第三章 第3节 三角函数的图象和性质

第三章 第三节 三角函数的图象和性质

1.函数y ＝tan 4

x π(-)的定义域是 ( ) A ．{x |x ≠π

4，x ∈R}

B ．{x |x ≠－π

4，x ∈R}

C ．{x |x ≠kπ＋π

4，k ∈Z ，x ∈R}

D ．{x |x ≠kπ＋3π

4，k ∈Z ，x ∈R}

解析：∵x －π

4≠kπ＋π

2，∴x ≠kπ＋34π，k ∈Z.

答案：D

2．求下列函数的定义域：

(1)y ＝cos x ＋tan x ；

(2)y ＝lg(2sin x －1)＋－tan x －1

cos(x 2＋π8)

.

解：(1)要使函数有意义，

则⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ≥0，tan x ≥0，即⎩⎨⎧ 2kπ－π2≤x ≤2kπ＋π

2，

kπ≤x ＜kπ＋π

2，(k

∈Z)， 所以2kπ≤x ＜2kπ＋π

2(k ∈Z)．

所以函数y ＝cos x ＋tan x 的定义域是

{x |2kπ≤x ＜2kπ＋π

2，k ∈Z}．

(2)由函数式有意义得⎩⎪⎨⎪⎧

2sin x －1＞0，－tan x －1≥0，cos(x 2＋π

8)≠0，

得⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞12，tan x ≤－1，

x 2＋π8≠kπ＋π2，(k ∈Z)．

即⎩⎪⎨⎪⎧ 2kπ＋π6＜x ＜2kπ＋5π6，kπ－π2＜x ≤kπ－π4，

x ≠2kπ＋3π4，(k ∈Z)．

求交集得2kπ＋π2＜x ＜2kπ＋3π4

(k ∈Z)． 所以函数的定义域是{x |2kπ＋π2＜x ＜2kπ＋3π4

，k ∈Z}． 3.若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4

]内单调递增，则f (x )可以是 ( ) A ．1 B ．cos x C ．sin x D ．－cos x

解析：y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2

，满足题意，所以f (x )可以是－cos x . 答案：D

4．求y ＝3tan(π6－x 4

)的周期及单调区间． 解：y ＝3tan(π6－x 4)＝－3tan(x 4－π6

)， ∴T ＝π|ω|

＝4π， ∴y ＝3tan(π6－x 4

)的周期为4π. 由kπ－π2＜x 4－π6＜kπ＋π2，得4kπ－4π3＜x ＜4kπ＋8π3

(k ∈Z)， y ＝3tan(x 4－π6)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3

)(k ∈Z)内单调递增． ∴y ＝3tan(π6－x 4)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3

)(k ∈Z)内单调递减．

5.已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12

]，则b －a 的值不可能是 ( )

A.π3

B.2π3 C ．π D.4π3

解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3

]． 答案：A

6．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间[－π3，π4

]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32

C ．2

D ．3 解析：由题意知⎩⎨⎧ T 4≤π3，

T ＝2πω，

解得ω≥32

. 答案：B 7．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间[0，π2

]上的最小值为－4，那么a 的值等于 ( )

A ．4

B ．－6

C ．－4

D ．－3

解析：y ＝cos2x ＋3sin2x ＋a ＋1＝2sin(2x ＋π6

)＋a ＋1， ∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6

]， ∴y min ＝2×(－12

)＋a ＋1＝a ＝－4. 答案：C

8．(2010·诸城模拟)设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x ·cos x ＋m (m ，x ∈R)

(1)化简函数f (x )的表达式，并求函数f (x )的最小正周期；

(2)当x ∈[0，π2]时，求实数m 的值，使函数f (x )的值域恰为[12，72

]． 解：(1)f (x )＝2cos x ＋23sin x cos x ＋m

＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋m

＝2sin(2x ＋π6

)＋m ＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.

(2)∵0≤x ≤π2

， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6

， ∴－12≤sin(2x ＋π6

)≤1，

m ≤f (x )≤m ＋3.

又12≤f (x )≤72，故m ＝12

.

9.(2009·江西高考) ( )

A ．2π B.3π2 C ．π D.π2

解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x

＝2sin(x ＋π6)，T ＝2π|ω|

＝2π. 答案：A

10．(2009·福建四地六校联考)若函数f (x )同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②

图象关于直线x ＝π3对称；③在区间[－π6，π3

]上是增函数．则y ＝f (x )的解析式可以是 ( )

A ．y ＝sin(2x －π6)

B ．y ＝sin(x 2＋π6

) C ．y ＝cos(2x －π6) D ．y ＝cos(2x ＋π3

) 解析：逐一验证，由函数f (x ) 的周期为π，故排除B ；

又∵cos(2×π3－π6)＝cos π2＝0，故y ＝cos(2x －π6)的图象不关于直线x ＝π3

对称； 令－π2＋2kπ≤2x －π6≤π2＋2kπ，得－π6＋kπ≤x ≤π3

＋kπ，k ∈Z ， ∴函数y ＝sin(2x －π6)在[－π6，π3

]上是增函数． 答案：A

11．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)有最小值，无最大值，则ω＝________. 解析：由f (π6)＝f (π3

)， 知f (x )的图像关于x ＝π4对称．且在x ＝π4

处有最小值， ∴π4ω＋π3＝2kπ－π2

， 有ω＝8k －103

(k ∈Z)． 又∵12T ＝πω＞π3－π6＝π6

，