2008年高考数学(理)试题及答案(山东卷)
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（A）1 (b)2 (C)3 (D)4
（2）设 z 的共轭复数是 z ，若 z+ z =4, z² z ＝8，则 （A）i （3）函数 y＝lncosx(（B）-i (C)±1 )
z 等于 z
(D) ±i
π π ＜x＜ ＝的图象是 ( 2 2
（4）设函数 f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线 x＝1 对称，则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 （5）已知 cos（α -
（Ⅱ）将函数 y＝f(x)的图象向右平移
原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间. （18） （本小题满分 12 分） 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为
2 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 3
(Ⅰ)证明数列｛
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公 比为同一个正数.当 a81
(20)(本小题满分 12 分)
如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD， ABC 60 ,E，F 分别是 BC, PC 的中点. （Ⅰ）Fra Baidu bibliotek明：AE⊥PD; （Ⅱ） 若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正 切值为
π 4 7π 3, 则 sin(α )的值是 ）+sinα = 6 5 6
（A）-
2 3 5
（B）
2 3 5
(C)-
4 5
(D)
4 5
（6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几 何体的表面积是 (A)9π （B）10π (C)11π (D) 12π
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2kπ ≤
当 即
因此 g(x)的单调递减区间为
2 8 4k ,4k 3 3
(k∈Z)
（18） （本小题满分 12 分） (Ⅰ)解法一：由题意知，ε 的可能取值为 0，1，2，3,且
2 1 2 2 2 P ( 0) C 03 (1 )3 , P( 1) C13 (1 ) 2 , 3 27 3 3 9 2 2 4 2 8 P ( 2) C 23 ( ) 2 (1 ) , P( 3) C 33 ( )3 . 3 3 9 3 27 所以ε 的分布列为 0 1 2 ε
2 2 1 , , ，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用ε 表示甲队的总得分。 3 3 2
（Ⅰ）求随机变量ε 分布列和数学期望； （Ⅱ）用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于 乙队总得分”这一事件，求 P(AB). (19)(本小题满分 12 分) 将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
x 2 y 19 0， （12）设二元一次不等式组 x y 8 0, 所表示的平面区域为 M，使函数 y＝ax(a＞0， 2 x y 14 0
a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 （A） [1,3] (B)[2, 10 ] (C)[2,9] (D)[ 10 ,9]
k n-k Pn（k）＝C k n p (1-p) （k＝0，1，2，„，n）.
如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）＝P（A）+P（B）. 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）＝P（A） ²P（B）.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，„，18 的 18 名火炬手。若从中任 选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为
1 51 1 （C） 306
（A）
1 68 1 （D） 408
（B）
(8)右图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的茎 叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表 示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以 得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数 的平均数为 （A）304.6 （B）303.6 (C)302.6 （9） （X-
3
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P
1 27
2 9
4 9
8 27
ε 的数学期望为 Eε = 0
1 2 4 8 1 2 3 2. 27 9 9 27 2 3
解法二：根据题设可知 ～B (3, ) 因此ε 的分布列为
2k 2 2 k P( k ) C3 ( ) k (1 ) 2 k C k 3 3 , k 0,1,2,3. 3 3 3 2 2 因为～B(3, ), 所以E 3 2 3 3
（O 为坐标原点） .若存在， 求出所有适合题意的点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由.
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 参考答案
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第Ⅰ卷（共 60 分）
参考公式： 球的表面积公式：S＝4π R2，其中 R 是球的半径. 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率：
f ( ) 2 cos 2 . 8 4
x x x 所以 g ( x) f ( ) 2cos 2( ) 2cos f ( ). 4 6 2 3 4 6
x ≤2 kπ + π (k∈Z), 2 3 2 8 4kπ ＋ ≤x≤4kπ + (k∈Z)时，g(x)单调递减. 3 3
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学
第Ⅰ卷（共 60 分）
参考公式： 球的表面积公式：S＝4π R2，其中 R 是球的半径. 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率：
x2 y2 1 4 2 32
(B)
x2 y2 1 132 5 2 x2 y2 1 132 122
(C)
x2 y2 1 32 4 2
(D)
（11）已知圆的方程为 X2+Y2-6X-8Y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 （A）10 6 （B）20 6 （C）30 6 （D）40 6
6 ，求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2
1 a ln( x 1), 其中 n∈N*,a 为常 (1 x)n
（21） （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) 数. （Ⅰ）当 n=2 时，求函数 f(x)的极值； （Ⅱ）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n, 当 x≥2 时，有 f(x)≤x-1. (22)(本小题满分 14 分) 如图， 设抛物线方程为 x2=2py(p＞0),M 为 直线 y= -2p 上任意 一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B. （Ⅰ）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当 M 点的坐标为（2，-2p）时， AB 4 10 ， 求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在 抛物线 x2 2 py( p＞0) 上，其中， 点 C 满足 OC OA OB
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第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
（13） 执行右边的程序框图， 若 p＝0.8， 则输出的 n＝ （14）设函数 f(x)=ax2+c(a≠0)，若 .
1 0
f ( x)dx f ( x 0 ) ，0≤x0
π π ）＝sin( x - ). 6 6 π π π π 即-sin x cos( - )+cos x sin( - )=sin x cos( - )+cos x sin( - ), 6 6 6 6 π π 整理得 sin x cos( - )=0.因为 ＞0，且 x∈R,所以 cos（ - ）＝0. 6 6 π π π 又因为 0＜ ＜π ，故 - ＝ .所以 f(x)＝2sin( x + )=2cos x . 6 2 2
k n-k Pn（k）＝C k n p (1-p) （k＝0，1，2，„，n）.
如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）＝P（A）+P（B）. 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）＝P（A） ²P（B）.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）满足 M ｛a1, a2, a3, a4｝,且 M∩｛a1 ,a2, a3｝={ a1,a2}的集合 M 的个数是
29 30 31
1158 26 0247
(D)301.6
1
3
x
）12 展开式中的常数项为 （B）1320 （C）-220 (D)220
（A）-1320 (10)设椭圆 C1 的离心率为
5 ， 焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两 13
个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为 （A）
≤1，则 x0 的值为
3 . 3
（15）已知 a，b，c 为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向 量 m＝（ ， n ＝ （ cosA, sinA ） 。若 m⊥n，且 3,1 ）
acosB+bcosA=csinC，则角 B＝____. （16）若不等式｜3x-b｜＜4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3， 则 b 的取值范围为（5，7）.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.
（17） （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝ 3 sin(x ) cos(x )(0 π , 0) 为偶函数，且函数 y＝f(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）求 f（
π . 2
π ）的值； 8 π 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 6
（17） 解： （Ⅰ）f(x)＝ 3 sin(x ) cos(x ) ＝ 2
3 1 sin(x ) cos(x ) 2 2
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π ＝2sin( x - ) 6
因为 f(x)为偶函数， 所以 对 x∈R, f(-x)=f(x)恒成立，
因此 sin（- x -
2
由题意得
2
2
, 所以 ＝2.
故 因此
f(x)=2cos2x.
个单位后，得到 f ( x ) 的图象，再将所得图象横坐标 6 6 x 伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f ( ) 的图象. 4 6
（Ⅱ）将 f(x)的图象向右平移个
（1）B （2）D （3）A （4）A （5）C （6）D （7）B (8)B （9）C (10)A （11）B （12）C
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
（13）4 （14）
3 . 3
π . 6
（15）
（16） （5，7）.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.
„„
记表中的第一列数 a1，a2，a4，a7，„构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn 为数列｛bn｝的前 n 项
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和，且满足
2bn =1（n≥2）. bn S N S 2 n
1 ｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； Sn
4 时，求上表中第 k(k≥3)行所有项的和.. 91
（2）设 z 的共轭复数是 z ，若 z+ z =4, z² z ＝8，则 （A）i （3）函数 y＝lncosx(（B）-i (C)±1 )
z 等于 z
(D) ±i
π π ＜x＜ ＝的图象是 ( 2 2
（4）设函数 f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线 x＝1 对称，则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 （5）已知 cos（α -
（Ⅱ）将函数 y＝f(x)的图象向右平移
原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间. （18） （本小题满分 12 分） 甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为
2 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 3
(Ⅰ)证明数列｛
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公 比为同一个正数.当 a81
(20)(本小题满分 12 分)
如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD， ABC 60 ,E，F 分别是 BC, PC 的中点. （Ⅰ）Fra Baidu bibliotek明：AE⊥PD; （Ⅱ） 若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正 切值为
π 4 7π 3, 则 sin(α )的值是 ）+sinα = 6 5 6
（A）-
2 3 5
（B）
2 3 5
(C)-
4 5
(D)
4 5
（6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几 何体的表面积是 (A)9π （B）10π (C)11π (D) 12π
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2kπ ≤
当 即
因此 g(x)的单调递减区间为
2 8 4k ,4k 3 3
(k∈Z)
（18） （本小题满分 12 分） (Ⅰ)解法一：由题意知，ε 的可能取值为 0，1，2，3,且
2 1 2 2 2 P ( 0) C 03 (1 )3 , P( 1) C13 (1 ) 2 , 3 27 3 3 9 2 2 4 2 8 P ( 2) C 23 ( ) 2 (1 ) , P( 3) C 33 ( )3 . 3 3 9 3 27 所以ε 的分布列为 0 1 2 ε
2 2 1 , , ，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用ε 表示甲队的总得分。 3 3 2
（Ⅰ）求随机变量ε 分布列和数学期望； （Ⅱ）用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B 表示“甲队总得分大于 乙队总得分”这一事件，求 P(AB). (19)(本小题满分 12 分) 将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
x 2 y 19 0， （12）设二元一次不等式组 x y 8 0, 所表示的平面区域为 M，使函数 y＝ax(a＞0， 2 x y 14 0
a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 （A） [1,3] (B)[2, 10 ] (C)[2,9] (D)[ 10 ,9]
k n-k Pn（k）＝C k n p (1-p) （k＝0，1，2，„，n）.
如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）＝P（A）+P（B）. 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）＝P（A） ²P（B）.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，„，18 的 18 名火炬手。若从中任 选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为
1 51 1 （C） 306
（A）
1 68 1 （D） 408
（B）
(8)右图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数的茎 叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表 示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以 得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家庭人口数 的平均数为 （A）304.6 （B）303.6 (C)302.6 （9） （X-
3
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P
1 27
2 9
4 9
8 27
ε 的数学期望为 Eε = 0
1 2 4 8 1 2 3 2. 27 9 9 27 2 3
解法二：根据题设可知 ～B (3, ) 因此ε 的分布列为
2k 2 2 k P( k ) C3 ( ) k (1 ) 2 k C k 3 3 , k 0,1,2,3. 3 3 3 2 2 因为～B(3, ), 所以E 3 2 3 3
（O 为坐标原点） .若存在， 求出所有适合题意的点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由.
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第Ⅰ卷（共 60 分）
参考公式： 球的表面积公式：S＝4π R2，其中 R 是球的半径. 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率：
f ( ) 2 cos 2 . 8 4
x x x 所以 g ( x) f ( ) 2cos 2( ) 2cos f ( ). 4 6 2 3 4 6
x ≤2 kπ + π (k∈Z), 2 3 2 8 4kπ ＋ ≤x≤4kπ + (k∈Z)时，g(x)单调递减. 3 3
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参考公式： 球的表面积公式：S＝4π R2，其中 R 是球的半径. 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率：
x2 y2 1 4 2 32
(B)
x2 y2 1 132 5 2 x2 y2 1 132 122
(C)
x2 y2 1 32 4 2
(D)
（11）已知圆的方程为 X2+Y2-6X-8Y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 （A）10 6 （B）20 6 （C）30 6 （D）40 6
6 ，求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2
1 a ln( x 1), 其中 n∈N*,a 为常 (1 x)n
（21） （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) 数. （Ⅰ）当 n=2 时，求函数 f(x)的极值； （Ⅱ）当 a=1 时，证明：对任意的正整数 n, 当 x≥2 时，有 f(x)≤x-1. (22)(本小题满分 14 分) 如图， 设抛物线方程为 x2=2py(p＞0),M 为 直线 y= -2p 上任意 一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B. （Ⅰ）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当 M 点的坐标为（2，-2p）时， AB 4 10 ， 求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在 抛物线 x2 2 py( p＞0) 上，其中， 点 C 满足 OC OA OB
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二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
（13） 执行右边的程序框图， 若 p＝0.8， 则输出的 n＝ （14）设函数 f(x)=ax2+c(a≠0)，若 .
1 0
f ( x)dx f ( x 0 ) ，0≤x0
π π ）＝sin( x - ). 6 6 π π π π 即-sin x cos( - )+cos x sin( - )=sin x cos( - )+cos x sin( - ), 6 6 6 6 π π 整理得 sin x cos( - )=0.因为 ＞0，且 x∈R,所以 cos（ - ）＝0. 6 6 π π π 又因为 0＜ ＜π ，故 - ＝ .所以 f(x)＝2sin( x + )=2cos x . 6 2 2
k n-k Pn（k）＝C k n p (1-p) （k＝0，1，2，„，n）.
如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）＝P（A）+P（B）. 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（AB）＝P（A） ²P（B）.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）满足 M ｛a1, a2, a3, a4｝,且 M∩｛a1 ,a2, a3｝={ a1,a2}的集合 M 的个数是
29 30 31
1158 26 0247
(D)301.6
1
3
x
）12 展开式中的常数项为 （B）1320 （C）-220 (D)220
（A）-1320 (10)设椭圆 C1 的离心率为
5 ， 焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两 13
个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为 （A）
≤1，则 x0 的值为
3 . 3
（15）已知 a，b，c 为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向 量 m＝（ ， n ＝ （ cosA, sinA ） 。若 m⊥n，且 3,1 ）
acosB+bcosA=csinC，则角 B＝____. （16）若不等式｜3x-b｜＜4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3， 则 b 的取值范围为（5，7）.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.
（17） （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝ 3 sin(x ) cos(x )(0 π , 0) 为偶函数，且函数 y＝f(x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）求 f（
π . 2
π ）的值； 8 π 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 6
（17） 解： （Ⅰ）f(x)＝ 3 sin(x ) cos(x ) ＝ 2
3 1 sin(x ) cos(x ) 2 2
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π ＝2sin( x - ) 6
因为 f(x)为偶函数， 所以 对 x∈R, f(-x)=f(x)恒成立，
因此 sin（- x -
2
由题意得
2
2
, 所以 ＝2.
故 因此
f(x)=2cos2x.
个单位后，得到 f ( x ) 的图象，再将所得图象横坐标 6 6 x 伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f ( ) 的图象. 4 6
（Ⅱ）将 f(x)的图象向右平移个
（1）B （2）D （3）A （4）A （5）C （6）D （7）B (8)B （9）C (10)A （11）B （12）C
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
（13）4 （14）
3 . 3
π . 6
（15）
（16） （5，7）.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.
„„
记表中的第一列数 a1，a2，a4，a7，„构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn 为数列｛bn｝的前 n 项
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和，且满足
2bn =1（n≥2）. bn S N S 2 n
1 ｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； Sn
4 时，求上表中第 k(k≥3)行所有项的和.. 91