数列问题中数形结合思想的体现

数形结合思想在数列问题中的体现

摘要：从课程目标出发，在数学教学中运用数形结合的形象特点，逐步训练学生的抽象思维，引导学生用对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化和发展，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观.

关键词：数学教学；数形结合；对立统一；

对于数列问题，人们习惯用代数的思维方式和方法解决.但是，如果将数形结合的数学思想渗透到数列问题中，运用数形结合的思想和方法看待和解决数列问题，往往会有事半功倍的效果.

高中数学教材中对数列的本质有如下描述：

数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.

既然数列可以看作一列函数值，那么数列就可以用图象来表示，显然，数列的图象是一群孤立的点. 对于等差数列，因为其通项公式a n =a 1+(n-1)d=dn+(a 1-d),即a n 是n 的一次函数，所以，等差数列的图象是分布在直线y=dx+(a 1-d)上的一群孤立的点，并且，当d>0时，y=dx+(a 1-d)是增函数，当d<0时，y=dx+(a 1-d)是减函数.利用这些观点解决某些数列问题，既快捷又直观.

例1．在等差数列{a n }中，a 1>0，且3a 8=5a 13，则S n 中最大的是（ ） A ．S 21 B ．S 20 C ．S 11 D ．S 10

分析：由3a 8=5a 13，得

3

5

138=a a ，又a 1>0,∴a 8>a 13 ,∴数列{ a n }递减，如图1，设AB=x ，由相似三角形得，

5

35=+x x ，得x=7.5,所以a n 的图象所在直线与x 轴交点为（20.5，0），显然S n 中最大的是S 20.

教学中运用数形结合的形象特点，使抽象的数学问题尽可能地形象化，逐步训练学生的抽象思维.

例2．已知数列{a n }中，a 1=15,3a n+1=3a n -2 ,则该数列中相邻两项的乘积为负的项是（ ） A ．a 21和a 22 B ．a 22和a 23 C ．a 23和a 24 D ．a 24和a 25

分析：由3a n+1=3a n -2得，a n+1-a n =32-，所以公差d=3

2-，如图2，

,DE

AD BC AB = ,11532

x =∴x=22.5,所以，a n 的图象所在

直线与x 轴的交点为（23.5,0）,故选C.

例3．已知等差数列{a n }中，第r 项的值为s ，第s

项的值为r （r

分析：如图3，由已知，A （r,s ）、B(s,r) （r

a n 的图象上两点，所以，公差d=-1,∴DE=CA=r,所以

a r+s =0.

例4．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2003+a 2004>0,

a 2003 ∙ a 2004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是（ ） A ．4005 B ．4006

C ．4007

D ．4008

分析：由已知，a 2003>

- a 2004>0,所以，a n 的图象所在直线与x 轴的交点在（2003.5,2004）内，由图4易知，S 4006>0, S 4007<0,故选B.

在数学教学中教师要有意识地沟通数与形之间的关系，帮助学生逐步树立起数形结合的观点，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具.

不仅如此，对于等差数列

来说，由于其前n 项和

S n =na 1+21n(n-1)d=2d n 2+(a 1-2

d )n,即S n 是n 的二次函

数，且缺常数项.所以S n 的图象是分布在抛物线

y=2d x 2+(a 1-2

d )x 上的一群孤立的点，并且当d>0时，抛物线开口向上，当d<0时，抛物线开口向下.同样，

在这样的观点下，许多数列问题也可得到非常形象的

解法. 例5．设{a n }是等差数列，公差为d, S n 是其前n

项的和，且S 5S 8,则下列结论错误的是（ ）

A ．d <0

B ．a 7=0

C ．S 9>S 5 D. S 6 与S 7与均为S n 的最大值

分析：由S 5S 8,知S n 的图象所在抛物线开口向下，又由,

)2

(212n d a n d S n -+=图5

知d<0,如图5，显然a7=0, S9

例6．在等差数列{a n}中，若S m=n，S n=m（n>m），求S m+n的值.

分析：由已知，A（m,n）、B(n,m)是S n图Array象上的两点，显然，这两点关于直线y=x对称，

所以，直线AB斜率为-1，从而，点C的坐标

为（m+n,0）,点D的坐标为（m+n,-m-n）；设

S n所在抛物线为y=ax2+bx,因为A、B均在此

抛物线上，∴am2+bm=n, an2+bn=m,∵n≠m,

两式相减得，a(m+n)+b=-1,两边同乘以（m+n）

得，a（m+n）2+b(m+n)=-(m+n),即点D在抛

物线上，所以，S m+n=-(m+n).

客观世界是一个普遍联系的整体，每一事

物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方

式相互依赖着，相互制约着，相互作用着.数

学自身的发展即揭示出：事物无不处于普遍联

系之中. 教师用鲜活的事例，引导学生用普遍

联系的观点、对立统一的观点来全面的认识客

观事物的运动、变化和发展，从而对人生观、

世界观正处于定型期的中学生以良好的促进

作用，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界

观.