数学分析二元函数的极限PPT课件

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数学分析16.2二元函数的极限

第十六章多元函数的极限与连续2二元函数的极限一、二元函数的极限定义1：设f 为定义在D ⊂R 2上的二元函数，P 0为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(P)-A|<ε，则称f 在D 上当P →P 0时以A 为极限，记作：DP P P 0lim ∈→f(P)=A. 当明确P ∈D 时，也简写为0P P lim →f(P)=A.当P ,P 0分别以坐标(x,y), (x 0,y 0)表示时，也常写为)y ,x ()y ,x (00lim→f(P)=A.例1：依定义验证：)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.证：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2定义R 2上. |x 2+xy+y 2-7|=|(x 2-4)+xy-2+(y 2-1)|=|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|=|(x-2)(x+y+2)+(y-1)(y+3)| ≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.方法一：在点P 0(2,1)的δ方邻域中，U ⁰(P 0;δ)内所有点组成的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<δ, 0<|y-1|<δ}. ∴当点P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|x 2+xy+y 2-7|≤|x-2|(|x-2|+|y-1|+5)+|y-1|(|y-1|+4)<δ(3δ+9)=3δ2+9δ. ∴∀ε>0，只要取δ=612ε189++->0，当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有|x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.方法二：先取δ=1，则U ⁰(P 0;1)内的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<1, 0<|y-1|<1}.于是有|y+3|≤|y-1|+4<5，|x+y+2|≤|x-2|+|y-1|+5<7. ∴|x 2+xy+y 2-7|≤7|x-2|+5|y-1|<7(|x-2|+|y-1|). ∴∀ε>0，只要取δ=min{1,14ε}，则当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有 |x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.例2：设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，，，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 证：函数f(x,y)定义R 2上.方法一：在方邻域U ⁰(O;δ)内的点集为{(x,y)|0<|x|<δ, 0<|y|<δ}.又2222y x y x xy +-=|xy|2222yx y x +-≤|xy|2xy y x 22-=2y x 22-≤2|y ||x |22+，∴∀ε>0，只要取δ=ε，则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有2222yx y x xy +-<δ2=ε，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 方法二：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵2222yx y x xy +-=41r 2|sin4φ|≤41r 2，∴∀ε>0，只要取δ=2ε，则当0<r=22y x +<δ时，不管φ取什么值，都有|f(x,y)-0|<ε， ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.定理16.5：DP P P 0lim ∈→f(P)=A 的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要P 0是E 的聚点，就有EP P P 0lim ∈→f(P)=A.证：[必要性]若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，E ⊂D 以P 0为聚点，则∀ε>0，∃δ>0，当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，有|f(P)-A|<ε，从而当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩E 时，仍有 |f(P)-A|<ε，∴EP P P 0lim ∈→f(P)=A.[充分性]若DP P P 0lim ∈→f(P)≡/ A ，则存在ε0>0，使得对任意的n ，存在P n ∈U ⁰(P 0;n1)∩D 满足|f(P n )-A|≥ε0. 令E={P n |n=1,2,…}，则E ⊂D 以P 0为聚点，对数列{f(P n )}有EP P P 0lim ∈→f(P)=∞→n lim f(P n )≠A. 反之则有当EP P P 0lim ∈→f(P)=A ，有DP P P 0lim ∈→f(P)=A.推论1：设E 1⊂D ，P 0是E 1的聚点，若10E P P P lim ∈→f(P)不存在，则DP P P 0lim ∈→f(P)也不存在.推论2：设E 1,E 2⊂D ，P 0是它们的聚点，若存在极限10E P P P lim ∈→f(P)=A 1, 20E P P P lim ∈→f(P)=A 2, 但A 1≠A 2, 则DP P P 0lim ∈→f(P)不存在.推论3：极限DP P P 0lim ∈→f(P)存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件P n ≠P 0, 且∞→n lim P n =P 0的点列{P n }，它所对应的数列{f(P n )}都收敛.证：[必要性]由定理16.5可知DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，即∞→n lim f(P n )=A ，得证！[充分性]设{P n }为D 中各项不同于P 0但收敛于P 0的点列，记∞→n lim f(P n )=A. 对任一D 中的点列{Q n }，Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，作D 中的点列C n =⎩⎨⎧=-=k2n Q 1k 2n P k k ，，，则C n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，从而，∞→n lim f(C n )存在，∴∞→n lim f(P n )=∞→k lim f(C 2k-1)=∞→k lim f(C 2k )=∞→n lim f(Q n )=A. 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠A ，则由定理16.5的充分性证明可知：必存在D 中的一个点列{Q n }, Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，使得∞→n lim f(Q n )≠A ，矛盾！∴DP P P 0lim ∈→f(P)=A 存在.例3：讨论f(x,y)=22yx x y+当(x,y)→(0,0)时是否存在极限. 解法一：当动点(x,y)沿着直线y=mx 趋近于(0,0)时， ∵f(x,y)=f(x,mx)=2m1m +，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=2m 1m+. 显然，当m 不同时，对应的极限值不同. ∴所讨论的极限不存在. 解法二：假设极限存在为A ，∵f(x,y)定义在R 2-(0,0)上，又在{(x,y)|y=x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=21，∴A=21. 又在{(x,y)|y=2x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=52≠A. 矛盾！ ∴所讨论的极限不存在.例4：二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012，讨论当(x,y)→(0,0)时是否存在极限.解：函数定义在R 2上，记E={(x,y)|0<y<x 2,-∞<x<+∞}, 显然动点(x,y)在E 上沿着任何曲线趋于原点时,f(x,y)趋于0，而在E c 上沿着任何曲线趋于原点时，f(x,y)趋于1. ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.定义2：设D 为二元函数f 的定义域，P 0(x 0,y 0)为D 的一个聚点. 若对任何正数M ，总存在P 0的一个δ邻域，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，都有f(P)>M 则称f 在D 上当P →P 0时，存在非正常极限+∞，记作：)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=+∞或 0PP lim →f(P)=+∞.若f(P)<-M ，则0P P lim →f(P)=-∞；若|f(P)|<M ，则0P P lim →f(P)=∞.例5：设f(x,y)=22y32x 1+，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=+∞. 解：函数定义在R 2-(0,0)上，在聚点O(0,0)的任一δ方邻域U ⁰(O;δ)内， {(x,y)|0<|x|<δ,0<|y|<δ}，∴22y 32x 1+>25δ1，即对任意M>0，只要取δ<5M 1, 则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)，就有22y 32x 1+>25δ1>M ，即 )0,0()y ,x (lim→f(x,y)=+∞.二、累次极限概念：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限； x 与y 依一定的先后顺序相续趋于x 0与y 0时f 的极限称为累次极限.定义3：设f(x,y),(x,y)∈D ，D 在x 轴、y 轴上的投影分别为X,Y ，即 X={x|(x,y)∈D}, Y={y|(x,y)∈D}，x 0与y 0分别是X,Y 的聚点. 若对每一个y ∈Y(y ≠y 0)，存在极限0x x lim →f(x,y)，它一定与y 有关，故记作φ(y)=0x x lim →f(x,y)，若又存在极限L=0y y lim →φ(y)，则称极限L 为f(x,y)先对x(→x 0)，后对y(→y 0)的累次极限，记作L=0xx y y lim lim →→f(x,y).类似地可定义先对y 后对x 的累次极限K=0yy x x lim lim →→f(x,y).注：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限.例6：证明f(x,y)=22y x x y+关于原点的两个累次极限都存在且相等. 证：(例3中已证(x,y)→(0,0)时,f 的重极限不存在.) 当y ≠0时，0x lim →f(x,y)=220x yx x ylim+→=0；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0；当x ≠0时，0y lim →f(x,y)=220y y x x ylim+→=0；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，得证！例7：讨论f(x,y)=yx y x y -x 22+++关于原点的重极限和两个累次极限.解：在不同的直线y=mx 上，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=m1m-1+，显然 f(x,y)关于原点的重极限的取值与m 有关，∴不存在.0x lim →f(x,y)=y x y x y -x lim220x +++→=y-1；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y lim →(y-1)=-1. 0y lim →f(x,y)=yx y x y -x lim220y +++→=x+1；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0y lim →(x+1)=1.例8：讨论f(x,y)=xsin y 1+y sin x1关于原点的重极限和两个累次极限. 解：∵|xsin y 1+ysin x 1|≤|x|+|y|，∴∀ε>0，总存在δ=2ε，使得当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有|xsin y 1+ysin x1|<2δ=ε，∴重极限存在等于0. 又对任何y ≠0，当x →0时，仅第二项不存在极限，同理对任何x ≠0，当y →0时，仅第一项不存在极限， ∴两个累次极限都不存在.定理16.6：若f(x,y)在点(x 0,y 0)存在重极限与累次极限0yy x x lim lim →→f(x,y)，则它们必相等. 证：设)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A ，则∀ε>0，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，有0y y lim →f(x,y)=φ(x)，即有 |f(x,y)-φ(x)|<2ε，∴|f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|<ε，又 |f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|≥ |f(x,y)-A+φ(x)-f(x,y)|=|φ(x)-A|， ∴对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，|φ(x)-A|<ε，即0x x lim →φ(x)=A ，∴0y y x x lim lim →→f(x,y)=)y ,x ()y ,x (0lim →f(x,y).推论1：若两个累次极限和重极限都存在，则三者相等.推论2：若两个累次极限都存在但不相等，则重极限必不存在.习题1、试求下列极限：(1)2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→；(2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→；(3)1y x 1y x lim 2222)0,0()y ,x (-+++→； (4)44)0,0()y ,x (yx 1x y lim++→；(5)y 2x 1lim )2,1()y ,x (-→；(6)22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→； (7)2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→. 解：(1)当(x,y)≠(0,0)时，∵2222yx y x +≤2xy →0, (x,y)→(0,0)，∴2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0. (2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→1y x 1lim 22)0,0()y ,x (=+∞. (3)1y x 1y x lim2222)0,0()y ,x (-+++→=222222)0,0()y ,x (yx )1y x 1)(y (x lim+++++→=()1y x 1lim 22)0,0()y ,x (+++→=2. (4)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0. 又当(x,y)∈U ⁰(0;1)时，0<r<1，∴44y x 1x y ++≥222)y (x |x y |1+-≥22222)y 2(x )y x (2++-=422r r -2>42r 1→+∞ (r →0)； ∴44)0,0()y ,x (yx 1x y lim ++→=+∞. (5)∵y 2x 1-=2)-y (1)-2(x 1-≥2-y 1-x 21+→∞, (x,y)→(1,2)，∴y2x 1lim)2,1()y ,x (-→=∞. (6)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵22yx 1sin)y x (++=2r 1sin )φsin φ(cos r +=2r 1sin )φsin φ(cos r +≤2r →0. ∴22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→=0. (7)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∴2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→=220r r r sin lim →=1.2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：(1)f(x,y)=222y x y +；(2)f(x,y)=y 1sin x 1sin )y x (+；(3)f(x,y)=22222y)x (y x y x -+； (4)f(x,y)=y x y x 233++；(5)f(x,y)=x 1sin y ；(6)f(x,y)=3322yx y x +；(7)f(x,y)=sinxy e -e y x .解：(1)∵2220y 0x y x y lim lim +→→=0x lim →0=0；2220x 0y yx y lim lim +→→=0y lim →1=1；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(2)当x ≠0时，y1sin x 1sin )y x (lim 0y +→不存在；当y ≠0时，y1sin x1sin )y x (lim 0x +→也不存在；又y1sinx 1sin )y x (+≤|x|+|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(3)222220y 0x y)x (y x y x lim lim -+→→=0x lim →0=0；222220x 0y y)x (y x y x lim lim -+→→=0y lim →0=0；又f(x,x)=1,(x ≠0)，f(x,0)=0, (x ≠0)，∵0x lim →f(x,x)≠0x lim →f(x,0)；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(4)y x y x lim lim 2330y 0x ++→→=0x lim →x=0；yx y x lim lim 2330x 0y ++→→=0y lim →y 2=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x 2(x 2-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x 2(x 2-1))=)1-x (x x )1-x (x x lim 22232630x ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→3220x )1-x (x x 1lim =∞≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(5)x1sin y lim lim 0y 0x →→=0x lim →0=0；当y ≠0时，x1sin y lim 0x →不存在；∴函数在点(0,0)累次极限x1sin y lim lim 0x 0y →→不存在.又x1siny ≤|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(6)∵33220y 0x y x y x lim lim +→→=0x lim →0=0；33220x 0y yx y x lim lim +→→=0y lim →0=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x(x-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x(x-1))=333240x )1-x (x x )1-x (x lim +→=320x )1-x (1)1-x (x lim +→=1≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在. (7)∵sinx y e -e lim y x 0y →=∞；sinx y e -e lim yx 0x →=∞； ∴sinx y e -e lim lim y x 0y 0x →→和sinx ye -e lim lim yx 0x 0y →→都不存在. 令动点(x,y)沿x 轴正向趋于(0,0)时，可知)0,0()y ,x (lim →f(x,y)也不存在.3、证明：若)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，且y 在b 的某邻域内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，则ax b y lim lim →→f(x,y)=A.证：由)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∀ε>0，∃δ1>0，当0<|x-a|<δ1, 0<|y-b|<δ1, 且(x,y)≠(a,b)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又由y 在b 的某邻域δ2内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，即|f(x,y)-φ(y)|<2ε. 令δ=min{δ1, δ2}，当0<|y-b|<δ时，令x →a ，就有|φ(y)-A|=|φ(y)-f(x,y)+f(x,y)-A|≤|φ(y)-f(x,y)|+|f(x,y)-A|<ε, 即by lim →φ(y)=ax b y lim lim →→f(x,y)=A.4、试应用ε-δ定义证明222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0.证：∵当(x,y)≠(0,0)时，222yx y x +≤2xy y x 2=2x; ∴∀ε>0，∃δ=2ε>0，使得当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有222y x y x +<2δ=ε，∴222)0,0()y ,x (yx yx lim +→=0.5、叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.解：(1)二元函数极限的惟一性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)存在，则它只有一个极限. 证明如下：设A, B 都是二元函数f(x,y)在点P 0(a,b)处的极限，则∀ε>0，∃δ>0，使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(x,y)-A|<2ε;|f(x,y)-B|<2ε， ∴|A-B|=|A-f(x,y)+f(x,y)-B|≤|f(x,y)-A|+|f(x,y)-B|<ε；又由ε的任意性知A=B ，得证！(2)二元函数极限的局部有界性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，则存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使f(x,y)在U ⁰(P 0;δ)∩D 上有界. 证明如下： ∵)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∴对ε=1，∃δ>0，使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(x,y)-A|<ε=1，即A-1<f(x,y)-A<A+1，得证!(3)二元函数极限的局部保号性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A>0(或<0)，则对任意正数r(0<r<|A|), 存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使得对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，恒有f(x,y)>r>0(或f(x,y)<-r<0). 证明如下：设A>0，取ε=A-r>0，则∃δ>0，使得对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，有 |f(x,y)-A|<ε=A-r ，即f(x,y)>A-(A-r)=r>0，得证! 同理可证A<0的情形.6、试写出下列类型极限的精确定义： (1)),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A ；(2)),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.解：(1)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数M ，使得当(x,y)∈D, 且x>M, y>M 时，恒有|f(x,y)-A|<ε，则称当(x,y)→(+∞,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A.(2)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数δ，使得当(x,y)∈D, 且0<|x|<δ, y>δ1时，恒有|f(x,y)-A|<ε，则称当(x,y)→(0,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.7、试求下列极限：(1)4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→；(2)),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y)； (3)xsiny),()y ,x (xy 11lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→；(4)yx x )0,()y ,x (2x 11lim++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+.解：(1)当x>0, y>0时，4422y x y x ++≤2222y2x y x +=222x 12y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→=0.(2)当x,y 充分大时，e x >x 2, e y >y 2， ∴|(x 2+y 2)e -(x+y)|<2222yx y x +=22x 1y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y) =0.(3)xsiny),()y ,x (xy 11lim⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→=ysiny ),()y ,x (xy ),()y ,x (xy 11lim xy 11lim⋅+∞+∞→+∞+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =e ·1=e.(4)∵x)0,()y ,x (x 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→=e ，∴yx x )0,()y ,x (2x 11lim ++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=yx x )0,()y ,x (e lim++∞→= e.8、试作一函数f(x,y)使当x →+∞,y →+∞时， (1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.解：(1)函数f(x,y)=222yx x + ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0; +∞→+∞→x y lim lim f(x,y)=1；∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)不存在.(2)f(x,y)=x yyx +sinxsiny ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)和+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)都不存在.而|x y y x +sinxsiny|≤xy y x +=y1x 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞). ∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.(3)函数f(x,y)=sinxsiny 满足当(x,y)→(+∞,+∞)时，三个极限都不存在. (4)函数f(x,y)=y1sinx 满足：+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0；+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)不存在；而∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.9、证明：定理16.5及其推论3. 证：见定理16.5及其推论3.10、设f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U ⁰(P 0)上有定义，且满足： (1)在U ⁰(P 0)上，对每个y ≠y 0, 存在极限0x x lim →f(x,y)=ψ(x)；(2)在U ⁰(P 0)上，关于x 一致地存在极限0y y lim →f(x,y)=φ(x).试证明：0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).证：由条件(1)知, ∀ε>0，∃δ>0，对每个y ≠y 0，只要(x,y)∈U ⁰(P 0,δ1)，就有|f(x,y)-ψ(x)|<3ε；由条件(2)知，对上面的ε，∵0<|y-y 0|<δ， ∴对所有x ，只要(x,y)∈U ⁰(P 0)，就有|f(x,y)-φ(x)|<3ε. ∴0x x y y lim lim →→f(x,y)存在，记为A ，则|0xx lim →f(x,y)-A|=|ψ(x)-A|<3ε，又|φ(x)-A|≤|f(x,y)-φ(x)|+|f(x,y)-ψ(x)|+|ψ(x)-A|<3ε+3ε+3ε=ε， ∴0x x lim →φ(x)=A ，即0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).。

二元函数的极限与连续课件

这一准则在证明二元函数的极限时非常有用，因为它允许我们通过比较函数与其他函数的值来推断函数的极限。
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号，那么这个函数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说，如果存在一个正数r和实数a，使得对于所有满足|x - a| < r的x，有f(x, y) > 0，那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数，通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念，它表示一个变量z与两个变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示，其中f是函数符号，x和y是自变量，z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，且等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数，其在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说，连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而其在某区间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为，即当自变量靠近这一点时，函数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值，即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的函数值。

《二元函数极限》PPT课件

2 2 2
2 2
5. 二重极限的性质（1）极限存在的唯一性。若函数f(x,y)在点(x0,y0)存在极限，则其极限是唯一的. （2）极限存在的的局部保号性。
若
( x , y )( x0 , y0 )
推论2 lim f ( P ) A
P P0 pD
对D中任一满足Pn P0 , lim Pn P0的点列{Pn },函数列{ f ( Pn )}都收敛.
n
y
例4
1, 0 y x 2 讨论 f ( x, y ) 在(0,0)的极限. 0, 其它
O
y
解: 当动点(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时, f(x,y)的极限为0 当动点(x,y)沿抛物线
恒有
| f ( P ) A || f ( x, y) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时,以A为极限,记作
P P0 pD
lim f ( P ) A, 或 lim f ( P) A, 或
P P0
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) A.
0 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2
时,恒有
| f ( x, y ) A | .
2. 用定义证明极限基本思路: 根据找 , 使当 | x - x0 | ,| y - y0 | ,( x, y) D,( x, y) ( x0 , y0 ),
对任何 ,都有r 0
2 2 2 x2 y 2 | r cos sin (cos sin ) | | xy 2 0| = 2 x y 1 1 = | r 2 sin 2 cos 2 | = | r 2 sin 4 | 2 4 2 2 1 2 x y 1 2 2 ( x y ) = | xy 2 0|≤ r 2 4 4 x y 2 2 x y 1 2 2 | xy 2 0 | 2 ( x y ) ( x2 y 2 ) 4 只要： x y 4

162二元函数的极限

有关,记作:(xy) lim f (x, y),
类似地可定义
yx yx0 yx0Eyx
0
0,要使 :
f (x, y) 0

xy
x2 x2

y2 y2
1 r2 sin 4
4
1 r2 4
只要
1 x2 y2 4
x2 y2 2 ,
取 2 0, 当(0x,yr) U x(2(0,0y)2,)(时圆,) 不论取什么值,都有 : f (x, y) 0
x

当点(x, y)沿着任何直线趋于原点(0,0)时, f (x, y) 0,
但这并不表明, 在(x, y) (0,0)时,
函数f (x, y)的极限存在.
y
当点(x, y)沿着抛物线y kx2
f 1
f 0 f 1
o f 0 x
(0 k 1)趋于(0,0)点时, f (x, y) 1,
点列{ Pn }，Pn P0但Pn P0，数列{ f (Pn )}收敛。
通常为了证明极限 lim f (P)不存在， PP0
可证明沿某个方向的极限不存在，或证明沿某两个方向的极限不相等，或证明方向极限与方向有关。但应注意，沿任何方向的极限存在且相等全面极限存在(以下例６)。
例
10.验证 lim ( x, y)(0,0)
2x2
1 3y2

.
证明: M 0,要使 :
1
2x2 3y2
1 3 x2 y2
M,
只要x2 y2 1 , 即 x2 y2 1
3M
3M
取 1 0, 当(0x, y) x2U y(20,0),时 ,

多元函数的概念二元函数的极限和连续性课件

1 2 2
1 1 12
8
多元函数的概念、定义域
类似地，可以定义三元函数 u f ( x,y,z) 以及n元函数 u f ( x1,x2 , , xn )
多于一个自变量的函数统称为多元函数
同一元函数一样，定义域和对应规律是二元函数定义的两要素。对于以算式表示的二元函数 z f ( x, y) 其定义域就是使式子有意义的自变量的变化范围一组概念： 1.区域：全部xy坐标平面或由曲线所围成的部分平面常用字母D表示 2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界 3.开区域：不包括边界的区域 4.闭区域：连同边界在内的区域
13
二元函数的几何意义
思考：一元函数一般表示平面上的一条曲线；对于二元函数，在空间直角坐标系中一般表示曲面
二元函数的几何意义？
14
二元函数的几何意义

如图，定义域D就是曲面在xy面上的投影区域
15
二元函数的几何意义
例如，x2 y2 z2 a2表示的曲面为球心在原点，半径为a的球面（见右图）
而z a2 x2 y2 表示的为上半球面
z
o
y
x
z a2 x2 y2 表示的是下半球面
16
二元函数的极限
二元函数的极限定义设函数z f ( x, y)在点p0( x0 , y0 )的某一领域内有定义（点p0可以除外）如果当点p( x, y)无限地接近p0( x0, y0 )
时，恒有 f ( p) A (是指任意地小的正数)，则称
A为函数z f ( x, y)当( x, y) ( x0, y0 )时的极限，记为
lim f (P)=A,
P P0

高等数学第16章第2节二元函数的极限

§2 二元函数的极限一二元函数的极限定义1 设f 为定义在⊂D R 2二元函数，0P 为的D 一个聚点，A 是一个确定的实数。

若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当()D P U P o δ;0∈时，都有(),ε<-A P f则称f 在．D ．上．当0P P →时，以A 为极限，记作 ().lim 0A P f D P P P =∈→ ()1 在对于D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作().lim A P f PP =→ ()'1 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()'1也常写作().,lim )(),(0,0A y x f y x y x =→ ()"1 例1 依定义验证.7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x证因为722-++y xy x)1(2)4(22-+-+-=y xy x )1)(1()1(2)2()2)(2(-++-+-+-+=y y y y x x x.3122+-+++-≤y y y x x先限制在点(2,1)的1=δ方邻域(){}11,12,<-<-y x y x内讨论，于是有,541413<+-≤+-=+y y y5)1()2(2+-+-=++y x y x.7512<+-+-≤y x所以1527722-+-≤-++y x y xy x ).12(7-+-<y x设ε为任给的正数，取)14,1min(εδ=，则当)1,2(),(,1,2≠<-<-y x y x δδ时，就有 .27722εδ<∙<-++y xy x □例2 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明．000=→)y ,x (f lim ),()y ,x ( 证对函数的自变量作极坐标变换.sin ,cos ϕϕrl y r x ==。

01-9.2 二元函数的极限

二元函数的极限是高等数学中重要的极限思想数学思想0()lim ().x x f x A x x f x A →→→=在时，，则但我们在高等数学上册中讨论函数连极续限时性，主要是的思维..实际上也是非常重要例如狄利离散思维克雷函数0()1D x ⎧=⎨⎩，，x 为无理数，x 为有理数.{}1=D x x 令为无理数，01lim ()0.x x D D x →=在上，1()0;D D x ≡则在上，02lim () 1.x x D D x →=在上，0lim ()x x D x →不存在.{}2=D x x 为有理数，2()1;D D x ≡在上，0(+)x ∀∈-∞∞因此对，有，⎫⎬⎭0()1D x ⎧=⎨⎩，，x 为无理数，x 为有理数.00x x x 任何邻域内要实现，则的都应该有无数个点.属于所讨论的点集.这样的点称为点的聚点集E1.E p 为平面点集.如果点的任何定义邻域内都有E E p 无数个点属于，则称为的聚点.E E 可能属于，可能不显然聚点也属于，.012.x D D 是和例中的聚点子比如上面000,(,)D .()2.z f x y p x y 设为二元函数定=的定义域的义聚点000,o p p D δεδ∀>∃>∈ （）若对，，当点时，恒有(,)f x y A ε-<0(,)A f x y p 在点二重极限的为成立，则称，记为0000(,)(,)lim (,)=A lim (,)=A.x x x y x y y y f x y f x y →→→，或者注：二重极限一元函由于定义与定义本质上数极限完全相同.因此一元函数极限的很多性质在二重极限中都成立：如极限的唯一性；四则运算法则；夹逼准则；等价无穷小代换；有界函数与无穷小乘积仍为无穷小等.222222200sin()(1lim .ln(1())1x y x y x y x y →→+⋅-+++例求22222222001()2=lim ()x y x y x y x y →→+⋅++解：（原式1=.2证明函数极限不存在注：的方法.或者取极限值两种不同的路线存在但不相等，二重极则函数限不存在.（若，不能说明极限注意相：等存在.）若取，函数的一种特定的路线极限不存在，222(1)(,),x y f x y x y =+2判断下列函数在（0,0）点二重极限例是否存在.222222,0,(2)(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩22200||1,lim 0,x y x y x y →→≤=+(1)由于且解：00lim (,)0.x y f x y →→=从而2200(2)lim (,)m 1,2li 2y x y x x f x y x =→=→==000200lim (,)l m ,0i =0x y x y f x y y ==→→=+而00lim (,)x y f x y →→从而不存在.2022220lim (,)lim 1y k y kx x kx k f x y x k x k=→=→==++，00lim (,)x y f x y →→从而不存在.0(0)y kx k =→≠第二题也可以取注：222(1)(,),x y f x y x y =+2判断下列函数在(0,0)点二重极限例是否存在.222222,0,(2)(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩。

二元函数的极限ppt

§2 二元函数的极限
一、二元函数的极限二、累次极限
回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),
所谓 lim f (x) A, 表示
x x0
y
当 x 不论是从 x0的左边 A
还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A. 如图
f (x)
0 x x0 x x x0
y = f (x) f (x)
x, y y.
进一步, 若 lim y A 存在, 则称 f x, y 先对 x x x0
y y0
后对 y y y0 的累次极限存在, 记为
lim lim f x, y A.
y y0 xx0
类似定义先对 y 后对 x 的累次极限
lim lim f x, 买的VIP时长期间，下载特权不清零。
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PP0
PP0
PD
当 P 和 P0 分别用坐标 x, y 和
o
y
x0, y0 表示时, 也可以写作 lim f x, y A.
x, y x0 , y0
xD
P0
上面二元函数极限的定义也称为极限的定义. 注意与一元函数极限的定义的区别.
例1 用“ ”定义验证极限
lim x2 xy y2 7.
P0
推论2 设 E1, E2 D, P0 是它们的聚点,
E1
若存在极限 lim f P A 和 lim f P B,

二元函数的极值

第五节二元函数的极值
一、二元函数的极值二、最值应用问题
第八章
机动
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结束
一、多元函数的极值
定义: 定义若函数的某邻域内有
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.
因此为极小值.
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二、最值应用问题
依据函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值
驻点最值可疑点边界上的最值点
特别, 只有一个极值点P 时, 特别当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大)值
的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC −B2 =12×(−6) < 0,
解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
α = = 60 , x = 8 (cm)
π
一个驻点, 故此点即为所求.
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内容小结
1. 函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z = f (x, y), 即解方程组

D83二元函数的极限与连续

如果函数 f (x, y) 在平面区域D内的每一点都连续,
则称函数 f (x, y) 在区域D内连续.
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例5
讨论函数

f
(
x,
y)

xy x2 y2
0
在点 (0, 0) 的连续性.
x2 y2 0 x2 y2 0
解: 例3已证 f (x, y) 在点(0,0)处极限不存在 .
定义8.3 如果对于任意给定的正数, 总存在一个正
数, 使当 0 (x x0 )2 ( y y0)2 时,
f (x, y) A 恒成立, 则称当(x, y)趋于 (x0, y0 ) 时,
函数 f (x, y) 以A为极限, 记作
lim f (x, y) A
(1) 连续的四则运算法则；
(2) 连续函数的复合运算法则；
(3) 初等函数在其定义域中连续；
(4) “连续必定有极限”.
例7
求函数
f (x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2的连续域.Biblioteka 解: 为初等函数.y
其定义域
3 x2 y2 1 x y2 0
2 x2 y2 4 x y2
lim x2 y lim x2 kx2 k
x0 x4 y2 x0 x4 k 2 x4 1 k 2
y kx2
y kx2
可见, 以不同方式趋近(0,0)函数趋于不同数值,
说明极限不存在.
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对于二元函数 f (x, y), 一元函数极限存在的充分必要条件: “左极限=右极限” 不再适用!

高等数学：第二讲二元函数的极限

点 P的0 空δ 心邻域
o
U (P0 , δ)
o
U (P0 , δ) {(x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 δ}
02 二元函数的极限
复习
一元函数的极限
lim f (x) A
x x0
在 x0的某一去心邻域内，当 x 无限趋近于 x0 时，
相应的函数值 f (x) 无限趋近于常数 A.
使函数 f (x, y)趋于两个不同的数，则可断言函数 f (x, y)在点 (x0, y0 ) 极限不存在.
(x0 , y0 )
例题1：
讨论极限
lim
x0
x2
xy y2
是否存在．
y0
解当点 P(x, y) 沿直线 y kx
趋于(0 , 0) 时，
有
xy
lim
x0
x2
y2
y0
lim
x0
x2
kx2 k2x2
二元函数的极限
目录
01
邻域的概念
02 二元函数的极限
01 邻域的概念
邻域：点 P的0 δ邻域 U (P0 , δ) 以 P0 (x0 ,为y0圆) 心， δ为半径的开圆域(不包含圆周的圆域)
内点 P(x,的y)全体，即
U (P0 , δ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 δ}
x0
xy
y0
x0 y0
xy(
xy 1 1)
lim 1
x0 y0
xy 1 1
1 2
内容小结
1.邻域的概念
U (P0 , δ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 δ}
2.二元函数极限的定义

《二元函数极限》课件

二元函数极限的定义
总结词
二元函数极限的定义
详细描述
二元函数的极限是指当x和y分别趋近于某个值时，函数f(x, y)的取值趋势。具体来说，如果存在一个常数A，当 (x, y)趋于点(x0, y0)时，f(x, y)趋于A，则称A为f(x, y)在点(x0, y0)的极限。
二元函数极限的性质
总结词
二元函数极限的性质
使用条件
分子和分母必须同时趋于零，且两者可导。
应用范围
常用于求解不定式极限。
泰勒公式
泰勒公式
将一个函数展开成多项式的无穷级数。
展开式
将函数在某点处展开成多项式，其中包含了该函数的导数信息。
应用范围
常用于近似计算、求极限、证明等数学问题。
THANKS
。
02
求解极值
利用二元函数极限，可以求解函数的极值点，进而确定函数
的最大值和最小值。
03
求解积分
二元函数极限在积分计算中也有广泛应用，如计算二重积分时需要用到极限的运算法则。
在实数完备性理论中的应用
实数完备性的证明
利用二元函数极限，可以证明实数系的完备性，如确界原理、区间套定理等。
实数连续性的研究
通过研究二元函数在实数上的极限行为，可以深入了解实数的连续性。
在复变函数中的应用
解析函数的性质
在复变函数中，利用二元函数极限可以研究解析函数的性质，如Cauchy积分公式、 Taylor级数展开等。
复函数的极限行为
通过研究复函数在复平面上的极限行为，可以进一步理解复函数的性质和行为。
04
二元函数极限的注意事项
详细描述
柯西收敛准则是判断二元函数序列是否收敛的重要准则。如果一个二元函数序列满足柯西收敛准则，那么该序列是收敛的，并且其极限值可以通过特定的方法计算得到。这种方法的关键在于理解柯西收敛准则的原理和应用，以及如何将问题转化为符合准则的形

二元函数的极限与连续性53760 共62页

解当动点 (x, y) 沿着直线 ymx而趋于定点 (0, 0)
时，由于
m f(x,y)f(x,m x)1m 2,
因此有
m (x,yl)i m (0,0)f(x,y)x li m 0f(x,m x)1m 2.
ym x
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应
的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．
.
由y) 当
(x,y) (0,0)时的重极限不存在. 但当 y 0 时, 有
xy
lim
x0
x2

y2
0,
从而又有
xy lyi m0lxi m0 x2 y2 0.
同理可得
xy lxi m0lyi m0 x2 y2
0.
这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等.
1r2|sin4|1r2,
4
4
因此， 0 ,只须 r x 2 y 2 2,对任何
都有
|f ( x ,y ) 0 | 1 r 2 ,即 l i m f ( x ,y ) 0 .
4
( x ,y ) ( 0 ,0 )
下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归
xyx2y20 2 x2y2
1x 2y21(x 2y2),
2
2
可知 2 ,当 0 x 2 y 2 时 ,便有
x2 y2 xy x2 y2
0
,
故 lim f(x,y)0. (x,y) (0,0)
注意不要把上面的估计式错写成：
xyx x 2 2 y y2 2 0xyx 2 2 xy y21 2(x 2y2),
x y
x (x 2x )

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若
E1 D, P0
是 E1 的聚点, 使
lim
P P0
f (P)
PE1
不存在, 则 lim f (P) 也不存在．
P P0 PD
推论2 若 E1, E2 D, P0 是它们的聚点，使得
lim
P P0
f (P)
A1
与
lim
P P0
f (P)
A2
PE1
PE2
都存在，但
A1
A2
,
则
lim
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所以 x2 xy y2 7 7 | x 2| 5| y 1|
7 ( | x 2 | | y 1 | ).
0, 取
min
(
1,
14
),当 |
x
2
|
,
|
y
1|
且 ( x, y) (2,Fra bibliotek1) 时, 就有
x2 xy y2 7 7 2 14 .
这就证得 lim ( x2 x y y2 ) 7.
P P0
f (P)
不存在．
PD
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推论3 极限 lim f (P) 存在的充要条件是：D 中任 P P0 PD
一满足条件 Pn
P0
且
lim
n
Pn
P0 的点列 {Pn }, 它所
对应的函数列 { f (Pn )} 都收敛．
下面三个例子是它们的应用．
例3
讨论
f
( x,
y)
xy x2 y2
xy x2 y2 0 2
x2 y2
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1 x2 y2 1 ( x2 y2 ),
2
2
可知 2 , 当 0 x2 y2 时, 便有
x2 y2 xy x2 y2 0
,
故 lim f ( x, y) 0. ( x, y) (0, 0)
注意不要把上面的估计式错写成：
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( x, y) (0, 0) 时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线
y kx2(0 k 1) 趋于点 O 时, f ( x, y) 将趋于1. 所
以极限 lim f ( x, y) 不存在. ( x, y) (0,0)
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| ( x 2)( x 2) ( x 2) y 2( y 1) ( y 1)( y 1) |
| x2|| x y 2|| y1|| y3|. 不妨先限制在点(2, 1)的方邻域
( x, y) | x 2 | 1, | y 1 | 1
内来讨论, 于是有 | y 3 | | y 1 4 | | y 1 | 4 5, | x y 2 | | ( x 2) ( y 1) 5 | | x 2 | | y 1 | 5 7.
x2 y2 xy x2 y2 0
x2 y2 xy
2xy
1 ( x2 y2 ), 2
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因为 ( x, y) (0, 0) 的过程只要求 ( x, y) (0, 0), 即
x2 y2 0, 而并不要求 x y 0.
(证法二) 作极坐标变换 x r cos , y r sin . 这时
P P0
当 P, P0 分别用坐标 ( x, y),( x0 , y0 )表示时, 上式也常写作
lim f ( x, y) A.
( x, y) ( x0 , y0 )
例1 依定义验证 lim ( x2 x y y2 ) 7. ( x, y) (2, 1)
证因为 x2 xy y2 7 ( x2 4) xy 2 ( y2 1)
( x, y) (0, 0) 等价于 r 0 ( 对任何 ). 由于
x2 y2 | f (x, y) 0 | x y x2 y2
1 r 2 | sin 4 | 1 r 2 ,
4
4
因此， 0, 只须 r x2 y2 2 , 对任何
前页后页返回
都有
| f ( x, y) 0 | 1 r 2 , 即 lim f ( x, y) 0.
§2 二元函数的极限
与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.
一、二元函数的极限二、累次极限
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一、二元函数的极限
定义1 设二元函数 f 定义在 D R2 上, P0 为 D 的
( x, y) (2, 1)
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例2 设
f
( x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
，
( x,
y)
(0,
0),
0,
( x, y) (0, 0),
证明 lim f ( x, y) 0. ( x, y) (0, 0)
证 (证法一) 0, 由
x2 y2
x2 y2 x2 y2
4
( x, y) (0, 0)
下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归
结原则(而且证明方法也相类似).
定理16.5 lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的 P P0 PD
任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有
lim f (P) A .
P P0 PE
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推论1
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
P P0 P D
在对 P D 不致产生误解时, 也可简单地写作
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lim f (P) A.
lim
x0
f
( x,
mx)
1
m2
.
y mx
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应
的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．
例4 设
1， 0 y x2 , x ,
f
(
x,
y)
0，
其余部分.
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如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 f ( x, y) 都趋于 0, 但这并不表明此函数在
当
( x,
y) (0, 0) 时是否
存在极限．( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. )
解当动点 (x, y) 沿着直线 y mx 而趋于定点 (0, 0)
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时，由于
f (x,
y)
m f (x, mx) 1 m2
,
因此有
m
( x,
lim
y) (0, 0)
f
( x,
y)