关于变化分子与分母的问题
2023小升初分数的基本性质(二)(试题)六年级下册数学第一轮总复习人教版
一 、单选题（本大题共15小题，共30分）1.12个201等于（ ）个101。
A. 5B. 6C. 7 2.125的分子加上10．要使分数的大小不变，分母应（ ） A. 加上24B. 乘2C. 加上10D. 除以2 3.85的分母加上40后，要使分数的大小不变，分子应加上( )。
A. 20B. 40C. 25D. 50 4.43的分子加上9，要使分数的大小不变，分母应（ ）A. 加上12B. 加上9C. 乘9 5.43的分母加上20，要使分数大小不变，分子应（ ）。
A. 加上20B. 乘5C. 乘66.与1相等的分数有（ ）个。
A. 0B. 10C. 无数 7.把分数43的分子扩大至原来的2倍，分母缩小至原来的2倍，这个分数就（ ）。
A. 扩大至原来的4倍B. 扩大至原来的2倍C. 缩小至原来的2倍8.一个分数化成小数后是0.32，如果分子扩大4倍，分母缩小2倍，那么分数值化成小数后就是（ ）A. 0.64B. 0.04C. 2.56D. 1.28 9.112的分子加上4，要使分数的大小不变，分母应（ ） A. 加上4 B. 扩大4倍 C. 扩大3倍 D. 增加3倍10.—个最简真分数，把它的分子和分母都扩大到原来的5倍后，分子与分母的和是35，这个分数可能是( )。
数与代数—分数的基本性质（二） 小升初总复习专项RJA.61B.53C.41D.7411.下面的分数中，（ ）是最简分数。
A.2118 B. 718 C.714 D.915 12.把68的分母除以2，要使分数大小不变，则分子（ ）。
A. 乘以2B. 除以2C. 不变 13. 94的分子增加12，要使分数大小不变，分母应（ ）A. 增加12B. 扩大到原来的4倍C. 扩大到原来的3倍 14.关于74和2112这两个分数，下面的说法正确的是（ ）。
A. 意义相同 B. 分数单位相同 C. 分数值相等15.甲5分钟加工3个机器零件，乙8分钟加工5个同样的零件，比较他们的速度（ ）A. 甲快些B. 乙快些C. 两人一样快二 、填空题（本大题共5小题，共10分）16.把一个分数的分子扩大2倍，分母缩小2倍，这个分数的值就 倍。
第五讲分子分母变化问题（学生版）
第五讲分子分母变化问题知识导引分数的分子、分母的变化自然会引起分数大小的变化，但是不管它怎么变化，总会有分子、分母存在不变量，或者一定存在等量关系。
1、如果题目中有不变量，先求出1份对应的数量，再将分数还原到问题所求的结果；2、如果题目中没有不变量，我们可以采用例举法去调试，或者建立方程进行解答；3、如果分子、分母都不知道，我们就要设出分子、分母两个未知数，建立二元方程进行解答。
经典例题例1、一个分数，分子比分母大140,约分后等于3,那么原分数是多少？54例2、把的分子与分母同时加上一个相同的自然数，约分后是，那么加上715397的自然数是多少？例3、的分子减去某数，分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为6455，求某数。
134例4、有一个分数，若分母加上8等于，分母减去8就等于，原来这个分10321数是多少？例5、有一个分数，分子加上某数就等于，分子减去这个数就等于，这个8541数是多少？例6、一个分数分母加上某数得，分母减去这个数得，原分数是多少，这52178个某数是多少？例7、比大，比7小，分母是6的最简分数有多少个？21复习巩固1、阅览室看书的同学中，女同学占，从阅览室走出5位女同学后，看书的同53学中，女同学占，原来阅览室里一共有多少名同学在看书？742、有两段布，一段布长40米，另一段长30米，把两段布都用去同样长的一部分，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布剩下的长度的，每段布用去53多少米？夯实基础1、一个最简真分数，分子与分母的积为24，这个真分数是多少？（2011年成外择校考试题）2、一个分数的分子比分母小20，若分子、分母都加上4，则分母是分子的５倍，原来的分数是多少？3、有一个分数，分子与分母的和为36，如果分子和分母分别减去5和9，则可约分成，原来的分数是多少？834、的分子、分母加上同一个数，得，求加上的这个数是多少？4135875、分数的分子和分母都减去某一个数，新的分数约分后是，减去的数是1367392多少？6、的分母加上整数A ，分子同样减去整数A ，得到，A 等于多少?2920527、一个分数，分子加上3，就变成；分子减去3，则变成，原来的分数是6531多少？8、一个分数的分母减少3，就变成；分母加上7，又变成，这个分数是多7621少？能力拓展1、有一个分数，若分子加上某数等于，分子减去这个数就等于，这个分12561数是多少？2、有一个分数，分子比分母多8，如果分子减去3，分母加上9，则可约分成，原来的分数是多少？753、有一个分数，若分母减去某数就等于，若分母加上这个数就等于，某871712数是多少？4、比大，比5小，分母是13的最简分数有多少个？21绝对挑战1、一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成；如果分子减去1，分54母加上1，则又变成，原来的分数是多少？212、若是分母为18的最简真分数，则a 可取整数的个数为（ ）个。
分数加减乘除的计算
分数加减乘除的计算一、分数加法1.同分母分数加法：分子相加，分母不变。
2.异分母分数加法：先通分，再按照同分母分数加法计算。
二、分数减法1.同分母分数减法：分子相减，分母不变。
2.异分母分数减法：先通分，再按照同分母分数减法计算。
三、分数乘法1.分数乘法的法则：分子相乘的积作为新分数的分子，分母相乘的积作为新分数的分母。
2.乘法中约分的处理：先计算乘积，再进行约分。
四、分数除法1.分数除以分数：等于乘以这个分数的倒数。
2.除法中约分的处理：先计算乘积，再进行约分。
五、混合运算1.同级运算：从左到右依次进行计算。
2.两级运算：先算乘除，再算加减。
3.带括号的运算：先算括号里面的，再算括号外面的。
六、特殊分数运算1.零分数：分子为0的分数，值为0。
2.无穷分数：分母为0的分数，值为无穷大。
3.纯分数：分子小于分母的分数。
4.带分数：分子大于或等于分母的分数。
七、运算律的应用1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
2.加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再和第三个数相加，也可以先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变。
3.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
4.乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。
5.乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个加数，然后把乘得的积相加。
八、实际应用1.面积计算：求三角形、矩形、圆形等图形的面积。
2.浓度计算：求溶液的浓度。
3.增长率计算：求人口的增长率、投资收益率等。
4.百分比计算：求百分比，如折扣、税率等。
以上是关于分数加减乘除计算的知识点介绍，希望对您有所帮助。
习题及方法：一、同分母分数加法习题1：计算下列同分母分数的和：1/4 + 3/4分子相加，分母不变，直接相加得到结果：1/4 + 3/4 = 4/4 = 1习题2：计算下列同分母分数的和：2/5 + 4/5分子相加，分母不变，直接相加得到结果：2/5 + 4/5 = 6/5二、异分母分数加法习题3：计算下列异分母分数的和：2/3 + 1/4先通分，找到两个分母的最小公倍数，为12。
分数的练习题和答案.doc
分数的练习题和答案1、分数的分子和分母，分数的大小不变.2、把的分子扩大3倍，要使分数的大小不变，它的分母应该.3、把的分母缩小4倍，要使分数的大小不变，它的分子应该.4、把一个分数的分子扩大5倍，分母缩小5倍，这个分数的值就.5、的分母增加14,要使分数的大小不变，分子应该增加.6、一个分数的分子扩大10倍，分母缩小10倍是, 原分数是.7、8、二、判断1、分数的分子和分母乘上或除以一个数，分数的大小不变.2、分数的分子和分母都乘上或除以一个相同的自然数，分数的大小个变.4、一个分数的分子不变，分母扩大3倍，分数的值就扩大4倍.)5、将变成后，分数扩大了4倍.6、的分子扩大3倍，要使分数大小不变，分母要乘±3.三、选择题1、在分数中，x不能等于.①。
②③22、一个分数的分子不变，分母除以4,这个分数.①扩大4倍②缩小4倍③不变3、一个分数的分子乘上5,分母不变，这个分数.①缩小5倍②扩大5倍③不变4、小明把一块蛋糕平均切成3块，吃去其中一块；小华把一块同样大的蛋糕平均切成12块，吃去其中3块.他们两人比较吃去部分的大小是①小明吃得多一些②小华吃得多一些③两人吃得同样多5、的分子增加6,要使分数的大小不变，它的分母应该①增加②增加1③增加106、如果一个分数的分子、分母都增加100,而分数的大小没有改变，那么原来的分数一定是①分子大于分母②分子小于分母③分子等于分母参考答案-、填空1、都乘上或者都除以相同的数2、扩大3倍3、缩小4倍4、扩大25倍5、496、7、8、二、判断1、X2、X3、X4、X5、X6、V三、选择题1、②2、①3、②4、①5、③6、③一、在。
内填. OOOOOOOO二、把下面的分数化成分母是10而大小不变的分数.三、把下面的分数化成分子是4而大小不变的分数.四、把的分子扩大4倍，分母应该怎样变化，才能使分数的大小不变？变化后的分数是多少？把的分母除以8,分子怎样变化，才能使分数的大小不变？变化后的分数是多少？的分子加上6,要使分数大小不变，分母应加上几？参考答案一、在O 内填“〉”、“=”二、把下面的分数化成分母是10而大小不变的分数三、把下面的分数化成分子是4而大小不变的分数四、分母也应该扩大4倍，才能使分数的大小不变，变化后的分数是.分子也应该除以8才能使分数的大小不变，变化后的分数.的分子加上6,要使分数大小不变，分母应加上16.分数计算练习题一、分数比大小比较两个以上分数的大小，课本上介绍的方法是通分，即把这些分数的分母化成相同。
分数变化问题
分数变化问题湖南沅江陈忠良曹学斌所谓分数变化问题，是指对一个分数的分子、分母进行加减变化，变化后的分数值不变，求原分数的题目；或对一个分数的分子、分母进行加减变化，变化后的新分数是已知的，求原分数的分子、分母同时加上或减去的数是多少之类的题目。
这类问题不仅在小学数学教学中时有所见，而且在小学数学竞赛中也屡见不鲜。
因此，对此类问题的解答很有必要作进一步的探讨。
这类分数变化题的解答应注意运用三个规律和抓住三条关键解题线索。
规律1：一个分数的分子、分母若同时加上同一个数时，其分数的值增大，但原分数的分子、分母的差与变化后分子、分母的差相等。
规律2：一个分数的分子、分母若同时减去同一个数时，分数的值减小，但它们的分子、分母的差不变。
规律3：一个分数的分子加上（或减去）而分母减去（或加上）同一个数时，分数值增加（或减小），但它们的分子、分母的和不变。
在实际问题中，分子、分母的增加或减少不一定相同。
因此解题时，必须根据已知条件，抓住下列几个关键，寻找解题的线索。
线索1：若两次都只变化分子或分母，则必须抓住没有变化的分子或分母应该相等的这一关键，先求出它。
若它们不相等，是因为化简的缘故，则需要求出它们的最小公倍数。
线索2：若一次变化分子，而另一次变化分母，而所加减的数是已知的，则必须抓住它的分子分母的和的倍数减去加上的数与加上减去的数应该相等的这一关键。
若它们不相等，是因为变化的不同，只要根据这个不同就可以求出原来的分数。
线索3：若分数是已知的，而要求其分子、分母同时加上或同时减去的数时，就必须抓住其分子、分母的差是不变的这一关键。
例1. 有一分数，原为，若将它的分子、分母同时加上一个数后，则变为。
分子、分母同时加上的数是多少？分析与解：因为分子、分母同时加上一个相同的数后，其分子、分母虽然发生了变化，但是它们的差是不变的。
原分数的分子、分母之差是，而加上同一个数后其差是。
因为，，可见是约去了它们的公约数7而得到的。
第2讲 巧求分数
第二讲 巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。
这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。
习题精练【例1】有一个分数，分子加3可化简为65，分子减3可化简为31，求这个分数。
解：65比原分数多3个分数单位，31比原分数少3个分数单位，所以65和31是原分数的2倍， 1272)3165(=÷+【例2】有一个分数，分母加1可化简为21，分母减1可化简为32，求这个分数。
分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。
472)2312(=÷+ 倒数是74【例3】有一个分数，分子加2可化简为85，分子减1可化简为21，求这个分数。
解：因为加上和减去的数不同，所以不能用平均数方法求解。
85比原分数多2个单位，21比原分数少1个分数单位，说明85和21差3个分数单位，241)12()2185(=++-这个分数为2413224185=⨯-或241324121=+【例4】有一个分数，分母加3可化简为73，分母减2可化简为32，求这个分数。
解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：一个分数，分子加3可化简为37，分子减2可化简为23 ∴61)23()2337(=+÷-61136137=⨯-或61126123=⨯+ 倒数是116 在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？知识点拨【例5】将分数4329的分子减去a ，分母加上a ，则分数约分后变为53，求自然数a 。
解：分子减去a ，分母加上a ，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。
约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉的因子是72÷8=9，约分前的分数是45279593=⨯⨯由此求出45-43=2。
[数学]-专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原版)
![[数学]-专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/a24c10dedc88d0d233d4b14e852458fb770b38a0.png)
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1（2021秋•曲阳县期末）把√3a √12ab 化去分母中的根号后得（ ） A ．4bB ．2√bC ．12√bD ．√b 2b 变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：√8= ． 2．（2021春•龙山县期末）把√12√2a 化成最简二次根式，结果是 ． 技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】 把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．例如：化简√2+1． 解：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1）化简2−√3的结果为： ；（2）猜想：若n 是正整数，则√n+1+√n 进行分母有理化的结果为： ； （3）若有理数a ，b 满足√2−1+√2+1=2√2−1，求a ，b 的值．变式训练 1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：2+√5= ．2．（2022秋•牡丹区期末）若3−√7的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+√7）ab ＝ ．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简典例3 化简：3332变式训练：1.化简： 2224(2)24x x x x x技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值√x+√y +√xy+y √x−√y，其中x ＝5，y =15． 针对训练：化简： （1y （24323技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：√6√2+√3+√5=√6+3)−5√2+√3+√5=√2+√3)2√5)2√2+√3+√5=√2+√3−√5．化简√10√5+√13+√8，并将这一问题作尽可能的推广．变式训练：12235(23)(35)类型二分子有理化典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：√7−√6=(√7−√6)(√7+√6)√7+√6=1√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：√7−√6=√7+√6√6−√5=√6+√5．因为√7+√6＞√6+√5，所以√7−√6＜√6−√5．再例如：求y=√x+2−√x−2的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2−√x−2=√x+2+√x−2．当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较3√2−4和2√3−√10的大小；（2）求y=√1+x−√x的最大值．针对训练1．（青羊区校级期中）已知a=√2−1，b＝3﹣2√2，c=√3−√2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y=√x+1−√x−1+3的最大值．第二部分 专题提优训练1．（2022秋•绥化期末）化简√21√3的结果是 ． 2．（2021秋•阳城县期末）化简√8√20的结果是 ． 3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简：√x−3−1= ． 4．（2021春•宁阳县期末）化简√12= ，√2−1= ． 5．（2012秋•珙县校级月考）化简：2−√3= ． 6．（2021春•江城区期末）化简√2√27的结果是 ． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，求x 2+xy +y 2的平方根．8．（2022春•普陀区校级期末）计算：√5−√5−1．9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：√32+√3−1+√3．10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．如：√2+1√2−1=√2+1)(√2+1)(√2−1)(√2+1)=3+2√2． 除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．如：化简√2+√3√2−√3．解：设x =√2+√3−√2−√3，易知√2+√3＞√2−√3，故x ＞0．由于x 2＝（√2+√3√2−√3）2＝2+√3+2−√3−2√(2+√3)(2−√3)=2．解得x =√2，即√2+√3−√2−√3=√2根据以上方法，化简：√23+2√2+√√−√√11．（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2−√3）＝1，（√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中√3=√3√3×√3=√33√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+√7的有理化因式可以是，3√2分母有理化得．（2）计算：①1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√1999+√2000．②已知：x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求x2+y2的值．12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简√3+√2 解：√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a +2√b m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn ＝b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n ．例如：化简√3±2√2解：√3±2√2=√(√2)2+12+2√2=√(√2+1)2=√2+1【理解应用】（1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于 ． （2）计算：①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2020+√2019+√2021+√2020．14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：√7−√6=√7−√6)(√7+√6)√7+√6=√7+√6． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5． 因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7−√6＜√6−√5．再例如，求y =√x +2−√x −2的最大值、做法如下：解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =√x +2−√x −2=√x+2+√x−2． 当x ＝2时，分母√x +2+√x −2有最小值2．所以y 的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y =√x +1−√x −1+3的最大值．。
分子分母变化问题
分子分母变化问题、最简分数问题分数变化问题，是指对一个分数的分子、分母进行加减变化，变化后的分数值不变，求原分数的题目；或对一个分数的分子、分母进行加减变化，变化后的新分数是已知的，求原分数的分子、分母同时加上或减去的数是多少之类的题目。
这类问题不仅在小学数学教学中时有所见，而且在小学数学竞赛中也屡见不鲜。
因此，对此类问题的解答很有必要作进一步的探讨。
这类分数变化题的解答应注意运用三个规律和抓住三条关键解题线索。
规律1：一个分数的分子、分母若同时加上同一个数时，其分数的值增大，但原分数的分子、分母的差与变化后分子、分母的差相等。
规律2：一个分数的分子、分母若同时减去同一个数时，分数的值减小，但它们的分子、分母的差不变。
规律3：一个分数的分子加上（或减去）而分母减去（或加上）同一个数时，分数值增加（或减小），但它们的分子、分母的和不变。
在实际问题中，分子、分母的增加或减少不一定相同。
因此解题时，必须根据已知条件，抓住下列几个关键，寻找解题的线索。
线索1：若两次都只变化分子或分母，则必须抓住没有变化的分子或分母应该相等的这一关键，先求出它。
若它们不相等，是因为化简的缘故，则需要求出它们的最小公倍数。
线索2：若一次变化分子，而另一次变化分母，而所加减的数是已知的，则必须抓住它的分子分母的和的倍数减去加上的数与加上减去的数应该相等的这一关键。
若它们不相等，是因为变化的不同，只要根据这个不同就可以求出原来的分数。
线索3：若分数是已知的，而要求其分子、分母同时加上或同时减去的数时，就必须抓住其分子、分母的差是不变的这一关键。
典型题讲解例1、一个分数的分子与分母的和是90，约分后得。
这个分数原来是多少？例2、一个最简分数，把它的分子扩大2倍，分母缩小3倍后，等于，这个分数原来是多少？3243练习1、一个分数分子与分母的和为161，约分后得，原来这个分数是多少？例3、5371 的分子与分母同时加上一个相同的自然数，约分后是79，那么加上的自然数是多少？。
分子分母顺次变化
分子分母顺次变化分子分母顺次变化是一个基础且重要的数学概念，它可以帮助学生更深入地理解比例变化的基本原理，也可以帮助他们更好地描述一个比例关系，并定义其中的参数。
本文将详细阐述分子分母顺次变化的基本要素，重点介绍它的一般性概念，并给出相应的例子来说明它的使用方法。
首先，要搞清楚什么是“分子分母顺次变化”，以及它与普通比例之间的区别。
分子分母顺次变化是指定义两个相关变量，当一个变量发生变化时，另一个变量也相应地发生变化。
两个变量定义为一个具有不同比例的分子和分母，并且当一个变量发生变化时，另一个变量也会按一定的规律发生变化，使得它们之间的比例关系保持不变。
例如，假定存在一种关系，即分子的变化的三倍大于分母的变化。
则可以将该关系写为： x：y=3x’：y’中，x，y，x’，y’均为变量，当x发生变化时，y也相应地发生变化，使得他们之间的比例关系保持不变。
接下来，介绍分子分母顺次变化的一般性概念。
其基本原理是，如果比例变化的规律可以用某种函数表达，则将其分解为分子和分母的顺次变化，可以使它更容易理解和应用。
举例来说，例如有一个函数 y=2x+1，则可以将该函数的分子和分母分别定义为x和y，从而得出比例变化的规律：x：y=2x：y+1，这就是分子分母顺次变化。
另外，在应用分子分母顺次变化时还要对其参数进行定义。
这些参数是控制着分子分母变化规律的变量，在比例变化的函数中被称为“系数”。
例如，在分子分母顺次变化关系中，系数代表着分子分母变化之间的比例，系数越大，分子变化越大，分母变化越小，反之亦然。
最后，举几个例子来说明使用分子分母顺次变化的方法。
例如，如果a和b的顺次变化关系为：a：b=2a’：b’，则此比例变化的函数为：a’=2b’/b。
此函数的系数为2，表明每当b增加1倍时，a的增量要比b的增量大两倍。
另一个例子是，如果a和b的顺次变化关系为：a：b=3a’：b’，则此比例变化的函数为：a’=3b’/b。
分子分母不同怎么比大小
分子分母不同怎么比大小
在分数比较大小的过程中，同分母比,分子大的大;同分子比,分母小的大;分子分母都不同的要先通分再按同分母比大小。
通分是根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程。
分数比较大小的方法
1.“化为同分母”法：先把分母不同的两个分数化成分母相同的两个分数，然后再根据“分母相同的两个分数，分子大的分数比较大”进行比较。
2.“化为同分子”法：先把分子不同的两个分数化成分子相同的两个分数，然后再根据“分子相同的两个分数，分母小的分数比较大”进行比较。
3.“比较倒数”法：通过比较两个分数倒数的大小来比较两个分数的大小。
倒数较小的分数，原分数较大;倒数较大的分数，原分数较小。
4.“相除”法：用第一个分数除以第二个分数，若商小于1，则第一个分数小;若商大于1，则第一个分数大;若商等于1，则两个分数相等。
5.“约分”法：在比较两个分数之前，先将两个分数约分，然后再进行比较两个分数的大小。
分数的变化问题
分数的变化问题
分数的变化问题
♪ 一些分数的分子与分母被施行了加减变化， 解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没 有变。抓住分子或分母，或分子、分母的 差，或分子、分母的和等等不变量进行分 析后，再转化并解答。
♪ 例1． ♪ 将43/61的分子与分母同时加上某数后得7/9， 求所加的这个数。
♪ 例1：有两筐苹果，已知第一筐苹果的质量 是第二筐的3/5，若从第一筐中拿出20千克 放入第二筐中，则第一筐苹果的质量是第 二筐的1/3，原来第一筐苹果有多少千克？
♪ 解法一：因为分数的分子与分母加上了一 个数，所以分数的分子与分母的差不变， 仍是18，所以，原题转化成了一各简单的 分数问题：“一个分数的分子比分母少18， 切分子是分母的7/9 ，由此可求出新分数的 分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－7/9）＝81 分子：81× 7/9 ＝63 81-61＝20或63-43＝20
♪ 解法二：43/61的分母比分子多18，7/9的分母比 分子多2，因为分数的 7/9与分母的差不变，所以 将7/9的分子、分母同时扩大18÷2=9倍。 ♪ 7/9的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7） ＝9（倍） ♪ 约分后所得的7/9在约分前是：63/81 ♪ 所加的数是81-61＝20 ♪ 答：所加的数是20。
♪ 分析 : ♪ 因为甲每小时比乙少做3个零件，8小时就 比乙少做3×8=24（个）零件，所以，24 个零件就是甲（10－8）小时的工作量。甲 每小时加工24÷（10－8）=12（个），这 批零件一共有12×10=120（个）。
♪ 例2：育红小学原有科技书、文艺书若干本， 其中科种书的5/13。现在这 两种书共多少本？
分式的符号法则
规律：1个负号任意移动（如（1）、（2）两小题）；2个负号全部去掉（如
（3）、（4）、（5）小题）；3个负号保留1个（如（6）小题）。
在分式运算的结果中，习惯于只保留一个符号，写在分式的前面
例2.不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母的最高次项的系数是正数
分析：对于分子、分母中含有多项式的分式，应把多项式看作一个 整体，切不可把分子（或分母）中多项式的第一项的符号误认为是 分子（或分母）的符号
分式的变号法则
在分式的变形和运算过程中，经常涉及到分
式的符号变换问题，而且极易出现错误，分式 变号法则的实质，是在保持分式值不变的条件 下，分子、分母以及分式本身三者之间的符号 变化规律。即分式的分子、分母与分式本身的 符号，改变其中任何两个，分式的值不变
例1.不改变分Leabharlann 的值，使下列分式的 分子与分母都不含负号：
知识点077--分式的基本性质(解答题)
三．解答题（共34小题）1．填写出未知的分子或分母：（1），（2）．考点：分式的基本性质。
分析：（1）观察分母的变化，根据分式的基本性质，则分子分母应同乘以x﹣y；（2）观察分子的变化，根据分式的基本性质，则分子分母是同除以y+1．解答：解：根据分式的基本性质，则（1）分子分母应同乘以x﹣y，故分母3x（x﹣y）=3x2﹣3xy；（2）分子分母是同除以y+1，分母变为y+1．点评：此类题应当首先观察已知的分子或分母的变化，再进一步根据分式的基本性质进行填空．分式的基本性质：分式的分子、分母同除以（或除以）一个不等于0的式子，分式的值不变．2．已知：，求证x+y+z=0．考点：分式的基本性质。
专题：证明题。
分析：设恒等式等于一个常数，求出x，y，z与这个常数的关系式，再进行证明．解答：解：设=k，则x=ka﹣kb，y=kb﹣kc，z=kc﹣ka，x+y+z=ka﹣kb+kb﹣kc+kc﹣ka=0，∴x+y+z=0．点评：设出恒等式等于一个常数，求出x，y，z与这个常数的关系式是解答本题的关键．3．（1）你能利用分式的基本性质，使分式的分子不含“﹣”号吗（不能改变分式的值）？试一试，做一做，然后与同伴交流．（2）不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含“﹣”号：①；②．（3）你能不改变分式的值，使分式中a和x的系数都为正数吗？①；②．考点：分式的基本性质。
专题：阅读型。
分析：根据分式的分子、分母和分式本身任意两处都乘以﹣1，分式的值不变解答．解答：解：（1）能．==；（2）①==；②=；（3）①==；②==．点评：本题主要考查分式的分子、分母和分式本身三处的符号任意改变其中的两处，分式的值不变，熟练掌握这一性质对今后的解题大有帮助．4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“﹣”号．（1）；（2）；（3）．考点：分式的基本性质。
分析：根据分式的基本性质作答．①分数值除以﹣1，分母除以﹣1，②③分子分母同时除以﹣1．解答：解：（1）=；（2）=；（3）=﹣．点评：解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．5．（1）=；（2）=；（3）=；（4）=．考点：分式的基本性质。
七年级数学上册第二单元《整式加减》-解答题专项(答案解析)
一、解答题1．观察下列单项式：﹣x ，2x 2，﹣3x 3，…，﹣9x 9，10x 10，…从中我们可以发现： （1）系数的规律有两条： 系数的符号规律是 系数的绝对值规律是 （2）次数的规律是（3）根据上面的归纳，可以猜想出第n 个单项式是 ．解析：（1）奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同；（2）与自然数序号相同；（3）(1)n nnx -【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，且系数的绝对值与自然数序号相同，次数也与与自然数序号相同．由此可解出本题． 【详解】（1）奇数项为负，偶数项为正， 与自然数序号相同； （2）与自然数序号相同；（3）(1)n nnx -．【点睛】本题考查了单项式的有关概念．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 2．若单项式21425m n x y +--与413n mx y +是同类项，求这两个单项式的积 解析：10453x y - 【分析】根据题意，可得到关于m ，n 的二元一次方程组，求出m ，n 的值，即可求得答案. 【详解】∵单项式21425m n x y +--与413n mx y +是同类项， ∴21442m n n m +=+⎧⎨-=⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，∴21425252441011355533n m m n x y xy x y x y x y ++--⋅-⋅=-=【点睛】本题主要考查同类项的定义和单项式乘单项式的法则，根据同类项的定义，列出关于m ，n 的二元一次方程组，是解题的关键.3．给定一列分式：3x y ，52x y -，73x y ，94x y-，…（其中0x ≠）.（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式和第8个分式.解析：（1）任意一个分式除以前面一个分式，都得2x y -.（2）第7个分式为157x y ，第8个分式为178x y-.【分析】（1）分别算出第二个与第一个，第三个与第二个，第四个与第三个分式的除法结果，即可发现规律；（2）根据题中所给的式子找出分子、分母的指数变化规律、再找出符号的正负交替变化规律，根据规律写出所求的式子. 【详解】解：（1）5352223x x x y x y y y x y， 757223235x x x y x y y y x y ， 979324347x x x y x y y y x y， ……∴任意一个分式除以前面一个分式，都得2x y-.（2）∵由式子3579234x x x x y y y y，-，，- …，发现分母上是y 1，y 2，y 3，y 4，……所以第7个式子分母上是y 7，第8个分母上是y 8；分子上是x 3，x 5，x 7，x 9，……所以第7个式子分子上是x 15，第8个分子上是x 17，再观察符号发现，第偶数个为负，第奇数个为正，∴第7个分式为157x y，第8个分式为178x y -.【点睛】本题考查式子的规律，根据题意分别找出分子和分母及符号的变化规律是解答此题的关键. 4．如图，将面积为2a 的小正方形和面积为2b 的大正方形放在同一水平面上（0b a >>）（1）用a 、b 表示阴影部分的面积；（2）计算当3a =，5b =时，阴影部分的面积． 解析：（1）22111222a ab b ++；（2）492【分析】（1）阴影部分为两个直角三角形，根据面积公式即可计算得到答案； （2）将3a =，5b =代入求值即可. 【详解】 （1）()21122a ab b ⨯++， 22111222a ab b =++； （2）当3a =，5b =时，原式221113355222=⨯+⨯⨯+⨯492=. 【点睛】此题考察列式计算，根据图形边长正确列式表示图形的面积即可.5．窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm ），其中上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形. 已知下部小正方形的边长是acm. （1）计算窗户的面积（计算结果保留π）. （2）计算窗户的外框的总长（计算结果保留π）.（3）安装一种普通合金材料的窗户单价是175元/平方米，当a=50cm 时，请你帮助计算这个窗户安装这种材料的费用（π≈3.14，窗户面积精确到0.1）.解析：（1）2214a +a 2π；（2）6a a π+；（3）245. 【分析】（1）根据图示，窗户的面积等于4个小正方形的面积加上半径是a 的半圆的面积； （2）根据图示，窗户外框的总长就是用3条长度是2acm 的边的长度加上半径是acm 的半圆的长度；（3）根据窗户的总面积，代入求值即可. 【详解】解：（1）窗户的面积为:()()222214a a 422a a a cm ππ⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭（2）窗户的外框的总长为：()()132a 262a a a cm ππ⨯+⨯=+ （3）当a=50cm ，即：a=0.5m 时， 窗户的总面积为：()2220.540.5128m ππ⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭取π≈3.14，原式=1+0.3925≈1.4（m 2) 安装窗户的费用为：1.4×175=245（元）. 【点睛】本题考查的知识点是求组合图形的面积与周长，将已知图形分解为所熟悉的简单图形是解此题的关键. 6．化简下列各式：（1）32476x y y -+--+； （2）4(32)3(52)x y y x ----． 解析：（1）352x y --+；（2）67x y -- 【分析】（1）根据合并同类项的法则解答即可； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】解：（1）原式3(27)(46)352x y x y =-+-+-+=--+； （2）原式12815667x y y x x y =-+-+=--． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，属于基础题型，熟练掌握整式加减运算的法则是关键． 7．日历上的规律：下图是2020年元月的日历，图中的阴影区域是在日历中选取的一块九宫格．（1）九宫格中，四个角上的四个数之和与九宫格中央这个数有什么关系？（2）请你自选一块九宫格进行计算，观察四个角上的四个数之和与九宫格中央那个数是否还有这种关系． （3）试说明原理．解析：（1）四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍；（2）四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍，选取九宫格见解析；（3）见解析． 【分析】（1）求出四个角上的四个数之和与九宫格中央这个数，从而验证它们的关系． （2）选择如下图的九宫格，验证他们的关系即可． （3）设九宫格中央这个数为a ，列等式进行验证即可． 【详解】（1）四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍． 理由如下：6228202828414+++=+=⨯．（2）如图，9112325174+++=⨯，所以四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍．(选取的九宫格不唯一)．（3）设九宫格中央这个数为a ，那么左上角的数为71a --，右上角的数为71a -+，左下角的数为71a +-，右下角的数为71a ++，四个数的和为(71)(71)(71)(71)4a a a a a --+-+++-+++=． 即四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍． 【点睛】本题考查了整式的加减应用，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．8．如图，观察下列图形，可得它们是按一定规律排列的，依照此规律，解决下列问题．（1）第5个图形有_______颗五角星，第6个图形有_______颗五角星；（2）第2020个图形有_______颗五角星，第n个图形有_______颗五角星．n+．解析：（1）16，19；（2）6061，31【分析】（1）将每一个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第5、6个图形中★的个数；（2）利用（1）中所得规律可得．【详解】解：（1）观察发现，+=，第1个图形★的颗数是134+⨯=，第2个图形★的颗数是1327+⨯=，第3个图形★的颗数是13310+⨯=，第4个图形★的颗数是13413+⨯=，所以第5个图形★的颗数是13516+⨯=．第6个图形★的颗数是13619故答案为：16，19．+⨯=，（2）由（1）知，第2020个图形★的颗数是1320206061n+．第n个图形★的颗数是31n+．故答案为：6061，31【点睛】本题考查了图形变化规律的问题，把★分成两部分进行考虑，并找出第n个图形★的个数的表达式是解题的关键．9．用代数式表示：（1）a的5倍与b的平方的差；（2）m的平方与n的平方的和；（3）x，y两数的平方和减去它们积的2倍．解析：（1）5a－b2（2）m2＋n2（3）x2＋y2－2xy【分析】（1）a的5倍表示为5a，b的平方表示为b2，然后把它们相减即可；（2）m与n平方的和表示为m2+n2；（3）x、y两数的平方和表示为x2+y2，它们积的2倍表示为2xy，然后把两者相减即可；【详解】解：（1）a 的5倍与b 的平方的差可表示为：5a －b 2； （2）m 的平方与n 的平方的和可表示为：m 2＋n 2；（3）x ，y 两数的平方和减去它们积的2倍可表示为：x 2＋y 2－2xy ． 【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义；分清数量关系；规范地书写．10．试写出一个含a 的代数式，使a 不论取何值，这个代数式的值不大于1． 解析：所写代数式为：﹣a 2+1 【分析】从平方数非负数的角度考虑解答． 【详解】解：所写代数式可以为：- a 2+1．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了代数式，平方数非负数，考虑利用非负数是解题的关键． 11．数学课上，老师出示了这样一道题目:“当1,22a b ==-时，求多项式3233233733631061a a b a a b a b a a b +++----的值”．解完这道题后，张恒同学指出:“1,22a b ==-是多余的条件”师生讨论后，一致认为这种说法是正确的，老师及时给予表扬，同学们对张恒同学敢于提出自己的见解投去了赞赏的目光． （1）请你说明正确的理由；（2）受此启发，老师又出示了一道题目,“无论x 取任何值，多项式2233x mx nx x -++-+的值都不变，求系数m 、n 的值”．请你解决这个问题．解析：（1）见解析；（2）3n =，1m =. 【分析】（1）将原式进行合并同类项，然后进一步证明即可；（2）将原式进行合并同类项，根据“无论x 取任何值，多项式值不变”进一步求解即可. 【详解】（1）3233233733631061a a b a a b a b a a b +++---- =3332233731033661a a a a b a b a b a b +-+-+-- =1-，∴该多项式的值与a 、b 的取值无关， ∴1,22a b ==-是多余的条件. （2）2233x mx nx x -++-+ =2233x nx mx x -++-+=2(3n)(1)3x m x -++-+ ∵无论x 取任何值，多项式值不变， ∴30n -+=，10m -=， ∴3n =，1m =. 【点睛】本题主要考查了多项式运算中的无关类问题，熟练掌握相关方法是解题关键.12．已知多项式234212553x x x x ++-- （1）把这个多项式按x 的降冥重新排列；（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常规项．解析：（1）432215253x x x x -+++-；（2）该多项式的次数为4，二次项是22x ，常数项是13-． 【分析】（1）按照x 的指数从大到小的顺序把各项重新排列即可；（2）根据多项式的次数的定义找出次数最高的项即是该多项式的次数，再找出次数是2的项和不含字母的项即可得二次项和常数项． 【详解】（1）按的降幂排列为原式432215253x x x x -+++-． （2）∵234212553x x x x ++--中次数最高的项是-5x 4， ∴该多项式的次数为4，它的二次项是22x ，常数项是13-．【点睛】本题考查多项式的定义，正确掌握多项式次数及各项的判定方法及多项式升幂、降幂排列方法是解题关键． 13．已知多项式2x 2+25x 3+x ﹣5x 4﹣13． （1）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项； （2）把这个多项式按x 的指数从大到小的顺序重新排列． 解析：（1）该多项式的次数是4，它的二次项是2x 2，常数项是﹣13；（2）﹣5x 4+25x 3+2x 2+x ﹣13． 【分析】（1）根据多项式的次数、项等定义解答即可； （2）按x 得降幂排列多项式即可．解：（1）该多项式的次数是4，它的二次项是2x 2，常数项是﹣13； （2）这个多项式按x 的指数从大到小的顺序为：432215253x x x x -+++-. 【点睛】本题考查的是多项式的概念及应用.14．古人云：凡事宜先预后立.我们做任何事情都要先想清楚，然后再动手去做，才能避免盲目从事.一天，需要小亮计算一个L 形的花坛的面积，在动手测量前，小亮依花坛形状画出示意图，并用字母表示出了将要测量的边长（如图所示），小亮在列式进行面积计算时，发现还需要再测量一条边的长度，你认为他还需要测量哪条边的长度？请你在图中用字母n 表示出来，然后求出它的面积.解析：图详见解析，am bn mn +- 【分析】由图可知花坛是由两块矩形组成，若想求解矩形面积就必需知道矩形的长和宽，而图中少了左边矩形的宽． 【详解】解：需要测量的边如图所示（或测量剩下的那条边的长度）. 图形的面积为am bn mn +-.【点睛】不规则的几何图形的面积的计算要转化为规则的几何图形面积的和差． 15．观察下列单项式-2x ，4x 2，-8x 3，16x 4，-32x 5，64x 6，… (1)分别指出单项式的系数和指数是怎样变化的？ (2)写出第10个单项式； (3)写出第n 个单项式．解析：(1)见解析；(2)(-2)10x 10=1024x 10；(3)(-2)n x n ． 【分析】(1)根据单项式的次数与系数定义得出即可；(2)根据单项式系数与次数的变化得出一般性规律得出第10个单项式； (3)根据单项式系数与次数的变化得出一般性规律，进而得出第n 个单项式．(1)通过观察，系数为：-2，4=(-2)2，-8=(-2)3，16=(-2)4，-32=(-2)5指数分别是：1，2，3，4，5，6(2)第10个单项式为：(-2)10x10=1024x10；(3)第n个单项式为：(-2)n x n．【点睛】本题考查了单项式的系数、次数以及数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键．16．已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b﹣3ab2+4abc．(1)计算B的表达式；(2)求出2A﹣B的结果；(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=18，b=15，求(2)中式子的值．解析：（1）﹣2a2b+ab2+2abc；（2） 8a2b﹣5ab2；（3）对，0．【分析】（1）根据B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A列出关系式，去括号合并即可得到B；（2）把A与B代入2A-B中，去括号合并即可得到结果；（3）把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）∵2A＋B＝4a2b﹣3ab2+4abc，∴B＝4a2b﹣3ab2+4abc－2A＝4a2b－3ab2＋4abc－2(3a2b－2ab2＋abc)＝4a2b－3ab2＋4abc－6a2b＋4ab2－2abc＝－2a2b＋ab2＋2abc；（2）2A－B＝2(3a2b－2ab2＋abc)－(－2a2b＋ab2＋2abc)＝6a2b－4ab2＋2abc＋2a2b－ab2－2abc＝8a2b－5ab2；（3）对，由（2）化简的结果可知与c无关，将a＝18，b＝15代入，得8a2b－5ab2＝8×218⎛⎫⎪⎝⎭×15－5×18×21()5＝0．【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项．17．已知多项式2x2+4xy﹣3y2+x2+kxy+5y2，当k为何值时，它与多项式3x2+6xy+2y2是相等的多项式．解析：k=2．【分析】根据两个多项式是相同的多项式，可以直接列等式根据各项前对应系数相等直接列式计算.【详解】解：2x2+4xy﹣3y2+x2+kxy+5y2，=3x2+（4+k）xy+2y2，因为它与多项式3x2+6xy+2y2是相等的多项式，所以4+k=6，解得：k=2．【点睛】本题考查了带系数多项式与已知多项式相等求未知系数，掌握多项式的概念是解决此题的关键.18．奇奇同学发现按下面的步骤进行运算，所得结果一定能被9整除．请你用我们学过的整式的知识解释这一现象．解析：见解析．【分析】设原来的两位数十位数字为a，个位数字为b，表示出原来两位数与新的两位数，相减得到结果，即可得出结果．【详解】解：设原来的两位数十位数字为a，个位数字为b，则原来两位数为10a+b，交换后的新两位数为10b+a，（10a+b）-（10b+a）=10a+b-10b-a=9a-9b=9（a-b），则这个结果一定是被9整除．【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．+-++-．19．数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简a c c b a b解析：0；【分析】由数轴可得a ＞0＞b ＞c ，并从数轴上可得出a ，b ，c 绝对值的大小，从而可以得出各项式子的正负，去绝对值可得出答案.【详解】解：由数轴得，c b 0a <<<，且c a b >>，a c cb a b +-++-a c cb a b =--+++-0=．【点睛】本题考查了数轴上数的大小，去绝对值，熟悉掌握定义是解决本题的关键.20．已知单项式﹣2x 2y 的系数和次数分别是a ，b ．（1）求a b ﹣ab 的值；（2）若|m|+m=0，求|b ﹣m|﹣|a+m|的值．解析：(1)﹣2；（2）1.【分析】(1)根据单项式的系数是数字因数，次数是字母指数的和，可得a 、b 的值，根据代数式求值，可得答案；(2)非正数的绝对值是它的相反数，可得m 的取值范围，根据差的绝对值是大数减小数，可得答案.【详解】解：由题意，得a=﹣2，b=2+1=3．a b ﹣ab=（﹣2）3﹣（﹣2）×3=﹣8+6=﹣2；（2）由|m|+m=0，得m≤0．|b ﹣m|﹣|a+m|=b ﹣m+（a+m ）=b+a=3+（﹣2）=1；【点睛】本题考查了单项式的系数和次数的性质，掌握单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有的字母的指数之和为次数是解决本题的关键.21．观察下列各式：13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，∴13+23=（1+2）2；13+23+33=36，而（1+2+3）2=36，∴13+23+33=（1+2+3）2；13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100，∴13+23+33+43=（1+2+3+4）2；∴13+23+33+43+53=（______ ）2= ______ ．根据以上规律填空：（1）13+23+33+…+n 3=（______ ）2=[ ______ ]2．（2）猜想：113+123+133+143+153= ______ ．解析：1+2+3+4+5；225；1+2+…+n ；()n n 12+；11375【解析】分析：观察题中的一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，根据此规律填空；(1)、根据上述规律填空，然后把1+2+…+n 变为2n 个(n+1)相乘，即可化简；(2)、对所求的式子前面加上1到10的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与1到10的立方和，求出的两数相减即可求出值．详解：由题意可知：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225(1)、∵1+2+…+n=（1+n ）+[2+（n-1）]+…+[n 2+（n-n 2+1）]=()n n 12+， ∴13+23+33+…+n 3=（1+2+…+n ）2=[()n n 12+]2； (2)、113+123+133+143+153=13+23+33+...+153-（13+23+33+ (103)=（1+2+…+15）2-（1+2+…+10）2 =1202-552=11375．点睛：此题要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，探索问题，获得解题途径．考查了学生善于观察，归纳总结的能力，以及运用总结的结论解决问题的能力．22．已知A ＝2a 2+3ab ﹣2a ﹣1，B ＝﹣a 2+1223ab + （1）当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，求4A ﹣（3A ﹣2B ）的值；（2）若（1）中式子的值与a 的取值无关，求b 的值．解析：（1）4ab ﹣2a+13；（2）b=12 【分析】（1）将a=﹣1，b=﹣2代入A=2a 2+3ab ﹣2a ﹣1，B=﹣a 2+12ab+23，求出A 、B 的值，再计算4A ﹣（3A ﹣2B ）的值即可；（2）把（1）结果变形，根据结果与a 的值无关求出b 的值即可.【详解】（1）4A ﹣（3A ﹣2B ）=4A ﹣3A+2B=A+2B ，∵A=2a 2+3ab ﹣2a ﹣1，B=﹣a 2+12ab+23， ∴A+2B=2a 2+3ab ﹣2a ﹣1+2（﹣a 2+12ab+23） =2a 2+3ab ﹣2a ﹣1﹣2a 2+ab+43 =4ab ﹣2a+13；（2）因为4ab ﹣2a+13 =（4b ﹣2）a+13， 又因为4ab ﹣2a+13的值与a 的取值无关， 所以4b ﹣2=0，所以b=12． 【点睛】本题考查了整式的加减、化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.23．小马虎在计算一个多项式减去225a a +-的差时，因一时疏忽忘了对两个多项式用括号括起来，因此减去后面两项没有变号，结果得到的差是231a a +-．()1求这个多项式；()2算出此题的正确的结果．解析：（1）2324a a ++；（2）2 9a a ++．【分析】（1）根据题意可以求得相应的多项式；（2）根据（1）中的结果可以求得正确的结果．【详解】解：（1）由题意可得：这个多项式是：a 2+3a ﹣1+2a 2﹣a +5=3a 2+2a +4，即这个多项式是3a 2+2a +4；（2）由（1）可得：3a 2+2a +4﹣（2a 2+a ﹣5）=3a 2+2a +4﹣2a 2﹣a +5=a 2+a +9即此题的正确的结果是a 2+a +9．【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是明确整式的加减的计算方法，求出相应的多项式．24．小丽暑假期间参加社会实践活动，从某批发市场以批发价每个m 元的价格购进100个手机充电宝，然后每个加价n 元到市场出售．（1）求售出100个手机充电宝的总售价为多少元（结果用含m ，n 的式子表示）？ （2）由于开学临近，小丽在成功售出60个充电宝后，决定将剩余充电宝按售价8折出售，并很快全部售完．①她的总销售额是多少元？②相比不采取降价销售，她将比实际销售多盈利多少元（结果用含m 、n 的式子表示）？ ③若m=2n ，小丽实际销售完这批充电宝的利润率为 （利润率=利润÷进价×100%） 解析：（1）售出100个手机充电宝的总售价为：100（m+n ）元；（2）①实际总销售额为：92（m+n ）元；②实际盈利为92n ﹣8m 元；③38%．【分析】（1）先求出每个充电宝的售价，再乘以100，即可得出答案;（2）①先算出60个按售价出售的充电宝的销售额，再计算剩下40个按售价8折出售的充电宝的销售额，相加即可得出答案；②计算100个按售价出售的充电宝的销售额，跟①求出来的销售额比较，即可得出答案；③将m=2n 代入实际利润92n-8m 中，再根据利润率=利润÷进价×100%，即可得出答案.【详解】解：（1）∵每个充电宝的售价为：m+n 元，∴售出100个手机充电宝的总售价为：100（m+n ）元．（2）①实际总销售额为：60（m+n ）+40×0.8（m+n ）=92（m+n ）元，②实际盈利为92（m+n ）﹣100m=92n ﹣8m 元，∵100n ﹣（92n ﹣8m ）=8（m+n ），∴相比不采取降价销售，他将比实际销售多盈利8（m+n ）元．③当m=2n 时，张明实际销售完这批充电宝的利润为92n ﹣8m=38m 元， 利润率为38100m m×100%=38%． 故答案为38%．【点睛】 本题考查的是列代数式，解题的关键是要看懂题目意思，理清字母之间的数量关系. 25．已知230x y ++-=，求152423x y xy --+的值. 解析：-24.【分析】首先根据绝对值的非负性求出x ，y ，然后代入代数式求值.【详解】解：∵230x y ++-=，∴x+2=0，y-3=0，∴x=－2，y=3， ∴152423x y xy --+ ()()552342323=-⨯--⨯+⨯-⨯ ()5524=-+-24=-.【点睛】本题考查了代数式求值，利用非负数的和为零得出x 、y 的值是解题关键．26．已知：A=2x 2+ax ﹣5y+b ，B=bx 2﹣32x ﹣52y ﹣3．（1）求3A﹣（4A﹣2B）的值；（2）当x取任意数值，A﹣2B的值是一个定值时，求（a+314A）﹣（2b+37B）的值．解析：（1）（2b﹣2）x2﹣（a+3）x﹣（b+6）；（2）﹣312．【分析】（1）先化简原式，再分别代入A和B的表达式，去括号并合并类项即可；（2）先代入A和B的表达式并去括号并合并类项，由题意可令x和x2项的系数为零，求解出a和b的数值，再化简原式后代入相关数值即可求解.【详解】解：（1）∵A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣32x﹣52y﹣3，∴原式=3A﹣4A+2B=﹣A+2B=﹣2x2﹣ax+5y﹣b+2bx2﹣3x﹣5y﹣6=（2b﹣2）x2﹣（a+3）x﹣（b+6）；（2）∵A=2x2+ax﹣5y+b，B=bx2﹣32x﹣52y﹣3，∴A﹣2B=2x2+ax﹣5y+b﹣2bx2+3x+5y+6=（2﹣2b）x2+（a+3）x+（b+6），由x取任意数值时，A﹣2B的值是一个定值，得到2﹣2b=0，a+3=0，解得：a=﹣3，b=1，则原式=a﹣2b+314（A﹣2B）=﹣3﹣2+32=﹣312．【点睛】理解本题中x取任意数值时A﹣2B的值均是一个定值的意思是整式化简后的x和x2项的系数均为零是解题关键.27．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下：+3（x﹣1）=x2﹣5x+1．（1）求所挡的二次三项式；（2）若x=﹣2，求所挡的二次三项式的值．解析：（1）x2﹣8x+4；（2）24【分析】（1）根据“已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数用减法”，列出代数式并合并即可；（2）把x=-2代入（1）的结果，计算即可．【详解】（1）x2﹣5x+1﹣3（x﹣1）=x2﹣5x+1﹣3x+3=x2﹣8x+4；∴所挡的二次三项式为x2﹣8x+4．（2）当x=﹣2时，x2﹣8x+4=（﹣2）2﹣8×（﹣2）+4=4+16+4=24．【点睛】本题考查了整式的加减．根据加数与和的关系，列出求挡住的二次三项式的式子是解决本题的关键．28．观察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④……(1)第⑤个式子____，第⑩个式子_____；(2)请用含n(n 为正整数)的式子表示上述的规律，并证明．解析：(1)4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2；证明见解析.【分析】(1)根据已知等式中的规律即可得；(2)根据整数的平方等于前一个整数与后一个整数乘积与1的和可得，利用整理的运算法则即可验证．【详解】(1)第⑤个式子为4×6+1＝52，第⑩个式子9×11+1＝102；故答案为4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)第n 个式子为(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2，证明：左边＝n 2﹣1+1＝n 2，右边＝n 2，∴左边＝右边，即(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2的规律，并熟练加以运用．29．定义：若2m n +=，则称m 与n 是关于1的平衡数．（1）3与______是关于1的平衡数，5x -与______（用含x 的整式表示）是关于1的平衡数；（2）若()22234a x x x =-++，()22342b x x x x ⎡⎤=--+-⎣⎦，判断a 与b 是否是关于1的平衡数，并说明理由．解析：（1）1-，3x -；（2）不是，理由见解析【分析】（1）由平衡数的定义求解即可达到答案；（2）计算a+b 是否等于1即可；【详解】解：（1）1-，3x -；（2）a 与b 不是关于1的平衡数．理由如下：因为()22234a x x x =-++，()22342b x x x x ⎡⎤=--+-⎣⎦，所以()()2222342342a b x x x x x x x ⎡⎤+=-+++--+-⎣⎦， 22223342342x x x x x x x =--++-+++，62=≠，所以a 与b 不是关于1的平衡数．【点睛】本题主要考查了整式的加减，准确分析计算是解题的关键．30．如图，某市有一块长为（3a+b ）米，宽为（2a+b ）米的长方形地块，中间是边长为（a+b ）米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化，（1）绿化的面积是多少平方米？（用含字母a 、b 的式子表示）（2）求出当a ＝20，b ＝12时的绿化面积．解析：（1）（5a 2+3ab ）平方米；（2）2720平方米【分析】(1)根据割补法,用含有a,b 的式子表示出整个长方形的面积,然后用含有a,b 的式子表示出中间空白处正方形的面积,然后两者相减,即可求出绿化部分的面积.(2)将a ＝20，b ＝12分别代入(1)问中求出的关系式即可解决.【详解】解：（1）（3a+b ）（2a+b ）﹣（a+b ）2＝6a 2+3ab+2ab+b 2﹣（a 2+2ab+b 2）＝6a 2+3ab+2ab+b 2﹣a 2﹣2ab ﹣b 2＝5a 2+3ab ，答：绿化的面积是（5a 2+3ab ）平方米；（2）当a ＝20，b ＝12时5a 2+3ab ＝5×202+3×20×12＝2000+720＝2720，答：当a ＝20，b ＝12时的绿化面积是2720平方米．【点睛】(1)本题考查了割补法,多项式乘多项式和完全平方式的运算法则,解决本题的关键是正确理解题意,能够熟练掌握多项式乘多项式的运算法则.(2)本题考查了整式的化简求值,解决本题的关键是熟练掌握整式的运算法则和步骤.。
分子分母同增的变化曲线
分子分母同增的变化曲线
加法：如果分母相同，只需把分子相加，如果分母不同，先可以通分再把分子相加，
分母不变。
减法：如果分母相同，只需把分子相减，如果分母不同，先可以通分再把分子
相减，分母不变。
乘法：无管分子和分母是不是相同，就把分子乘分子，分母乘分母。
除法：一个分数除于另一个分数，就等于乘这个数的倒数。
算分子分母的计算公式就是先把所需要计算的分数进行通分找出最小公倍数。
例如：
1/2+1/3+1/6=3/6+2/6+1/6它的最小公倍数是6。
然后分母不颤抖，分子展开相乘，即1/2+1/3+1/6=3/6+2/6+1/6=(3+2+1)/6=6/6。
最
后看看这分数与否能约分后，能约分的要约收购分后。
分数的基本性质
分子相等于被除数，分母相等于除数，被除数和除数同时乘坐或除以相同的数（0除外），商维持不变。
因此分数的分子和分母都乘坐或除以相同的数（0除外），分数的大
小也就是维持不变的。
分数与除法的关系是：被除数÷除数=（除数不为0）。
分数的分母不能是0，因为在
除法中，0不能做除数，因此根据分数与除法的关系，分数中的分母相当于除法中的除数，所以分母也不能是0。
分数大小比较：
同分母分数相比较，分子越大分数越大。
同分子分数相比较，分母越大分数越大。
分子分母都不相同的分数相比较的方法：
用通分的方法把分母不相同的分数化为和原来分数成正比、并且分母相同的分数，再
比较大小。
“不变量”解题
第21讲“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
二、精讲精练【例题1】将6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。
” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？ 2、分数113的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？3、将5879这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54倍还多2。
由“分母加1得23”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32－54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
分式的探究方法规律题
分式--------探究方法规律题1、观察下列各式：2、如果把分式yx yx -+中的x 、y 都变成原来的2倍，那么分式的值会不会改变？ 如果是分式①、2x y x +②、2222y x yx -+③、y x y x -+22呢？说出分式值的变化情况？请你从中找出规律。
变式1：如果把分式y x y x -+中的x 、y 都变成原来的21倍，那么分式的值会不会改变？如果是分式①、2x y x + ②、2222y x yx -+ ③、y x y x -+22呢？说出分式值的变化情况？ 变式2：⑴：把分式abba -中的a 、b 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A:扩大3倍 B:缩小到原来的91 C:不变 D: 缩小到原来的31⑵：把分式22x 3y x y +中的x 、y 都扩大到原来的31倍，那么分式的值（ ） A:扩大3倍 B:缩小到原来的91 C:不变 D: 缩小到原来的31⑶：把分式yx yx ++2中的x 、y 都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）A:扩大10倍 B:缩小到原来的101 C: 是原来的23倍 D:不变⑷：把分式yx x 2322-中的x 、y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A:扩大3倍 B:缩小到原来的31 C: 是原来的91倍 D:不变⑸：把分式2yx xy+中的x 、y 都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ） A:扩大16倍 B:缩小到原来的161 C: 缩小到原来的41D: 扩大4倍（6）: 把分式yx x 2323-中的x 、y 都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）A:扩大9倍 B:缩小到原来的31 C: 是原来的91倍 D: 扩大3倍3、计算，12122--，13132--，，14142--，15152--，…，根据发现的规律，判断P=112--n nQ=()()1111n 2-+-+n （n 为大于1的整数）的值的大小关系为（ ）A:P ＜Q B: P ＝Q C: P ＞Q D:与n 的取值有关2222121314151,2,3,4......33445566n n +=+=+=+=这是一组有规律的分数运算，用表示正整数，请用关于的一个分式等式来表示这个规律。
分子分母顺次变化
分子分母顺次变化分子分母顺次变化的概念可以追溯到17世纪，当时荷兰数学家斐波那契（Fibonacci）开始探索数学问题时便提出，而到了18世纪，它便成为众多学者的研究热点。
分子分母顺次变化便指的是，当分子与分母的数目有一定的规律变化时，这种分数也会发生变化；而当分子与分母的变化规律正确时，它仍然能够保持同一个值，因此在数学教育中也因此而产生了很高的重要性。
从斐波那契的研究开始，便有学者开始探究分子分母顺次变化的性质。
斐波那契首先发现了这一概念，由此可以确定，当分子与分母的变化规律正确时，它仍然能够保持同一个值；而当分子与分母的变化规律不正确时，它们的值就会随之发生变化。
这样一来，斐波那契开始研究了分子分母顺次变化的性质，最终发展出了以弦型的对称性质、以等比的连续性质、以抛物线的有趣性质等等，加深了人们对这一数学概念的认识。
当探究分子分母顺次变化时，还会发现它与许多其他数学概念存在关联，例如，费马小定理（Fermat’s Little Theorem）、哥德巴赫猜想（Goldbach’s Conjecture）、欧几里得定理（Euclidean Theorem）等等。
其中，费马小定理是将分子分母顺次变化与二元余数。
它说明了：当两个数目的分子分母发生变化时，它们的乘积始终与它们之间的关系保持一致。
此外，哥德巴赫猜想主要调查分子分母顺次变化与所谓的“偶数”之间的关系。
它说明：任意一个正偶数都可以分解成两个质数之和，而这两个质数之间有着一定的关系，即分子分母顺次变化。
最后，欧几里得定理是将分子分母顺次变化与“素数”联系起来的一种数学概念。
它的意思是：任何一个数字如果能被某个素数整除，那么它的分子与分母之间的距离仍然会有某种规律变化。
归纳起来，分子分母顺次变化是指当分子和分母之间有一定的规律变化时，这种分数也会发生变化；而当分子和分母之间的变化规律正确时，它们仍然能够保持同一个值。
如今，它在许多学科之中得到了广泛的应用，因为它与费马小定理、哥德巴赫猜想、欧几里得定理等多项数学概念具有重要关联。
初识分数认识分子和分母
初识分数认识分子和分母分数是我们数学中的一个重要概念，它用来表示一部分与整体的关系。
分数由分子和分母两部分组成，分子表示被分成的部分的数量，而分母表示整体被分成的部分的数量。
在初次接触分数的时候，我们需要认识和理解分子和分母的意义。
一、分子的意义分数的分子表示被分成的部分的数量。
我们可以将分子理解为“分子数”，它告诉我们有多少份或多少块被分出来了。
例如，在分数1/4中，分子为1，表示整体被分成了4份，而我们取了其中的1份。
分子还可以表示具体的数量。
比如，在分数2/7中，分子为2，表示我们取了整体中的2份。
分子的数值越大，表示我们取得的部分越多。
二、分母的意义分数的分母表示整体被分成的部分的数量。
我们可以将分母理解为“分母数”，它告诉我们整体被分成了多少份或多少块。
例如，在分数1/4中，分母为4，表示我们将整体分成了4份。
分母也可以理解为每一份所代表的大小。
比如，在分数3/5中，分母为5，表示整体被分成了5份，每一份的大小是整体的五分之一。
三、分子和分母的关系分子和分母的大小关系直接影响了分数的大小。
分子越大，表示我们取得的部分越多；分母越大，表示整体被分成的部分越多。
因此，分子和分母越大，表示所取部分越大，分数的数值越大。
例如，比较1/4和3/4这两个分数。
这里我们可以发现，两个分数的分母相同，但是分子不同。
在1/4中，我们只取了整体的1份，而在3/4中，我们取了整体的3份。
因此，3/4大于1/4，表示所取部分更多。
四、分子和分母的变化在处理分数的运算时，我们经常需要对分子和分母进行变化。
变化分子和分母的方法包括相等变形和简化分式。
相等变形是指将分数的分子和分母同时乘以一个相同的数，使得两者的比值保持不变。
例如，将分数2/3中的分子和分母同时乘以2，可以得到4/6，它与2/3表示的同样是两份整体的三份。
简化分式是指将分数的分子和分母同时除以一个相同的数，使得两者没有公约数。
例如，将分数10/15中的分子和分母同时除以5，可以得到2/3，它与10/15表示的是同样的两份整体的三份。
分子自由度和分母自由度
分子自由度和分母自由度分子自由度和分母自由度是统计学中的两个关键概念，它们在许多领域中都有重要的应用。
在理解这两个概念之前，我们首先需要了解什么是自由度。
自由度在统计学中是指变量可以独立地变化的数量。
在多元统计分析中，自由度用于衡量数据集中的信息量和可信度。
具体来说，自由度表示我们可以自由选择的独立变动的数据点的数量。
分子自由度是指在一个统计模型中可以自由变动的参数的数量。
在统计建模过程中，我们通常会根据数据集中的特征和问题的复杂程度选择适当的模型。
模型的参数个数是分子自由度的主要决定因素。
这些参数可以通过最大似然估计或最小二乘法等方法来估计，以最好地拟合数据。
举个例子来说，如果我们正在研究一个线性回归模型，该模型包括一个截距项和一个斜率项。
在这种情况下，分子自由度为2，因为我们有两个参数可以调整来拟合数据。
在更复杂的模型中，分子自由度可能会增加，因为我们可能有更多的参数需要估计。
与分子自由度相对应的是分母自由度。
分母自由度是指在统计模型中可以独立变动的观测或样本的数量。
它是用来度量模型对数据集中每个观测值的适应程度。
更多的分母自由度意味着我们有更多的数据来支持模型的估计。
回到线性回归的例子，分母自由度通常等于数据集中样本数量减去模型中变量的数量。
这是因为在线性回归中，我们需要通过观察到的数据来估计模型的参数。
更多的分母自由度意味着我们有更多的数据来支持模型的估计，从而增加了我们对模型的信心。
分子自由度和分母自由度在统计推断中起着重要的作用。
它们可以用来计算各种统计量，如t值、F值和p值，以评估模型的拟合程度和统计显著性。
总结起来，分子自由度和分母自由度是统计学中的两个重要概念。
分子自由度衡量了在统计模型中可以自由变动的参数数量，而分母自由度衡量了这些参数估计的可靠性。
理解这两个概念可以帮助我们更好地理解统计模型和推断的过程，从而为我们的研究和决策提供指导意义。
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关于变化分子与分母的问题 1.
72的分子加上4，要使分数值不变，分母应加上几?
2. 一个最简分数，把它的分子扩大2倍而分母缩小3倍后，等于
43，这个分数原来是多少？
3. 一个分数的分母与分子的和是161，约分后得
158，这个数是几？ 4.
131的分子和分母同加一个什么数后，就变成53？ 5.
1711的分子和分母同减一个数后，就变成74，减去的数是几？
6. 有一分数，如果分子加上3，则分子与分母的和为26；如果分母加上2，则可约简为
41，求原分数。
7. 有一分数，分子与分母的和为36；如果分子、分母各减去7，则可约简成
83，求原分数.。
8. 有一分数，如果分母加上3，则可约简1或
21。
已知分母比分子大10，求原分数。
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9. 有一个分数，如果分子加上1，这个数就等于1，如果分母加上1，则这个数就等于
98，求原分数。
10.
117的分母加上一个数并且再乘以21成为另一个分数，再从原来的分数减去这个分数得6631。
问在分母上加的什么数？
11. 分数
19931991的分子，分母同时加上什么数所得的新分数为19941993？
12. 两个分数的积是
43，和是2，求这两个分数。
13. 一个最简分数的分子，分母之和为23。
分子增加5后，得到的最简分数的分子，分母之和为4。
求原来的分数。
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14. 一个分数约分后为
114，若原分数的分母与分子之差为63，求原分数。
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