第七章习题

第七章 静电场中的导体和电介质

7-1 如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷q +，金属球半径为R ，已知q +与金属球心间距离为r 。试求：（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度E 及此时球心处的电势V ；（2）若将金属球接地，球上的净电荷为多少？

题7-1图

解：（1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电场强度E 与点电荷q +在球心处产生的电场强度'E 大小相等，方向相反。

2

04r q E E πε=

'= E 的方向由O 指向q +

点电荷q +在球心处的电势为

r

q V q 04πε=

金属球表面感应电荷在球心的电势为R V ，由于球表面感应电荷量总和为零，

⎰

⎰==

=s

s

R dq R

R

dq V 04140

0πεπε 故球心电势为q V 和R V 的代数和

r

q V V V R q 04πε=

+=

（2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势0=V 。设球上净电荷为q '。球面上的电荷在球心处的电势为

⎰

⎰'=

=

=s

s

R R

q dq R R

dq V 0004414πεπεπε

点电荷q +在球心的电势为 r

q V q 04πε=

由电势叠加原理 0=+=q R V V V

q R V V -=

r

q R

q 0044πεπε-

='

q r

R q -

=' 7-2 如图所示，把一块原来不带电的金属板

B 移近一块已带有正电荷Q +的金属板A ，

平行放置。设两板面积都是S ，板间距是d ，忽略边缘效应。求：

（1）B 板不接地时，两板间的电势差； （2）B 板接地时，两板间电势差。

Q

σ12σ34

题7-2图

解：（1）如图，设A 、B 两金属板各表面的面电荷密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ。由静电平衡条件可知

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-++=---0

2222022220

40302010

4030201

εσεσεσεσεσεσεσεσ 解得 ⎩⎨⎧-==3

24

1σσσσ

又 430σσ+= Q S S =+21σσ 故 1242Q S

σσσ===

32Q S

σ=-

两板间为匀强电场，电场强度

31240000022222Q E S

σσσσεεεεε=

+--= 两板间的电势差 S

Qd

Ed U 02ε=

=

（2）若B 板接地，则有 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=-===S Q 32410σσσσ

两板间的电场强度 3200022Q

E S

σσεεε=

-= 两板间的电势差 S

Qd

Ed U 0ε=

= 7-3 B A 、为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为S ，板间距离为

d ，使B A 、板带电分别为A q 、B q ，且A B q q >。求： （1）A 板内侧的带电量； （2）两板间的电势差。

解：（1）如图，设A 、B 两板各表面的 电荷面密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ。

由题意 ⎩⎨⎧=+=+B A

q S S q S S 4321σσσσ ①

又由静电平衡条件（参考题7-2）得

14

23

σσσσ=⎧⎨

=-⎩ ②

题7-3图

由①、②解得 142322A B A

B q q S

q q S σσσσ+⎧

==⎪⎪⎨-⎪=-=⎪⎩

故Ａ板内侧的带电量 2

22B

A q q S q -=

=σ （2）两板间为匀强电场，电场强度

31240000022222A B

q q E S

σσσσεεεεε-=

+--=

两板间电势差 02A B

q q U Ed d S

ε-==

7-4 如图所示，半径为1R 的导体球带有电荷q ，球外有一个内半径为2R 的同心导体球壳，壳上有电荷Q 。（1）求球与壳的电势差12U ；（2）用导线把球和壳连接在一起后，其电势为多少？

解：（1）导体球与球壳之间的电场强度为

2

04r

q E πε=

球与壳的电势差

⎰

⎰==2

12

120

124R R R R r dr

q

Edr U πε

题7-4图

)1

1(

42

10

R R q -=

πε （2）用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布。静电平衡时，球与球壳为等势体，1221V V V ==。所有电荷（Q q +）均匀分布在球壳外表面。球壳外电场强度为

2

04r q

Q E πε+=

'

球与球壳的电势 2

2200244R R Q q dr Q q

V Edr r

R πεπε∞

∞

++'===⎰⎰

7-5 如图所示，同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构成。设圆柱体的电势为1V ，半径为1R ，圆管的电势为2V ，内半径为2R ，求它们之间离轴线为r 处(12R r R <<)的电势。

解：设圆柱体表面沿轴线单位长度所带电量为λ，在距轴线为r 的任意一点

P 的场强为

r

E 02πελ

=

12R r R <<