第十五章欧拉图与哈密顿图

图
由定理立即可知，图()图 为欧拉图，本图既可以看成圈， ，，之并（为 清晰起见，将个圈画在（）中），也 可看成圈与圈 之并（两个圈画在（）中）。将（） 分解成若干个边不重的圈的并不是（） 图特有的性质，任何欧拉图都有这个性 质。
定理 是非平凡的欧拉图当且仅 当是连通的且为若干个边不重的圈的并。
．逐步插入回路法
设为阶无向欧拉图，(){,…}， 求中欧拉回路的逐步插入回路法的算法如下：
←，*，，， .
．在中任取一条与关联的边 (')，将及’加入到中得到.
．若 '*，转，否则←' ， 转.
．若()()，结束，否则，令 ()，在中任取一条与 中某顶点关联的边，先将改 写成起点（终点）为的简单回路，再 置*, ←,转.
从定义不难看出，欧拉通路是图中经 过所有边的简单的生成通路（经过所有顶 点的通路称为生成通路），类似地，欧拉 回路是经过所有边的简单的生成回路。
在这里做个规定，即平凡图是欧拉图。
图
在图所示各图中，为 （）中的欧拉回路，所以（）图为欧拉 图。为（）中的一条欧拉通路， 但图中不存在欧拉回路，所以（）为半欧 拉图。（）中既没有欧拉回路，也没有欧 拉通路，所以（）不是欧拉图，也不是半 欧拉图。为（）图中的欧拉回路， 所以（）图为欧拉图。（），（）图中 都既没有欧拉回路，也没有欧拉通路
是在'中存在到的路径Г，显然Г 与Г边不重，这说明处于Г∪Г 形成的简单回路上。
三、求欧拉图中欧拉回路的算法
设为欧拉图，一般来说中存 在若干条欧拉回路ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下面介绍两种求 欧拉回路的算法。
．算法，能不走桥就不走桥：
（）任取∈()，令. （）设…已经行遍， 按下面方法来从(){,…}中选 取：
否则不应该为{,…}中的 桥。
欧拉图与哈密顿图
欧拉图
一．欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半 欧拉图的定义
定义 通过图（无向图或有向图）中所 有边一次且仅一次行遍图中所有顶点 的通路称为欧拉通路，通过图中所有 边一次并且仅一次行遍所有顶点的回 路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图 称为欧拉图，具有欧拉通路而无 欧拉回路的图称为半欧拉图。
∈()，若不在Г的端点出现，显然 ()为偶数，若在端点出现过，则()为 奇数，因为Г只有两个端点且不同，因而 中只有两个奇数顶点。另外，的连通 性是显然的。
充分性: 设的两个奇度顶点分别 为 和，对加新边（），
得' ∪()，则'是连通且无奇度 顶点 的图，由定理可知，‘为欧拉 图，因而存在欧拉回路'，而' () 为中一条欧拉通路，所以为半欧拉图。
由定理立即可知，图中（） 是半欧拉图，但（）不是半欧拉图。
定理 有向图是欧拉图当且仅当 是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。 本定理的证明类似于定理 .
定理 有向图是半欧拉图当且仅 当是单向连通的，且中恰有两个奇度 顶点，其中一个的入度比出度大，另一 个的出度比入度大，而其余顶点的入度 都等于出度。
充分性: 由于为非平凡的连通图可 知，中边数≥.对作归纳法。
()时，由的连通性及无奇度顶 点可知，只能是一个环，因而为欧拉图。
()设≤(≥)时结论成立，要证明 时，结论也成立。由的连通性及
无奇度顶点可知，δ()≥.类似于例 ，用扩大路径法可以证明中存在 长度大于或等于的圈，设为中一个 圈，删除上的全部边，得的生成子 图’ ，设’有个连通分支’’,…, ‘，每个连通分支至多有条边，且无 奇度顶点，并且设‘与的公共顶点为
现在再考虑例中图中图 （），用逐步插入回路法可以走出多 条欧拉回路。现在走出一条来：
开始时，置*，，,
，经过步得 ，
是长度为的简单回路，见演示中红边 所示。
在中有条边与上的顶点相关联， 比如取与，先将改写成以为起点 （终点）的简单回路：
'， 然后置*，，再经过步得
，,…，由归纳假设可知，', ',…'都是欧拉图，因而都存在欧拉 回路‘，,….最后将还原（即将
删除的边重新加上），并从上的某顶点
开始行遍，每遇到 ，就行遍’ 中的 欧拉回路’ ，,…，最后回到，得 回路
… … … … … … …，
此回路经过中每条边一次且仅一次并行 遍中所有顶点，因而它是中的欧拉回 路 ,故为欧拉图。
由定理立刻可知，图中的三 个无向图中，只有（）中无奇度顶点， 因而（）是欧拉图，而（）、（）都 有奇度顶点，因而它们都不是欧拉图。
定理 : 无向图是半欧拉图当且仅 当是连通的，且中恰有两个奇度顶点。
证: 必要性 设是条边的阶无向图， 因为为半欧拉图，因而中存在欧拉通路
（但不存在欧拉回路），设 Г… 为中一条欧拉通路， ≠ .
二、判别定理
定理 无向图是欧拉图当且仅当是连 通图，且中没有奇度顶点。
证: 若是平凡图，结论显然成立， 下面设为非平凡图，设是条边的阶 无向图。并设的顶点集{,…}. 必要性: 因为为欧拉图，所以中存
在欧拉回路，设为中任意一条欧拉回路，
∈，都在上，因而连通 所以为连通图。又 ∈，在上每 出现一次获得度，若出现次就获得 度，即()，所以中无奇度顶点。
可以证明，当算法停止时所得简单回路 …()为中一条欧拉回路。
例 图()是给定的欧拉图。某人用算法 求中的欧拉回路时， 走了简单回路 之 后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试 分析在哪步他犯了错误?
图
解: 此人行遍时犯了能不走桥就不 走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。 当他走到时，{}为 图()所示。此时为该图中的桥， 而均不是桥，他不应该走，而应 该走或，他没有走，所以犯了错误。 注意，此人在行遍中，在遇到过桥， 处遇到过桥，但当时除桥外他无别的 边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯 错误的。
本定理的证明可用归纳法。
例 设是非平凡的且非环的欧拉图， 证明：
λ()≥. （）对于中任意两个不同顶点， 都存在简单回路含和.
证 （）由定理可知， ∈()， 存在圈，在中，因而()()，故 不是桥。由的任意性λ()≥，即是 边连通图。
（） ∈()，≠，由的连通 性可知，之间必存在路径Г，设 ' (Г)，则在 '中与还必连通，否则， 与必处于 '的不同的连通分支中，这说明 在Г上存在中的桥，这与（）矛盾。于