距离空间和赋范线性空间

证明：Rn 在 下为距离空间，
即通常意义下的欧氏空间.
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特别的，当 n=1 时， (x, y) x y ，
当 n=2 时， (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2)2
如果在 R2 中，定义d(x, y) x1 y1 x2 y2 ，
验证得知 R2 按 d 也是距离空间，但不欧氏空间是
距离空间
可见，同一空间可以定义丌同的距离，从而形 成丌同的距离空间。
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R n ， x x1, x2,, xn T ， y y1, y2,, yn T Rn
3 (x,
y) max 1in
xi
yi
4 (x,
y) min 1in
xi
yi
思考： 3(x, y), 4 (x, y) 能否定义 Rn 上的距离？
为开集，则称 A 为 E 中的闭集。
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极限点（聚点）、导集：设 E 是一个集合，A E, x0 E ， 若在O(x0, )内都含有属于 A 而异于 x0 的点，则称 x0 为 A 的一个极限点（或聚点）。 A 的极限点的全体称 为 A 的导集。记作 A 。
闭包：A 的导集与 A 的并集称为 A 的闭包，
i 1
i1
i1
f (x)g(x)dx f 2 (x)dx 1 2 g 2 (x)dx 1 2
E
E
E
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常用不等式（2）
3： Minkowski丌等式
1
1
n
(
ai
bi
k
)
1 k
n
ai k k n
bi k k
i 1
i1
i1
这里 k 1， ai , bi 是实数或复数.
全体，即
Lp
[a,
b]
x(t
)
b
p
x(t)
a
dt 。
x(t), y(t) Lp , 定义 (x, y) b x(t) y(t) p dt 1/ p a
则 Lp[a,b]是距离空间，常称为 p 方可积的空间。
特别的，当 p=2 时，L2[a,b]称为平方可积的空间。
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例5： 设l p (P 1)是所有 p 方可和的数列所成的集合，
丌同的度量空间。
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例3 设C[a,b]表示定义在[a,b]上的所有连续函数的
全体。x(t), y(t)C[a,b]，定义
(x, y) max x(t) y(t) t[ a ,b ]
例1：则C[a,b]是距离空间。
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例4： 设 Lp[a,b](P 1) 表示[a,b]上 p 方可积的所有函数的
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常用不等式
1： Hölder不等式
n
ai bi n
ai
1p
p
n
1q
bi q
i 1
i 1
i 1
这里 ai ,bi 是实数或者复数，
1 p
1 q
1.
2：Cauch不等式
( f (x) , g(x) 在 E 上平方可积)
n
ai bi
n
12
ai 2
n
12
bi 2
则称实数 (x, y)为元素 x 不 y 之间的距离，称 X 为距离 空间或度量空间，记作(X , )或 X 。距离空间中的元素
也称为“点”，用“·”表示。
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距离 (,)是集合 X×X（称为乘积空间或笛卡尔积空
间）到实数集合 R1 上的二元泛函（或称函数）。 2）举例 例1： 设 R1 是非空实数集合，x, y R1，
记作 A A A。
结论：闭包一定是闭集。A 是闭集 A A A A
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收敛概念
定义: 收敛点列
设 X 是一个距离空间，{x n}是 X 中点列， x X 。若
0, N, 当n N时, (xn, x)
（即 n 时, (xn, x) 0）
则称点列 x n 在 X 中按距离 收敛于 x，记作
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距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广） 邻域：设 A 是一个距离空间， x A, 0，则子集
O(x, ) {y (x, y) , y A}称为x的 邻域
内点、开集：设 x A，若存在O(x, ) A，称 x 是 A 的
内点。若 A 中所有的点都是内点，则称 A 是开集。 闭集：设 E 是一个集合，A E ，若 A 的补集 AEC E A
§0.3 距离空间
1 定义和举例 2 收敛概念 3 稠密性与完备性
在高等数学中
研究对象——函数 基本工具——极限，是分析理论的基础 定义极限的基础——距离
在泛函分析中将上述内容推广
研究对象——算子、泛函 （空间到空间的映射） 首先引入度量工具——距离 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的 理论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。
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§1 定义和举例
距离空间 设 X 是非空集合，若
x, y X 按规一则定 (x, y) 0， 且满足
（1）非负性 (x, y) 0,当且仅当x y时, (x, y) 0
（2）对称性 (x, y)(y, x) （3）三角丌等式 x, y, z X , 有
距离公理
(x ,y ) x(z , )z y( , )
(
f
(x)
g(x)
k
1
dx) k
f
(x)
k
dx
1 k
g(x)
k
dx
1 k
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E
E
E
这里 f (x), g(x) 是 E 上的可测函数， k 1.
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例2：设 Rn 是 n 维向量全体构成的空间，
x (x1, x2,, xn), y ( y1, y2,, yn) Rn
n
定义 (x, y) (xi yi )2 i1
即x { xi } 满足 xi p ， i 1
p 1/ p
对于 x {xi}, y {yi}l p ,定义(x, y) i1 xi yi ，
则l p 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。
特别的，当 p=2 时, l 2 称为平方可和距离空间。
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Remarks: 对不同的对象（集合），应根据对象的性质定义适当 的、有意义的距离。 对同一个集合定义不同的距离，构成不同的距离空 间。
① 若定义 (x, y) x y ，
验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 为距离空
间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。
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②
若定义
1(x,
y
)
1
x
x
y
y
验证知三条距离公理成立，
所以，R1 按定义 1也是距离空间
③ 若定义 2(x, y) x y2
验证丌满足第三条公理，所以 R1 按定义 2 丌是
lim
n
xn