） ３ ＜ ，・ ）是 内积 空 间 ， （ ，ｌ・Ｉ）是 赋 范线 性 空 间 ， 则 Ｉ ｝ 且
＋ＹＩ ＋ Ｉ
２ （
一ＹＩ ＝２ Ｉ （
ｌ ＋ ｌ ）其 中 ｌ ｌ ｌｌ ， Ｙ
第 二 十五 卷 第 三 期
２ ０年 ３月 ０１
楚
雄
师
范
学
院
学
报
Ｖｏ ． Ｎｏ １ ２５ ．３ Ｍ ａ ．２ Ｏ ｒ ０１
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＨＴＹ
线 性 距 离 空 间 构 成 赋 范 线 性 空 间 和 内 积 空 间 的 充 要 条 件
∈ Ｋ。
定 理 ３ ［ 儿
Ｘ ， ∈ Ｋ。 ａ
若 （ ｄ 是线性距离空间 ， （ Ｘ， ） 则 Ｘ，ｌ Ｉ ｌ・ｌ）是 赋 范 线性 空 间 的 充要 条 件 是
（ ） （ ， ）＝ｌ ｆ （ ０ ；２ （ ＋ Ｙ十 １ ｄ ０ ， ） （ ） ， ）＝ （ Ｙ 。 中 『 『 （ ０ ， ， ， ， ） 其 Ｉ Ｉ＝ ， ） 戈 Ｙ ∈ 本 文 给 出线 性 距 离 空 间构 成 赋 范线 性 空 间 的一 个 充 要条 件 ：
泛函分析复习与总结
《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。
以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。
（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。
赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。
泛函分析答案(完整版)
1.}{ .1的极限是唯一的中的收敛列证明距离空间n x X *.** 0*)**,( )( 0*)*,(*),(*)**,(0)( *** x x x x n x x x x x x n x x x x n n n n ==∞→→+≤≤∞→→→，即所以，则，设ρρρρ第七章距离空间、赋范线性空间2.* }{* }{ .2x x X x x X n n 的任一子列收敛于收敛于中的序列试证距离空间⇔∈.* 0*),( 0*),(}{}{)( *x x x x x x x x n x x kkk n n n n n n →→→∞→→，所以，故的任一子列，依条件，是，设ρρ.*}{.*}{*),( }{}{*),(0*}{*}{000x x x x x x x x x x N n N x x x x n n n n n n n n k k k收敛于此与假设矛盾，故不收敛于显然使的一个子列，于是可选取，使，都存在，使对任意的自然数则必存在，不收敛于，如果的任一子列收敛于反之，设ερερε≥≥>>3),(),(|),(),(| )ii (),(|),(),(| )i ( .3w z y x w y z x y x z y z x X w z y x ρρρρρρρ+≤−≤−：中的任意四个点，证明是距离空间、、、设),(|),(),(|)2()1()2( ),(),(),( ),(),(),()1( ),(),(),( ),(),(),( )i (y x z y z x y x z x z y z x x y z y y x z y z x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρ≤−≤−+≤≤−+≤即得：、结合得再由得由),(),(|),(),(|)4()3()4( ),(),(),(),( ),(),(),(),()3( ),(),(),(),( ),(),(),(),(),(),( )ii (w z y x w y z x w z y x z x w y w z z x x y w y w z y x w y z x z w w y y x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ+≤−+≤−++≤+≤−++≤+≤即得：、结合得再由得由4距离吗？是定义在实数集合上的2)(),( .4y x y x −=ρ.,24120),(),(),(),(.)(),(2上式就不成立时，，，比如取满足、、不能对所有的因为的距离不是定义在实数集合上>===+≤⋅⋅−=z y x y z z x y x z y x y x y x ρρρρρ.),( }{}{ .5收敛中的基本列，证明是距离空间、设n n n n n y x X y x ρα=.Cauchy }{),(),( |),(),(|||),( 0),( ),( 0),(数列，故收敛是即知再由依条件：n m n m n m m n n m n m n m n y y x x y x y x m n y y m n x x αρρρρααρρ+≤−=−∞→→∞→→5的闭包是闭集。
泛函分析第三讲
A 是列紧集当且仅当 A中函数是一致有界和 等度连续的.
如果存在 M 0，使得 f A和x a,b， 有 f x M，则称函数族 A是一致有界的.
如果 0, 存在 0, x, y a,b，f A， 只要 dx, y , 就有 f x f y ,
对于x x1, x2 ,, xn ，定义
x x1 2 x2 2 xn 2 ，
则 Rn是Banach空间.
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
一、赋范线性空间
例2 空间Ca,b.对于xtCa,b，定义
x max xt at b
则 Ca, b是Banach空间.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、紧集与列紧集
定义5 设 X , d 是一个距离空间，A, B X.
0是给定的数, 如果对 A 中的任何点 x，必有 B中
的点 x，使得dx, x ，则称 B是 A的一个 -网.
定义6 设 X , d 是一个距离空间，A X.
如果对任意 0，A中总存在有限的 - 网，
二、紧集与列紧集
定理6 设A 是距离空间 X的紧集，f : A R是连续的，则 (1) f 在 A上有界； (2) f在 A 上可取到最大值和最小值.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
2.2 赋范线性空间及Banach空间
第二章 泛函分析
一、赋范线性空间
1. 赋范线性空间的定义
定义1 设 X 是复（或实）的线性空间，
一、赋范线性空间
3. Banach空间的定义 定义3 设 X 为赋范线性空间， d是由范数 诱导的距离，如果X是完备的距离空间， 称 X 为Banach空间.
泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]
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第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(∙∙ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(∙∙ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(∙∙ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(∙∙ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
第三节线性算子
当X = Y时，称T 是线性变换，当Y = K时，称T 是线性泛函。 相关概念：核空间ker T、线性同构。 称T 在x点连续，是指对任意点列{xn }, 若xn → x, 则Txn → Tx； 若T 在X 的每一点都连续，则称T 在X 上连续。 定理1.设X , Y 是赋范线性空间,T : X → Y 是线性算子，则 （a）T 在X 上连续当且仅当T 在X 中的某点x0处连续;特别的 等价于若xn → θ ( X 中零元)，则Txn → θ (Y中零元). (b)当X 的维数有限时，T 在X 上是连续的。
fx0有界线性算子空间110111supsupsup1sup0002supsupxxxxxxtxtbxyttxtxxttxttbxyttxtxt????????????????????????算子的范数验证算子算子范数满足以下条件
赋范线性空间
内积空间
三个空间的关系
赋范线性空间都是距离空间：ρ(x，y )= || x y ||; 反之，要求距离满足条件 : ρ (ax, θ ) =| a | ρ ( x, θ ), 范数定义 || x ||= ρ ( x, θ )。 内积空间都是赋范线性空间 :|| x ||= ( x, x) 2 ；反之， 范数满足中线公式： x + y ||2 + || x y ||2 = 2 || x ||2 +2 || y ||2 , || 内积定义 1 (x，y )= (|| x + y ||2 || x y ||2 +i || x + yi ||2 i || x + yi ||2 ) 4
因为任何n维赋范线性空间都与n维欧式空间线性同构，所 以有限维的赋范线性空间是线性同构的当且仅当它们的维 数相等。 绝大多数的泛函分析课程都是讲述特殊的线性空间和线性 算子的性质，而自然界中的现象更多是非线性的，非线性 问题是更广阔更具有挑战性的领域，有着多样性和复杂性。 人们在处理这类问题的方法： 一、推广线性情形时的有关理论的想法和方法； 二、化整为零，在局部范围内运用线性方法，将非线性问 题转化为线性问题
数字信号处理复习笔记
数字信号处理复习笔记1、白噪声频谱为一直线，自相关函数为δ函数，各点之间互不相关2、空间的概念线性空间：即向量空间；赋范线性空间：定义了范数的线性空间；度量空间（Metric Space): 定义了距离的空间，赋范线性空间也是度量空间；内积空间：定义并满足内积性质的空间；Hilbert 空间：完备的内积空间称为Hilbert 空间3、连续系统与离散系统的描述：连续系统：微分方程，卷积，转移函数（Laplace 变换），频率响应（Fourier 变换）；离散系统：差分方程，卷积，转移函数（Z 变换），频率响应（DTFT ，DFT ）4、相关与卷积相关：两个序列的关系，求解时任一序列都不需要翻转。
卷积：描述LSI 系统的输入输出关系，求解时其中一个序列要翻转。
r xy (m)=x(-m)*y(m)5、系统的误差及实现方式对误差的敏感程度模拟信号抽样时的量化误差，系统系数量化误差，加减乘除运算过程中的舍去误差。
由于并联结构的每一个子系统都是独立的，不受其他子系统系数量化误差及乘法舍入误差的影响，因此是三种结构中对误差最不敏感的结构形式。
6、Z 平面和S 平面的主要映射关系如下：S 平面上的复变量s 是直角坐标，而Z 平面的复变量z 一般取极坐标形式S 平面的j Ω轴即虚轴映射到Z 平面的单位圆上，S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外。
当在轴上从变到的过程中，每隔，对应的从0变到，即在单位圆上饶了一周，所以有S 平面到Z 平面的映射不是单一的，这是离散信号傅里叶变换周期性的根本原因（2）基本关系是时域抽样，频域周期延拓，因此H(ejw)是H(j Ω)按照周期Ω=2п/T S 进行延拓而得到的，在延拓的过程中可能存在混叠现象。
7、DFT 与DTFT 及Z 变换的关系P1258、为什么要由DFS 过渡到DFT ？从原理上，)(~s nT x 和)(~0 k X 的各自一个周期即可表示完整的序列；从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；FT 、FS 、DTFT 、 DFS 都不符合要求，但利用DFS 的时域、频域的周期性，各取一个周期，就形成新的变换对；9、为什么数据后要补零？补零不能提高分辨率，没有增加数据有效长度！数据过短，补零后可起到一定的插值作用；使数据长度为 2 的整次幂，有利于FFT 。
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全体，即
Lp
[a,
b]
x(t
)
b
p
x(t)
a
dt 。
x(t), y(t) Lp , 定义 (x, y) b x(t) y(t) p dt 1/ p a
则 Lp[a,b]是距离空间，常称为 p 方可积的空间。
特别的，当 p=2 时，L2[a,b]称为平方可积的空间。
第12页
例5： 设l p (P 1)是所有 p 方可和的数列所成的集合，
第2页
§1 定义和举例
距离空间 设 X 是非空集合，若
x, y X 按规一则定 (x, y) 0， 且满足
（1）非负性 (x, y) 0,当且仅当x y时, (x, y) 0
（2）对称性 (x, y)(y, x) （3）三角丌等式 x, y, z X , 有
距离公理
(x ,y ) x(z , )z y( , )
lim 定义和举例 2 收敛概念 3 稠密性与完备性
在高等数学中
研究对象——函数 基本工具——极限，是分析理论的基础 定义极限的基础——距离
在泛函分析中将上述内容推广
研究对象——算子、泛函 （空间到空间的映射） 首先引入度量工具——距离 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的 理论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。
为开集，则称 A 为 E 中的闭集。
第15页
极限点（聚点）、导集：设 E 是一个集合，A E, x0 E ， 若在O(x0, )内都含有属于 A 而异于 x0 的点，则称 x0 为 A 的一个极限点（或聚点）。 A 的极限点的全体称 为 A 的导集。记作 A 。
闭包：A 的导集与 A 的并集称为 A 的闭包，
i 1
i1
i1
f (x)g(x)dx f 2 (x)dx 1 2 g 2 (x)dx 1 2
E
E
E
第7页
常用不等式（2）
3： Minkowski丌等式
1
1
n
(
ai
bi
k
)
1 k
n
ai k k n
bi k k
i 1
i1
i1
这里 k 1， ai , bi 是实数或复数.
则称实数 (x, y)为元素 x 不 y 之间的距离，称 X 为距离 空间或度量空间，记作(X , )或 X 。距离空间中的元素
也称为“点”，用“·”表示。
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距离 (,)是集合 X×X（称为乘积空间或笛卡尔积空
间）到实数集合 R1 上的二元泛函（或称函数）。 2）举例 例1： 设 R1 是非空实数集合，x, y R1，
第6页
常用不等式
1： Hölder不等式
n
ai bi n
ai
1p
p
n
1q
bi q
i 1
i 1
i 1
这里 ai ,bi 是实数或者复数，
1 p
1 q
1.
2：Cauch不等式
( f (x) , g(x) 在 E 上平方可积)
n
ai bi
n
12
ai 2
n
12
bi 2
丌同的度量空间。
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例3 设C[a,b]表示定义在[a,b]上的所有连续函数的
全体。x(t), y(t)C[a,b]，定义
(x, y) max x(t) y(t) t[ a ,b ]
例1：则C[a,b]是距离空间。
第11页
例4： 设 Lp[a,b](P 1) 表示[a,b]上 p 方可积的所有函数的
记作 A A A。
结论：闭包一定是闭集。A 是闭集 A A A A
第16页
收敛概念
定义: 收敛点列
设 X 是一个距离空间，{x n}是 X 中点列， x X 。若
0, N, 当n N时, (xn, x)
（即 n 时, (xn, x) 0）
则称点列 x n 在 X 中按距离 收敛于 x，记作
第14页
距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广） 邻域：设 A 是一个距离空间， x A, 0，则子集
O(x, ) {y (x, y) , y A}称为x的 邻域
内点、开集：设 x A，若存在O(x, ) A，称 x 是 A 的
内点。若 A 中所有的点都是内点，则称 A 是开集。 闭集：设 E 是一个集合，A E ，若 A 的补集 AEC E A
① 若定义 (x, y) x y ，
验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 为距离空
间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。
第4页
②
若定义
1(x,
y
)
1
x
x
y
y
验证知三条距离公理成立，
所以，R1 按定义 1也是距离空间
③ 若定义 2(x, y) x y2
验证丌满足第三条公理，所以 R1 按定义 2 丌是
(
f
(x)
g(x)
k
1
dx) k
f
(x)
k
dx
1 k
g(x)
k
dx
1 k
E
E
E
这里 f (x), g(x) 是 E 上的可测函数， k 1.
第8页
例2：设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
x (x1, x2,, xn), y ( y1, y2,, yn) Rn
n
定义 (x, y) (xi yi )2 i1
证明：Rn 在 下为距离空间，
即通常意义下的欧氏空间.
第9页
特别的，当 n=1 时， (x, y) x y ，
当 n=2 时， (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2)2
如果在 R2 中，定义d(x, y) x1 y1 x2 y2 ，
验证得知 R2 按 d 也是距离空间，但不欧氏空间是
即x { xi } 满足 xi p ， i 1
p 1/ p
对于 x {xi}, y {yi}l p ,定义(x, y) i1 xi yi ，
则l p 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。
特别的，当 p=2 时, l 2 称为平方可和距离空间。
第13页
Remarks: 对不同的对象（集合），应根据对象的性质定义适当 的、有意义的距离。 对同一个集合定义不同的距离，构成不同的距离空 间。
距离空间
可见，同一空间可以定义丌同的距离，从而形 成丌同的距离空间。
第5页
R n ， x x1, x2,, xn T ， y y1, y2,, yn T Rn
3 (x,
y) max 1in
xi
yi
4 (x,
y) min 1in
xi
yi
思考： 3(x, y), 4 (x, y) 能否定义 Rn 上的距离？