概率论与数理统计第3讲40页PPT
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1.2.4 几何概率模型
I. 什么是几何概率模型
如果试验 E 满足 (1).试验结果具有无限多种可能（例如，
所有可能结果为直线上的一线段，平面上的 一区域或空间中的立体等）；
(2).各种结果出现的可能性相同。 则称这样的试验模型为几何概率模型，简称 几何概型。
II. 几何概率模型中事件概率求法
能否求几何概型中基本事件的概率？
60
这是一个几何概型问题，于是
40 会面区A
20
P(A)SS(( A))602602402
5. 9
0
20 40 60 x
§1.3 条件概率
1.3.1 条件概率 I. 条件概率的概念
在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外，有时还要考虑在“事件B已经发生” 的条件下，事件A发生的概率。
通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的 概率为 P(A|B),称为条件概率。
而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、 又是次品”的概率，再由100件产品中只有3件 即是不合格品又是次品，得
P(AB)=3/100。 通过简单运算，得
P(A|B)335P(A)B . 5 101 000P(B)
有
P(A| B)P(AB). P(B)
又如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A)=1/6，求P(A|B)。
一般情况下， P(A|B) ≠P(A) 。
例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合 格品中又有3件是次品，2件是废品。现从100 件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到 的可能性都相同，求
(1).抽到的产品是次品的概率； (2).在抽到的产品是不合格品条件下, 产品是
次品的概率。
解： 设 A={抽到的产品是次品}， B={抽到的产品是不合格品}。
(1). 按古典概型计算公式，有
P(A) 3 ; 100
(2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得
P(A| B) 3. 5
可见，P(A) ≠P(A|B)。
虽然 P(A) 与 P(A|B) 不同，但二者之间存 在什么关系呢?
先来计算P(B)和P(AB)。
因为100件产品中有5件是不合格品，所以 P(B)=5/100。
在一个面积为S(Ω)的区域Ω中等可能地任意 投点，这里“等可能”的含义是：点落入Ω中任 意区域A的可能性的大小与区域A的面积S(A)成正 比，而与它在Ω中的位置以及自身的形状无关。
记事件A={点落入区域A中}，则有
P(A)tS(A),
这 里 t为 比 例 常 数 。 又
P( )tS( )1,
知
t 1 ,
换句话说，几何概型中基本事件的概率能不 能像古典概型中基本事件的概率（1/n）那样有 确定的值?
答案是：不能！因为几何概型的样本空间Ω 是无限的，所以几何概型中基本事件的概率无 法确定。（无穷小，可以认为等于0）
那事件（指非基本事件）的概率如何计算呢？
下面我们介绍一个具体的几何概型中事件概 率的计算。
已知事件B发生，此时试验所
有可能结果构成的集合就是B。
B中共有3个元素，每个元素出现 是等可能的，且其中只有1个(2点) 在集合A中。于是，P(A|B)= 1/3。
可以得到：P(A|B)116P(A)B.
3 36 P(B)
受此启发，对条件概率进行 如下定义。
II. 条件概率定义
定义1: 设A、B是两个事件，且P(B)>0，称
则样本空间为：
{ ( x ,y ) |0 x 6 0 ,0 y 6 0 } ,
记事件A={两人能会面}，由于两人能会面的充
要条件是：
|xy|20, (x,y) ,
所以
A { ( x ,y ) |( x ,y ) ,|x y | 2 0 } .
y
区 域 A, 如 图 所 示 .
P(A|B)P(A)B
( 1)
P(B)
为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。
若事件B已发生, 则为使 A
也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点 必属于AB。 由于我们已经知道 B已发生, 故B就变成了新的样 本空间 , 于是 就有(1)。
III. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0, 则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
解:记Ai= {第 i 次抽到的是甲类三极管}, i=1,2,
A1A2={两次抽到的都是甲类三来自百度文库管}, 由第2讲中的例3，可知
P (A 1 A 2 ) 1/3 2 0 2 /5 . 再由P(A1)=4/6=2/3，得
P(A2|A1)PP (A (A 1A 1)2)2 2/3/ 55 3.
1.3.2 乘法公式 由条件概率的定义： P(A| B)P(AB),
P(B) 在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。
即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2)
将 A、B的位置对调，有
若 P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) ， 而 P(AB) = P(BA)， 故 P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)
其 中 ， V (A )表 示 区 域 A 的 体 积 。
例：（会面问题）甲、乙两人相约在早上8点 到9点之间在某地会面，先到者等候另一个人 20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的 一小时内任意时刻到达，试计算两人能会面的 概率。 解：记8点为计算时刻的0时，以分钟为时间单位， 以x,y,分别表示甲乙两人到达会面地点的时刻，
2. P(Ω|B)=1；
3. 设A1, A2,…互斥，则 P ( A 1 ( A 2 ) |B ) P ) ( A 1 |B ) P ( A 2 |B )
而且，前面对概率所证明的一切性质，也都 适用于条件概率。
例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系 数分类,4只属甲类, 2只属乙类。不放回地抽 取三极管两次, 每次只抽一只。求在第一次抽 到是甲类三极管的条件下, 第二次又抽到甲类 三极管的概率。
S ( )
从而
P(A) S (A) ,
S ()
这所确定的概率就是事件A的概率，通常称为几
何概率。
若在直线上投点，记事件A={点落入区域A中}， 则有
P(A) l(A) , l ( )
其 中 ， l(A )表 示 区 域 A 的 长 度 。
若在空间上投点，记事件A={点落入区域A中}， 则有
P( A) V ( A) , V ()
I. 什么是几何概率模型
如果试验 E 满足 (1).试验结果具有无限多种可能（例如，
所有可能结果为直线上的一线段，平面上的 一区域或空间中的立体等）；
(2).各种结果出现的可能性相同。 则称这样的试验模型为几何概率模型，简称 几何概型。
II. 几何概率模型中事件概率求法
能否求几何概型中基本事件的概率？
60
这是一个几何概型问题，于是
40 会面区A
20
P(A)SS(( A))602602402
5. 9
0
20 40 60 x
§1.3 条件概率
1.3.1 条件概率 I. 条件概率的概念
在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外，有时还要考虑在“事件B已经发生” 的条件下，事件A发生的概率。
通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的 概率为 P(A|B),称为条件概率。
而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、 又是次品”的概率，再由100件产品中只有3件 即是不合格品又是次品，得
P(AB)=3/100。 通过简单运算，得
P(A|B)335P(A)B . 5 101 000P(B)
有
P(A| B)P(AB). P(B)
又如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A)=1/6，求P(A|B)。
一般情况下， P(A|B) ≠P(A) 。
例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合 格品中又有3件是次品，2件是废品。现从100 件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到 的可能性都相同，求
(1).抽到的产品是次品的概率； (2).在抽到的产品是不合格品条件下, 产品是
次品的概率。
解： 设 A={抽到的产品是次品}， B={抽到的产品是不合格品}。
(1). 按古典概型计算公式，有
P(A) 3 ; 100
(2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得
P(A| B) 3. 5
可见，P(A) ≠P(A|B)。
虽然 P(A) 与 P(A|B) 不同，但二者之间存 在什么关系呢?
先来计算P(B)和P(AB)。
因为100件产品中有5件是不合格品，所以 P(B)=5/100。
在一个面积为S(Ω)的区域Ω中等可能地任意 投点，这里“等可能”的含义是：点落入Ω中任 意区域A的可能性的大小与区域A的面积S(A)成正 比，而与它在Ω中的位置以及自身的形状无关。
记事件A={点落入区域A中}，则有
P(A)tS(A),
这 里 t为 比 例 常 数 。 又
P( )tS( )1,
知
t 1 ,
换句话说，几何概型中基本事件的概率能不 能像古典概型中基本事件的概率（1/n）那样有 确定的值?
答案是：不能！因为几何概型的样本空间Ω 是无限的，所以几何概型中基本事件的概率无 法确定。（无穷小，可以认为等于0）
那事件（指非基本事件）的概率如何计算呢？
下面我们介绍一个具体的几何概型中事件概 率的计算。
已知事件B发生，此时试验所
有可能结果构成的集合就是B。
B中共有3个元素，每个元素出现 是等可能的，且其中只有1个(2点) 在集合A中。于是，P(A|B)= 1/3。
可以得到：P(A|B)116P(A)B.
3 36 P(B)
受此启发，对条件概率进行 如下定义。
II. 条件概率定义
定义1: 设A、B是两个事件，且P(B)>0，称
则样本空间为：
{ ( x ,y ) |0 x 6 0 ,0 y 6 0 } ,
记事件A={两人能会面}，由于两人能会面的充
要条件是：
|xy|20, (x,y) ,
所以
A { ( x ,y ) |( x ,y ) ,|x y | 2 0 } .
y
区 域 A, 如 图 所 示 .
P(A|B)P(A)B
( 1)
P(B)
为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。
若事件B已发生, 则为使 A
也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点 必属于AB。 由于我们已经知道 B已发生, 故B就变成了新的样 本空间 , 于是 就有(1)。
III. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0, 则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
解:记Ai= {第 i 次抽到的是甲类三极管}, i=1,2,
A1A2={两次抽到的都是甲类三来自百度文库管}, 由第2讲中的例3，可知
P (A 1 A 2 ) 1/3 2 0 2 /5 . 再由P(A1)=4/6=2/3，得
P(A2|A1)PP (A (A 1A 1)2)2 2/3/ 55 3.
1.3.2 乘法公式 由条件概率的定义： P(A| B)P(AB),
P(B) 在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。
即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2)
将 A、B的位置对调，有
若 P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) ， 而 P(AB) = P(BA)， 故 P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)
其 中 ， V (A )表 示 区 域 A 的 体 积 。
例：（会面问题）甲、乙两人相约在早上8点 到9点之间在某地会面，先到者等候另一个人 20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的 一小时内任意时刻到达，试计算两人能会面的 概率。 解：记8点为计算时刻的0时，以分钟为时间单位， 以x,y,分别表示甲乙两人到达会面地点的时刻，
2. P(Ω|B)=1；
3. 设A1, A2,…互斥，则 P ( A 1 ( A 2 ) |B ) P ) ( A 1 |B ) P ( A 2 |B )
而且，前面对概率所证明的一切性质，也都 适用于条件概率。
例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系 数分类,4只属甲类, 2只属乙类。不放回地抽 取三极管两次, 每次只抽一只。求在第一次抽 到是甲类三极管的条件下, 第二次又抽到甲类 三极管的概率。
S ( )
从而
P(A) S (A) ,
S ()
这所确定的概率就是事件A的概率，通常称为几
何概率。
若在直线上投点，记事件A={点落入区域A中}， 则有
P(A) l(A) , l ( )
其 中 ， l(A )表 示 区 域 A 的 长 度 。
若在空间上投点，记事件A={点落入区域A中}， 则有
P( A) V ( A) , V ()