高一数学向量知识点归纳练习题

向量

一、平面向量的加法和乘积

1、向量加法的交换律：a b b a +=+

2、向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++

3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=

4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+

5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+

二、平面向量的基本定理

如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1）我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；

（3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；

（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算

1、已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--， 1212(,)a b x x y y ⋅=。

2、已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

3、已知11(,)a x y =和实数λ，则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件

1、平行（共线）：

基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。 定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x 。

2、垂直：

基本定理：a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。

定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x 。

五、平面向量的数量积

定义：非零向量a 、b ，它们之间的夹角为θ，则cos a b θ⋅就称作a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即有cos a b a b θ⋅=⋅，0θπ≤≤。

性质：非零向量a 、b 的夹角为θ，e 是与b 同向的单位向量，那么

（1）cos a e e a a θ⋅=⋅=； （2）0a b a b ⊥⇔⋅=； （3）2a a a ⋅=或a a a =

⋅； （4）cos a b a b θ⋅=⋅；

（5）a b a b ⋅≤⋅。

数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅

分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅

六、向量的长度、距离和夹角公式

（1）已知11(,)a x y =，则222a x y =+，即2a x =+（长度公式）

（2）已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，AB =（距离公式）

（3）已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，它们之间的夹角为θ，则 21cos a b

x a b θ⋅==+⋅，0θπ≤≤。（夹角公式）

高一数学《平面向量》单元测试

一、 选择题(共8小题,每题5分)

1. 下列命题正确的是 （ ）

A ．单位向量都相等

B ． 任一向量与它的相反向量不相等

C ．平行向量不一定是共线向量

D ．模为0的向量与任意向量共线

2．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于（ ）

A ．34

B ．34-

C ．43

D ．43- 3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ）

A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x )(x 、y ≠0)，则a ⊥b

B ．四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB =D

C ，且|AB |=|A

D |

C ．点G 是△ABC 的重心，则GA +GB +CG =0

D ．△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A

4．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为 （ ）

A ．-9

B ．-6

C ．9

D ．6

5．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°

6．在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 成立的什么条件（ ）

A ．充分不必要

B ．必要不充分

C ．充要

D ．既不充分也不必要

7．若将函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数)4

2sin(π-=x y -1的图象,则向量a 可以是： （ ）

A ． )1,8(-π

B ． )1,8(π-

C ． )1,4(π

D ．)1,4

(--π 8．在△ABC 中，已知AC AB S AC AB ABC ⋅===∆则,3,1||,4||的值为（ ）

A ．－2

B ．2

C ．±4

D ．±2

二、 填空题(共4小题,每题5分)

9．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ．

10．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则 a = . 11．设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是 60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e

12．在∆ABC 中，a =5，b=3,C=0120,则=A sin 三、 解答题(共40分)