抽屉原理与存在性问题(上)
狄利克雷
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[编辑本段]基本简介桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。
它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题,因此,也称为狄利克雷原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
[编辑本段]抽屉原理常见形式原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
[证明](反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),这不可能.原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
[证明](反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
.原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理:把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
[证明](反证法):若每个抽屉都有不少于m个物体,则总共至少有mn个物体,与题设矛盾,故不可能二.应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1:400人中至少有两个人的生日相同.解:将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:至少有两人的生日相同.又如:我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。
第一讲 存在性问题(上)
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引 言组合数学是以任意一组离散性事物按照一定的规则安排或配置的方法为主要研究内容的数学分支,具体来讲,主要解决四个问题.一.满足一定条件的安排是否存在;二.在确知存在的条件下,确定一切可能的安排的个数;三.给出所有可能的安排方案;四.当对不同的安排的优劣标准时,求出最好的安排.简称为存在性问题、计数问题、安排问题、优化问题.下面我们先来看几个非常有趣的问题.例1.在一条直线上相邻两点的距离都等于1的四点中各有一只青蛙,允许任意一只青蛙及其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上。
证明:无论跳动多少次后,四只青蛙所在的点中,相邻两点之间的距离不能都等于2012.例2.如图所示,将88的国际象棋棋盘的左上角和右下角都剪去一个小方格,问剪去两角的棋盘能否用31个12的矩形完美覆盖?证明你的结论.例3.一位旅行者乘火车到某地旅游,在街上逛了一整天,在广场上某饭店吃了晚饭后。
证明:他一定能沿着走过奇数次的街道回到火车站.例4.现有6只盘子排成一列,每次取两只盘子,将它们移动到相邻的位置(或左、或右)的位置上,盘子可以重叠。
问能否移动若干次后,使6只盘子全叠在一起.第一部分存在性问题1.1抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,例如:“13个人中至少有两个人出生在相同月份”;“某校400名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日”;“2003个人任意分成200个小组,一定存在一组,其成员数不少于11”;“把[0,1]内的全部有理数放到100个集合中,一定存在一个集合,它里面有无限多个有理数”。
这类存在性问题中,“存在”的含义是“至少有一个”。
在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
这类问题相对来说涉及到的运算较少,依据的理论也不复杂,我们把这些理论称之为“抽屉原理”.“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“迪里赫莱原理”,也有称“鸽巢原理”的。
存在性智力趣题与抽屉原理
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数学趣题一本数学智力趣题集中有如下三道趣题.1.平面上有1987个点,若其中任何三点中都有两点的距离小于1,则必存在一个半径为1的圆,它至少盖住这1987个点中的994个点.2.一个正方形被9条直线分割,若其中每一条直线都与正方形的一对对边相交,且把该正方形分成面积比为2∶3的两个梯形,则这9条直线中至少有3条直线交于同一点.3.平面上有n (n ≥4)个互不相同的点,每两点间用直线段相连,若其中长度为d 的线段有n+1条,则这n 个点中至少有1点,从该点出发的线段中至少有3条线段长度为d .上述三道趣题有一个共同点,它们都是与数量有关的存在性命题.关于涉及数量的存在性的证明,有一个简单而强有力的武器———抽屉原理:若将sn+b 个苹果(s,b,n ∈N +,0<b<n)放入n 个抽屉中,则至少有一个抽屉中放了至少s+1个苹果.这个结论用反证法很容易证明,因为如若不然,每个抽屉中最多都只放了s 个苹果,则全部n 个抽屉中最多只放了sn 个苹果,与苹果总数为sn+b 矛盾,因此结论成立.应用抽屉原理证明问题的关键是确定该问题的“抽屉”是什么,“苹果”是什么,且各自的个数符合要求.对于第1题,“抽屉”是半径为1的圆,“苹果”自然就是这1987个点了,由于1987=993×2+1,因此由抽屉原理知,需要2个抽屉,即需要有两个半径为1的圆盖住这1987个点,才能得到所需要的结论.因此,能否构造出这两个圆,就成了应用抽屉原理的关键.在1987个点中任取一点A,以A 为圆心作半径为1的⊙A,若⊙A 能盖住全部1987个点,则结论已成立.若有点B 不被⊙A 盖住,即AB>1,就再以B 为圆心作半径为1的⊙B,这时⊙A 和⊙B 就盖住全部1987个点了.这是因为,若有点C 不被⊙A 和⊙B 盖住,则AC>1,且BC>1,又AB>1,与题设矛盾.对于第2题,“苹果”是分割正方形的9条直线,“抽屉”是什么呢?设直线MN 把正方形分割成面积比为2∶3的两个梯形,如图.由于点M 、N 在一对对边上,所以这两个梯形的高相等于是,它们的面积比等于中位线段长之比∶PB,即AP ∶PB=2∶3,从而可知点P 是正方形中位线段AB 上的一个定点(2∶3的分点).于是凡通过AB 上的定点P 且与和AB 平行的一对对边都相交的直线,都分该正方形为面积比是2∶3的两个梯形.根据对称性可得,分中位线段AB 为BQ ∶AQ=2∶3的点Q 以及分另一条中位线段CD 为CR ∶RD=2∶3的点R 及DS ∶S C=2∶3的点S 都与点P 的地位相同.于是我们得到A 是和正方形的一对对边都相交且把正方形分割成面积比为2∶3的两个梯形的直线,皆经过上述4个定点P 、Q 、R 、S 之一,因此就以这4个定点为“抽屉”,9条直线分别通过这4个定点之一,由于9=2×4+1,抽屉原理断言,至少有3条直线通过同一点.对于第3题,记n 个不同点为P 1,P 2,…,P n .记从点P i 出发的长度为d 的线段有m i 条(i=1,…,n ),于是从n 个点出发的长度为d 的线段共有m 1+m 2+…+m n =2(n+1)条,这里乘2是因为每条线段有两个端点,所以每条线段都被计算了两次.我们把n 点看作“抽屉”,长度为d 的线段看作“苹果”,2n +2条线段分给n 个点,由抽屉原理可得至少有3条线段从同一点出发.抽屉原理的加强形式是:设a 1,a 2,…,a n 是n 个正整数,若把a 1+a 2+…+a n+1个苹果放入编号为1,2,…,n 的n 个抽屉中,则至少有一个号码i (1≤i ≤n ),使第i 个抽屉中至少放了a i +1个苹果.当每个a i 都取1时,就是抽屉原理的最简单形式:若把n +1个苹果放入n 个抽屉中,则至少有一个抽屉中要放入2个或更多个苹果.本文前面列出的则是抽屉原理的最常用形式.具体应用抽屉原理时,该问题中的“抽屉”和“苹果”各是什么,往往并不是一眼就能看出的.有时巧妙之处就在于构造出了合适的“抽屉”,而有时是构造出了合适的“苹果”,问题就巧妙地解决了请再看存在性智力趣题与抽屉原理王敬庚(北京师范大学数学科学学院北京100875)(下转第页)AC BDN PR QSM42.A P .41下面这道趣题.有10个人,每人手中各有面值一元的硬币若干,最少有1枚,最多不足10枚,将他们分成两组,若每组中各人手中的硬币数都不相同,则必有分属于两组的两个人手中的硬币数之和恰为10.根据抽屉原理立刻可得10人中必有两人手中的硬币数相等,然而这并不是本题所要求的结论.那么本题还能应用抽屉原理解决吗?由于本题仍然是一个涉及数量的存在性命题,因此仍可试用抽屉原理来证明,如何用呢?“抽屉”是什么,“苹果”又是什么?设10人分为A、B两组,A组有m人,各人手中的硬币数为,,…,B组有人,各人手中的硬币数为,,…,b l.m+l=10.对于1≤i≤m,有1≤a i≤9,且所有a i互不相等,对于1≤j≤l,有1≤bj≤9且所有bj亦互不相等.要证明存在一个i和一个j,使ai+b j=10,即10-a i=b j,于是我们构造10-a1,10-a2,…,10-am,对于1≤i≤m,亦有1≤10-ai≤9且各个10-ai互不相等.选取1,2,…,9为“抽屉”,10-a1,10-a2,…,10-a m,b1,b2,…,bl为“苹果”,由于m+l=10,根据抽屉原理至少存在某个i和某个j,使10-ai与bj同时落在一个抽屉中,即10-ai=b j,即ai+b j=10.抽屉原理本身很简单,且很容易理解,但应用它需要相当的技巧,关键在于构造出合适的“抽屉”和“苹果”.(责任编辑李闯)关系及圆的切线判定方法、切线长定理是本章的第三个重点.从具体情境或从前提出发进行合情推理得出圆的有关性质,及运用圆的有关性质建立数学模型解决实际问题是本章的教学难点.二、教学建议1.本章内容涉及的图形很多是圆与直线、圆与三角形的结合.它是在学生认识了点、线、面、角、相交线与平行线、三角形、四边形的基础上学习圆的相关知识.教学时,教师应注意复习与学习内容有关联的知识,把新知转化为旧知,把未知转化为已知,把一般问题转化为特殊问题,使学生在学习数学的活动中,体验数学思考的方法,通过自主探索、合作交流、实践应用,认识和掌握圆的基本性质;对于与圆的位置关系及圆中的计算问题,教师应引导学生积累探究数学问题、开展数学活动的经验,发展空间观念,形成数学能力.2.教学中,教师要强调学生动手操作、观察思考、归纳结论,然后有意识地引导学生说理,培养推理能力,为学习下一章图形的全等中的命题与证明奠定基础.教师在教学中一定要根据教材的编写特点,让学生运用轴对称、旋转变换、运动变化的数学方法去探索圆的性质及点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,不能代替学生的操作,更不能用处理传统教材的方法进行教学,而是将需要探索的结论设计成问题,让学生进行有针对性的操作、观察、思考,获得所需要的结论,然后引导学生进行说理,培养学生的问题意识和推理意识.教师要充分发挥学生在数学活动中的主体作用,自己仅作为数学活动过程中的组织者、引导者、合作者;要关注过程,充分调动每个学生的学习兴趣和积极性,促使学生人人动手、动脑,数学地思考问题,提高学习效率.3.教学中,教师要适当地引导学生根据已知条件,结合图形进行拓展延伸.新课程改革强调数学问题的开放性以及数学结论的多样性,结论的开放有利于学生创新意识的培养.因此,教师在教学过程中不能照本宣科,要引导学生对教材中提供的数学问题从多角度进行观察,让学生获得更多的结论,享受学习成功的乐趣,养成探索数学问题的良好习惯,培养发散思维能力.如教学P48“试一试”,当学生探索得出垂直于弦的直径一定平分弦以及弦所对的弧的结论后,可引导学生进一步利用教材中图23.1.7探究圆的半径R、弦长a、弦心距d之间的数量关系,这样能强化垂径分弦定理的实用性.又如教学P59“试一试”,教师在归纳总结出三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念时,可引导学生进一步观察教材中的图23.2.12,并进行探究:(1)在△ABC中,已知AB=c,BC=a,AC=b,内切圆半径为R,能否求出△ABC的面积?(2)如果已知△ABC的面积及三边的长,能否求出△ABC的内切圆半径?(3)∠AIB与∠C之间有何数量关系?4.进行课程资源开发,弥补教材中关于实际问题的应用例题、习题的不足.在教学中,教师要结合教学内容,适当地补充能运用圆的有关知识解决实际问题的例题和习题,突出圆在工农业生产及日常生活中的广泛应用价值,体现《数学课程标准》所提出的“人人学有价值的数学,人人都能获得必须的数学,不同的人在数学上得到不同的发展”的理念.5.重视现代信息技术在数学教学中的运用,发挥多媒体辅助教学的作用.教师要根据教学内容开发课件,向学生提供更为丰富的学习资源,能运用图形形象地描述问题,改变学生的学习方式,为学习数学和解决问题提供强有力的工具.但是在运用中要注意,多媒体的演示不能代替数学思维的过程,因此探究数学问题的过程不能板书在课件上,而要通过教师一步一步的板演让学生领悟数学思维的方法,提高解决数学问题的能力.(责任编辑李闯)课堂链接(上接第42页)a 1a2am.l b1b241。
初中数学竞赛:抽屉原理(含例题练习及答案)
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初中数学竞赛:抽屉原理把5个苹果放到4个抽屉中,必然有一个抽屉中至少有2个苹果,这是抽屉原理的通俗解释。
一般地,我们将它表述为:第一抽屉原理:把(mn+1)个物体放入n个抽屉,其中必有一个抽屉中至少有(m+1)个物体。
使用抽屉原理解题,关键是构造抽屉。
一般说来,数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等,都可作为构造抽屉的依据。
例1从1,2,3,…,100这100个数中任意挑出51个数来,证明在这51个数中,一定:(1)有2个数互质;(2)有2个数的差为50;(3)有8个数,它们的最大公约数大于1。
证明:(1)将100个数分成50组:{1,2},{3,4},…,{99,100}。
在选出的51个数中,必有2个数属于同一组,这一组中的2个数是两个相邻的整数,它们一定是互质的。
(2)将100个数分成50组:{1,51},{2,52},…,{50,100}。
在选出的51个数中,必有2个数属于同一组,这一组的2个数的差为50。
(3)将100个数分成5组(一个数可以在不同的组内):第一组:2的倍数,即{2,4,…,100};第二组:3的倍数,即{3,6,…,99};第三组:5的倍数,即{5,10,…,100};第四组:7的倍数,即{7,14,…,98};第五组:1和大于7的质数即{1,11,13,…,97}。
第五组中有22个数,故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中,根据抽屉原理,总有8个数在第一组到第四组的某一组中,这8个数的最大公约数大于1。
例2求证:可以找到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数。
证明:因1996÷4=499,故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数,它是499的倍数就可以了。
得到500个余数r1,r2,...,r500。
由于余数只能取0,1,2, (499)499个值,所以根据抽屉原理,必有2个余数是相同的,这2个数的差就是499的倍数,这个差的前若干位是1,后若干位是0:11…100…0,又499和10是互质的,故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数,将它乘以4,就得到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数。
抽屉原理
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解: 第一行中的5个小方格用黑、白两种颜色去染,至少有 3个小方格同色.不妨设第一行的前3个为白格. 现在考虑位于这3个白格下面的那个3×4的长方形,用黑、 白两种颜色去染这个3×4的长方形,有以下两种情况: ①若在某一行的3个方格中出现两个白格,则它们与上方第 一行相应的两个白格可组成四角同为白色的长方形。 ②若在4×3的长方形的任意一行的3个小方格中都不含两个 白格,也就是每一行的3个小方格所涂的颜色只有一白二黑 或三黑,则只有下面(1)、(2)、(3)、(4)共4种可 能.如果(4)出现在某一行中,那么不管其他三行(1)、 (2)、(3)、(4)中的哪种情况,必有一个四角为黑色 小方格的长方形.如果(4)未出现,则在这四行中只能出现 (1)、(2)、(3)这3种情况,由抽屉原理可知,必有 两行染色方式完全相同,显然这两行中的4个黑色小方格可 构成四角同黑的长方形.
A
B
C
D
E
例2.一副扑克牌(去掉两张 王牌),每人随意摸两张牌, 至少有多少人才能保证他们当 中一定有两人所摸两张牌的花 色情况是相同的?
例2.一副扑克牌(去掉两张王牌),每人随意摸两张牌, 至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花 色情况是相同的?
解: 扑克有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色, 2张牌的花色可以有:2方块,2梅花,2红桃,2黑 桃,1方块1梅花,1方块1黑桃,1方块1红桃,1梅 花1黑桃,1梅花1红桃,1黑桃1红桃共计10种情况.
证法1:每一列的三个格用黑、白两种颜色染色.所有 可能的染法只有如下图中的八种:
如果某一列是方式(1),即三格均为白色, 则其余6列中只要再有第(1)(2)(3)(4)种方式之 一(即该列中至少有两个白格)显然存在一个四角格都是 白色的长方形. 若第(1)、(2)、(3)、(4)种方式均未出现,其余 6列就只能是(5)、(6)、(7)、(8)这四种方式, 根据抽屉原理,其中至少有两列染色方式完全一样. 又(5)~(8)中每一列至少有两格染黑色,所以一定存 在一个长方形,它的四角格颜色都是黑色。 同理可知,如果有一列是第(8)种方式,即三格均为黑 色,那么也存在四角同色的长方形。 如果在7列中(1)、(8)两种方式都未出现,则只有 (2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)这六种方式 染这4列, 根据抽屉原理,至少有两列染色方式完全一样,所以仍然 存在四角同色的长方形
_抽屉原理精华及习题(附答 案)
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第九讲 抽屉原理1、知识点:1.把27个苹果放进4个抽屉中,能否使每个抽屉中苹果数均小于等于6?那么至少有一个抽屉中的苹果数大于等于几?2.把25个苹果放进5个抽屉中,能否使每个抽屉中苹果数均小于等于4?那么至少有一个抽屉中的苹果数大于等于几?上述两个结论你是如何计算出来的?★规律:用苹果数除以抽屉数,若余数不为零,则“答案”为商加1,若余数为零,则“答案”为商。
★抽屉原则一:把个以上的苹果放到个抽屉中,无论怎样放,一定能找到一个抽屉,它里面至少有两个苹果。
★抽屉原则二:把多于×个苹果放到个抽屉中,无论怎样放,一定能找到一个抽屉,它里面至少有(+1)个苹果。
2、基础知识训练(再蓝皮书)1、把98个苹果放到10个抽屉中,无论怎么放,我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉,它里面至少含有个苹果。
2、1000只鸽子飞进50个巢,无论怎么飞,我们一定能找到一个含鸽子最多的巢,它里面至少含有只鸽子。
3、从8个抽屉中拿出17个苹果,无论怎么拿。
我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了个苹果。
4、从个抽屉中(填最大数)拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了7个苹果。
3、 思路与方法:在抽屉原理问题,难在有些题目抽屉没有直接给出,要求我们自己根据题意去造抽屉,但我们也不要为此感到困难,往往在题目有一句关键的话,告诉我们抽屉的性质,我们可以根据此性质来构造抽屉即可。
训 练 题1.六(1)班有49名学生。
数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说:“我可以断定,本班同学至少有4人成绩相同。
”请问王老师说的对吗?为什么?2.从这100个数中任意挑选出51个数来,证明在这51个数中,一定:(1)有2个数互质;(2)有两个数的差为50;3.圆周上有2000个点,在其上任意地标上(每一点只标一个数,不同的点标上不同的数)。
求证:必然存在一点,与它紧相邻的;两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。
抽屉原理专项讲义
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抽屉原理专项讲义一、基本概念1、第一抽屉原理:把(mn+1)个物体放入n个抽屉,其中必有一个抽屉中至少有(m+1)个物体。
2、第二抽屉原理:把(mn-1)个物体放入n个抽屉,其中必有一个抽屉中至多有(m-1)个物体。
3、抽屉原理的推广平均值原理:如果n个数的平均值为a,那么其中至少有一个数不大于a,也至少有一个数不小于a。
二、构造抽屉的一般依据:1、奇偶性2、剩余类(按余数分)3、合理分组,按题目要求,满足题意的分为一组。
4、染色5、线段与平面图形的划分三、例题:例1、对一块3行7列的长方形陈列的小方格的每一格任意染成黑色或白色,求证:在这个方形中,一定有一个由小方格组成的长方形,它的四个角上的小方格同色。
建议:对每一列的三个格用黑、白两种颜色染色。
讨论:按照上述建议,所有可能的染法只有如下八种:白白白黑黑黑白黑白白黑白黑白黑黑白黑白白白黑黑黑(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)如果在所有染色的3行7列中某一列是第(1)种方式,即三格均为白色,则其中第6列中只有第(1)、(2)、(3)、(4)种方式之一(即该列中至少有两个白格)那么显然存在一个四角格都是白色的长方形。
如第(1)、(2)、(3)、(4)种方式均未出现,那么其余6列就只能是(5)、(6)、(7)、(8)这四种方式,根据抽屉原理,其中至少有两列染色方式完全一样。
又(5)、(6)、(7)、(8)中每一列至少有两列染黑格,所以一定存在一个长方形,它的四角格颜色都是黑色。
同理可知,如果有一列是(8)种方式,即三格均为黑色,那么也存在四角同色的长方形。
证明:第一行有7个小方格,用黑、白两种颜色去染,根据抽屉原理,至少有四个方格所染的颜色相同,设第一行有4个黑方格,再看第二行,如果在第一行的四个黑方格下面的四格中有两格是黑色,则结论显然是成立的。
再看第三行,根据抽屉原理,在第三行的位于第二列的3个白色下面的3个格中必定至少有两格同色。
小学奥数—抽屉原理
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小学奥数-抽屉原理(一) 先了解一下抽屉原理的概念,然后结合一些较复杂的抽屉原理问题,讨论如何构造抽屉。
抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。
理解抽屉原理要注意几点:(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系,要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多,至于多多少,这倒无妨。
(2)“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法,不规定每个抽屉中都要放物品,即有些抽屉可以是空的,也不限制每个抽屉放物品的个数。
(3)抽屉原理只能用来解决存在性问题,“至少有一个”的意思就是存在,满足要求的抽屉可能有多个,但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
(4)将a件物品放入n个抽屉中,如果a÷n= m……b,其中b是自然数,那么由抽屉原理2就可得到,至少有一个抽屉中的物品数不少于(m+1)件。
例1 五年级有47名学生参加一次数学竞赛,成绩都是整数,满分是100分。
已知3名学生的成绩在60分以下,其余学生的成绩均在75~95分之间。
问:至少有几名学生的成绩相同?分析与解:关键是构造合适的抽屉。
既然是问“至少有几名学生的成绩相同”,说明应以成绩为抽屉,学生为物品。
除3名成绩在60分以下的学生外,其余成绩均在75~95分之间,75~95共有21个不同分数,将这21个分数作为21个抽屉,把47-3=44(个)学生作为物品。
例2 夏令营组织2000名营员活动,其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。
规定每人必须参加一项或两项活动。
那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同?分析与解:本题的抽屉不是那么明显,因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”,所以应该把活动项目当成抽屉,营员当成物品。
营员数已经有了,现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。
例3把125本书分给五(2)班学生,如果其中至少有1人分到至少4本书,那么,这个班最多有多少人?分析与解:这道题一下子不容易理解,我们将它变变形式。
抽屉原理

抽屉原理、最不利原则知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理,它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题,因此,也被称为狄利克雷原则.抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理,利用它可以解决很多有趣的问题,并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂,甚至无从下手的问题,在利用抽屉原则后,能很快使问题得到解决.知识框架:认识——抽屉原理解决的是存在性问题操作——构造抽屉的方法:从问题出发,相同即为抽屉;从数量出发:少的就是抽屉。
1、袋中取球;2、数的整除演练——抽屉原理的逆向应用代数细想最不利原则最糟的情形+1就能保证完成目标一、对抽屉原理两个版本的认识抽屉原理1:将n+1个物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
原理要点:(1)物品数比抽屉数多1。
只有物品数比抽屉数多时抽屉原理才会成立。
(2)物品是“任意放”到抽屉中。
(3)其中“物品不少于2件”的抽屉是一定存在的,但是不确定是哪一个。
(4)原理的结论是:“至少有一个抽屉中的物品数不少于2件”,也可以这么说,“至少有2件物品在同一个抽屉中”。
原理讲解:只要有一个抽屉中的物品数不少于2件,抽屉原理1 就是成立的。
当我们可以往抽屉中任意放物品时,最不利的情形就是“平均分”,这样所有抽屉中的物品数都不会太多。
n+1个物品平均地放入n个抽屉,每个抽屉放一个,由于物品数比抽屉数多,就会余出一个物品。
最后,余出的这个物品放入某个抽屉,这个抽屉中就有了2个物品。
此外,其它情形,只要有一个抽屉是空的,那么就一定会有另外的抽屉中有2个或2个以上的物品。
每种方法中,都会有一个鸟笼中的鸽子数不少于2。
在有些地方抽屉原理又叫做“鸽笼原理”。
抽屉原理2(加强版的抽屉原理)将m件物品任意放入n个抽屉(m>n),(1)当m是n的整数倍时,那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于m÷n件;(2)当m不是n的整数倍时,那么至少有一个抽屉中的物品件数是不少于[m÷n]+1件。
抽屉原理
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抽屉原理(一)一.基本原理抽屉原理一:把m 个元素分成n 类个则至少有一类有⎥⎦⎤⎢⎣⎡>n m n m ),(.抽屉原理二:把无穷多个元素分成有限类,则至少有一类包含无穷多个元素.二.实例精选1.有10人参加某次会议,每一位代表至少认识其余9位中的一位,证明:这10人中至少有两人认识的人数相等.2.在前2189个正整数中任取8个数,求证:存在两个数,它们之间的比值在]3,31[内.3.已知整数{}1,0,1,,,,,,,,10211021-∈i x x x x a a a 使得对列证明:存在一个非零数 , 和式10102211x a x a x a +++ 能被1001整除.4.任意给定正整数m ,求证:一定有m 的某一整数倍,它完全由0和1两数字组成.5.设n a a a n 是,,,21 个任意给定的整数,求证:其中一定可以找到紧连在一起的若干个数,使得它们的和可被n 整除.6.任意给定10个自然数,试证明:可以用减、乘两种运算把它们适当连起来,其结果能被1890整除.7.(1)任意100个整数,求证一定可以从中找出若干个整数,使得它们的和被100整除; (2)证明:从任意200个整数中,一定可以找出100个数,它们的和能被100整除.8.对于n+1个不同的自然数,如果每一个数都小于2n ,那么从中选出三个数,使其中两个数之和等于第三个数.9.设集合{}证明:,2,,3,2,1n A =(1)若B是A的任一n+1阶子集,B中一定存在两个数是互素的;(2)一个可被另阶子集中存在两个数,的任意1+n A 一个整除.10.证明:在任意的11个无穷小数中,一定可以找到两个小数,它们的差或者含有无穷多个数字0或者含有无穷多个数字9.三.练习1.证明任意52个正整数,一定可以找到两个数a ,b ,使a+b 或b a -被140整除.2.从1,4,7,10,100,97, 这些数中,任取20个不同的整数形成一个集合A ,求证:A 中必有两组不同的数,其和都是104.3.证明:对任何自然数n ,必有其某一整数倍,使之包含9,,2,1,0 中的每一个数字. 4.设有一十进制无穷小数{}为是偶数,是奇数,且n i a a a a a a a A 21321,9,,2,1,0(.0 ∈= 为有理数的个位数,求证:A )2(21>+--n a a n n .5.已知2n 个自然数满足下列两个条件:n a a a 221,,, .4)2(;21)1(221221n a a a n a a a n n =+++≤≤≤≤≤ 求证:)21(2n i a n i ≤≤必可表示为若干个之和.6.设m 为任一偶数,有m 个正整数,其中每一个均不超过m ,并且所有这些数的和为2m ,求证:一定可以把这m 个正整数分为两组,使得每组中各数之和均为m .抽屉原理(二)一.基本原理抽屉原理一:把m 个元素分成n 类个则至少有一类有⎥⎦⎤⎢⎣⎡>n m n m ),(.抽屉原理二:把无穷多个元素分成有限类,则至少有一类包含无穷多个元素.二.抽屉的构造方法1.整除性问题:常以剩余类为抽屉;2.集合问题:常以元素的性质划分集合构造抽屉; 3.其它问题:常将状态不同的元素分类构造抽屉.三.例题精选1.平面上有定点A,B和任意四点4321,,,P P P P ,求证:这四点中一定有两点j i P P , 31|s i n s i n |)(≤∠-∠≠B AP B AP j i j i 使得. 解:将正弦值的范围[0,1]分成三个区间:]1,32[],32,31[],31,0[即可.2.平面上任意5个整点,两两连接线段的中点之中一定有一个整点. 解:5个点的纵横坐标的奇偶性必有两个相同.3.坐标平面上任意给定13个整点,其中任三点不共线,求证:必有以其中3点为顶点的三角形,其重心是整点.解:横坐标模3的余数为0,1,2,13个点至少有5个点的横坐标模3同余;这5个点的纵坐标模3的余数为0,1,2各有一个,则取这3个,它们的纵,横坐标的和模3余0;否则,必有3个模3同余.得证.4.设正方形ABCD被9条直线相截,每条都把它分成2个四边形,且两者面积之比都是3:2,证明:至少有3条直线共点.解:与一组对边相交的直线至少有5条,至少有三条过点P或Q5.在边长为1的正三角形内,任取7个点,其中任意三点不共线,证明:其中必有三点构成的三角形的面积不超过123. 解:关键:6.在边长为1的正方形内(包括边界)任意放101个点,任何三点都不共线,证明:总可以找三点,以这三点为顶点的三角形面积不大于1. 解:法一:P ∙Q∙关键:把正方形50等分,再证明矩形内接三角形面积不超过矩形面积的一半. 法二:直接把正方形分成100个小正方形,逐步减少抽屉个数,经行33次后,必有 一个小正方形中有3个点.7.在直径为5的圆内任意放入10个点,证明:存在两个点,它们间的距离小于2.关键:3254412225224254<-=⋅⋅⋅-+=AB8.从全世界每个城市各起飞1架飞机,分别落在离它最近的一个城市(若有几个距离一样近,可任选1个).证明:每个城市降落的飞机一定不会超过6架. 关键:假设降落到A城市的飞机多于6架,以A为中心,以到它较远的B城的距离作圆,将圆6等分为6 个区域,则至少有2架落入同一区域, 由DA CA CD ,60或则≤︒≤∠CAD ,故飞机D 应降落在C城,而不是A城,矛盾.9.49个学生解3个问题,每个问题的得分是从0到7的整数,证明存在两个学生A,B,对每个问题,A的得分都不小于B的得分.OACBABCD4四.练习1.设点P是正n 边形的一个内点,证明:该正n 边形存在两个顶点A和B,使得ππ≤∠<-A P B n)21(.2.平面上任意给定6个点(它们无三点共线),试证明:总能找到三点,使得这三点为顶点的三角形的内角中有不超过︒30的角.3.边长为4的正三角形内任意放入11个点,求证:其中有两个点,它们之间的距离不超过332. 4.圆上(圆内和边界)任取8个点,则至少有2个点,其距离小于半径.5.半径为19的圆C内有650个点,证明:存在内半径为2,外半径为3的圆环,它至少盖住其中的10个点.。
抽屉原理

第一抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
抽屉原理[证明](反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),这不可能.原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
[证明](反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
.原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述第二抽屉原理:把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
[证明](反证法):若每个抽屉都有不少于m个物体,则总共至少有mn个物体,与题设矛盾,故不可能应用二.应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1:400人中至少有2个人的生日相同.解:将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:至少有5人的生日相同. 400/366=1…4,1+1=2又如:我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同.“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。
”“从数1,2,...,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同。
”例2:幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.解:从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:(兔、兔),(兔、熊猫),(兔、长颈鹿),(熊猫、熊猫),(熊猫、长颈鹿),(长颈鹿、长颈鹿)。
把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原理1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题,不错,这正是抽屉原则的主要作用.(需要说明的是,运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”,却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.)抽屉原理虽然简单,但应用却很广泛,它可以解答很多有趣的问题,其中有些问题还具有相当的难度。
抽屉问题 演示文稿
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(0,1, 2,, m 1).
• 例13 任取10个整数,求证:其中至少有 两个数的差能被9整除. 证明:除以9余数有 1,2,3,4,8,6,7,8,0. 有9种看作9个抽屉,10个整数看作10个 元素,根据抽屉原理一: 必有两个整数 除以9余数相同, 因此至少有两个数的 差能被9整除.
6、结合图论知识解题
• 例14 (拉姆齐问题)世界上任何6个人中 ,一定有3个人或者互相认识或者互相 不认识,试证之.
• 必有两个有理数在同一括号内, 因此它们的差绝对值不超过1. 例9 边长为1的正三角形(包括边界)的任 意10个点,1 求证:其中至少有两个点其距 离不超过 3 .
证明:把边长为1的正三角 1 形平均分成9个边长为 3 的正三角形. 看作9个抽屉,任意10个点看作10个元素.
• 根据抽屉原理一: 必有两个点在同一三 1 角形内,则两个点其距离不超过 3 . 例10 在边长为1的正方形中任意放入9 个点,其中任三点不在一条直线上,证明: 在以这些点为顶点的三角形中必有一 1 个三角形,它的面积不超过 8 . 证明:把边长为1的正方形分 1 成四个边长为 2 的正方形, 看作四个抽屉,9个点看作四
• 才能保证有两双筷子. 二、抽屉法解题的步骤: 第一步:分析题意,分清什么是“元素”, 什么是集合; 第二步:设计抽屉,根据题设的条件 与结论,结合有关的数学知识,抓住 最基本的数量关系,设计和确定解 决给定问题所需的抽屉及其个数, 这是运用抽屉法解题的关键.
• 第三步:运用抽屉原理,观察题目中把相 应的量放入抽屉时,如果放入的量比抽 屉数多1,则用原理一;如果放入的量m 同抽屉数n的关系是 m kn(k是自然数) , 则用原理二;如果把m件东西放入n个 m 抽屉,求证至少有一个抽屉致多有 n • 件东西,运用原理三;如果涉及无限多个 量,则用原理四.有时还要多次或综合运 用n个原理.
抽屉原理
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抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,例如:“13个人中至少有两个人出生在相同月份”;“某校400名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日”;“2003个人任意分成200个小组,一定存在一组,其成员数不少于11”。
这类存在性问题中,“存在”的含义是“至少有一个”。
在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
这类问题相对来说涉及到的运算较少,依据的理论也不复杂,我们把这些理论称之为“抽屉原理”。
(一)抽屉原理的常见形式定理1:如果把n+1个元素分成n个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素。
证明:(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合,则每个集合至多1个元素,从而n个集合至多有n个元素,此与共有n+1个元素矛盾,故命题成立。
在定理1的叙述中,可以把“元素”改为“物件”,把“集合”改成“抽屉”,抽屉原理正是由此得名。
定理2:把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+ 1个或多于m+1个的物体。
证明:(反证法)若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能定理3:把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
.定理4:把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
证明:(反证法)若每个抽屉都有不少于m个物体,则总共至少有mn个物体,与题设矛盾,(二)抽屉原理研究的几类问题分析:(1)整除问题:例1:对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除.证明∵任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉:[0],[1],[2]①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数),我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5),其和(3+ 4+5=12)必能被3整除.②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个余数(抽屉原理),而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数.③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和能被3整除.例1′:对于任意的11个整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整除.证明:设这11个整数为:a1,a2,a3……a11 又6=2×3①先考虑被3整除的情形由例2知,在11个任意整数中,必存在:3|a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1;同理,剩下的8个任意整数中,由例2,必存在:3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6= b2;同理,其余的5个任意整数中,有:3|a7+a8+a9,设:a7+a8+a9=b3②再考虑b1、b2、b3被2整除.依据抽屉原理,b1、b2、b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇(或同偶)的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2则:6|b1+b2,即:6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.(2)面积问题:例1:九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形证明:这九条直线中至少有三条经过同一点.证明:如图,设直线EF将正方形分成两个梯形,作中位线MN。
抽屉原理是什么意思

分析与解答在这20个自然数中,差是12的有以下8对:{20,8},{19,7},{18,6},{17,5},{16,4},{15,3},{14,2},{13,1}。
另外还有4个不能配对的数{9},{10},{11},{12},共制成12个抽屉(每个括号看成一个抽屉).只要有两个数取自同一个抽屉,那么它们的差就等于12,根据抽屉原理至少任选13个数,即可办到(取12个数:从12个抽屉中各取一个数(例如取1,2,3,…,12),那么这12个数中任意两个数的差必不等于12)。
抽屉原理 桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。
抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”
[证明](反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),这不可能.
原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
[证明](反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能.
(三)染色问题
例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同.
证明:把两种颜色当作两个抽屉,把正方体六个面当作物体,那么6=2×2+2,根据原理二,至少有三个面涂上相同的颜色.
小学六年级奥数-抽屉原理(含答案)
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抽屉原理学问要点1.抽屉原理的一般表述(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中,必定有一个抽屉中至少有2个苹果。
它的一般表述为:第一抽屉原理:(mn+1)个物体放入n个抽屉,其中必有一个抽屉中至少有(m+1)个物体。
(2)若把3个苹果放入4个抽屉中,则必定有一个抽屉空着。
它的一般表述为:第二抽屉原理:(mn-1)个物体放入n个抽屉,其中必有一个抽屉中至多有(m-1)个物体。
2.构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有:数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。
例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌:红桃、红方、黑桃、黑梅,每种牌都有1点,2点,……13点牌各一张),洗好后反面朝上放。
一次至少抽取张牌,才能保证其中必定有2张牌的点数与颜色都一样。
假如要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色),那么至少要取张牌。
点拨对于第一问,最不利的状况是两种颜色都取了1~13点各一张,此时再抽一张,这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都一样。
点拨对于第二问,最不利的状况是:先抽取了1,2,4,5,7,8,10,11,13各4张,此时再取一张,这张牌的点数是3,6,9,12中的一张,在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。
解(1)13×2+1=27(张) (2)9×4+1=37(张)例2 证明:37人中,(1)至少有4人属相一样;(2)要保证有5人属相一样,但不保证有6人属相一样,那么人的总数应在什么范围内?点拨可以把12个属相看做12个抽屉,依据第一抽屉原理即可解决。
解(1)因为37÷12=3……1,所以,依据第一抽屉原理,至少有3+1=4(人)属相一样。
(2)要保证有5人的属相一样的最少人数为4×12+1=49(人)不保证有6人属相一样的最多人数为5×12=60(人)所以,总人数应在49人到60人的范围内。
例3有一副扑克牌共54张,问:至少摸出多少张才能保证:(1)其中有4张花色一样?(2)四种花色都有?点拨首先我们要弄清晰一副扑克牌有2张王牌,四种花色,每种有13张。
抽屉原理教案
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抽屉原理及其应用钟韬在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,例如:“13个人中至少有两个人出生在相同月份”;“某校400名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日”;“2003个人任意分成200个小组,一定存在一组,其成员数不少于11”;“把[0,1]内的全部有理数放到100个集合中,一定存在一个集合,它里面有无限多个有理数”。
这类存在性问题中,“存在”的含义是“至少有一个”。
在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
这类问题相对来说涉及到的运算较少,依据的理论也不复杂,我们把这些理论称之为“抽屉原理”。
“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“迪里赫莱原理”,也有称“鸽巢原理”的。
这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果,任意分放在9个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。
这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果。
一.抽屉原理最常见的形式原理1 :如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里,则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体。
[证明](反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),这不可能.原理2 :如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉,则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体。
[证明](反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能.二.应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1:400人中至少有两个人的生日相同.解:将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:至少有两人的生日相同.又如:“我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同.”,“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。
初中数学重点梳理:抽屉原理

抽屉原理知识定位抽屉原理也叫鸽笼原理,是由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题.抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理,利用它可以解决很多有趣的问题,并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂,甚至无从下手的问题,在利用抽屉原则后,就能很快使问题得到解决.知识梳理知识梳理1.抽屉原理1、抽屉原理1把n+1个东西,任意地分放到n 个抽屉里,那么必有一个抽屉里至少有2个东西。
2、抽屉原理2把m 个东西,任意地分放到n 个抽屉里,那么必有一个抽屉里至少有k 个东西。
其中n m n m n m n m k n m n m k 表示,的倍数时不是当或的倍数时是当⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)(1)(的整数部分。
上述原理称为抽屉原理。
抽屉原理虽然简单、浅显,却是解决很多存在性问题的有力工具。
利用抽屉原理解题的一般步骤是:(1)构造抽屉,指出东西;(2)将东西放入抽屉,或从抽屉里取出;(3)说明理由,得出结论。
例题精讲【试题来源】【题目】某校有学生2000人,问至少有几个学生生日是同一天?【答案】6【解析】我们把2000名学生看作是苹果,一年365天(闰年366天)看作是抽屉,即把m (2000)个元素,分成n(366)个集合,至少有一个集合的元素不少于{}n m个 ∵=3662000536617 ∴{}3662000=6 【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】从1到10这十个自然数中,任意取出6个数,其中至少有两个是倍数关系,试说明这是为什么。
【答案】我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里,则可分为5个集合,它们是:{1,2,4,8,},{3,6,},{5,10},{7},{9}。
∵要在5个集合里取出6个数,∴至少有两个是在同一集合,而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。
【解析】我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里,则可分为5个集合,它们是:{1,2,4,8,},{3,6,},{5,10},{7},{9}。
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第四讲 抽屉原理与存在性问题
本讲概述
本讲我们将讲述组合数学中一个非常简单却又十分重要,应用十分广泛的一个原理,即抽屉原理.然后我们将给出与抽屉原理内涵相通的几个变形,即平均值原理与图形重叠原理.
事实上这几个原理是用来证明存在性问题的有力工具之一,当然我们还可以利用极端原理、反证法、数学归纳法、算两次、计数方法和构造法等等来加以证明.本讲我们主要讲述利用平均值原理(其在整数和图形范围内的形式分别为抽屉原理和图形重叠原理)来证明存在性问题,并略举数例说明其它方法在证明存在性问题中的应用.
第一抽屉原理:若将m 个物件放入n 个抽屉中,则必有一个抽屉内至少有1[
]1m n
-+个物件. 第二抽屉原理:若将m 个物件放入n 个抽屉中,则必有一个抽屉内至多有[]m n 个物件. 事实上这两个原理利用极端性原理与反证法极易证明,此处从略.
平均值原理1:设12,,...,n a a a 为实数,且12...n a a a A n +++=
,则12,,...,n a a a 中必有一个不小于A ,也必有一个不大于A
平均值原理2:设12,,...,n a a a 为正实数,且G =
则12,,...,n a a a 中必有一个不小于G ,
也必有一个不大于G
图形重叠原理:把面积为12,,...,n S S S 的n 个平面图形以任意方式放入一个面积为S 的平面图形A 内,
(1) 如果12...n S S S S +++>,则必有两个图形有公共点;
(2) 如果12...n S S S S +++<,则必有一点不属于上述n 个图形中任意一个
可以发现,上述三组原理都是极端性原则在不同场合的具体表现形式. 极端性法则是处理组合数学中存在性的利器,通过对这三组原理及其解题技巧的深刻把握,我们也可以自己创造一些类似的极端性原理来解决问题.
一般来说,适合应用抽屉原理解决的数学问题具有如下特征:新给的元素具有任意性.如1n +个苹果放入n 个抽屉,可以随意地一个抽屉放几个,也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题,题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语,其结论只要存在,不必确定,即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果.
用抽屉原理解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质,弄清对哪些元素进行分类,找出分类的规律.关键是构造适合的抽屉,抽屉之间可以有公共部分,亦可以没有公共部分。
一般说来,数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等,都可作为构造抽屉的依据。
这一简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用。
抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现,从小学奥数、中学奥数、IMO 到Putnam 都可以见到它的身影。
实际应用中,抽屉原理常常与反证法结合在一起。
教师备注:本节题目有些可能学生在初中接触过,教师可以适当选择其中较有新意的问题.
高一·联赛班·寒假第4讲·学生版
2 例题精讲
利用抽屉原理解题的关键是根据题目特点巧妙地构造“抽屉”:将题目中涉及元素按照某一性质分类,当取出足够多的元素时,即可断言必有某些元素属于同一个“抽屉”.构造抽屉的常用方法有:划分集合、分割图形、利用剩余类等等.与抽屉原理相关的试题中,联赛中的题目往往利用抽屉原理是解题的关键,但在冬令营级别的赛题中,往往抽屉原理只是其中的一小步或者利用它解决其中的小块问题而已.
【例1】 将平面上的每个点都以红、蓝两色之一着色,证明:存在这样两个相似的三角形,它们的相似比
为1995,并且每一个三角形的三个顶点同色。
【例2】 在任意给出的100个整数中,都可以找出若干个数来(可以是一个数),它们的和可被100整除。
【例3】 从1-100的自然数中,任意取出51个数,证明其中一定有两个数,它们中的一个是另一个的整
数倍.
【例4】 任给7个实数,证明其中必有两个数,记为y x ,,满足3
310≤+-≤xy y x .
【例5】 给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合。
求证:这个集合必有两个无公共元素
的非空子集合,各子集合中各数之和相等.
【例6】 试求最小的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是7的倍数.
【例7】 从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过
小数的1.5倍.
【例8】 (1)任选6人,试证其中必有3人,他们互相认识或都不认识.
(2) 17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信,在他们通信时,只讨论三个题目,而且任
意两名科学家通信时只讨论一个题目,证明:其中至少有三名科学家,他们相互通信时讨论的是
同一个题目。
【例9】任意给定10个自然数,试证明:可以用减,乘两种运算以及括号将它们适当连结起来,其结果可被1890整除.
【例10】n支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛,求n的最大值。
【例11】从4个同心圆的圆心出发的100条射线等分各圆周,分别与4个圆各有100个交点,任意给每个圆上的点染上黑白两色之一,使每个圆上都恰有50个黑点和50个白点,证明:可将此4个圆适当旋转,使这100条射线中至少存在13条射线,它们中每一条穿过的4个点颜色都相同.
大显身手
1.把1到10的自然数摆成一个圆圈,证明一定存在3个相邻的数,它们的和数大于17.
2.在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点。
证明:至少有两个点之间的距离不大于1
.
2
3.a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
4.平面上任作8条直线,互不平行,证明其中必有两条直线的夹角23
5.15个人围着圆桌坐下,圆桌上有15个人的名牌,但是大家是随意坐的,坐下以后才发现没有一个人与桌上的名牌相对应,证明:可以转动圆桌,使得至少两个人与他们的名牌相符
高一·联赛班·寒假第4讲·学生版
4 6. 平面上有两个定点A 和B 及任意四点4321,,,P P P P ,求证:这四点中一定有两点j i P P ,(j i j i ≠=,4,3,2,1,)使得3
1|sin sin |≤∠-∠B AP B AP j i 。
7. 一个车间有一条生产流水线,由5台机器组成,只有每台机器都开动时,这条流水线才能工作。
总共有8个工人在这条流水线上工作。
在每一个工作日内,这些工人中只有5名到场。
为了保证生产,要对这8名工人进行培训,每人学一种机器的操作方法称为一轮。
问:最少要进行多少轮培训,才能使任意5个工人上班而流水线总能工作?。