1.2因动点产生的全等三角形的专题

1.2因动点产生的全等三角形

【压轴题型概述】本专题探求图形在变化过程中，探求符合全等三角形的点的存在性问题. 全等三角形是学习相似三角形的基础，所以这一部分题目以正、反比例函数，一次函数见多，也有二次函数的. 另外在等腰三角形或等腰梯形上动点移动时形成全等形. 全等三角形基础性很强，由于是动态题，往往答案很多，旨在锻炼学生综合分析问题的能力和发散性思维.

这部分题目主要是考察初二和初三第一学期学生的能力，中考时的比例约占5%左右.

【策略分级细述】

1. 证全等三角形一定要遵循全等三角形五条证明原则：S.A.S；A.S.A；A.A.S；S.S.S；H.L.

全等三角形往往存在多解的问题，要根据题意，适当的分类. 如图2-1，在坐标系中，以OB为边与△AOB全等的三角形有△OBC1、△OBC2和△OBC3. 那么分别以OB、OA、AB为边与△AOB全等呢? 这时要一条边、一条边的去解决，不要遗漏.

例1.已知在直角坐标平面内，一次函数y = ─

3

3x + 1 与x轴、y轴分别交于A、B两点.

（1）求：A、B两点的坐标；

（2）如果有一个三角形与Rt△AOB全等，且与Rt△AOB有一条公共边，请在图2-2的直角坐标平面内画出满足条件的三角形，这样的三角形有多少个，请分别求出这些三角形的未知顶点的坐标.（不必写出解题过程）

分析：

1. 令y = 0，求出一次函数与x轴交点A的坐标；令x = 0，求出一次函数与y轴交点B的坐标；

2. 与Rt△AOB全等，且与Rt△AOB有一条公共边，因为每一条公共边对应的点有三个，其中C3是每一个图形中都出现的点，所以这样的三角形共有七个

解：（1）令y = 0，即─

3

3x + 1 = 0，解得x = 3，所以A（3，0）；令x = 0，得y = 1，所以B

（0，1）

（2）如图2-3，C1（─3，0）、C2（─3，1）、C3（3，1）；如图2-4，C3（3，1）、C4（3，─ 1）、

C5（0，─ 1）、；如图2-5，C3（3，1）、C6（

3

2，

3

2）、C7

（

3

2，─

1

2）.

图2-3 图2-4 图

2-5

例1最难求的点是C 6和C 7. 求一个不在坐标轴上的点的坐标，一般情况下是向x 轴或y 轴作垂线. C 6的求法是：作C 6H ⊥y 轴于H ，因为∠ABO =∠ABC 6 =∠C 6BH = 60°，∠BC 6H = 30°，BC 6 = 1，所以BH = 12 ，C 6H = 32 ，所以C 6（32 ，32 ）.因为C 6与C 7垂直于x 轴，且 C 6 C 7 = 2，所以C 7（32 ，─ 1

2 ）.

2. 如图2-6，因为∠C =∠D = 90°，AC= FD ，BC = ED ，所以三角形就全等了，但是我们要再考虑一下，当∠C =∠D = 90°，AC= ED ，BC = FD ，三角形也全等. 即当一对角相等固定后，夹它的两条边可以交换着相等，产生多解问题.

压轴题之所以放在最后压轴，是因为它有难度. 它的难度来自两个方面：一方面是它的综合性，即有几个不同侧面的小题组成；另一方面是它的多解性，要从不同的侧面去考虑问题.

例2.直线 l 1在y 轴上的截距为1，与x 轴的交点A 坐标为（─ 2，0），与y 轴的交点为B . （1）求这条直线的表达式，并说出它的图像经过哪几个象限？

（2）直线l 2 经过第二、三、四象限，且与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，如果△COD 和△AOB 全等， 求直线l 2的表达式.

分析：

1. 由截距为1，设出l 1的解析式，把l 1与x 轴的交点A （─ 2，0）的坐标代入，求出l 1的解析式.

2. 由解析式的k 和b ，判断出直线l 1经过的象限.

3. 直线l 2 经过第二、三、四象限，所以△COD 和△AOB 全等存在两种情况，要分类讨论.

4. 第一种情况如图2-7，由OC = OA ，OD = OB ，得到点C （点C 与点A 重合）、D 的坐标，写出l 2 的表达式；第二种情况如图2-8，由OC = OB ，OD = OA ，得到点C 、点D 点坐标，写出l 2的又一个表达式.

5. 在这一类题目中，一定要分清边（线段）的长度是正值，但是写成点的坐标一定要注意正负. 如 图2-8中OD 的长度为2，但点D 的坐标应为（0，─ 2）.

6. 第二种情况也可以这样求：利用两直线垂直，k 2 = ─

1

k 1

求得斜率，再把求得的点C 或点D 坐标 代入求之.

解：（1）因为 l 1在y 轴上的截距为1，所以设l 1的解析式为y = k x + 1，经过点A （─ 2，0），所以，─ 2 k + 1 = 0，解得k = 12 ，所以l 1的表达式为y = 1

2

x + 1. 它经过第一、二、三象限.

（2）与y 轴的交点B （0，1），与x 轴的交点A （─ 2，0），因为直线l 2 经过第二、三、四象限，所

以△COD 和△AOB 全等存在两种情况：

①如图2-7，当△COD ≌△AOB 时，OD = OB = 1，CO = AO = 2，此时点C 与点A 重合，所以点D （0，─ 1），点C （─ 2，0）设的l 2解析式为y = k x ─ 1，经过点C （─ 2，0），所以，─ 2 k ─ 1 = 0，解得k = ─ 12 ，所以直线l 2的表达式为y = ─ 1

2

x ─ 1.

②如图2-8，当△DOC ≌△AOB 时，OC = BO = 1，OD = OA = 2，所以点C （─ 1，0）, 点D （0，─ 2），所以设l 2表达式为y = k x ─ 2，经过点C （─ 1，0），所以，─ k ─ 2 = 0，解得k = ─ 2，所以直线l 2

图2-6