任意角的概念1 ppt1

一、角的概念
初中
角——一点出发的两条射线所围成
（静止地）
的图形
高中 顶点
终边
角——一条射线绕一个端点从一个位 置旋转到另一个位置所形成的图形
（运动地）始边
二、角的分类
规定：逆时针转动——正角 顺时针转动——负角 没有转动 ——零角
终边与始边重合的角是零角吗？
三、象限角（在直角坐标系）
如果角的终边（除端点外）在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角
（5）2134056 63600 2504
2134 056是第一象限角
总结
360 判断某角是第几象限的角，应先将该角化为
0
(其中00 3600 ) 的形式，再根据 所在的象限来判断。
例4 写出满足下列条件的角的集合：
1、 终边与X轴正半轴重合； | 3600 ( ) 2、 终边与X轴负半轴重合； | 3600 1800 ( ) 3、 终边与X轴重合； | 1800 ( ) 4、 终边与Y轴正半轴重合； | 3600 900 ( )
D 3600 2030 z
例2 设S x1x 360 0 1690 0, z
则S中的最小正角x= 1100
例3 指出下列各角是第几象限内的角
（1） 530
（2） 2600 （3） 13200
（4） 2134056 （5） 2134056
第四象限：S={α | －90°＋k·360°< α <k·360°，k∈Z}.
思考：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是 第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这 个角不属于任何象限，或称这个角为轴上角.那么下列 各角： -50°，405°，210°, -200°，－450°分别是第几象限的角？
写出A、B、C、D四个集合之间的包含关系。
解: ABC D
讨论: 四个集合
A | 2 3600 600 B | 3600 600 C | 1800 600 D | 900 600
(3) (2 1)1800 ( )是第三象限角.
(4) (2 1)1800 ( )是第二象限角.
例8 四个集合
A | 2 3600 B | 3600 C | 1800 D | 900
2
解: (1) 是第一象限的角,
3600 3600 900 ( )
7200 2 7200 1800 ( ) 3600 2 2 3600 1800 ( )
故 2是第一或第二象限的角或是终边重合于Y轴的正半轴的角
8、第二象限内的角； | 3600 900 3600 1800 ( )
9、第三象限内的角；| 3600 1800 3600 2700 ( ) 10、第四象限内的角；| 3600 2700 3600 3600 ( )
x轴正半轴：α = k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α = 180°＋k·360°，k∈Z ； y轴正半轴：α = 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α = 270°＋k·360°，k∈Z .
思考：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
终边在x轴上：S={α |α =k·180°，k∈Z}； 终边在y轴上：S={α |α =90°＋k·180°，k∈Z}.
,20 可
知
是 第 一 或 第 三 象 限 的 角 .
2
(n )
如果角的终边在坐标轴上则说这个角不在 任何象限，而称之为“轴上角”。
四：终边相同的角
如果几个角的终边相同则称它们是终边相 同的角。 （它们正好相差整数圈）
四、角的集合的表示方法
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内所 构成的集合S都可以做如下表示。
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相 同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
即 3600 900 3600 1800 ( )
即 3600 1800 900 3600 27 00 ( )
练习
一 为锐角,则
(1) 3600 ( )是第 象限角. (2) 3600 ( )是第四象限角.
新课教学
思考：第一、二、三、四象限的角的集合分别如 何表示？
第一象限：S={α | k·360°<α < 90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α < 180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α < 270°＋k·360°，k∈Z}；
3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会 遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常 听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．再如钟表的 指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转所成的角，不全 是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是 不够的，我们必须将角的概念进行推广.
5、 终边与Y轴负半轴重合； | 3600 2700 ( )
6、 终边与Y轴重合；
| 1800 900 ( )
7、第一象限内的角； | 3600 3600 900 ( )
例5
设A 锐角 B 钝角 C 小于900的角
D 第一象限的角 则
(1) A B

(2) A C
A
(3) A D
A
(4) C D
| 3600 3600 900 , 0
练习
如图,已知角的终边区域, 求出角的范围.
y
450
0
x
(1) | 3600 450 3600 900
y
( )
450
0
x
(2) | 1800 450 1800 900 ( )
例6 已知 : -900 900 ,900 900 ,
n 3600 n 3600 450 (n )
这
表 明
是
第
2
一象限
的 角;
2
20当为奇数时,令 2n 1 (n ), 得
n 3600 1800 n 3600 1800 450
2
这表明 是第三象限的角;
综
合10
2
写出A、B、C、D四个集合之间的包含关系。
解: ABC D
例9 1 若是锐角
一 (1) 则 是第 象限角; 2
(2) 则 2是一或二象限角或终边与Y轴正半轴重合
2 若是钝角
一 (1) 则 是第 象限角; 2
(2) 则 2是 三或四象限角或终边与Y轴负半轴重合
例10 若角
是第一象限内的角，问 2 , 是第几象限的角?
新课引入
1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的. 在平面几何中，角的取值范围如何？
2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日， 在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏 跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”， 震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念.
2
又 - 900 900
450 (900 ) 450 900
2
即 1350 1350
2
例7 若 是第三象限内的角，则 900 是（C ）
A 第一象限内的角
B 第二象限内的角
C 第三象限内的角
D 第四象限内的角
求 - 的 范 围.
2
分析: 形如' A B'的式子求范围,一般先分别求出 B与A的
范围,再相加.由于A的范围已知,所以我们只要能求出 B的
范 围, 就 能 解 出 本 题. 解: 900 900
450 450
2
450 450
y
y
y
y
210°
x
x
x
x
o
－50°
o 405°
o
o
－200°
y －450°
x o
新课教学 思考：如果α 是第二象限的角，那么2α 、α /2分 别是第几象限的角？ 90°＋k·360°<α<180°＋k·360°
180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
分析: 只需求出900 的范围,即可判断.
解: 3600 1800 3600 2700 ( )
3600 2700 3600 1800 ( )
即 3600 2700 3600 1800 ( )
例10 若角
是第一象限内的角，问 2 , 是第几象限的角?
2
(2) 是第一象限的角,
3600 3600 900 ( )
1800 1800 450 ( )
2
10当为偶数时,令 2n (n ), 得
解：（1）530 3600 3070 530为第四象限角
（2）2600 3600 1000260 0是第二象限角
（3）13200 33600 2400 1320 0是第三象限角
（4）2134056 53600 334056
2134 056是第四象限角
y
o
x
y
o
x 与表示终边相同的角
典型例题
95。
第二象限
1
30。
第一象限
236。50’
第三象限
(1)60 (2) 21 (3)36314
解： (1) 300 ，60 (2) 21，339 (3) 356 46，3 14
y
y
o
x
o
y
o
x
y
x
o
x
y
o
x
新课教学
思考：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负 半轴上的角分别如何表示？
课堂练习
120。y
o
135。 y
45。
Leabharlann Baidu
30。
x
o
x
{ | 30。 k 360 120 k 360, k Z} { |135。 k 360 405 k 360, k Z}
例题讲解
例1 与 5170 的终边相同的角可表示为（ C ）
A 3600 5170 z B 3600 1570 z C 3600 2030 z