直线与圆复习专题
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
直线与圆的位置关系(复习课)1
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
问题：1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水，在砂轮上打磨工件飞
出的火星，都是沿着圆的切线的方向飞出的．
１如图, ⊙O切PB于点 B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
B O A
例2已知，如图1 A是半径为2的⊙O上一点， P是OA延长线上的动点，过P点作⊙O的切线 为B.当PB=4时，求PO 的值。
B O A P
谢谢指导
2 如图：PA,PC分别切圆 O于点A,C两点,B为圆O 上与A,C不重合的点,若 ∠P=50°,则∠ABC=___
B
O
A
P
C B
O A
P
３．如图，∠APＣ=50°， PA、PC、DE都为⊙O的切 线，则∠DOE为 65° 。 变式：改变切 C 线ＤＥ的位置， D 则∠DOE＝＿ ＿＿ 65° Ｆ P O E 归纳：只要∠APＣ的 A 大小不变． ∠DOE也 不变．
什么叫点到直线的距离？
.A
D
1.直线外一点到这条直线 垂线段的长度叫点到直线 的距离。 2、连结直线外一点与直线所 垂线段 有点的线段中,最短的是______？
a
d d d r
●
直线与圆相离 d>r, 〈=〉 无公共点 直线与圆相切 d=r, 一个公共点 〈=〉 直线与圆相交 d<r, 两个公共点 〈=〉
如图：已知PA，PB分别切⊙O于A，B 两点，如果∠P=60° ，PA=2，那么 AB的长为_____. 2 变式1:CD也与⊙O相切,切 变式2:改变切点E的位置(在劣 P 弧ＡＢ上)，则△ PCD的周长 点为E.交PA于C点，交PB ４ 为____. 于D点，则△ PCD的周长 C E 4 为____. D
21直线与圆圆与圆的位置关系专题复习讲义-高考数学一轮复习专题讲义(学生版)
目录直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：直线与圆位置关系】 (3)【典型例题】 (5)考点一：直线与圆位置关系的判定 (5)考点二：圆的切线方程 (6)考点三：直线与圆相交弦 (7)【知识点二：圆与圆的位置关系】 (8)【典型例题】 (9)考点一：圆与圆的位置关系 (9)考点二：圆与圆的公共弦 (9)考点三：圆与圆的公切线问题 (10)【小试牛刀】 (10)【巩固练习——基础篇】 (11)【巩固练习——提高篇】 (12)直线与圆、圆与圆的位置关系【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29 B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29 C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116 D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝03．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．4．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．5. 圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C.D.6. 圆上的点到原点的最大距离是( ) A. B.D.107. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）A.B.C.D.8. 两圆和的连心线方程为（ ）A. B. C. D.1)(2)(2)(4)0x x y y -++-+=（11)-（，11)2-（，1,2)-（1,1)2--（223)(1)25x y ++-=（5-11)A -（，1,1)B -（20x y +-=223)(1)4x y -++=（221)(1)4x y -+-=（22+3)(1)4x y +-=（22+1)(1)4x y ++=（22460x y x y +-+=2260x y x +-=30x y ++=250x y --=390x y --=4370x y -+=【知识点一：直线与圆位置关系】1：直线与圆的位置关系由平面几何知，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点.直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断一览表位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个1个0个判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离22||++=+Aa Bb C d A Bd r < d r = d r >代数法： 由()()2220++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩Ax By C x a y b r消元得到一元二次 方程的判别式∆0∆> 0∆= 0∆<图形2.圆的切线方程的问题（1）过圆上一点的切线方程：与圆相切于点的切线方程是；与圆相切于点的切线方程是：； 与圆相切于点的切线方程是；222x y r +=()11x y ，211x x y y r +=222x y r +=()cos sin r r θθ，cos sin 0x y r θθ+-=()()222x a y b r -+-=()11x y ，()()()()211x a x a y b y b r --+--=（2）过圆外一点的切线方程：设是圆外一点，求过点的圆的切线方程. 当两条切线斜率都存在时，设切线方程是，即，求出待定系数k ，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时，斜率不存在的切线方程为，切线斜率存在的切线方程的求法同上.3. 直线与圆相交的弦长的求法（1）几何法如图所示，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的长即为l 与圆相交的弦长. 设弦心距为d ，半径为r ，弦为AB ，则有（2）代数法直线l 与圆交于，直线l 的斜率存在，设为k ，则联立直线方程和圆的方程得方程组.方法一：解方程组得点A 、B 的坐标，再由两点间的距离公式求弦长. 方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长，其中k 为直线的斜率且k≠0.特别地，当k=0时，可直接利用计算；当k 不存在时，可直接利用计算. 温馨提示①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长.②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何问题.()000P x y ，()()222x a y b r -+-=0P ()00y y k x x -=-000kx y kx y --+=r =0x x =AB =()()1122A x y B x y ，，，AB 1212AB x y =-=-12AB x x =-12AB y y =-【典型例题】考点一： 直线与圆位置关系的判定例1.直线与圆的位置关系为A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离例2. 已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．例3.已知(,)M a b 在圆外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A.相切B.相交C.相离D.不确定练习1. 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？1y x =+221x y +=10mx y m ---=224210.x y x y -+=+-m 22:1O x y +=k 2y kx =-222x y +=考点二： 圆的切线方程例1. 求经过点（1，7）且与圆相切的直线方程.例2.圆，在点处的切线方程为A. B. C.D.练习1.过点作圆的切线，求此切线的方程．练习2. 已知圆的方程为x 2 + y 2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为.练习3. 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．2225x y +=2240x y x +-=P 20x +-=40x +-=+40x -=+20x -=3(4)-A ，22()(31)1x y --+=________考点三： 直线与圆相交弦例1.直线l 经过点P （5，5）并且与圆相交截得的弦长为l 的方程.例2.求直线被圆截得的弦长．例3.圆截得的劣弧所对的圆心角的大小为.例4.过点的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为 A.B. C.D.练习1过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为B.2D.练习2.直线得的劣弧所对的圆心角为. 练习3. 过圆内的点作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程 A. B. C.D.22:25O x y +=l ：3+60x y -=C ：22240x y y --=+224x y +=0y +-=________3π()21，222420x y x y +-+=350x y --=350x y +-=31=0x y --310x y +-=0602240x y y +-=y =224x y +=________222440x y x y +-+-=(3,0)M 30x y +-=30x y --=430x y +-=430x y --=【知识点二：圆与圆的位置关系】由平面几何知，圆与圆有五种位置关系（由远及近）：外离，外切，相交，内切，内含.设两圆222111()()x a y b r -+-=与222222()()x a y b r -+-=的圆心距为d ，我们可以得到：221212()()d a a b b =-+-12r r >）：位置关系 关系式 图示 外离12d r r >+外切12d r r =+相交1212r r d r r -<<+内切12d r r =-内含120d r r ≤<-【典型例题】考点一： 圆与圆的位置关系例1 圆与的位置关系是A.相离B.外切C.内切D.相交例2 若圆与圆相交，则的取值范围是A. B. C.D. 或练习1. 圆与圆的位置关系是A.外离B.相交C.内切D.外切练习2. 如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________．考点二： 圆与圆的公共弦例1 两圆和的公共弦所在直线的方程是____________．例2. 若圆与圆的公共弦长为，.练习1. 求经过两圆22640x y x和226280x y y的交点且圆心在直线40xy 上的圆的方程．222x y +=22430x y y +++=2221:240C x y mx m +-+-=2222:24480C x y x my m ++-+-=m 12255m -<<-1205m -<<1225m -<<12255m -<<-02m <<()222(2)1x y ++-=22(2)(5)16x y -+-=2260x y x +-=224x y +=23x =224x y +=22260(0)x y ay a ++-=>a =________1考点三： 圆与圆的公切线问题例1.两相交圆的公切线有且仅有A.1条B.2条C.3条D.4条练习1. 到点A (－1,2)，B (3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．【小试牛刀】1．两圆和的位置关系是( )（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）外离2．圆截直线所得弦长是( )（A（B（C ）（D3. 圆与直线相切，正实数b 的值为( )（A ）（B ）1（C ）（D ）34.过圆内的点作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是( ) （A ） （B ） （C ） （D ）5.★★已知圆 ，直线，则直线与的位置关系是（ ）（A ）一定相离 （B ）一定相切（C ）相交且一定不过圆心 （D ）相交且可能过圆心6.★过点的直线l 被圆，则直线l 的斜率为________．7.★上的点到直线的距离的最大值为________．2210x y +-=221:4240C x y x y +-+-=221:4460C x y x y +-++=50x y --=122430x y y +-+=+b=0y +121-222440x y x y +-+-=(3,0)M 30x y +-=30x y --=430x y +-=430x y --=22:21C x y x +-=(1)1y k x =-+l C (1,2)--222210x y x y +--+=2216x y +=3x y -=1.若直线与圆相切，则的值为（A ）（B ） （C ） （D ）2.圆：和：的位置关系是（A ）外切（B ）内切 （C ）相交 （D ）相离3.直线和圆的关系是（A ）相离（B ）相切或相交 （C ）相交（D ）相切 4．过点(2,1)的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为（A ）（B ） （C ）（D ）5．两圆和的公切线有且仅有（A ）1条（B ）2条 （C ）3条 （D ）4条6.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.7.设是圆上的点，则M 点到直线的最短距离是.8.过点与圆相切的切线方程为.9.圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为.10．★★当m 为何值时，直线与圆相交、相切、相离？y x b =+222x y +=b 4±2±±1C 224x y +=2C 2268240x y x y +-+-=:1(1)l y k x -=-2220x y y +-=22240x y x y +-+=350x y --=350x y +-=310x y --=310x y --=221:2220C x y x y +++-=222:4210C x y x y +--+=0602240x y x +-=________M 22(5)(3)9x y -+-=3420x y +-=________(3,2)P -22(2)(1)25x y ++-=________2240x y y +-=2268240x y x y +-+-=________10mx y m ---=224210x y x y +--+=1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为()A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h2．若圆22221x y by b外离，则,a b满足的条件是22x y ax a和222________．3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为a＝________. 4．已知点(1,)A a，圆O：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为a的值．。
直线与圆的位置关系复习
contents
目录
• 直线与圆的基本概念 • 直线与圆的位置关系 • 判断直线与圆的位置关系 • 直线与圆的综合应用 • 经典例题解析
01
直线与圆的基本概念
直线的定义与性质
定义
直线是无限长的，没有端点，表 示为 $L$。
性质
两点确定一条直线；两点之间线 段最短。
圆的定义与性质
实例
在圆内作一条已知长度的弦，可以 先求出弦长的一半，然后利用弦长 公式计算出弦长，最后进行作图。
直线与圆的位置关系在几何作图中的应用
应用场景
在几何作图中，可以利用直线与圆的位置关系来绘制图形或 进行图形的调整。
实例
在绘制一个圆形花坛时，可以利用直线与圆的位置关系来确 定花坛的边界线，以确保花坛的形状符合要求。
应用场景
实例
在一个三角形中，已知其中一边和其 上的高，要证明另外两边相等，可以 通过作三角形的高所对的圆的切线， 利用切线长定理进行证明。
在几何证明和解题中，可以利用切线 长定理来证明线段相等或进行线段计 算。
弦长公式的应用
弦长公式
已知圆的半径和弦长的一半，可 以求出弦长。
应用场景
在几何作图和计算中，可以利用弦 长公式来计算弦长或进行作图。
几何法
01
几何法定义：通过观察直线与圆的图形关系，直观判断它们的位置关 系。
02
步骤
03
1. 画出直线与圆的图形。
04
2. 根据图形判断直线与圆的位置关系：如果直线穿过圆内，则相交； 如果直线与圆相切于一点，则相切；如果直线切线长定理的应用
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，这一点 到切点的线段长相等。
备战2023年新高考数学二轮专题复习直线和圆
专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为()A．2√7B．2√2C．4√3D．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．√3C．1 D．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx的最大值为43B ．yx 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D ．x ＋y 的最大值为3＋√2 听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l ：ax －y ＋1＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为( )A ．1B ．√2C ．2D ．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2上的动点，P 为直线l ：x －y ＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为3√22 D ．|PM |的最小值为√22专题六 解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a)＝－1⇒a ＝13.答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等，∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0. 综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3.因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题 [例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12). 答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12) [巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2.答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题 [例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为yx 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43，∴yx ∈[0，43]，∴(yx )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12， 所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对．答案：(1)D (2)ABD [巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2.2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离， A 不正确，B 正确； |PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22， C 不正确，D 正确． 答案：BD。
高考数学专题复习--直线与圆(多角度)课件
解析：方法一：设 的方程为 ,则 解得 所以 的方程为 .
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√
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解析：因为直线 始终平分圆 的面积，所以直线 始终过圆的圆心 ，又圆 与直线 相切，则圆的半径 ,所以圆 的方程为 .故选D.
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求圆的方程的2种方法
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程
代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程
A. B. C. D.
解析：选A.通解（常规求解法）：设圆 的圆心坐标为 ，连接 ， （图略）.因为 ， ， ，所以 ,所以平行四边形 为菱形，所以 且 .
√
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可得 解得 或 （舍去），则圆心 的坐标为 .因为圆 的半径为 ，所以圆 的方程为 .故选A.优解（特值验证法）：由题意可知，平行四边形 为菱形，则 ，即圆 的半径为 ，排除B，D；将点 代入选项A，C，显然选项A符合.故选A.
A. B. C. D.
解析：根据题意直线 与 轴的交点为 .因为圆与直线 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 ,则圆的方程为 ,故选A.
√
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（2）已知直线 与圆 相切，且直线 始终平分圆 的面积，则圆 的方程为( )
A. B. C. D.
直线与圆的方程复习专题
直线与圆的方程复习专题直线与圆的方程复专题一、斜率与过定点问题1.已知点A(1,3)、B(2,6)、C(5,m)在同一条直线上，求实数m的值。
直线的斜率为：(6-3)/(2-1)=3，因为三点在同一条直线上，所以AC的斜率也为3，即(m-3)/(5-1)=3，解得m=9.2.已知m≠0，过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为：-a/3m，因为过点(1,-1)，所以1a+3(-1)m+2a=0，解得a=3m，代入斜率公式得-k=3m/3m，即k=-1.3.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2)，若直线l:mx+y-m=0与线段PQ有交点，求m的范围。
设交点为R，则PR的斜率为(2-1)/(2-(-1))=1/3，QR的斜率为(2-1)/(2-(-1))=1/3，因为l与PQ有交点，所以l的斜率也为1/3，即m=1/3+(-1)/3=2/3.二、截距问题：4.若三点A(2,2)、B(a,0)、C(0,b)(ab≠0)共线，则(2-0)/(2-0)=(0-b)/(a-0)，解得a=4b/3，所以11/ab=11/4.5.已知ab0,b0时，直线在第二象限；当a<0,b<0时，直线在第一象限。
6.（1）过点A(1,2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为y=x+1；（2）过点A(1,2)且在x轴、y轴截距互为相反数的直线方程为y=-x+3.三、平行垂直：7.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则两条直线的斜率相等，即(m-4)/(-2-m)=1，解得m=-1.8.若直线.9.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y-5=0.10.已知直线l1:(m+3)x+4y=5-3m，.五、交点问题：11.过直线.12.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，求实数k的取值范围。
直线l与x+y-1=0的交点为(1,k-1)，因为在第一象限，所以1+k-1>0，即k>0；又因为直线l与x+y-1=0的斜率相等，即k=1，所以k=1.六、距离问题：13.已知点(3,m)到直线x+3y-4=0的距离等于1，则|3+3m-4|/√(1^2+3^2)=1，解得m=-2或m=2/3.14.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离为|3(-6)+2(m)-3|/√(3^2+2^2)=|18-2m|/√13.15.（1）平行于直线3x+4y-12=0且与它的距离是7的直线的方程为3x+4y-47=0；（2）垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是5的直线方程为3x-y-4=0.16.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 y = -2x + 4.七：圆的方程例1、若方程x+y-2x+4y+1+a=0表示的曲线是一个圆，则a的取值范围是 -4<a<6.圆心坐标是(1,-2)，半径是√10.例2、求过点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=-x上的圆的标准方程，并判断点P(2,4)与圆的关系。
复习专题：直线和圆复习
复习专题：直线和圆复习一、直线 （一）、倾斜角α：①定义：把x 轴正方向饶交点逆时针旋转到直线，转出的角；② 范围：（二）、斜率k 的计算： ①当2πα=时，k 不存在；当2πα≠时，tan k α=；②过两点1122(,),(,)A x y B x y 的斜率2121AB y y k x x -=-（三）斜率与倾斜角的关系x yππ/2练习：1、已知[1,1]k ∈-，则倾斜角α∈2、已知点(1,1),(1,1)A B ---，如直线l 过原点且与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角α∈ （四）、直线的五种方程1、点斜式：过点00(,)P x y ，斜率为k 的直线方程00()y y k x x -=--------最主要 看到含参数的直线方程-------想到过定点 练习：1、已知直线 :2l y kx k =+，则过定点2、已知直线 :10l ax y -+=，则过定点2、斜截式：斜率为k ，y 轴截距为b ----看成过(0,)b ，斜率为k ，则(0)y b k x -=-，即方程为y kx b =+3、两点式：过点1122(,),(,)A x y B x y ，2121112121,()y y y y k y y x x x x x x --=-=---∴， 即方程为112121y y x x y y x x --=--4、截距式：x 轴的截距为a ，y 轴的截距为b -------看成过两点(,0),(0,)a b ， 即方程为1x ya b+= 注意：以上四种都是默认斜率k 存在的情况下，得出方程形式；k 不存在的情况下，结合图形 方程为0x x = 5、一般式：0Ax By C ++=-----突出体现了方程的特征形式 注意：答案要化为一般式或斜截式---------这两种形式最简练习：1、直线3x =的倾斜角是（ ） A.0 B.2πC.πD.不存在 2、若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.)3,6[ππ B.)2,6(ππ C.)2,3(ππ D.]2,6[ππ3、图7—1中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 24、直线620x y ++=在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 5、直线310x y ++=和直线6210x y ++=的位置关系是（ ） A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直6、直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（ ） A. 230x y -= B. 50x y ++= C. 230x y -=或50x y ++= D. 50x y ++=或50x y -+=7、直线30x y -+=的倾斜角是8、经过点)1,2(的直线l 到A )1,1(、B )5,3(两点的距离相等，则直线l 的方程为 （ ）A ．032=--y xB ．2=xC ．032=--y x 或2=xD ．都不对9、已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是（ ） A ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(-10、设A 、B 两点是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则PB 的方程为（ ） A ．05=-+y xB ．012=--y xC ．042=--x yD ．072=-+y x11、若三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0; l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是（ ） A ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠1 B ．k ∈R 且k ±≠5且k ≠－10 C ．k ∈R 且k ±≠1且k ≠0 D ．k ∈R 且k ±≠ 5 12、直线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 13、已知点(1,2)A ，直线:8l x y +=，某直线过A 且和直线l 平行，则方程为 若过A 且和直线l 垂直，则方程为图7—1（五）、平行与垂直111222:,:l y k x b l y k x b =+=+的平行或垂直----化为斜截式来判定①1212l l k k ⇔=且12b b ≠或12,k k 都不存在且在x 轴截距不等；②12121l l k k ⊥⇔⋅=-或12,k k 一个为0，一个不存在练习：1、直线240(1)20ax y x a y ++=+-+=∥，则a = 2、直线240(1)20ax y x a y ++=⊥+-+=，则a =3、若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）4、已知△ABC 中A )1,4(-，B )3,2(-，C )1,3(，则△ABC 的垂心是 ．5、已知两直线12:40,:(1)0l ax by l a x y b -+=-++=,求分别满足下列条件的 a 、b 的值．（1）直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；（2）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l 、2l 的距离相等．6、设a 、b 、c 分别为 ABC 中∠A 、∠B 、∠C 对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系（ ）A 、平行；B 、重合；C 、垂直；D 、相交但不垂直 7、若N a ∈，又三点A(a ，0)，B （0，4+a ），C （1，3）共线，则a 的值是（六）、几种距离1、点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：||AB =2、点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =3、两平行线间的距离转化到点线距离4、点1122(,),(,)A x y B x y 中点坐标1212(,)22x x y y ++练习：1、点),(m n m P --到直线1=+nym x 的距离为（ ） A ．22n m ±B ．22n m -C ．22n m +-D ．22n m +2、若点),4(a 到直线0134=--y x 的距离不大于3，则a 的取值范围为（ ）A ．)10,0(B ．]10,0[C ．]331,31[ D ．),(+∞-∞3、已知(1,1)A -、(3,3)B 、(5,3)C -，则AC 边上的中线所在的直线方程是 AC 边上的高所在的直线方程是 ABC ∆的面积是4、过点)2,1(-A ，且与原点距离等于22的直线方程为 ． 5、设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数11y z x =-的范围是则221(1)z x y =-+的范围是二、圆（一）圆的方程：①标准式：222()()x a y b r -+-= 突出圆心和半径（有用形式）②一般式：220x y Dx Ey F ++++= 突出方程的形式（考题形式）化为的标准式：22224()()224D E D E Fx y +-+++=圆心：(,)22D E --半径：2 条件：2240D E F +->成圆练习：1、已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ） （A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-=(D) 22(1)(1)2x y +++= 2、圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 3、以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . 4、若圆经过点)2,0(),0,4(),0,2(C B A ，则圆的方程是5、若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是 6、与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是（二）、点、线、圆和圆的位置关系 1、点00(,)P x y 与圆(,)0f x y =的位置系：2、直线和圆的位置关系--------圆心到直线的距离和半径比较3、圆圆关系：练习：1、圆O 1:0222=-x y x ＋和圆O 2: 0422=-y y x ＋的位置关系是 2、已知直线 :2l y kx k =+,当直线 l 与 圆22x y a +=相交，则a 的范围是 3、圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ） A ．(22)k ∈-， B ．(2)(2)k ∈--+∞，，∞ C ．(33)k ∈-， D ．(3)(3)k ∈--+∞，，∞4、直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离5、若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为6、若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为22,则直线l 的斜率的取值范围是7、已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______（三）、弦长公式：12212()()()00x x x x x x +=⎧⎧ ⇒++=⇒∆> ⇒⎨⎨=⎩⎩直线当时，圆（或其他的二次曲线）弦长221212||1()4AB kx x x x =++-练习：过原点且倾斜角为60︒的直线被圆学2240x y y +-=所截得的弦长为 （四）、注意数形结合，充分利用初中所学的几何性质1、圆心确定位置，半径决定大小，圆关于过圆心的直线对称练习：1、已知直线 :2l y kx k =+,当直线 l 与 圆22240x y x y +-+=分成面积相等的两部分， k =2、已知直线0a x by c ++=与圆22:240O x y x y +-+=相交于A 、B 两点，如C 是圆上动点，且||5AB =，则CA CB ⋅＝3、221x y +=关于点(1,1)A 对称的图像的方程是 关于直线1x y +=对称的图像的方程是2、如垂径定理 切割线定理 切线长公式练习：1、由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是2、设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 3、已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为4、直线l 与圆22240(0)x y x y a a +=<＋＋－相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 5、过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 。
直线与圆的位置关系(复习)
理由。
E O
F
D A
C
B
若已知AC=4cm，⊙O的半径为3cm，能否求出图中其 它线段的长度？
做一做
3、先按要求操作：AB 为⊙O的直径，在⊙O上任取一点 C(不与A、B重合)，过点C画⊙O的切线，过点A作过点C的 切线的垂线，垂足为D，交BC的延长线于点E。连结AC。
E
根据上述操作及已知条件，在图中 找出一些相等的线段和角，并证明 你所得到的结论。
变式４：若PA=a,则△PCD的周长
CHale Waihona Puke A为2aO
.
D
C B
A
O
这节课，我的收获是… …
一、直线与圆的位置关系
相离、相切、相交
（图示、公共点个数、d与r的数量关系） 二、圆的切线的判定 三种方法 三、圆的切线的性质 1、经过切点的半径垂直于圆的切线。 2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
3、垂直切线的半径必经过切点
3、如图，AB是⊙O的直径，AD是弦， ∠DAB=22.5°，延长AB到点C，使得 ∠ACD=45 °. （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB= 2 2 ，求BC的长.
A O B P D T C Q
做一做
１、如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、 CD及BC的延长线于E、F、G， ⊙O 是△CGF的外接圆； 求证：CE是⊙O的切线。
A
E
D F O
B
C
G
做一做
2、如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D， E,连结CD，CE.找出图中的一对相似三角形，并说明
垂直切线的半径必经过切点
②过切点
练一练
1、如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且 OP=5，PA=4，则sin∠APO等于（ B ）
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题(WORD版含答案)
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题（WORD 版含答案）一、选择题1.点M ，N 是圆22240x y kx y +++-=上的不同两点，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径等于A ．．3 2.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．。
其作法如下：①作一个正方形ABCD ；②以AD 的中点E 为圆心，以EC 长为半径作圆，交AD 延长线于F ；③以D 为圆心，以DF 长为半径作⊙D ；④以A 为圆心，以AD 长为半径作⊙A 交⊙D 于G ，则△ADG 为黄金三角形。
根据上述作法，可以求出cos36°= A ．415-B ．415+ C ．435+ D ．435-3.已知实数a ，b 满足224a b +=，则ab 的取值范围是 A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．(－∞,－2]∪[2,+∞)D ．[－2,2]4.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213y x -= B ．22139x y -=C ．22125x y -= D ．221412x y -= 5.若直线与圆有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A. [－3,－1]B. [－1,3]C. [－3,1]D. （－∞,－3]∪[1,+∞）6.直线20x y -与y 轴的交点为P ，点P 把圆()22136x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),00A m Bm m ->,．若圆．．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．．90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )．A ．．．7B ．．．．6C ．．．．5D ．．．．4．8.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),,00A m B m m ->．． 若圆．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．． 90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )． A ．．．7 B ．．．．6 C ．．．．5 D ．．．．4．9.若函数1)(2+=x x f 的图象与曲线C :()01)(>+=a ae x g x存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，26e B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛28,0e C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，22e D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛24,0e 10.已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||||-=+，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 A ．2 B ．±2 C ．－2D ．2±11.已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P 、Q 分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）A 1B ． 2C ．．1函数()e cos xf x x =的图象在(0,f (0))处的切线倾斜角为（ ） A. 0 B . 4π C. 1 D .2π 13.在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：1222=+y x 和C 2：1422=+y x ，又A 点坐标为(3,－1)，M ，N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个 14. 曲线11x y x +=-在点(2,3)处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．－2D ．215.已知过点A (a ,0)作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是A ．(－∞,－4)∪(0,+∞)B ．(0,+∞)C ．(－∞,－1)∪(1,+∞)D ．(－∞,－1) 16.若点P (1,1)为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 17.直线2x －y 与y 轴的交点为P ,点P 把圆22(1)36x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A. 2B. 3C. 4D. 518.若函数1()(0,0)bxf x e a b a=->>的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）C.2D.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．220.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．221.若直线y x b =+与曲线096422=+--+y x y x 有公共点,则b 的取值范围是( )A. 1,1⎡-+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1⎡⎤-⎣⎦D. 1⎡⎤-⎣⎦22.已知直线4x －3y +a =0与⊙C : x 2+y 2+4x =0相交于A 、B 两点，且∠AOB =120°，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．10 C. 11或 21 D ．3或13 23.过点（2，1）且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为A ．2x -3y -1=0B ．2x +3y -7=0C ．3x -2y -4=0D ．3x +2y -8=0 24.若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3b 的取值范围是A ．[1,1-+B ．[1-+C ．[1-D ．[1 25.已知动圆圆心在抛物线y 2=4x 上，且动圆恒与直线x=－1相切，则此动圆必过定点（ ）A. (2,0)B. (1,0)C. (0,1)D.(0,－1) 26.已知曲线421y x ax =++在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)= A ．7B ．－4C ．－7D ．427.已知点(1,2)P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是（ ）A ．RB ．(,)3-∞C ．(33-D ．(3- 28.已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则cos2θ的值为 （ ） A ．35 B ．35- C ．15 D ．15- 29.我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（ ） P 1:对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；P 2:如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； P 3:圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+； P 4:圆的太极函数均是中心对称图形； P 5:奇函数都是太极函数； P 6:偶函数不可能是太极函数. A. 2B. 3C.4D.530.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程4)3()1(22=-+-y x ，则点P 的轨迹经过（）A. 第一、二象限B.第二、三象限C. 第三、四象限D.第一、四象限 31.直线1-=x y 的倾斜角是（）A.6π B.4π C. 2π D.43π32.已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（）A.内含B.外离C.相交D.相切 33.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2y x =+，则原点O 到直线l 的距离是A.12D.234.过点()1,1P -作圆()()()22:21C x t y t t R -+-+=∈的切线，切点分别为A,B ，则PA PB ⋅的最小值为A. 103B. 403C. 214D.3 35.已知函数()ln ,f x x x =若直线l 过点(0,－1),且与曲线()y f x =相切,则直线l 的方程为 A.10x y +-= B.10x y ++= C.10x y --= D.10x y -+= 36.圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点（ ） A ．11(,)23B ．21(,)33C ．11(,)32D ．12(,)3337.过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆C 1：22(5)4x y ++=和圆C 2：222(5)x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．1B ．2 38.已知l 1，l 2分别是函数()|ln |f x x =图像上不同的两点P 1，P 2处的切线，l 1，l 2分别与y 轴交于点A ，B ，且l 1与l 2垂直相交于点P ，则△ABP 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C. (0,+∞) D ．(1,+∞) 39.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则△ABP 面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．40.在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）441.若圆1C ：2222()(2)410x m y n m n -+-=++（0mn >）始终平分圆2C ：22(1)(1)2x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．92C.6 D ．9 42.函数()2ln (0,)f x x x bx a b a =+-+>∈R 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．BC ．1D ．243.己知直线1:sin 10l x y α+-=，直线212:3cos 10,sin 2=l x y l l αα-+=⊥若，则 A ．23B ．35±C ．35-D ．3544.若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．]221,221[+- B ．]3,221[- C ．]221,1[+- D ．]3,221[- 45.已知点)3,1(A ，)33,1(-=B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°二、填空题46.若直线20l x y +=：与圆()()22:10C x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为___________． 47.在四边形ABCD 中，︒=∠90ABC ，2==BC AB ，△ACD 为等边三角形，则△ABC 的外接圆与△ACD 的内切圆的公共弦长=___________. 48.设圆O 1，圆O 2半径都为1，且相外切，其切点为P ．点A ，B 分别在圆O 1，圆O 2上，则PA PB ⋅的最大值为 ▲ ．49.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ※※ . 50.已知a ，b 为正数，若直线022=-+by ax 被圆422=+y x 截得的弦长为32，则221b a +的最大值是 .51.已知抛物线()20y ax a =>的准线为l ，若l 与圆()22:31C x y -+=a = ． 52.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ． 53.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ． 54.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =的值域是[]0,1；⑤()2π1d 2f x x +=⎰．其中判断正确的序号是__________．55.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P 作圆O 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得23=+，则实数a 的取值范围是 . 56.已知函数a x y +=ln 的图象与直线1+=x y 相切，则实数a 的值为 . 57.函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 58.已知直线:1l mx y -=。
会考复习专题八《直线与圆》
会考复习专题八《直线与圆》1．直线1+=x y 的倾斜角是43)(πA 4)(πB 3)(πC 6)(πD 2．直线230x y ++=的斜率是 (A)12- (B)12(C)2- (D)2 3．若直线y =kx +2的斜率为2，则k = (A)-2 (B)2 (C)21- (D)21 4．直线y=x+2的斜率为.(A)-2 （B ）-1 (C)1 (D)25．圆x 2+y 2-4x +6y +3=0的圆心坐标是(A)(2, 3) (B)(-2, 3) (C)(2,-3) (D)( -2,-3)6．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3 (C)(1,-(1,7．圆心坐标)2,2(，半径等于2的圆的方程是 2)2()2)((22=-+-y x A 2)2()2)((22=+++y x B2)2()2)((22=-+-y x C 2)2()2)((22=+++y x D8. 圆心在（ -2 ，0 ），半径长是3的圆的方程是(A) 3)2(22=+-y x （B ）3)2(22=++y x(C) 9)2(22=+-y x (D) 9)2(22=++y x9．已知直线023:1=--y mx l ，,034:2=-+y nx l 若21l l ⊥，则=mn(A)-12 （B ）3 (C) 4 (D) 1210．设圆C ：(x -5)2+(y -3)2=5，过圆心C 作直线l 与圆交于A ，B 两点，与x 轴交于P 点，若A 恰为线段BP 的中点，则直线l 的方程为(A)x -2y +1=0，x +2y -11=0(B)2x -y -7=0，2x +y -13=0 (C)x -3y +4=0，x +3y -14=0(D)3x -y -12=0，3x +y -18=011．已知点P(5，3)和圆C: 9)1(22=+-y x ，点A 为直线PC 与圆的一个交点（点A,P 在圆心C 的两侧），PB 为圆的一条切线，切点为B ，则∙= (A)58 （B ）532 (C) 564 (D) 5128 12．在平面直角坐标系内，对任意向量),(y x AB =，把绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到向量)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x +-=，叫做把点B 绕点A 逆时针旋转θ角得到点P.若直线l 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转3π后，得到的点的轨迹是直线013=++y x ，则直线l 的方程为(A) 012=+y （B ）01=+y (C) 0123=++y x (D) 013=+-y x13．正方形ABCD 的边长为2，E 是线段CD 的中点，F 是线段BE 上的动点，则⋅的取值范围是（A ）[-1,0]（B ）]54,1[- （C ）]1,54[- （D ）[0,1] 14．设P 是曲线331x x y -=上的一个动点，记P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ]4,0)[(πA )2,4)[(ππB ),43)[(ππC ),2(]4,0)[(πππ D 15．若直线022=-+y x ，与直线01=--y ax 垂直，则实数a 的取值为16．点(1,0)到直线x -2y -2=0的距离是 ．17．如图，圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴正半轴交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧），且|MN |=3.（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2=4相交于点A ，B ，连接AN ，BN .求证：∠ANM =∠BNM .(第17题)参考答案1、B2、A3、B4、C5、C6、D7、C8、D9、D10、 A11、 D12、 D13、 B14、 D15、16、17、。
必修2直线和圆复习题及答案
1．直线方程的几种基本形式及适用条件：(1)点斜式： ，注意斜率k 是存在的．(2)斜截式： ，其中b 是直线l 在 上的截距．(3)两点式： (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，当方程变形为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0时，对于一切情况都成立．(4)截距式： ，其中a ·b ≠0，a 为l 在x 轴上的截距，b 是l 在y 轴上的截距．(5)一般式： ，其中A 、B 不同时为0.1．判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔ 且 ，l 1与l 2重合⇔ .②当l 1，l 2都垂直于x 轴且不重合时，则有 .③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1，l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝(2)两条直线的垂直①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔ . ②假设两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线 ．③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔ .(3)直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2相交的条件是 . 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的条件是 .自测题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜斜角为45° ，则m 的值为2. 以下四个命题中真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)－(x －x 1)(y 2－y 1)＝0表示C ．不过原点的直线都可以用x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示3．假设三点A (2,3)，B (3，－2)，C (12，m )共线，则m 的值是________．4．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为________．5．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于________．例题例1.已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求：(1)求直线AB 的斜率； (2)求直线AB 的方程；例2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是______例3.已知直线：l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值例4.已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2； (3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.练习题1．以下命题中，正确的选项是( )A ．假设直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB ．假设直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．假设直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈[0，π2)∪(π2，π)时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.．假设直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是( ) A.7B ．－77 C.77 D ．－7 3.．两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个( )4.．假设点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于______5.．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，假设M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为______6.．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．7.．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．8.．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．9.．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)假设l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)假设l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔 〕A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为〔 〕A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过〔 〕A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，假设线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为〔 〕A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )条条条 D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.假设直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )、、8.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3. 与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x 2+y 2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A 为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
第18讲直线与圆的位置关系复习课件(共41张PPT)
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横 坐标可以是－2，－3，－4，共3个．
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直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的 半径的大小确定： ①若d＜r，直线与圆相交； ②若d＝r，直线与圆相切； ③若d＞r，直线与圆相离．
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图6－18－7
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解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°.
∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.
∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，
变式跟进6答图
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，∴CD是⊙O的切线．
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∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝60°.
又∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD
＝∠ABD＝60°.
又∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，∴OD⊥DP.
例4答图
又∵点D在⊙O上，∴DP是⊙O的切线．
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(2)由(1)知△ODP为直角三角形，∠APD＝30°.
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切线的性质 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论：(1)经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心； (2)经过圆心且垂直于圆的切线的直线必过切点． 切线的性质的辅助线：有切线，连结切点与圆心，是解决 图中有关相切问题的常用辅助线．
人教版2023年中考数学专题复习练习直线与圆的位置
第27 讲直线与圆的位置一．切线的性质（共1小题）1．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．二．切线与解直角三角形（共1小题）2．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE 交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD=35，CE＝5，求⊙O的半径．三．切线的判定与性质（共9小题）3．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为BÊ的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF=12∠BAC．（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）若AE＝4，OF=92，求⊙O的半径．4．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；̂的长．（2）若∠A＝60°，AC＝2√3，求BD5．（2021•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD 交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．6．（2021•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是．7．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=12∠ABC．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若BF＝2，sin∠BEC=35，求⊙O的半径．8．（2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交P A于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）连接AC，sin∠BAC=13，BC＝2，AD的长为．9．（2021•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．10．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．11．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠F AB．（1）求证：BG与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．四．切线与相似三角形（共5小题）12．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D 和点E．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若sin∠BAC=35，CE＝6，求OF的长．13．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且AD̂=CD̂，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．14．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．15．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，AG=√10，求⊙O的半径．16．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是BĈ的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD=√14，求线段DM的长．第 27 讲 直线与圆的位置参考答案一．切线的性质（共1小题）1．（1）见解答；（2）2√7．；二．切线与解直角三角形（共1小题）2．（1）结论：CD 是⊙O 的切线，证明见解析部分；（2）256．；三．切线的判定与性质（共9小题）3．（1）证明见解析；（2）3．； 4．（1）见解析；（2）43π．； 5．（1）证明见解答； （2）⊙O 的半径是4.5．； 6．12013； 7．（1）见解答过程； （2）⊙O 的半径为3．；8．6； 9．（1）见解析； （2）656．； 10．（1）证明见解答；（2）DE ＝6√5．；11．（1）见解析； （2）√2．；四．切线与相似三角形（共5小题）12．（1）见解析；（2）2√10．；13．（1）证明见解答过程； （2）8√155．； 14．（1）见解析； （2）365．； 15．（1）见解答过程；（2）5．；16．（1）见详解； （2）2．；。
直线和圆的位置关系复习
（2）
（3）
相离
相切
相交
l
l
l
·O
·O
·O
2、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 , 直线与圆有____个公共点.
∠APB+ ∠AOB=180°
注意分类讨论的数学思想。
70°或110°
80
如图已知“PA、PB是圆O的切线，切点分别是A、B”，试探讨以下问题：
议一议
*
议一议
E
F
4、如图（2）过点C2作⊙O的切线分别交PB、PA于E、F，若PA=5，则△PEF的周长为______。
5、如图（3）过点C1作⊙O的切线分别交PB、PA的延长线于E、F，若PA=5，EF=7，则△PEF的周长为______。
想一想
证明切线的基本思路：不知共点，作垂直，证半径。
常用辅助线：见切线，过切点连半径，得垂直。
*
例2.PA是圆O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H交⊙O于B。求证：PB是⊙O的切线
B
A
O
P
H
∴ ∠OBP=∠OAP=900 ∴OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线
证明：连结OB、OA ∵ PA是圆O的切线，切点是A ∴∠OAP=900
不知公共点，作垂直，证半径；
数形结合
类比
分类讨论
*
如图所示，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的 延长线上，∠DCB= ∠A。 求证：CD是⊙O的切线
直线与圆的位置关系复习 (解析版)
直线与圆的位置关系复习一、选择题1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心C [易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．]2．点M 在圆x 2＋y 2－10x －6y ＋25＝0上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ． 9 B ． 8 C ． 5 D ． 2 D 由圆,整理得圆心坐标，圆的半径；圆心到直线距离，直线与圆相离；圆上的点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离. 故选D.3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A ．0° B ．45° C ．0°或45°D ．0°或60°D [设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.]4．圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2B [圆的方程化为标准方程得：(x －1)2＋(y －3)2＝10， 则圆心坐标为(1,3)，半径为10，如图：由图可知：过点E 最长弦为直径AC ，最短弦为过点E 且与AC 垂直的弦．则AC ＝210，MB ＝10，ME ＝(1－0)2＋(3－1)2＝ 5. 所以BD ＝2BE ＝2(10)2－(5)2＝2 5.又AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BD＝12×210×25＝10 2. 选B.]5．若直线l ：kx －y －2＝0与曲线C ：1－(y －1)2＝x －1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤43，2B ．⎝⎛⎭⎫43，4 C ．⎣⎡⎦⎤－2，－43∪⎝⎛⎦⎤43，2 D ．⎝⎛⎭⎫43，＋∞ A [直线l ：kx －y －2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C ：1－(y －1)2＝x －1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0))．当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2，直线记为l 1；当l 与半圆相切时，由|k －3|k 2＋1＝1，得k ＝43，切线记为l 2.分析可知当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选A.]6．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( )A ． 2B ．2 2C ． 3D ．2 3C [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形P ACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|P A |×r ＝|P A |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形P ACB的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离，即为|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2，所以四边形P ACB 面积的最小值为4－1＝ 3.]二、填空题7．过点P (－1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝5相切的直线方程是________．x －2y ＋5＝0 [法一：∵点P (－1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，直接代入圆上一点的切线方程得：－x ＋2y ＝5，即x －2y ＋5＝0.法二：∵圆心为(0,0)，∴k CP ＝2－1＝－2，所求直线的斜率为k ＝12.所以所求切线方程是y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.]8．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 【导学号：07742299】(x －2)2＋(y －1)2＝4 [设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________. 【导学号：07742301】(－13,13) [由题意知，若圆上有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d ＜1.因为d ＝|c |122＋52＝|c |13，所以0≤|c |13＜1，即0≤|c |＜13.解得－13＜c ＜13.]4．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.4±15 [由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝r ＝2.又|AB |＝2r 2－d 2，所以222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a －2|a 2＋1 2＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15.] 三、解答题10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值.[解] 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝－1， 即y 1x 1·y 2x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.① 又(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③因为P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上， 所以y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋125.④将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立， 所以m ＝3.5．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点；(2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. [解] (1)法一：由已知可得直线l ：(x －1)m －y ＋1＝0， ∴直线l 恒过定点P (1,1)． 又12＋(1－1)2＝1＜5， ∴点P 在圆内，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．法二：圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋1－m |m 2＋1＝|m |m 2＋1＜|m ||m |＝1＜5，∴直线l 与圆C 相交，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)直线l 恒过定点P (1,1)，且直线l 的斜率存在．又M 是AB 的中点，当直线l 的斜率不为0时，CM ⊥MP ， ∴点M 在以CP 为直径的圆上．又C (0,1)，P (1,1)，∴以CP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14， 当直线l 的斜率为0时，点M 与点C 重合，也满足上式． 又直线l 的斜率存在，∴x ≠1，∴点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14(x ≠1).。
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直线与圆复习专题——直线的方程与位置关系〖双基回顾〗1、直线的倾斜角：规定：当直线和x 轴平行或重合时其倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：_________.2、直线的斜率是指：_____________________________________________.3、经过两面点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)的直线的斜率公式为：k =_______________. 45、两条直线：l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的位置关系：⑴相交⇔ 垂直⇔ ⑵平行⇔ ⑶重合⇔6、点P （x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离为7、两条平行直线：Ax +By +C 1=0，Ax +By +C 2=0的距离为d =__________8、①点（a,b ）关于点（x,y ）的对称点坐标是__ __；②点（a,b ）关于x 轴，y 轴，原点，直线y=x ，直线y=-x 的对称点坐标分别是_________ _〖典型例题〗例1、求经过直线1:3450l x y +-=与直线2:2380l x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线的一般方程：（1）经过原点；（2）与直线250x y ++=平行；（3）与直线250x y ++=垂直.例2、已知三角形的顶点是(3,0),(2,2),(0,1).A B C --（1）求AB 边上的中线所在直线方程；（2）求AB 边上的高所在直线方程；（3）求线段AB 的中垂线所在直线方程。
例3：（1）求点A (-2,2)关于点(2,-1)的对称点的坐标；（2）已知直线l ：3x -y +3=0，求点A (2,2)关于直线l 的对称点的坐标；4、直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m =0，则当m 为何值时： ⑴它们相交；⑵它们平行；⑶它们垂直直线与圆复习专题（2）——圆的方程、点与圆、圆与圆位置关系〖双基回顾〗1、圆的标准方程： ，其中圆心为 ，半径为 .2、圆的一般方程：当 时，表示圆心为 ，半径为的圆 ； 当 时，表示一个点 ； 当 时，不表示任何图形.3、中点坐标公式：设点12,P P 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，点P 为12PP 的中点，则 x = ，y = .4、点与圆的位置关系点在圆内：点到圆心的距离 半径； 点在圆上：点到圆心的距离 半径； 点在圆外：点到圆心的距离 半径。
5、两圆的位置关系设⊙1C 的半径为R ，⊙2C 的半径为r ，圆心距离d C C 21，则：相离 相交 外切 内切 内含思考：以上五种圆与圆的位置关系对应的公切线各有几条呢？〖典型例题〗例１、求分别满足以下条件的圆的方程： ① 已知A （-3，-5），B （5，1），求以线段AB 为直径的圆的方程②求经过点A （0，4），B （4，6）且圆心在直线x ―2y ―2=0上的圆的方程③已知圆过点(2,3)A -，且与直线:43260L x y +-=相切于点(5,2)B ，求此圆的方程④已知圆C 的圆心坐标是(2,1)，在直线10x y +-=上截得弦长为C 的方程例2、已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.例3、求分别满足以下条件的轨迹方程：① 已知点M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12，求点M 的轨迹方程② 已知△ABC 的顶点,B C 的坐标分别是(3,1),(2,1)--，顶点A 在圆22(2)(3)9x y ++-=上运动，求△ABC 重心的轨迹方程。
（若△ABC 三个顶点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则其重心坐标为123123(,)33x x x y y y ++++）4、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ）A ．22(7)(1)1x y +++= B ．22(7)(2)1x y +++= C ． 22(6)(2)1x y +++= D ．22(6)(2)1x y ++-=5、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么yx 的最大值是 （ ）A ．12B CD ．36、已知实数x ，y 满足关系：2224200x y x y +-+-=，则22x y +的最小值 ．7、已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0与直线x ＋2y －3=0的两个交点为P 、Q ，求以PQ 为直径的圆的方程．直线与圆复习专题（3）——直线与圆位置关系〖双基回顾〗1、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系三种，分别是 、 、 . 2、判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系 相交：d r ；相切：d r ；相离：d r .（2）代数法：将直线方程与圆方程联立，消元之后化为一元二次方程，利用判别式 相交：∆ 0；相切：∆ 0；相离：∆ 0.3、直线与圆的三种位置关系相应的问题 （1）相切—求切线方程；（2）相交—求弦长；（3）相离—求圆上的动点到直线的最大（最小）距离.〖典型例题〗例1、当直线01043=-+y x 与圆222m y x =+相交、相切或相离时，分别求实数m 取值范围。
例2、过点)3,8(-P 作圆0126422=---+y x y x 的切线，求切线方程。
例3、自点A (3,3)-发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：074422=+--+y x y x 相切，求光线L 、m 所在的直线方程。
例5、已知圆822=+y x 内一点)2,1(-P ，过点P 的直线的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点。
（1）当135α=时，求弦AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程。
直线方程与圆历年水平测试1.（11年）在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 .2.（12年）已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是()2,4,0A ，()2,0,3B ，()2,2,C z ，若90C ∠=，则z 的值为 ．3.（07年）直线013=+-y x 的斜率是（ ）A ．3 B ．3- C ．33 D ． 33- 6.（11年）已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为（ ） A . 8 B. 2 C. 12-D. 2- 7.（12年）若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直，则实数a 的值为( ). A.2- B.2 C.12-D.128.（07年）经过点()1,0A 和点()0,2B 的直线方程是 . 9.（10年）圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 .10.（08年）过点（1，2）且与直线210x y --=平行的直线方程为 ．11.（08年）若直线0x y a +-=被圆224x y +=截得的弦长为，则实数a 的值为（ ）A ．或-B ．2或2-C ．2D ．2- 12.（09年）圆()()22121x y ++-=关于直线0x y -=的对称圆的方程为（ ） Ａ.()()22121x y ++-= Ｂ． ()()22211x y ++-= Ｃ．()()22121x y -++= Ｄ.()()22211x y -++=15.（10年）直线y kx b =+与圆224x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐标原点）．（1）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （2）当2b =，1S =时，求实数k 的值．16.（07年）已知圆C 经过坐标原点, 且与直线02=+-y x 相切，切点为()2,4A .（1）求圆C 的方程; （2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于不同的两点N M 、, 求AN AM ⋅的取值范围.高二数学立体几何章节复习一、填空题1．下列命题正确的是________．①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行．2. 直线l 与平面α所成角为30°，l ∩α＝A ，m ⊂α，A ∉m ，则m 与l 所成角的取值范围是________3. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________4. 如图，正方体的棱长为1，C 、D 是两棱中点，A 、B 、M 是顶点，则点M 到截面ABCD 的距离是______5. 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为________6. 如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC ′到M 的最短路线长为29， 设这条最短路线与CC ′的交 点为N ，则PC =7、如图所示，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰 和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________． 8、如图，一个正方体内接于高为40 cm ，底面半径为30 cm 的圆锥，则正方体的棱长是________cm.二、解答题9、如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥CD ,AD ∥BC ,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD.(1)在平面PAD 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PAB ,并说明理由. (2)证明:平面PAB ⊥平面PBD.10．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ； （2）求三棱锥D-AEC 的体积； （3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE ．12、已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是∠A ＝60°的菱形，又PD ⊥底面ABCD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点. (1)证明：DN ∥平面PMB ； (2)证明：平面PMB ⊥平面P AD .13、 如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，证明平面MBD ⊥平面P AD . (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．FEAD C B 第12题14、如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .15、如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC ∥平面PDA. (2)证明:BC ⊥PD.(3)求点C 到平面PDA 的距离.EDBFCA。