空间向量在立体几何中的应用
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题型一 求异面直线的夹角
【例1】 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1 的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
[思路探索] 可考虑建立空间直角坐标系，求出A→E，C→F的坐
标，利用坐标运算求所求角的余弦值．
解 不妨设正方体棱长为2，分别 取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y 轴、z轴建立如图所示空间直角坐标 系，则
∴A→C1·A→M＝0＋a42＋2a2＝94a2，
|A→C1|＝ 34a2＋a42＋2a2＝ 3a，
|A→M|＝ a42＋2a2＝32a，
b
10
9a2
∴cos〈A→C1，A→M〉＝ 3a4×32a＝ 23.
∴〈A→C1，A→M〉＝30°，
即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
法二 A→B＝(0，a，0)，A→A1＝(0，0， 2a)，
1300，∴所求值为
30 10 .
规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若
能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量
法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直
线所成角的区ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
b
5
【变式1】 四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD， PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形 ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD ＝1，AD＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．
b
8
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则
A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0， 2a)， C1(－ 23a，a2， 2a)，
法一 取 A1B1 的中点 M，则 M(0，a2， 2a)，连结 AM、MC1，
有M→C1＝(－ 23a，0，0)，A→B＝(0，a，0)，A→A1＝(0，0， 2a)．
12
【变式2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长
|n||AC1|
∴|cos〈A→C1，n〉|＝12.
∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°. 规律方法 用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的
几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求
解线面角．法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先
求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．
b
∴M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0，
∴M→C1⊥A→B，M→C1⊥A→A1，
b
9
则 MC1⊥AB，MC1⊥AA1，
又 AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面 ABB1A1.
∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 A1ABB1 所成的角．
由于A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，A→M＝(0，a2， 2a)，
解 (1)如图，建立空间直角坐标系． ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2. ∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)． 由PD⊥平面ABCD，得
b
6
∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角， ∴∠PAD＝60°.
在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3. ∴P(0，0，2 3)．
(2)由(1)得，P→A＝(2，0，－2 3)，B→C＝(－2，－3，0)， ∴co〈 s P→A，B→C〉＝2×（－2）＋0×（ 4×－31）3 ＋（－2 3）×0
＝－ 1133，
即 PA 与 BC 所成角的余弦值为 1133.
b
7
题型二 求线面角
【例2】正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 2a， 求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角． [思路探索] 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角 坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由 定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明 ∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平 面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．
|a·n| sin θ＝_|c_o_s_〈__a_，__n_〉__|_＝_|a_|·_|n__|
[0, ] 2
二面角
设二面角αlβ的平面角为θ，平面α、β的 法向量_为_|c_on_s1_〈，__nn_12，_，_n_则_2〉_|c_|o_s＝θ_|＝|_n|n_11·_||_n_n2_2| |
b
[0，π]
包括线在面内，面面平行包括面面重合.
b
1
二、 用空间向量处理“垂直”问 题设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
b
2
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
向向量分别为a，b，则cos|aθ·＝b|
_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__| _＝|_a_|·__|_b_|
范围 π
(0， 2 ]
直线与平 面所成的
角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向 向量为a，平面α的法向量为n，则
b
4
A(2，0，0)、C(0，2，0)、E(1，0，2)、F(1，1，2)，
则A→E＝(－1，0，2)，C→F＝(1，－1，2)
∴|A→E|＝ 5，|C→F|＝ 6.A→E·C→F＝－1＋0＋4＝3.
又A→E·C→F＝|A→E||C→F|cos〈A→E，C→F〉
＝ 30cos〈A→E，C→F〉
∴cos〈A→E，C→F〉＝
A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)．
设侧面 ABB1A1 的法向量 n＝(λ，x，y)，
∴n·A→B＝0 且 n·A→A1＝0.
∴ax＝0 且 2ay＝0.
b
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∴x＝y＝0.故 n＝(λ，0，0)．
∵A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，
∴cos〈A→C1，n〉＝
→
n·AC1
→
λ ＝－2|λ|.
一、 用空间向量处理“平行”问 题设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行
题型一 求异面直线的夹角
【例1】 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1 的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
[思路探索] 可考虑建立空间直角坐标系，求出A→E，C→F的坐
标，利用坐标运算求所求角的余弦值．
解 不妨设正方体棱长为2，分别 取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y 轴、z轴建立如图所示空间直角坐标 系，则
∴A→C1·A→M＝0＋a42＋2a2＝94a2，
|A→C1|＝ 34a2＋a42＋2a2＝ 3a，
|A→M|＝ a42＋2a2＝32a，
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∴cos〈A→C1，A→M〉＝ 3a4×32a＝ 23.
∴〈A→C1，A→M〉＝30°，
即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
法二 A→B＝(0，a，0)，A→A1＝(0，0， 2a)，
1300，∴所求值为
30 10 .
规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若
能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量
法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直
线所成角的区ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
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【变式1】 四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD， PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形 ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD ＝1，AD＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．
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解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则
A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0， 2a)， C1(－ 23a，a2， 2a)，
法一 取 A1B1 的中点 M，则 M(0，a2， 2a)，连结 AM、MC1，
有M→C1＝(－ 23a，0，0)，A→B＝(0，a，0)，A→A1＝(0，0， 2a)．
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【变式2】 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长
|n||AC1|
∴|cos〈A→C1，n〉|＝12.
∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°. 规律方法 用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的
几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求
解线面角．法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先
求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．
b
∴M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0，
∴M→C1⊥A→B，M→C1⊥A→A1，
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则 MC1⊥AB，MC1⊥AA1，
又 AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面 ABB1A1.
∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 A1ABB1 所成的角．
由于A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，A→M＝(0，a2， 2a)，
解 (1)如图，建立空间直角坐标系． ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2. ∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)． 由PD⊥平面ABCD，得
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∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角， ∴∠PAD＝60°.
在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3. ∴P(0，0，2 3)．
(2)由(1)得，P→A＝(2，0，－2 3)，B→C＝(－2，－3，0)， ∴co〈 s P→A，B→C〉＝2×（－2）＋0×（ 4×－31）3 ＋（－2 3）×0
＝－ 1133，
即 PA 与 BC 所成角的余弦值为 1133.
b
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题型二 求线面角
【例2】正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 2a， 求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角． [思路探索] 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角 坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由 定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明 ∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平 面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．
|a·n| sin θ＝_|c_o_s_〈__a_，__n_〉__|_＝_|a_|·_|n__|
[0, ] 2
二面角
设二面角αlβ的平面角为θ，平面α、β的 法向量_为_|c_on_s1_〈，__nn_12，_，_n_则_2〉_|c_|o_s＝θ_|＝|_n|n_11·_||_n_n2_2| |
b
[0，π]
包括线在面内，面面平行包括面面重合.
b
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二、 用空间向量处理“垂直”问 题设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
b
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2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
向向量分别为a，b，则cos|aθ·＝b|
_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__| _＝|_a_|·__|_b_|
范围 π
(0， 2 ]
直线与平 面所成的
角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向 向量为a，平面α的法向量为n，则
b
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A(2，0，0)、C(0，2，0)、E(1，0，2)、F(1，1，2)，
则A→E＝(－1，0，2)，C→F＝(1，－1，2)
∴|A→E|＝ 5，|C→F|＝ 6.A→E·C→F＝－1＋0＋4＝3.
又A→E·C→F＝|A→E||C→F|cos〈A→E，C→F〉
＝ 30cos〈A→E，C→F〉
∴cos〈A→E，C→F〉＝
A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)．
设侧面 ABB1A1 的法向量 n＝(λ，x，y)，
∴n·A→B＝0 且 n·A→A1＝0.
∴ax＝0 且 2ay＝0.
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∴x＝y＝0.故 n＝(λ，0，0)．
∵A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，
∴cos〈A→C1，n〉＝
→
n·AC1
→
λ ＝－2|λ|.
一、 用空间向量处理“平行”问 题设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行