插值、拟合与回归

a1 x0 a1 x1
a2 x02 a2 x12
y0 y1
a0
a1 x2
a
2
x
2 2
y2
y0
y1
y1
O
x0
x1
x2
该三元一 次方程组 的系数矩阵
1 1
x0 x1
1 x2
y=L2(x)
y=f(x) x
x02 x12
x22
的行列式是范德蒙行列式，当 x0 x1 x2
方程组的解唯一。 2020/11/19
都是n次 2020/11/19
lk (x)
的零点,故j可khh 设
13
lk (x) Ak (x x0 )( x x1 )(x xk1 )( x xk1 )(x xn )
其中 Ak 为待定常数。由条件 lk (xk ) 1 ,可求得 Ak
n
Ak (xk x j ) 1 j0 jk
jkhh
17
1.4 插值多项式的误差
在插值区间a, b上用插值多项式p(x)近似代替f(x), 除了
在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误
差的。
y=f(x) y=p(x)
a x0x1
xixi+1
b xn-1 xn
若记 R (x) = f(x) - p(x)
则 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称
l1 (x)
x x0 x1 x0
l0 (x) l1 (x) 1 7
lk ( xi ) ki
1 0
(i k ) (i k )
l0 (x) 与 l1(x) 称为线性插值基函数。且有
lk (x)
1 j0
x xj , xk x j
jk
k 0,1
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
2插020/1值1/19余项我们可根据后面的jk定hh 理来估计它的大小。
18
定理2 设f(x)在a, b有n+1阶导数， x0, x1,…, xn 为 a, b上n+1个互异的节点, p(x)为满足
p(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的n 次插值多项式，那么对于任何x a, b有 插值余项
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
x1
1 )( x0
x2
)
从而导出
2020/11/19
l0
(x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 jkhh x2 )
11
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0, l1(x2 ) 0
取已知数据 y0 , y1, y2 作为线性组合系数,将基函数
l0 (x), l1(x), l2 (x) 线性组合可得
P(x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 x0
)(x x2 ) )( x1 x2 )
y1
(x (x2
x0 x0
)(x x1) )( x2 x1)
的插值多项式
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
及满足条件：l2 (x2 ) 1, l2 (x0 ) 0, l2 (x1) 0 的插值多项式
l2
(x)
(x (x2
x0 x0
)( x x1 ) )( x2 x1 )
这样构造出来的 l0 (x), l1(x), l2 (x) 称为抛物插值的基函数
jkhh
2
一 插值法的基本原理
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0 , x1 ,, xn 是 [a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值
为已知 f (x0 ), f (x1),, f (xn ) ,即 yi fLeabharlann Baidu(xi ) 若存在一个
f(x)的近似函数 (x),满足
然后再推广到一般形式。
1.1 线性插值与抛物插值 （1）线性插值
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数
f(x)在两个互异的点 x0 ，x1 的值，y0 f (x0 ), y1 f (x1)
,现要求用线性函数 p(x) ax b 近似地代替f(x)。选
择参数a和b, 使 p(xi ) f (xi )(i 0,1) 。称这样的线性函数
P(202x0/)11为/19 f(x)的线性插值函数 。jkhh
6
线性插值的几何意义:用 通过点 A(x0 , f (x0 )) 和 B(x1, f (x1 )) 的直线近似地代替曲线 y=f(x)由解析几何知道, 这条直线用点斜式表示为
y=f(x)
p(x)=ax+b
A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
望 (x) 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。由 于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所
以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多
项式。
P(x) an x n an1 x n1 a1x a0
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jkhh
4
满足
P(x) an x n an1 x n1 a1 x a0 P(xi ) f (xi ) (i 0,1,2,, n)
R(x) f (x) p(x) f (n1) ( ) (x)
(n 1)!
a<<b 且依赖于x
n
其中 (x) (x x0 )(x x1)(x xn ) (x xi ), a,b
证明 ( 略 )
i0
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jkhh
19
对于线性插值，其误差为
R(x)
f
(x)
P(x)
y2
(x–x0)(x–x2) (x1–x0)(x1–x2)
y1
x0=1, x1=4, x2=9
y0=1, y1=2, y2=3
(7–4)(7–9)
(7–1)(7–9)
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
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y2
2020容/11/1易9 看出,P(x)满足条件 P( jkhh xi ) yi
(i 0,1,2)
12
1.3 拉格朗日插值多项式
我们看到,两个插值点可求出一次插值多项式,而三
个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1
个时,也就是通过n+1个不同的已知点 (xi , yi )(i 0,1,, n) ,来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。与推导抛物插
(x0 , y0 ), (x1, y1), (x2 , y2 ) 的抛物线 y P(x) 近似代替曲线
y f (x) ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
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jkhh
9
P(x)的参数 a0 , a1 , a2 y
直接由插值条件决定，
即
a0
,
a1
,
a
满足下面
2
的代数方程组：
a0 a0
jkhh
时，
10
为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,用
基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值
问题：
求二次式 l0 (x) ,使其满足条件：
l0 (x0 ) 1, l0 (x1 ) 0, l0 (x2 ) 0
这个问题容易求解。由上式的后两个条件知:
x1 , x2 是 l0 (x) 的两个零点。于是
(xi ) f (xi ) (i 1,2,, n)
(1)
则称 (x) 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点
xi为插值节点, 称(5.1)式为插值条件, 而误差函数 R(x)= f (x) (x) 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值
区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插
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jkhh
3
插值函数 (x) 在n+1个互异插值节点 x i (i=0,1,…,n )
处与 f (xi ) 相等,在其它点x就用 (x) 的值作为f(x)
的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换
句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”
所要点的函数值。用(x) 的值作为f(x)的近似值,不仅希
P(xi ) f (xi ) (i 0,1,2,, n) 的n次代数插值多项式。
P(x) l0 (x) y0 l1 (x) y1 ln (x) yn 事实上，由于每个插值基函数 lk (x)(k 0,1,, n) 都是n次值多项式,所以他们的线性组合
n
P( x) lk ( x) yk k 0
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称
为代数插值法。其几何意义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
y1
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x0
x1
jkhh
yn
xn x
5
1 拉格朗日（Lagrange）插值
为了构造满足插值条件 p(xi ) f (xi ) (i=0,1,2,…,n ) 的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,
（2）
是次数不超过n次的多项式 , 称形如（2）式的插
值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为
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jkhh
Ln (x)
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例2 已知y=f(x)的函数表 X1 3 y12
求线性插值多项式, 并计算x=1.5 的值
解: 由线性插值多项式公式得
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
R1 (x)
1 2
f
( )(x)
因为
f
( x)
1
x
3
2
R1 (x)
值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式 li (x) 的插 值问题,使其在各节点 xi 上满足
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k )知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
于是
Ak n 1
(xk x j )
j0 jk
代入上式,得
n
(x xj )
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 为关于基点 l (x) 2020/11/19k xi 的n次jkhh插值基函数(i=0,1,…,n) 14
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
为了便于推广，记
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
这是一次函 数,且有性质
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l0 (x0 ) 1, l0 (x1 ) 0 l1 (x0 ) 0 , l ( jk1hh x1 ) 1
插值、拟合与回归
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jkhh
1
插值、曲线拟合与回归
引. 问题的提出
函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区 间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
或者给出函数表
x
x0
x1
x2
…… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x)
y=f(x)
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8
1.2 抛物插值
抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。
设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2 ，要构造次数不超过二次的多项式
P(x) a2 x 2 a1x a0
使满足二次插值条件：
P(xi ) yi (i 0,1,2)
这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点
y1
x 3 1 x 1 2 1 (x 1)
1 3
3 1
2
f (1.5) p(1.5) 1.25
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jkhh
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例3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式,
求
7
p2(x) =
(x–x1)(x–x2) (x0–x1)(x0–x2)
y0 +
+
(x–x0)(x–x1) (x2–x0)(x2–x1)
p(x) l0 (x) y0 l1 (x) y1
例1 已知 100 10, 121 11, 求 y 115
解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值
p(x) x 121 10 x 100 11
100 121
121 100
2020/11/19 y 115 p(115 ) 10 jkhh .714
1 2
f
( )(x
x0 )(x
x1 )
a,b
对于抛物插值（二次插值），其误差为
R(x)
f
(x)
P(x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1) (x
x2 )
a,b
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例5 已知 x0 =100, x1=121, 用线性插值估计 f (x) x
在x=115时的截断误差
解: 由插值余项公式知