三角函数的诱导公式(教案)

课题：1.3三角函数的诱导公式

教学目标：

（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；

（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题；

（3）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力；

（4）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.

教学重点：用联系的观点发现并证明诱导公式．

教学难点:如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．

教学设想

一．问题引入：

角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具

体的问题。

求390°角的正弦、余弦值.

一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有：

sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2k

π)=tanα(k∈Z)。(公式一)

二．尝试推导

由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。反过来呢？

问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？

角π-α与角α的终边关于y轴对称,有

sin(π-α)=sinα，

cos(π-α)=-cosα，（公式二）

tan(π-α)=-tanα。

因为与角α终边关于y轴对称是角π

-α，，利用这种对称关系，得到它们的终边

与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为

相反数。于是，我们就得到了角π-α与角α

的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：

角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。 三．自主探究 问题：两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？

角-α与角α的终边关于x 轴对称，有： sin(-α)=-sin α， cos(-α)=cos α，（公式三） tan(-α)=-tan α。

角π+α与角α终边关于原点O 对称，有： sin(π+α)=-sin α， cos(π+α)=-cos α，（公式四） tan(π+α)=tan α。

上面的公式一~四都称为三角函数的诱导公式。

结论：απαπα±-∈⋅+，，

)(2Z k k 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

四．简单应用 例

1：求值：sin225°、cos 43

π

、sin(－3π

)、cos （－76

π

）、

tan （－855°）

练习：利用公式求下列三角函数值：

(1)sin 7

6

π；(2)cos(-60°)；（3）︒225cos

（4）3

11sin π；（5）)316sin(π

-

；（6）)2040cos(︒-．

例2：化简sin(180)cos(720)

cos(180)sin(180)αααα︒+︒+--︒-︒-

对公式应用的总结：

利用公式一到四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下列步骤进行：

五．学生自主探究：公式五：

α

απ

cos )2

sin(

=-；α

απ

sin )2cos(=-；

公式六：α

απ

cos )2

sin(

=+；α

απ

sin )2cos(-=+；

并证明；

深化对公式的理解：

1.要求学生观察公式五到六的特点，并用简洁的语言概括公式五到六；

2.得出结论：α

π

±2的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余

弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

例3.证明：（1）ααπcos )23sin(

-=-；（2）ααπ

sin )23cos(-=-．

例

4.化简：（1）)180cos()180sin()

360sin()180cos(αααα-︒-⋅︒--︒+⋅+︒；

（2）)

29sin()sin()3sin()cos()

2

11cos()2cos()cos()2sin(απ

απαπαπαπ

απαπαπ+-----++-．