结构力学 第17章 结构的塑性分析与极限荷载共71页
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结构塑性分析的极限荷
刚塑性模型
线性强化模型
各类简化曲线模型
理想弹塑性模型
加载时，材料的 曲线分弹性I、塑性II两个阶段。
材料的拉压性能相同
理想弹塑性材料假定：
卸载时，卸载点在I、II两个阶段上是不同的。 理想弹塑性假定，材料加载时呈弹塑性，卸载时呈弹性。
2
3
4
1
第二节 极限弯矩和塑性铰 纯弯曲 矩形截面梁
1)限定给结构加载的方式为按比例加载
结构的范围内。并假定： 材料为理想弹塑性材料。 轴力和剪力对极限荷载的影响可以 忽略不计。
2)限定仅在梁、刚架一类以弯曲变形为主的
1
2
平衡条件 在极限状态下，结构的整体、或任一局 部都满足静力平衡条件。 在极限状态下，结构的任一截面上的 弯矩值都不能超过截面的极限弯矩。
即
成立
证毕。
2.唯一性定理（单值定理）： 结构的极限荷载是唯一的。
证明：
。根据极限荷载应同时满足既是可破坏荷载又是可接受荷载，先设
为可破坏荷载，
为可接受荷载，由基本定理知应有：
和
（a）
为可破坏荷载，
为可接受荷载，
再设
（b）
(a)、(b)两式应同时成立，否则， 、 均为极限荷载的假设不能成立。而使该两不等式同时成立的条件是：
当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大M>Ms以后，截面上的应变分布仍与截面高度呈线性关系，即平截面假定仍然适用，见图14-2-1(c)。但截面上的应力分布不再与截面高度保持线性关系。
Hale Waihona Puke (3)塑性铰概念当截面出现并不断扩大塑性区进入弹塑性发展阶段，直到整个截面被塑性区充满的塑性极限状态止，截面上应变的发展始终与截面高度成线性关系。即尽管这一阶段塑性区上的应力停止在屈服应力值上，但应变仍与弹性核部分的应变分布斜直线共线发展。因此，当截面达到塑性极限状态时，比弹性极限状态的应变值显著增大，由此产生的是该截面两侧无限靠近的两个截面绕中性轴发生相对的转动的相对角位移效应。
结构力学(二)第4版龙驭球第17章结构的极限荷载
第17章 极限荷载【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(212δδδσb hbh M s u +=。
（b ）圆形截面的极限弯矩为63D M s u σ=。
（c ）环形截面的极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=33)21(16D D M su δσ。
【解】（a ）工字形截面的等面积轴位于中间。
静距计算公式：2021d xy y xy S y ==⎰考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）：)41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122222212bhb b h h bh h h b bh hb h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(21212δδδb h bh S +=因此极限弯矩为)41()(212δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：2021d xy y xy S y==⎰ 6322d 2))2(d(21)2(4d )2(43)2(023)2(0202222202222D uu u y D y D y y y D S D DDD =⋅=⋅=-⋅-=⋅-=⎰⎰⎰关/注；公，众。
号：倾听细雨因此极限弯矩为63D S M s s u σσ==（c ）圆的静距为63D S =则圆环的静距为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=3333)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==33)21(16D D S M ss u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。
设材料的屈服应力为s σ。
【解】设等面积轴距上顶面距离为xmm 。
由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得405550))50(21(22⨯+⨯=-+x x x ，解得mm x 723.4=。
单个角钢上下截面面积矩：32323232233214879mm ])723.440(20)723.440(31)723.445(20)723.445(31[)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431723.4)723.450(21=+⨯++⨯-+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯-⨯-⨯==⨯+⨯-⨯=S S由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+⨯=+=【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。
结构力学结构的塑性分析与极限荷载 ppt课件
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
结构力学 结构的极限荷载与弹性稳定图文
A
B
D
C
l/3
l/3
l/3
解: AB段极限弯矩为 M u ，BC段极限弯矩为Mu。
塑性铰的可能位置：A、B、D。
A l/3
B
Mu B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
1）B、D截面出现塑性
FPu
铰，由弯矩图可知，只 有当 Mu 3Mu 时，此破
A l/3
B
Mu B
分析：(1) 图(a)表示截面处于弹性阶段。
该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，
称为屈服极限y，此时的弯矩Ms称为弹性 s a)
极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：
s
MS
bh2 6
s
y0
（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，
y0
截面外边缘处成为塑性区，应力为常数， s b)
§11-2 基本概念
=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性
2
C l
2 4
B Mu
由We=Wi，可得 所以有1 4q源自l 24M uqu
16M l2
u
三次超静定 三个塑性铰
§11-4 超静定结构的极限荷载计算
例11-4-3 已知梁截面极限弯矩为Mu ，求极限荷载 。 解:塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面C。
q
qu
A
l
BA
Mu A
Mu C C B
l-x
x
例11-1-1 设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载 作用(图a)，试求极限荷载FPu 。
解：由M图知跨中截面 弯矩最大，在极限荷载作用 下，塑性铰将在跨中截面形 成，弯矩达极限值Mu(图b)。
结构的极限荷载和例题讲解
简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料，其应力～应变关系下图所示。
§12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算
一、弹塑性阶段工作情况
理想弹塑性材料T形截面梁处于纯弯曲状态时
弹性状态：
图b：截面处于弹性阶段，σ<σs （屈服极限） 图c：截面最外边缘处σ＝σs （达到屈服极限） 屈服弯矩（弹性极限弯矩）MS = Wσs（W：弯曲截面系数） 图d：截面处于弹塑性阶段。 靠外部分形成塑性区，其应力为常数，σ＝σs ， 靠内部分仍为弹性区，称弹性核，其应力直线分布 图e：截面全部达到塑性——极限情形， 这时的弯矩是该截面所能承受的最大弯矩 ——极限弯矩，以Mu 表示。
等截面超静定梁（图a） （各截面Mu相同） 弹性——弹塑性阶段——极限状态过程:
（1）弹性阶段弯矩图：P≤Ps （2首）先弹在塑A性端阶形段成M并图扩：大荷，载然超后过CP截s，面塑也性形区成
塑性性铰区。。A端首先达到Mu并出现第一个塑
（3）极限状态M图：荷载再增加，A端弯矩 增量为零，当荷载增加到使跨中截面的弯矩达 到Mu时，在该截面形成第二个塑性铰，于是梁 即变为机构，而梁的承载力即达到极限值。此 时的荷载称为极限荷载Pu——极限状态（e）。
破坏机构——极限状态： 结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时 ——结构丧失承载能力
三、静定梁的计算
静定梁由于没有多余联系，因此，出现一个塑性铰时，即 成为破坏机构。
对于等截面梁，在弯矩绝对值最大截面处达到极限弯矩， 该截面形成塑性铰。
由塑性铰处的弯矩等于极限弯矩和平衡条件，就可求出静 定梁的极限荷载。
结构的极限荷载和例题 讲解
§12－1 概述
结构设计方法：
1、容许应力法（弹性分析法）：
15_结构的塑性分析与极限荷载解读
2l l A y C y 3 3 D A C 9y / 2l
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
2019/2/20
Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
2019/2/20
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
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Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
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可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
结构力学讲义ppt课件
x y
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
哈尔滨工业大学 11 结构力学—— 结构的极限荷载-PPT文档资料
s
k F Pu F [ F ] 塑性设计时的荷载条件： Pw Pu k
哈工大 土木工程学院
4
17 结构的塑性分析和极限荷载
理想弹塑性材料假设：
• 在OA段线性，满足 E
• 在 AB 段应力达到屈服， 材料进入塑性流动；
s
A
C
B
E • 在C点卸载，满足
加载时是弹塑性，卸载时是弹性。
17 结构的塑性分析和极限荷载
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
结构力学
土木工程学院
工程力学学科组 李强
哈工大 土木工程学院
1
17 结构的塑性分析和极限荷载
§17.1 极限荷载的概述
此前主要讨论结构的弹性分析： • • • 假定应力应变关系是线性的； 荷载卸去后，结构无任何残余变形； 应力达到材料的极限应力即认为结构将 破坏； 正常使用条件下弹性计算能给出足够准 确的结果； 以弹性极限作为设计依据的设计方法称 弹性设计法。
• 塑性铰只能沿极限弯矩方向发生有限转角；
• 截面弯矩一旦小于极限弯矩(卸载)，塑性铰即消失。
塑性铰与普通铰的差别：
1.塑性铰可承受极限弯矩～普通铰不承担弯矩 2.塑性铰是单向的～普通铰是多向铰 3.塑性铰卸载时消失～普通铰与荷载无关 4.塑性铰随荷载分布可出现于不同截面～普通铰位置固定
哈工大 土木工程学院
哈工大 土木工程学院
3
17 结构的塑性分析和极限荷载
为弥补弹性设计法的不足，进一步挖掘结构的承载 能力，给达到弹性极限的结构继续施加同样形式的 荷载，直至结构破坏。 • 结构所能够承担的最大荷载叫作极限荷载；
• 结构即将达到破坏时的状态称作极限状态；
k F Pu F [ F ] 塑性设计时的荷载条件： Pw Pu k
哈工大 土木工程学院
4
17 结构的塑性分析和极限荷载
理想弹塑性材料假设：
• 在OA段线性，满足 E
• 在 AB 段应力达到屈服， 材料进入塑性流动；
s
A
C
B
E • 在C点卸载，满足
加载时是弹塑性，卸载时是弹性。
17 结构的塑性分析和极限荷载
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
结构力学
土木工程学院
工程力学学科组 李强
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1
17 结构的塑性分析和极限荷载
§17.1 极限荷载的概述
此前主要讨论结构的弹性分析： • • • 假定应力应变关系是线性的； 荷载卸去后，结构无任何残余变形； 应力达到材料的极限应力即认为结构将 破坏； 正常使用条件下弹性计算能给出足够准 确的结果； 以弹性极限作为设计依据的设计方法称 弹性设计法。
• 塑性铰只能沿极限弯矩方向发生有限转角；
• 截面弯矩一旦小于极限弯矩(卸载)，塑性铰即消失。
塑性铰与普通铰的差别：
1.塑性铰可承受极限弯矩～普通铰不承担弯矩 2.塑性铰是单向的～普通铰是多向铰 3.塑性铰卸载时消失～普通铰与荷载无关 4.塑性铰随荷载分布可出现于不同截面～普通铰位置固定
哈工大 土木工程学院
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3
17 结构的塑性分析和极限荷载
为弥补弹性设计法的不足，进一步挖掘结构的承载 能力，给达到弹性极限的结构继续施加同样形式的 荷载，直至结构破坏。 • 结构所能够承担的最大荷载叫作极限荷载；
• 结构即将达到破坏时的状态称作极限状态；
结构力学 极限荷载讲解
q Байду номын сангаас1
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
s
y
第15章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比
M u Wu M s Ws
矩 形 截 面 ： 1.5 16 圆形截面： 3 工 字 形 截 面 ： 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依 据这一特点可确定极限弯矩。
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
qu 2
Mu Mu
M u Wu s
Mu
Mu
2、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，塑性弯矩一定相同。
3、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，qu不一定相同。
q u1
qu 2
Mu1
M u1 M u 2 qu1 qu 2
Mu2 Mu2
第15章
四、如何确定单跨梁的极限荷载 1、机理 q
s
y
第15章
3、截面形状系数：极限弯矩与屈服弯矩之比
M u Wu M s Ws
矩 形 截 面 ： 1.5 16 圆形截面： 3 工 字 形 截 面 ： 1.15
4、截面达到极限弯矩时的特点
极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依 据这一特点可确定极限弯矩。
D
M u2
B A C
p
D
B
p
机构（一）A C M u2 D
M u2 M u1
M u2
B 情况（1）
M u1
C A B
p
D B
p
C D
机构（二）A
M u2
情况（2）
M u2
p
M u1
M u1
B C A
p
D
机构（三）A
C
M u2
D
B
M u2
不可能出现，为什么？ 情况（3）
第15章
试确定图示单跨梁的极限荷载
第15章
例题2 试用试算法求图示结构的极限荷载。 p 解 法2 ： 1.1 p
A D B E
C
试取机构（ 2） p2 a M u M u 2 Mu a 绘 出 与机 构 （ 2） 相应的 M图 ， p2 3
工程力学-结构力学课件-17极限荷载
Mu
q3
6.756 l2
Mu
17.4 比例加载时判定极限荷载的一般定理和基本方法
比例加载---作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现 卸载的加载方式。
P1
P1 1P P2 2P q1 1P q2 2P
求极限荷载相当于求P的极限值。
q1
q2
P2
1. 几个定理
结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件： 1）单向机构条件； 2）内力局限条件； 3）平衡条件。
荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。
结构的塑性分析： 利用材料塑性性质的结构分析。其任务是确定结构破坏时所能承受的荷载
---极限荷载。
计算假定：
（1） 材料为理想弹塑性材料。拉压性质相同。 （2） 所有的荷载均为单调增大，不出现卸载现象。 （3） 在加载过程中，所有各荷载均保持固定的比例倍数，因 而可以用同一个参数(荷载因子)的倍数来表示。
qu 16Mu / l 2
例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。
解：
P
P
A
D
B
C
共有三种可能的破坏机构
l/3 l/3 l/3
（1）A、B出现塑性铰
P1
2
l 3
P1
l
3
Mu
2
Mu
3
P1
5 l
Mu
P1
5 l
M
u
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
2.塑性铰的概念
塑性铰与真实铰的差别：
1.塑性铰可承受极限弯矩; 2.塑性铰是单向的,卸载时消失; 3.随荷载分布而出现于不同截面。
结构的塑性分析和极限荷课件
1
M(1) FpM1(1)
7 69.61 0.4542 153.3 69.61 7
8 69.61 0.3287 211.8 50.38
结构的塑性分析和极限荷课件
过其极限值。
MuMMu
3、单向机构条件 当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性 铰，而使结构变成机构。
三、三个定义
1、可破坏荷载 ( F
p
): 满足机构条件和平衡条件的荷载。
2、可接受荷载 ( F
p
): 满足内力局限条件和平衡条件的荷载。
3是、可极破限坏荷荷载载(，F u又)是: 同可时接满受足荷机载构。条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既
矩形 圆
工字型
1.5 16/3p=1.7 1.10～1.17
塑性铰与普通铰的不同之处：
圆环 1.27～1.40
(1) 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩 作用。
(2) 普通铰是双向铰，可以绕着铰的两个方向自由转动，而塑性铰是单向铰， 只能沿着弯矩增大的方向自由转动，若方向转动则恢复刚性链接的特性。
结构的塑性分析和极限荷课件
卸载性质
b
s
h
拉
压M
2 h
y0 y0
2
压
拉
M
s
卸载
结构的塑性分析和极限荷课件
§12-3 梁的极限荷
载
§12-3-1 静定梁的极限荷载 (ultimate load)
Fp
l 2
M
s
1 4
F ps l
1 6
bh 2 s
Mu
1 4
F pu l
1 4
b
h
2
M(1) FpM1(1)
7 69.61 0.4542 153.3 69.61 7
8 69.61 0.3287 211.8 50.38
结构的塑性分析和极限荷课件
过其极限值。
MuMMu
3、单向机构条件 当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性 铰，而使结构变成机构。
三、三个定义
1、可破坏荷载 ( F
p
): 满足机构条件和平衡条件的荷载。
2、可接受荷载 ( F
p
): 满足内力局限条件和平衡条件的荷载。
3是、可极破限坏荷荷载载(，F u又)是: 同可时接满受足荷机载构。条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既
矩形 圆
工字型
1.5 16/3p=1.7 1.10～1.17
塑性铰与普通铰的不同之处：
圆环 1.27～1.40
(1) 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩 作用。
(2) 普通铰是双向铰，可以绕着铰的两个方向自由转动，而塑性铰是单向铰， 只能沿着弯矩增大的方向自由转动，若方向转动则恢复刚性链接的特性。
结构的塑性分析和极限荷课件
卸载性质
b
s
h
拉
压M
2 h
y0 y0
2
压
拉
M
s
卸载
结构的塑性分析和极限荷课件
§12-3 梁的极限荷
载
§12-3-1 静定梁的极限荷载 (ultimate load)
Fp
l 2
M
s
1 4
F ps l
1 6
bh 2 s
Mu
1 4
F pu l
1 4
b
h
2
结构力学 结构的塑性分析与极限荷载PPT课件
第20页/共71页
2 当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
FPu Mu' A MuD
FPu
M
' u
3 2l
Mu
9 2l
A
M ' u
A
2l /3
FPu
DC
Mu
D
l/3
FPu
l
(M u
M u )
A
3 2l
D
3 2l
3 l
9 2l
弯矩图如图，弯矩
MB=
1 2
(M
' u
Mu )
M
u
,即M
' u
解：
FPu l
Mu
FPu
Mu l
第12页/共71页
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称为
可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
确定极限荷载的方法： 静力法——利用静力平衡求极限荷载的方法。 虚功法（机动法）——沿荷载方向假设单向破坏机构，利
梁是没有轴力的，所以:
s A1 s A2 0
A1 A2 A/ 2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s (S S )
S、S 分别为面积A、A 对等面积轴的静矩。
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状和 尺寸有关。
第5页/共71页
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa ，试求图示截面的
(b)
Mu
ql 1.2MuB Mu ( A B )
结构力学极限荷载
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
2）虚功法(作破坏机构图)
FP
红线为变形后的杆件，兰点为塑性铰
A
C
Mu
1
Mu
2
1B1源自l/22l
2
21
4
l
令机构产生虚位移，使C截面竖向
位移和荷载FP同向，大小为δ
外力虚功： We FP
内力虚功：
Wi
M u1
Mu2
2
Mu( l
4
l
)
6Mu
l
由
We=Wi 得： FPu
Fpu
=
(a+b)M ab
u
2Fp Fp
l/2
l/2
7 Fpl 16
5 Fpl 8
M图
5 M max 8 Fpl M u
Fpu
=
8M 5l
u
M max 2Fpl M u
Fpu
=
Mu 2l
结构力学（2）
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例 求静定梁的比例加载时的极限荷载Fpu
2Fp Fp
弯矩图法
A
3Mu
极限荷载（P266）
结构破坏时所能承担的的荷载。
结构力学（2）
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§17-2 极限弯矩、塑性铰、极限荷载 、极限状态
基本假设(一般针对钢材料) 1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、材料均匀，各向同性。 3、平面假定。即无论弹、塑性阶段，都保持平截面不变。
s A
塑性流动状态
C
o
C Mu
B Mu D
l
l/2
l/2
Fpl
解：作弯矩图
A
结构塑性分析与极限荷载
bh Mu s 4
这是截面所能承受的最大弯矩， 称为极限弯矩。
显然，对于 矩形截面极限 弯矩是屈服弯 矩的1.5倍。
12
σs h b y z σs
σs y0
σs
1)弹性阶段（b） 2)弹塑性阶段（c）
3)塑性阶段(d)
σs
σs
（d）
（a）
（b）
（c）
极限弯矩是整个截面达到塑性流动时截面所能承受的最 大弯矩。它主要与σs和截面形状尺寸有关，剪力对它的 影响可忽略不计。
注：应力的单位用（Pa），长度单位用（m），力的单位用 （N），弯矩单位（N.m）
20
M u 240 80 20 50 20 40 20 2 46080000N .m m) 46.08(kN.m) (
注：应力的单位用（MPa），长度单位用（mm），力的单 位用（N），弯矩单位（N.mm）
20
例：设有矩形截面梁受 载如图所示，试求极限 荷载F P u。 解：方法一—平衡法
A l
FP
B
l
C
（1）作M图（图b）。 由M图可知：在极限荷载 作用下，塑性铰将在C处 形成，此时，Mc=M u
Mu
FPu l 4
（2）由静力平衡条件，求F P u 对极限状态，由梁的平衡，得：
FPul / 4 Mu
塑性阶段时当σmax=[σ] ，结构并没有破坏，也就是
说，并没有耗尽所有的承载能力。 弹性设计没有考虑材料超过屈服极限后结构这一 部分的承载能力，弹性设计法不能正确地反映整个结 构的安全储备，因此弹性设计是不够经济合理的。
4
§16-1 概 述
3、塑性设计 ——把结构破坏时能承受的极限荷载除以荷载系数， 得到容许荷载，并以此为依据进行设计。即： Fpu 式中：FP——结构实际承受的载荷； Fp Fp FPu——极限载荷； k k ——荷载系数。 塑性设计特点： 是以理想弹塑性材料的结构体系为研究对象，从整 个结构所能承受的荷载来考虑，充分利用了材料的承 5 载能力，更经济合理。
结构力学 第17章 结构的塑性分析与极限荷载
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s (S S )
S、S 分别为面积A、A 对等面积轴的静矩。
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
6
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa ，试求图示截面的
极限弯矩。
80mm
解: A 3600mm2
荷载只是单调增大，不出现卸载现象。
2．结构的极限状态应当满足的条件
1）平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一 局部都保持平衡。
2）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下，
结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即
︱M︱≤Mu 。 3）单向机构条件：在极限状态，结构中已经出现足够
数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载
FP
FPu
l/2
l/2
Mu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu。
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有
限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面
产生了“塑性铰”。
③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载
称为“极限荷载”，记作FPu。
35
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超 静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
答案：错误
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增 大的方向发生相对转动。
答案：正确
3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素 影响。
答案：正确
4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷 载。
8、结构的塑性极限分析解析
n 1 k 1 n 1 k 1
r
n 1
（4）－（2）得：
r
* * * M M ( x ) S k k k k 0,
* * ( ) N a a 0 即 可得 a 1
*
这便证明了上、下限定理。
• 以上定理说明，由静力许可场可得到极限载荷的
6M s 由以上讨论可知，Ps L
E，如果梁是理想刚塑性材料构成，也会得到同样的极 限载荷，其值仅仅与结构本身和载荷形式有关，而与 结构的残余应力和加载历史无关。
一、静力法
——通过与外载荷相平衡且在结构内处处不违反 屈服条件的广义应力场来寻求所对应外载荷的最大值 的一种方法。 两种思路：已知弯矩图和未知弯矩图 A C P 解：1、未知弯矩图
B
超静定次数n＝1，可能出现 塑性铰的个数m＝2
设多余约束为FB，则用多余约束表示的平衡方程有2个：
PL M A FB L 2 M FB L C 2
不违反屈 服条件
M A Ms MC Ms
PL FB L 2 M s M A Ms F L M M B s C Ms 2 PL PL FB L M s M s 2 2 2M s FB L 2M s
M s 2
P M s M s 2 6M s / L 6M s Ps L
说明：对于复杂结构可能破损机构一般有好几种，对应于 每一种破损机构都有一个载荷值，真实的极限载荷是这些 载荷中的最小值。
静力法
A ① ② C P B ③
解：1、未知弯矩图
FB M
M 3 M B 消去FB、MB PL FB L MB M 3 2M 2 M 1 M 2 2 2 PL 平衡条件 M 1 FB L MB 2
r
n 1
（4）－（2）得：
r
* * * M M ( x ) S k k k k 0,
* * ( ) N a a 0 即 可得 a 1
*
这便证明了上、下限定理。
• 以上定理说明，由静力许可场可得到极限载荷的
6M s 由以上讨论可知，Ps L
E，如果梁是理想刚塑性材料构成，也会得到同样的极 限载荷，其值仅仅与结构本身和载荷形式有关，而与 结构的残余应力和加载历史无关。
一、静力法
——通过与外载荷相平衡且在结构内处处不违反 屈服条件的广义应力场来寻求所对应外载荷的最大值 的一种方法。 两种思路：已知弯矩图和未知弯矩图 A C P 解：1、未知弯矩图
B
超静定次数n＝1，可能出现 塑性铰的个数m＝2
设多余约束为FB，则用多余约束表示的平衡方程有2个：
PL M A FB L 2 M FB L C 2
不违反屈 服条件
M A Ms MC Ms
PL FB L 2 M s M A Ms F L M M B s C Ms 2 PL PL FB L M s M s 2 2 2M s FB L 2M s
M s 2
P M s M s 2 6M s / L 6M s Ps L
说明：对于复杂结构可能破损机构一般有好几种，对应于 每一种破损机构都有一个载荷值，真实的极限载荷是这些 载荷中的最小值。
静力法
A ① ② C P B ③
解：1、未知弯矩图
FB M
M 3 M B 消去FB、MB PL FB L MB M 3 2M 2 M 1 M 2 2 2 PL 平衡条件 M 1 FB L MB 2
结构力学 结构的塑性分析与极限荷载
A l/3
FPu
B
DC
Mu
B
Mu
D
l/3
l/3
B
3 l
D
6 l
此时M图如图，MA=3Mu
3M u
Mu
A
B
l/3 l/6
FPu
D
C
Mu
当3M u M u，此破坏可实现。
由虚功方程可得： FPu MuB MuD
FPu
Mu
(3 l
6) l
FPu
M u l
2 当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
FPu Mu' A MuD
极限荷载
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11
.7
Mu l2
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
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