(哈工大)数学物理方程1-1,2

其中
H—磁场强度 E—电场强度
— 介电常数， — 导磁率。
静电场的电位方程
u
2
— Poisson方程
u0
2
— Laplace方程
总 结：
波动方程 — 声波、电磁波、杆的振动； 热方程 — 热传导， 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程； Laplace方程 — 稳定的浓度分布,静电场的电位, 流体的势.
例3 拉普拉斯方程
当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、 扩散等的稳定过程时，由于表达该物理过程的物 u u 理量 不随时间变化而变化，因此 . 0
t
如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到 不随时间变化而变化的温度 u x , y , z , t 所满足的方 程： 2 2 2
微分方程 常微分方程 质点运动方程, 电路微分方程 偏微分方程
静电场的电场强度在空间的分布
半导体扩散工艺中杂质的浓度在硅片中的分
布和随时间的变化.
第一章 一些典型方程和定解条件的推导

从不同的物理模型出发，建立数学物理中三
类典型方程；
根据系统边界所处的物理条件和初始状态列 出定解条件；

提出相应的定解问题
于是
2 u( x , t ) T tg T 'tg ' gdx dx t 2
由微积分知识可知，在时刻 t 有
u( x , t ) u( x dx , t ) tg , tg ' . x x
2 u( x , t ) T tg T tg ' gdx dx t 2
例2：热传导方程
如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热 传导。 考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表示 物体G 在位置 (x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过对 仍意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建 立方程。 假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系 数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比 热是常数。
§1.2
初始条件与边界条件
初始条件 边界条件
初始条件
描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始
条件。初值条件与对应方程加在一起构成初值
问题 (或称Cauchy问题）。
弦振动问题：设初始位移、初始速度为 ( x ), ( x ) , 则波动方程的初值条件为
u t 0 ( x ), ut t 0 ( x )
倾角很小，即 0, ' 0
近似地， T T '
在垂直方向上(u方向)
u( x , t ) T sin T 'sin ' gds ds t 2
2
u

M
N
ds
M'
T
'
而弦在任一点上切线的倾角很小
T
gds
o
x
N'
x dx
x
sin tg , sin ' tg ', ds dx.
t2 u t 2 u பைடு நூலகம் c dt dV c dV dt t1 t t1 t V V
V
由于所考察的物体内部没有热源, 根据能量守 恒定律可得，Q2 Q1 , 即
ku y kuz dV dt 0 c ut kux x y z t1 V
其中
F f x, y, z, t . c
在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量 为 x , y, z , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考 察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同 一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导 方程
u 2 u a t x
2 2
类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的 侧面绝热, 可以得到二维热传导方程
2u 2u u a2 x 2 y 2 t
当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体 材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用u表示 所扩散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式 和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫 扩散方程.
高频传输，G=0, R=0
2i 1 2i 2 t LC x 2 2v 1 2v 2 t LC x 2
与一维波动 方程类似
—高频传输线方程
例5.
2H 1 2 H 2 t 2E 1 2 E 2 t
电磁场方程
麦克斯维方程组 物质方程组
— 三维波动方程
例 4.
传输线方程
研究高频传输线内电流流动规律。
待研究物理量: 电流强度 i (x,t),电压 v (x,t)
i
Rx
i i
Cx Gx
R — 每一回路单位的串联电阻,
L x
v
v v
L — 每一回路单位的串联电感， C — 每单位长度的分路电容， G — 每单位长度的分路电导，
Kirchhoff 第一,二定律
utt a
2
utt a 2 uxx u yy

u
xx
u yy f x , y , t
zz
u f x, y, z, t
注3: 均匀杆的纵向振动问题。有一均匀杆，只要杆 中任一小段有纵向位移或者速度，必定导致邻段的 压缩或者拉长，这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆 传播。以 u(x,t) 表示杆上各点的纵向位移，则杆的 纵振动方程和弦的横振动方程相同，即完全不同的 物理过程,可以用相同的数学表达式描述。
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 t y z x
三维热传导方程
若物体内部有热源 F(x,y,z,t), 则热传导方程为
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 f x, y, z, t t y z x
t2


在时间间隔 [t1 , t2 ]中物体温度从 u( x , y, z , t1 ) 变化 到 u( x , y, z , t 2 ) 所需要的热量为
比热
密度
Q2 c u x , y , z , t 2 u x , y , z , t1 dV
§1.1 基本方程的建立
导出数学物理方程的一般方法：
确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; 简化整理，得到方程。
例1. 弦的微小横振动
设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴 重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后 的运动状态。 u 假设与结论： （1）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t) （2）微小振动 0, ' 0 （3）弦柔软、均匀 . 张力 T ( x ) , 密度 ；
( x ) 0且 ( x ) 0 称为齐次边界条件
热传导问题：若 f(M) 表示 t = 0 时物体内一点M 的温度，则热传导问题的初始条件为
u M , t |t 0 f M .
泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态的，与时 间无关，所以不提初始条件。
注意：
不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。关 于t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。
u u u 2 2 0, (*) 2 x y z
方程(*)称为三维拉普拉斯方程或者调和方程， 2u 0 u 0 它通常表示成为 或者 的形式。
如果我们考虑有源的稳定热场，则可以得到方程：
2u 2u 2u 2 2 f x, y, z , 2 x y z ( )
v i ( i i ) Cx Gx v t i v (v v ) Rx i Lx t
微分
v i x C t Gv 0 v i L Ri 0 x t
化简 2 2 i i i LC 2 ( RC GL) GRi 2 x t t 2v 2v v LC 2 ( RC GL) GRv 2 x t t — 传输线方程
傅立叶实验定律
u dQ k dSdt , n
S
n
S
从时刻 t1 到时刻 t 2 经过曲面S 流入区 域V 的热量为
Q1
高斯公式
t2
M
V
热场
t1
u dS dt k S n
kux ku y kuz dV dt x y z t1 V
t2


由于时间 t1 , t 2 和区域 V 都是任意选取的,并且 被积函数连续, 于是得
c u ku ku kuz x y t x y z

(非均匀的各向同性体的热传导方程)
k 2 a 对于均匀的各向同性物体， k为常数，记 c
则得齐次热传导方程:
其中
f x, y, z F ( x, y, x ) / k .
非齐次方程 ( ) 通常叫做泊松方程，记作
u f x , y , z
或者 2u f x, y, z .
拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温 度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静 电场的电位分布等物理现象。
u

其中
a
2
T

.
M
N
ds
M'
T
'
T
gds
o
x
N'
x dx
x
注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且 外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则 2 u( x , t ) Fds T sin T 'sin ' gds ds t 2
弦的强迫振动方程为
u 2 u a f ( x , t ), 2 2 t x
2 2
u

M
N
ds
M'
T
'
T
gds
其中 f ( x , t )
F ( x, t )

o 称为自由项.
x
N'
x dx
x
f 0, 齐次方程；f 0, 非齐次方程
注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动） 和三维波动方程（例如电磁波和声波的传播）,它 们的形式分别为
M
M'
o u

l
x
T
M
ds
M'
'
T
gds
o
x
x dx
x
建立方程：
取微元 MM’ ，研究在水平方向和铅垂方向 MM’ 在
不受外力的情况下的运动情况。 牛顿第二定律： F = m· a
T
u

M
N
ds
M'
T
'
gds
o
x
N'
x dx
x
在弧段 MM ' 的水平方向上满足： T 'cos ' T cos 0
数学物理方程与特殊函数
张琼 zhangqiong@bit.edu.cn
数学物理方程以具有物理背景的偏微分方程作为 研究的主要对象。它与物理、力学等自然科学和工程 技术的很多领域都有着广泛的联系。当研究到弹性体 的振动、电磁波的传播、热的传导、粒子的扩散等物 理过程和状态时，归结出一类偏微分方程---数学物 理方程. 《数学物理方程》作为大学工科的一门基础课， 通过对一些具有典型意义的模型方程的剖析，介绍数 学物理方程的一些最基本的概念、解题方法。
T 1 u( x dx, t ) u( x, t ) 2 u( x, t ) g 2 dx x x t
2 u( x , t ) x 2
略去重力，令 dx 0 ，可得 u(x,t) 近似地满足方程
2 2u u 2 a , 2 2 t x