平衡辐射场的内能密度随频率和波长的变化

综合性设计性实验

实验8 平衡辐射场的内能密度随频率和波长的变化 实验目的：

1、弄清平衡辐射场内能密度随频率和波长变化规律

2、推导辐射场能量取极大时对应的波长、频率满足的方程

3、编程求解上述方程

4、编程画出平衡辐射场内能密度随频率和波长变化曲线，理解辐射场能量取极大时对应的波长和频率间的差异 实验背景：

黑体辐射是量子力学重要的实验基础之一，利用光子假说和玻色统计可以给出黑体辐射的内能密度与光子频率或波长之间的关系。

光子是玻色子，自旋为1；光子静止质量为0；光子的动量、能量、频率、波矢、速度之间的关系为

,2/p k k pc

πλ

εω

ε==== 光子数不守恒，0α=，化学势为0。这样光子气体的统计分布为

/1

l l

l kT

a e

εω=

-

光子的自旋在传播方向的投影有±两个值，对应于左右两个偏振光。

在体积V 内，动量为p

p dp +的量子态数为

223238V V

p dp d h c

πωωπ= 在d ωωω+内的光子数为

223

/1

1

kT

V

d c e

ωωωπ-

乘以每一个光子的能量，则辐射场的内能为

3

23/(,)1

kT V U T d d c e ωωωωωπ=-

(1)

若取V=1，则给出了辐射场的内能密度。

注意到光的频率与波长间的关系，容易给出内能密度与波长的关系

5

/81(,)1

hc kT

hc

u T d d e

λπλλλλ

=

- (2)

若令/x kT ω=，则使(1)式有极大值的x 满足 33x e x --= (3)

若令hc

x kT

λ=

，则使(2)式有极大值的x 满足

55x e x -+=

(4)

实验内容：

1、用牛顿法求方程（3）、（4）的根 （1）方程（3）的求根程序ch8_1为： module NUMERICAL implicit none

real, parameter :: zero=0.0001 contains

real function newton(a,f,df) implicit none

real :: a

real, external :: f

real, external :: df

real :: b

real :: fb

b = a-f(a)/df(a)

fb= f(b)

do while( abs(fb) > zero )

a=b

b=a-f(a)/df(a) fb=f(b)

end do

newton=b

return

end function newton

real function func(x)

implicit none

real :: x

func=x+3*exp(-x)-3

return

end function func

real function dfunc(x)

implicit none

real :: x

dfunc=1-3*exp(-x)

return

end function dfunc

end module NUMERICAL

program main

use numerical

implicit none

real :: a

real :: ans

write(*,*)

read (*,*) a

ans=newton(a,func,dfunc)

write(*,"('x=',F15.8)") ans

stop

end program

根为x=2.82144022；

（2）方程（4）的求根程序ch8_2为：module NUMERICAL

implicit none

real, parameter :: zero=0.00001

contains

real function newton(a,f,df) implicit none

real :: a

real, external :: f

real, external :: df

real :: b

real :: fb

b = a-f(a)/df(a)

fb= f(b)

do while( abs(fb) > zero )

a=b

b=a-f(a)/df(a) fb=f(b)

end do

newton=b

return

end function newton

real function func(x)

implicit none

real :: x

func=x+5*exp(-x)-5

return

end function func

real function dfunc(x)

implicit none

real :: x

dfunc=1-5*exp(-x)

return

end function dfunc

end module NUMERICAL

program main

use numerical

implicit none

real :: a

real :: ans

write(*,*)

read (*,*) a

ans=newton(a,func,dfunc)

write(*,"('x=',F16.8)") ans

stop

end program

x=4.96511412;

2、推导内能密度随波长，频率变化的关系式