求等比数列通项公式的常用方法

求等比数列通项公式的常用方法

等比数列的通项公式是研究等比数列的性质与其前n 项和的基础，也是研究数列问题的基石，所以等比数列通项公式的求法在等比数列的研究中占有重要的地位，下文就介绍求等比数列通项公式的常用方法.

一．定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式.

例1．求下列数列的通项公式

5，-15，45，-135，405，-1512…

解：所给的数列是等比数列，且是首项为5，公比为-3。所以通项1)3(5--⋅=n n a

二．公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式11n n a a q -=来求。

例2：数列{}n a 为等比数列，若1231237,8a a a a a a ++==，求通项n a

解，由已知得32

1238a a a a ==（利用等比数列的性质）22a ∴=，1237,a a a ++=2227a a a q q ∴

++= 即2250q q +-=22520q q ∴-+=，解得2q =或12

q = 当2q =时，得11a =，12n n a -∴= 当12

q =时，得14a =，32n n a -∴= 评：等比数列的通项公式有时为了需要，不一定非得由1a 与q 来表示，也可以用其他项来相互表示如n m n m a a q -=

例3：已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，则该数列的通项n a = 解： 103103,a a q -=∴71033841283

a q a ===2,q ∴=∴33332n n n a a q --==⨯ 注：此类题目都会很醒目的出现等比数的字眼，目的求首项与公比，当然求首项和公比可灵活一些，如用等比数列的性质以及变换式n m n m a a q -=.

三．递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种：

（一）是配常数转化为等比数列，从而再求通项

例4．已知数列{}n a 中11=a ，121+=+n n a a ，求通项公式n a

解：由已知得：)1(211+=++n n a a ，∴21

11=+++n n a a ∴数列{}1+n a 是首项为211=+a ，公比为2的等比数列 ∴n n n a a 22)1(111=+=+-.即12-=n n a .

评：对于)(1q p r qa pa n n ≠+=+形式的递推关系式，可以配常数，即)()(1k a q k a p n n +=++，p

q r k -=这里从而转化为等比数列，再求通项。也可以用迭代法。如 121n n a a +=+，∴ 121n n a a -=+，212222n n a a --=+，

23223222n n a a --=

+21221222n n n a a ---=+，

将上列各式相加得12)2221(212211-=++++⋅=---n n n n a a .

（二）取倒数转化为等比数列，从而再求通项.

例5．已知数列{}n a 中21=a ，1

21+=+n n n a a a ，求通项公式n a . 解：易知0≠n a ，由121+=

+n n n a a a ，两边取倒数得n n a a 1212111⋅+=+，即)11(2111

1-=-+n n a a .∴数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为21111-=-a ，公比21为的等比数列，∴1)21(2111-⋅-=-n n a 故n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111

.

四．利用n S 与n a 的关系：n a 与n S 的关系为11(1)(2)n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，把n S 转化为n a 的递推关系式，再求通项.

例6．已知数列{}n a 的前n 的和为n s ，且32)3(+=+-m ma s m n n ，其中m 为常数，3-≠m ，求通项公式n a .

解：∵32)3(+=+-m ma s m n n ∴当2≥n 时，32)3(11+=+---m ma s m n n ∴122)3(-=+-n n n ma ma a m ，∴3

21+=-m m a a n n )3(的常数-≠m ，∴数列{}n a 是

首项为11=a ，公比为32+m m 的等比数列 ∴. 1)3

2(-+=n n m m a . 五．实际问题中，根据题中的含义建立数列模型后，再研究n a 与1+n a 的关系，求等比数列的通项

例7．从盛满a 升)1(>a 纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？

解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a

a 111-=，操作n 次后溶液的浓度为n a ，由题意知：)11(1a a a n n -=+，∴数列{}n a 是首项为a

a 111-=，公比a 11-为的等比数列，n n n a

q a a )11(11-==-. 等比数列通项的求法很多，而且也比较灵活。但最根本一点是要抓住等比数列的定义去求通项。这样才能在根本上解决问题。