浙江大学99-08高等代数

浙江大学历年高等代数试题
第 1 页，共 8 页
制作者：yangfei_math
浙江大学
二〇〇〇年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目： 高等代数
一、（20 分） f (x) 是数域 P 上的不可约多项式．
（1） g(x) ∈ P[x] ，且与 f (x) 有一个公共复根，证明 f (x) | g(x) ．
四、（20 分）设 A 为 n 阶复矩阵，若 ∃ 正整数 n 使得 An = 0 ，则称 A 为幂零矩阵．求证：
（1） A 为幂零矩阵的充要条件是 A 的特征值全为零；
（2）设 A 不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在 n 阶可逆矩阵 P ，使得
P −1
AP
=
⎛ ⎜ ⎝
B 0
0 C
⎞ ⎟ ⎠
，其中是
B
幂零矩阵，
七、（8 分）设 A, B 是 n级复矩阵，且 AB = BA ．求证：存在一个 n级可逆矩阵 P ，使得
P−1AP 与 P−1BP 都是上三角矩阵．
八、（7 分）设 A, B 是 n级复矩阵，其中 A 是幂零矩阵（即存在正整数 m ，使得 Am = 0 ）
而且 AB = BA ，求证： A + B = B ．
一、（15 分）矩阵 A, B 具有相同的行数，把 B 的任意一列加到 A 得到的矩阵秩不变．证 明把 B 的所有列同时加到 A 上秩也不变．
二、（15 分）
a11 + x a12 + x ... a1n + x
（1）把行列式 D = a21 + x a22 + x ... a2n + x 表示成按 x 的降幂排列的多项式．
（2）若 c 及 1 都是 f (x) 的根， b 是 f (x) 的任一根，证明 1 也是 f (x) 的根．
c
b
21 0 12 1 二、（10 分）计算行列式 Dn = 00 0 00 0
0 00 0 00
． 1 21 0 12
三、（20 分）
（1） A 是正定阵，C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵 P 使得 P−1AP, P−1CP 同时为
九、（6 分）设σ是 n维线性空间V 的线性变换，σ在V 的某组基下的矩阵是 A，求证： 秩( A2)=秩( A)的充要条件是V = σ (V ) ⊕ Kerσ ．（其中：σ(V)表示σ的值域．Kerσ表
示 σ 的核）
浙江大学历年高等代数试题
第 3 页，共 8 页
制作者：yangfei_math
浙江大学
二、（12 分）设 sk = x1k + x2k + ... + xnk , (k = 0,1, 2, ) ， aij = Si+ j−2 (i, j = 1, 2, , n) ．
a11 a12 计算行列式： a21 a22
a1n a2n ．
an1 an2
ann
三、（12 分）设 A, B 是 n级矩阵，且 A + B = AB ．求证： AB = BA ．
五、（10 分）证明：n阶幂零指数为 n −1的矩阵都相似．（若 An−1 = 0 ，An−2 ≠ 0 则称 A 的
幂零指数为 n −1）
六、（20 分）设 A, B 是 n 维欧氏空间V 的线性变换．对任意α , β ∈V ，都有 ( A(α ), β ) = (α , B(β )) ．证明： A 的核等于 B 的值域的正交补．
C
是可逆矩阵．
⎛4 2 2⎞
五、（20
分）已知实对称矩阵
A
=
⎜ ⎜
2
4
2
⎟ ⎟
，求正交矩阵
P
使得
PT
AP
成为对角矩阵．
⎜⎝ 2 2 4⎟⎠
六、（20 分）设V 是 n 维欧氏空间，内积记为 (α , β ) ，又设T 是V 的一个正交变换，记 V1 = {α ∈V | Tα = α},V2 = {α − Tα |α ∈V} ．证明：
(α T Aβ )2 ≤ (α T Aα )(β T Aβ ) ，且等号成立当且仅当α , β 线性相关．
八、（15 分）
（1）设 A, B 分别为复数矩阵域上的 k 阶和 l 阶方阵，并且 A, B 没有公共的特征值，求 证 AX = XB 只有空解（这里 X = (xij )k×l ）.
（2）在 Rn×n 中，变换 A : X AX + XA, A∈ Rn×n , A 为一个固定的矩阵，且 A 的特征 值不为 − A 的特征值，求证：A 为一个线性变换．
九、（10 分）设 A = (aij )n×n 是可逆的对称实矩阵．证明：二次型
0 x1 f (x1, , xn ) = −x1 a11
xn a1n 的矩阵是 A 的伴随矩阵 A*．
−xn an1
ann
浙江大学历年高等代数试题
第 4 页，共 8 页
制作者：yangfei_math
浙江大学
二〇〇四年攻读硕士学位研究生入学考试试题
对角形．
（2） A 是正定阵，B 是实矩阵，而 AB 是实对称的，证明： AB 正定的充要条件是 B 的
特征值全大于 0．
四、（20 分）设 n 维线性空间V 的线性变换 A 有 n 个互异的特征值，线性变换 B 与 A 可 交换的充要条件是 B 是 E, A, A2, , An−1 的线性组合，其中 E 为恒等变换．
九、（16 分）设V 是 n 维欧氏空间，V1,V2 是V 的子空间，且 dimV1 < dimV2 ．证明：V2 中 存在一个非零向量，它与V1 中任一个向量正交．
浙江大学历年高等代数试题
第 5 页，共 8 页
制作者：yangfei_math
浙江大学
二〇〇六年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目： 高等代数
⎜⎛ a1 ⎟⎞
二、（10 分）设α
=
⎜ ⎜
a
2
⎟ ⎟
，且
α
T
α
= 0 ，求（1）
En
− αα T
；
⎜⎜⎝ an ⎟⎟⎠
（其中 En 为 n 阶单位阵，α T为α的转置）
三、（10 分）矩阵 Am×n 是行满秩 (即秩A = m) ，证明：
（1）存在可逆阵 Q ，使得 A = (Em ,0)Q ； （2）存在矩阵 Bn×m ，使得 AB = Em ．
三、（16 分）设 A ， B ∈ Pn×n ，求证： ( AB)* = B * A* ．
四、（20 分）实二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + ax22 + x32 + 2bx1x2 +2x1x3 + 2x2 x3 经正交线性替换 (x1, x2 , x3 )T = P( y1, y2 , y3 )T 化为标准型 y12 + 2 y22 ．
（1）V1,V2 都是V 的子空间； （2）V = V1 ⊕V2 ．
七、（10 分）设 f (x) 是一个整系数多项式．证明：若存在一个偶数 a 及一个奇数 b ，使 得 f (a) 与 f (b) 都是奇数，则 f (x) 没有整数根．
八、（10 分）设V 是 n 维欧氏空间，V1,V2 是V 的子空间，且 dimV1 < dimV2 ．证明：V2 中 存在一个非零向量，它与V1 中任一个向量正交．
D
都可逆，试证：
（1） A B = det( A − BD−1C) det D ； CD
（2） ( A − BD−1C)−1 = A−1 − A−1B(CA−1B − D)−1CA−1 ．
三、（20 分）设V 是数域 P 上 n 维线性空间，α1,α2 ,α3,α4 ∈V ，W = L(α1,α2 ,α3,α4 ) ， 又有 β1, β2 ∈W 且 β1, β2 线性无关．求证：可用 β1, β2 替换α1,α2 ,α3,α4 中的两个向 量 αi1,αi2 ， 使 得 剩 下 的 两 个 向 量 αi3,αi4 与 β1, β2 仍 然 生 成 子 空 间 W ， 也 即 W = L(β1, β2 ,αi3,αi4 ) ．
浙江大学
一九九九年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目： 高等代数
一、（10 分）a1, a2 , , an 是 n 个不相同的整数，证明 f (x) = (x − a1 )(x − a2 ) (x − an ) + 1 在有理数域上可约的充分必要条件是 f (x) 可表示为一个整数多项式的平方．
（1）若 λ 是 A 的任意一个特征值，则 λ ≤ 1； （2） λ0 = 1为 A 的任意一个特征值．
, n) .求证：
七、（15
分）
Rn
是 n 维欧氏空间，
A
是 n 阶正定阵，α
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
x1 x2
⎞
⎟
⎟ ⎟
,
β
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
y1 y2
⎞
⎟
⎟ ⎟
∈
Rn
．求证：
⎜⎟ ⎝ xn ⎠
⎜⎟ ⎝ yn ⎠
（2） (En − αα T )−1 ．
四、（10 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 = A ，α1,α 2 , ,α n 是 Pn 中 n 个线性无关的列向量， 设V2 是由 Aα1, Aα 2 , , Aα n 生成的子空间，V1 是 AX = 0 的解空间，证明： P n = V1 ⊕ V2 ．
考试科目： 高等代数
一、（16 分）计算 n 阶行列式：
bbb
ba
bbb
ab
（1） Dn = b b a bab abb
； bb bb bb
123 234 （2） Dn = 3 4 5
n12
n −1 n n1 1 2．
n − 2 n −1
二、（16 分）P 是数域，设 A∈ Pn×n ，f (x) ∈ P[x] ．已知 f ( A) 可逆．求证：存在 g(x) ∈ P[x] 使 ( f ( A))−1 = g( A) ．
浙江大学历年高等代数试题
第 2 页，共 8 页
制作者：yangfei_math
浙江大学
二〇〇二年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目： 高等代数
一、（12 分）设两个多项式 f (x) 和 g(x) 不全为零．求证：对于任意的正整数 n ，有 ( f (x), g(x))n = ( f (x)n , g(x)n ) ．
五、（15 分）设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵，且 B 正定，则
存在
S及D
=
⎜⎛ ⎜
λ1
⎜⎝
⎟⎞ ⎟ ，使得 A = SDS T , B = SS T ． λn ⎟⎠
六、（15 分）设 n 阶矩阵 A = (aij )n×n ，满足下列条件： （i） 0 ≤ aij ≤ 1, ∀i, j ；（ii） ai1 + ai2 + + ain = 1, (i = 1, 2,
四、（12 分）设 A 是 m× n 级阵， A 的秩为 m ， B 是 n × (n − m) 级矩阵， B 的秩为 n − m ，
且 AB = η ．这里 n维列向量η 是齐次线性方程组 AX = 0 的解，求证：存在唯一的
n − m 维列向量ξ ，使得 Bξ = η ．
五、（11 分）求V1 = L(α1,α2 ,α3 ),V2 = L(β1, β2 ) 的和与交的基与维数．其中
七、（18 分）设V = Pn×n 看成 P 上的线性空间．取定 A, B,C, D ∈ Pn×n ．对任意 X = Pn×n ， 令σ (x) = AXB + CX + XD ．求证：
（1）σ 是V 的线性变换； （2）当时 C = D = 0 ，σ 可逆的充要条件是 AB ≠ 0 ．
八、（16 分）设σ 是线性空间V 的线性变换且σ 2 = σ ．令V1 = σ (V ) ,V2 = σ −1(0) ． 证明：V = V1 ⊕V2 ．且对每个 a ∈V1 有σ (a) = a ．
二〇〇三年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目： 高等代数
一、（20 分）令α1,α2, ,αs 是 Rn 中 s 个线性无关的向量．证明：存在含 n 个未知量的齐 次线性方程组，使得{α1,α2 , ,αs}是它的一个基础解系．
二、（20
分）设有分块矩阵
⎛ ⎜ ⎝
A C
B D
⎞ ⎟ ⎠
，其中
A,
⎧⎪⎨α1α=2 ⎪⎩α3 =
(1, 2, −1, −2) = (3,1,1,1) (−1, 0,1, −1)
，
⎧ ⎨ ⎩
Βιβλιοθήκη Baidu
β1 β1
= =
(2,5, −6, −5) (−1, 2, −7,3)
．
六、（20 分）用正交线性替换化下面的实二次型为标准型，并写出所用的正交线性替换： f (x1, x2 , x3, x4 ) = 2x1x2 + 2x1x3 − 2x1x4 − 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3x4
（1）求 a, b 及正交矩阵 P ；
（2）问二次型 f 是正定的吗？为什么？
五、（16 分）设 A ，B ∈ Pn×n 且 秩( A) + 秩(B) ≤ n ．证明：存在 n 阶可逆阵 M 使得 AMB = 0 ．
六、（16 分）设 A 是 n 阶复矩阵，且存在正整数 m 使得 Am = E （这里 E 是 n 阶单位阵）， 证明： A 与对角矩阵相似．