待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数图象及性质的应用
一、回顾旧知
1、画出反比例函数x
y 4=
和x y 4
-=的图象。
2、回忆反比例函数的性质。
二、新课
1、动脑筋：已知反比例函数x
k
y =
的图象经过点P （2，4）． （1）求k 的值，并写出该函数的表达式；
（2）判断点A （2-，4-），B （3，5）是否在这个函数图像上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
2、如图所示，是反比例函数x
k
y =
的图象，根据图象，回答下列问题： x
（1）k 的取值范围是00<>k k 还是？说明理由。
（2）如果点A （3-，1y ），B （2-，2y ）是该函数图象上的两点，试比较1y ，
2y 的大小。
3、已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P （3-，4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象。
三、练习
1、教材第11页“练习”1、
2、3
2、反比例函数x
k y 2
-=（0≠k k 为常数，且）的图象位于第 象限。
3、已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2+x 成正比例，且1y 、2y 所表示的函数图象相交于点P （3，5），求当5=x 时，y 的值。
4、如图所示，在同一直角坐标系内，函数x
k
y =（0≠k ）与k kx y +=（0≠k ）的图象大致是（ ）
5、如图所示，已知一次函数8+-=x y 和反比例函数x
k
y =（0≠k ）的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B 。
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若AOB ?的面积24=S ，求k 的值。
6、如图所示，已知点A 是一次函数x y =的图象与反比例函数x
y 2
=
的图象在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么AOB ?的面积为（ ）
A 、2
B 、
2
2
C 、2
D 、22 7、如图所示，一次函数的图象与轴轴、y x 分别相交于A 、B 两点，与反比例函数的图象交于C 、D 两点。如果A （2，0），C 、D 分别在第一、三象限，且OA=OB=AC=BD 。试求一次函数和反比例函数的解析式。
8、如图所示，已知反比例函数)0(1≠=
m x
m
y 的图象经过点A （2-，1），一次函数)0(2≠+=k b kx y 的图象经过点C （0，3）与点A ，且与反比例函数的图象交于另一点B 。
（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点B的坐标。
反比例函数比例系数k的几何意义探究教学设计
通过师生互动的形式再次呈现本节课的主要知识。概括是课堂教学的核心，适时的总结利于学生对知识学习的升华。 反比例函数系数k 的几何意义探究 教学任务分析 流程、思路与理念 流程思路 通过简单题目复习回顾反比 例函数的图像和性质，为本 节课的学习做准备。并以最 后一题面积问题，有特殊到 一般引入新课。 分两点位于反比例函数图像 同一支和不同支，及函数在 一、三象限和二、四象限等 不同情况进行分类探究反比 例函数系数的几何意义。 通过两个不同类型的例题 让学生灵活运用反比例函 数的几何意义。 理念 从旧知识到新知识，充分运用已学过 的反比例函数的图像和性质，为本节 课的探究做好准备，并以最后一题面 积的求解引入新课。让学生感受从特 殊到一般的数学思考方法。 让学生通过讨论和探究过程体会反比 例函数系数的几何意义，进一步体 会分类讨论和数形结合的数学思 使学生正确理解反比例函数系数的几 何意义及函数交点的意义，规范学生 的解题步骤，让学生进一步体会数形 结合和转化的思想。 通过技能的训练，巩固反比 例 函数系数的几何意义。 通过分层递进练习，让每个学生都有可 以做的题目，使不同程度的学生通过练 习得到不同程度的发展和提高。体现人 人学不同数学的新课程理念。
教学过程设计
k 探究二.如图,若A,C 为y＝x k（k为常数，k≠ 0）上的 任两点 过A,C 分别作x轴（或y 轴） 的垂线, 垂足分别为B, D , 则AOB 和 COD 的面积相等吗?为什么? k 小结:从反比例函数y＝x（k 为常数，k≠ 0）的图象上任选 x 点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成 的 三角形的面积S＝1 2 xy 三、典型例 题 例一: 已知反比例函数y＝ m－7 m－7的图象的一支位于第一 x 象限．（1）判断该函数 图象的另一支所在的象限，并 求m 的取值范围； （2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△ OAB 的面积为6，求m 的值． 例二:如图，反比例函数k y 的图象与一次函数x y mx b 的图象交于两点A(1,3),B(a, 1)． 1）求反比例函数与一次函数的函数关系 式； 2）根据图象，直接回答：当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的 值； （3）连接AO、BO， 求△ ABO 的面积； 教师提问，学生独 立思考，教师引导学生 正确运用反比例函数系 数的几何意义解决问 题。 教师应关注： （1）学生是否直接应 用反比例函数系数的几 何意义解决解答题； （2）学生是否理解函 数交点要同时满足一次 函数和反比例函数的解 析式，并将几何问题转 化为代数问题，从而求 函数解析式；（2）学 生是否灵活运用数形结 合的思想解决问题。 使学生正 确理解反比 例函数系数 的几何意义 及函数交点 的意义，规范 学生的解题 步骤，让学生 进一步体会 数形结合和 转化的思想。
反比例函数优秀教学设计合集
第十七章 反比例函数 17．1．1反比例函数的意义 一、教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 3．难点的突破方法： （1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解 （2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式x k y =，等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，自变量x 在分母上，且x 的指数是1，分子是不为0的常数k ；看自变量x 的取值范围，由于x 在分母上，故取x ≠0的一切实数；看函数y 的取值范围，因为k ≠0，且x ≠0，所以函数值y 也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y ＝kx （k ≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。 （3）x k y =（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式 三、例题的意图分析 教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。 教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。 四、课堂引入 1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？ 2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 五、例习题分析 例1．见教材P47 分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设x k y = ，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。 例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-=
知识点反比例函数意义,比例系数k的几何意义
一、选择题 1.如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个函数的解析式是y=- ． 考点：待定系数法求反比例函数解析式． 专题：待定系数法． 分析：根据图象过（-1，2）可知，此点满足关系式，能使关系时左右两边相等． 解答：解：把（-1，2）代入反比例函数关系式得：k=-2， ∴y=- ， 故答案为：y=- ， 点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 2.（2011江苏扬州，6，3分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（） A. （-3,2） B. （3,2） C.（2，3） D.（6,1） 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。 专题：函数思想。 分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上． 解答：解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数， ∴此函数的比例系数是：（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项； A、（﹣3）×2=6，故本选项正确； B、3×2=6，故本选项错误； C、2×3=6，故本选项错误； D、6×1=6， 故本选项错误； 故选A． 点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 3.（2011重庆江津区，6，4分）已知如图，A是反比例函数 k y x =的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC 的面积是3，则k的值是（） A、3 B、﹣3 C、6 D、﹣6 考点：反比例函数系数k的几何意义。 分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即S＝1 2 |k|． 解答：解：根据题意可知：S△AOB＝1 2 |k|＝3， 又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝6． 故选C． 点评：本题主要考查了反比例函数 k y x =中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角 形面积为1 2 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
反比例函数(基础)知识讲解
反比例函数（基础） 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为k y x = ，其中k 是不等于零的常数. 一般地，形如k y x = (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释：（1）在k y x = 中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x 无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函 数图象与x 轴、y 轴无交点； （2）k y x = ()可以写成( )的形式，自变量x 的指数是 －1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）k y x = ()也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比 例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数k y x = 中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为：k y x = (0k ≠)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数k 的值； （4）把求得的k 值代回所设的函数关系式k y x = 中. 要点三、反比例函数的图象和性质
专题用待定系数法求二次函数的解析式
精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标） 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的
精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0）， （1Q 点坐15（1（2）
人教版九年级下《26.1反比例函数解析式》测试题(含答案解析)
反比例函数解析式测试题 时间：100分钟总分：100 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.如图，第四象限的角平分线OM与反比例函数y=k x (k≠0)的图象交于点A，已知OA=32，则该函数的解析式为() A. y=3 x B. y=?3 x C. y=9 x D. y=?9 x 2.某反比例函数的图象过点(1,?4)，则此反比例函数解析式为() A. y=4 x B. y=1 4x C. y=?4 x D. y=?1 4x 3.在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为() A. y=12 x B. y=?12 x C. y=15 x D. y=?15 x 4.已知双曲线y=k x (k≠0)上有一点P(m,n)，m，n是关于t的一元二次方程t2?3t+k=0的两根，且P点到原点的距离为13，则双曲线的表达式为() A. y=2 x B. y=?2 x C. y=4 x D. y=?4 x 5.如图，P是反比例函数图象上第二象限内一点，若矩形PEOF的面积为3，则反比 例函数的解析式是()
A. y=?3 x B. y=?x 3 C. y=x 3 D. y=3 x 6.已知函数y=k x (k≠0)，当x=?1 2 时，y=8，则此函数的解析式为() A. y=?4 x B. y=4 x C. y=?2 x D. y=?8 x 7.反比例函数的图象经过点(2,3)，则它的表达式为() A. y=?x 6B. y=6 x C. y=?6 x D. y=x 6 8.若反比例函数的图象经过(4,?2)，(m,1)，则m=() A. 1 B. ?1 C. 8 D. ?8 9.如图，已知点A在反比例函数y=k x 上，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为4，则此反比例函数的表达式为() A. y=4 x B. y=2 x C. y=8 x D. y=?8 x 10.如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数 y=k x (x<0)的图象上.则反比例函数的解析式是() A. y=4 x B. y=2 x C. y=?2 x D. y=?4 x
2018年中考数学专题复习卷 反比例函数(含解析)
反比例函数 一、选择题 1.已知点P（1，-3）在反比例函数（k≠0）的图象上，则k的值是（） A. 3 B. C. -3 D. 2.如果点（3，－4）在反比例函数的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（） A.（3,4） B. （－2，－6） C.（－2，6） D.（－3，－4） 3.在双曲线y= 的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（） A. 2 B . 0 C. ﹣ 2 D. 1 4.如图，已知双曲线y＝(k＜0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C. 若点A的坐标为(－6,4)，则△AOC的面积为( ) A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 5.如图所示双曲线y= 与分别位于第三象限和第二象限,A是y轴上任意一点,B是 上的点,C是y= 上的点,线段BC⊥x轴于D,且4BD=3CD,则下列说法：①双曲线y= 在每个象限内,y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为-3,则C点的坐标为(-3, )；③k=4；④△ABC的面积为
定值7.正确的有（） A. I 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个6.如图，已知反比例函数y= 与正比例函数y=kx（k＜0）的图象相交于A，B两点，AC垂直x轴于C，则△ABC的面积为（） A. 3 B. 2 C. k D. k2 7.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I 与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（） A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，反比例函数的图象经 过点，若将菱形向下平移2个单位，点恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为 （） A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，过点0的直线AB交反比例函数y= 的图象于点A，B，点c在反比例函数y= (x>0)的图象上，连结CA，CB，当CA=CB且Cos∠CAB= 时，k1， k2应满足的数量关系是（） A. k2=2k l B. k2=-2k1 C. k2=4k1 D. k2=-4k1 10.已知如图，菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF垂直AB交AC于点G，反比例函数，经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（）
反比例函数解析式的几种常用求法及详细答案
反比例函数解析式的几种常用求法及详细答案
反比例函数解析式的几种常用求法 确定反比例函数解析式是反比例函数部分考查的一个重要知识点，也是进一步求解反比例函数问题的需要，那么怎样确定反比例函数的解析式呢？下面介绍几种常用的求解方法． 一、 定义型： 例1、已知函数10 2 )3(--=m x m y 是反比函数，求其解析式？ 分析：由反比例函数可知???-=-≠-1 100 32m m ∴? ??±=≠33m m ∴3-=m 即可写出函数解析式 利用定义求反比例x k y =解析式时，要保证k ≠0。如例1中应保证03≠-m 的条件。 二、 过点型： 例2、（浙江金华）已知图象经过点（1，1），的反比例函数解析式是 。 分析：函数图象过某一点，则该点坐标满足函数解析式。即可设函数解析式为x k y = 然后将该点坐标代入解析式求出K 值即可 （变式问法：已知反比例函数x k y =，当x=1时，y ＝1，求这个函数的解析式。） 三、 图象型： 例3、已知某个反比例函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 分析：如图将点P （1,2）代入反比例函数解析式x k y =中求出K 的值的即可。 四、面积型： 例4、（山东枣庄）反比例函数x k y = 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则反比例函数解析式？ 分析：由反比例函数)0(≠= k x k y 的图象上任一点P 与过这点作X 轴（或Y 轴）的垂线的垂足与坐标 原点三点间的三角形的面积“S=K 21 ”可知 1 2 P
∴ K 2 1 ＝2 故可求出K 值，即写出解析式。 例5、如图所示，设A 为反比例函数x k y =图象上一点，且矩形ABOC 的面积为3，则这个反比例函数解析式为 分析：由上面知识可知S 矩形ABOC =K ∴ K =3 即 K=±3 又∵ 反比例函数图象在第二象限 ∴K=－3 即可写出解析式。 五、应用型： 例6、某空调厂的装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），组装1500台空 调. （1）从组装空调开始，每天组装的台数m （单位： 台／天）与生产的时间t （单位:天） 之间有怎样的函数关系？ （2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？ 分析：这一道工程问题，即“工作总量＝工作时间×工作效率”要时确 ∴ 1500＝mt 即 t m 1500 = (0＜t ≤60) 之后的问题就可以用第一小问来解决了。 (注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围) 例7、（福建福州）如图，已知直线x y 21=与双曲线)0(>=k x k y 交于两 点，且点 的横坐标为． （1）求k 的值； （2）若双曲线)0(>=k x k y 上一点的纵坐标为8，求△AOC 的面 积； 分析：这是反比例函数与正比例函数的综合应用，只要明确交点A 的坐标既满足 正比例函数也满足反比例函数，即可以把A 点的横坐标4代入x y 2 1 =中求出点A 点坐标。然后代入)0(>=k x k y 中求出K 值即可。
《反比例函数》微专题——比例系数k的几何意义
《反比例函数》微专题 ——比例系数k 的几何意义 姓名： 一、课前热身，提炼模型 1.如图，点P 是双曲线x y 4 =上一点，经过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线段，则阴影部分面积为 。 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，点P 是双曲线x y 4 - =上一点，x PD ⊥轴于点D ，则POD Δ的面积为 。 3.如图，点P 是双曲线x k y = 上一点，x PD ⊥轴于点D ，POD Δ的面积为2，则k 的值为 。 二、探索新知，深化模型 例1.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作y AB ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，ABP Δ的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。
变式1.如图，已知点A 在双曲线的图象上，x AP ⊥轴于点P ，点Q 为y 轴上的一点，若APQ Δ的面积是3，则反比例函数的解析式为 。 变式2.如图，点A 是双曲线x y 4 - =上一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为 。 三、巩固提高，运用模型 例2.如图，已知四边形OCED 为矩形，点B 为ED 的中点，双曲线x k y =（0>x ）过点B ，交CE 于点A 。若四边形OAEB 的面积为2，则k 的值为 。
变式.如图，反比例函数x k y = （x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为 。 四、课堂小结，知识升华 通过本堂课，你有哪些收获或者疑问？
五、中考链接，能力提升 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数 x k y = （k 为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若 BE ：BF=1： m (m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则 1S ：2S =________． （用含m 的代数式表示）
反比例函数专题复习
反比例函数经典专题 知识点回顾 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下： 一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy| ∴xy=k 故S=|k| 从而得 结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论2：在直角三角形ABO中，面积S= 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| 例题讲解 【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2 都在函数y=4 x（x＞0） 的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐 标为 . 1、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、 P2、P3…P n都在函数y=4 x （x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则 点A10的坐标为
2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y= 1 x 的图像上，如果△PAB的面积为6， 求P点的坐标。 【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y=k x （x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴 上，E是对角线BD的中点，函数y=k x （k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标 为m，解答下列各题 1.求k的值 2.求点C的横坐标（用m表示） 3.当∠ABD=45°时，求m的值112 1、已知：如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，反比例函数y=2 x （x＞0）的图象经过A，E两点，点E的纵坐标为m． （1）求点A坐标（用m表示） （2）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由
最新人教版九年级数学下册 反比例函数(教案)
第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 【知识与技能】 1.理解反比例函数的意义. 2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式. 【过程与方法】 经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式. 【情感态度】 经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力. 【教学重点】 理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式 【教学难点】 反比例函数解析式的确定. 一、情境导入，初步认识 问题京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？ 【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导. 二、思考探究，获取新知 问题1某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y (单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？ 问题2已知北京市的总面积为1. 68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由. 思考观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看. 【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知. 反比例函数：形如y =k x (k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量， y是x的函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
反比例函数比例系数k的几何意义
反比例函数比例系数k的几何意义 反比例函数y= k/x (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=k/x (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线, 所得矩形面积为│k│ 1、如图，反比例函数4 y x =-的图象与直线 1 3 y x =-的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的 平行线相交于点C，则ABC △的面积为（） A．8 B．6 C 2、如图，点A是y轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y＝ 2 x(x＞0)图象上的一个动点，当点B的纵坐 标逐渐减小时，△OAB的面积将（） A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大后减小 3、如图12，A、B是函数2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥ x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为 S，则（） A．2 S=B．4 S=C．24 S <
反比例函数(提高)知识讲解
反比例函数（提高) 【学习目标】 1．理解反比例函数的概念和意义,能根据问题的反比例关系确定函数解析式. ２．能根据解析式画出反比例函数的图象,初步掌握反比例函数的图象和性质．3．会用待定系数法确定反比例函数解析式,进一步理解反比例函数的图象和性质. 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 一般地，形如 k y x =(k为常数,0 k≠)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y 是函数，定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释:(1)在 k y x =中,自变量x是分式 k x 的分母,当0 x=时,分式 k x 无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0 y≠.故函数图象与x轴、y轴无交点； (2） k y x =()可以写成()的形式,自变量x的指数是－1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. (3） k y x = ()也可以写成的形式,用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k,从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 k y x =中,只有一个待 定系数k，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标,即可求出k的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是: （１)设所求的反比例函数为: k y x = (0 k≠）； (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式,得到关于待定系数的方程；(３）解方程求出待定系数k的值； （4）把求得的k值代回所设的函数关系式 k y x =中. 要点三、反比例函数的图象和性质
? 1、 反 比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限;反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 要点诠释:（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x =的图象上,则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称; (2)在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于 ，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴． 2、反比例函数的性质 (１)如图1，当0k >时,双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内,y 值随x 值的增大而减小; (2）如图2，当0k <时,双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大; 要点诠释:反比例函数的增减性不是连续的,它的增减性都是在各自的象限内的增减情况,反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的;反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号. 要点四、反比例函数(）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线x k y = (0k ≠） 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x k y =(0k ≠） 上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点和原点，所得三角形的面积为2k ．
待定系数法求解析式
待定系数法求函数解析式 【要点梳理】 一．已知三点求抛物线解析式 例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式． 例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式． 三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式 例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式． 四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式 例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 五．求平移后新抛物线解析式 例6把抛物线2x y- =向左平移1个单位，然后 向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式． 六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式 例7 在一张纸上作出函数3 2 2+ - =x x y的图 象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数 3 2 2+ - =x x y的图象关于x轴对称的抛物线， 并写出新抛物线解析式． 【课堂操练】 1．求下列条件下的二次函数解析式： （1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）． （2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）． 2．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于y轴对称的抛物线解析式． 3．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于x轴对称的抛物线解析式． 4．已知二次函数c bx x y+ + =2 2 1 的图象过点A （c，－2），，求证：这 个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线 上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字． （1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题 目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程； 若不能，请说明理由． （2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添 加一个适当的条件，把原题补充完整． 【课后巩固】 1．将抛物线2 y x =的图像向右平移3个单位，则 平移后的抛物线的解析式为___________． 2．二次函数3 4 2+ + =x x y的图象可以由二次 函数2x y=的图象平移而得到，下列平移正确的 是（） A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 3．已知2 y ax bx c =++的图象过（－2，－6）、 （2，10）和（3，24）三点，求函数解析式． 4．已知函数2 y ax bx c =++，当x＝1时，有最 大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的 解析式． 5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别 为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解 析式．
反比例函数(提高)知识讲解
反比例函数（提高） 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 一般地，形如 k y x = (k为常数，0 k≠)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y 是函数，定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释：（1）在 k y x =中，自变量x是分式 k x 的分母，当0 x=时，分式 k x 无意义， 所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0 y≠.故函数图象与x轴、y轴无交点； （2） k y x = ()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） k y x = ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 k y x =中，只有一个待 定系数k，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为： k y x = (0 k≠)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k的值； （4）把求得的k值代回所设的函数关系式 k y x =中. 要点三、反比例函数的图象和性质
用待定系数法求数解析式
用待定系数法求数解析式
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用待定系数法求二次函数解析式 二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式，要观察题目中给出的条件，灵活选用方法。一般地，有三个点且点不是特殊点时，一般采用一般式；若有三个点，且有二点为函数图像与x 轴交点时，采用交点式；若有顶点时，一般采用顶点式。同时，在采用交点式时，要注意二次项系数a 不能漏掉。应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。即：根据已知条件列出关于a 、b 、c 或h 、k 及x 1、x 2的方程(注意有几个未知数就列出几个方程)；解方程组求出待定的系数；写出解析式，要化为一般式． (1)一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) ⑵顶点式：y=a(x-h)2＋k(a ≠0)，（h,k ）是抛物线顶点坐标。 (3)交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)，x 1，x 2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标． 思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。 例1 图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求这个二次函数的关系式． 解：分析：因为图像过三点，且三个点不属于特殊点。因此，只能采用一般式求解。 设函数解析式为y=ax 2+bx+c ∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1） c=1 ∴ a+b+c=2 4a+2b+c=-1 解之得a=-2，b=3，c=1； ∴函数解析式为y=-2x 2+3x+1 小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。 思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。 例2 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式． 分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9． 根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。试一试，比较一下。 思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用交点 的形式，其中x 1、x 2， 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。 一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1 ，x 2 为两交点的横坐标。 例3已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 解 设所求二次函数为，y=a(x+2)(x-4)，由于这个函数的图象过（0，3），可以得到a(0+2)×(0-4)=3 解这个方程组，得a= -38 所以: y= -38(x+2)(x-4)= 233 384 x x -++. 所以，所求二次函数的关系式是y= 233 384 x x -++. 思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用︱x 1-x 2︱2=（x 1+x 2）2 -2x 1x 2的形式来求，其中︱x 1-x 2︱ 为两交点之间的距离， x 1、x 2为图象与 轴相交的交点的横坐标。 4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成y=a(x-h)2＋k 的形式，若图象向左（右）移动m 个单位，括号里-h 的值就加（减）m 个单位；若图象向上（下）平移 n
最新反比例函数专题复习
精品文档反比例函数经典专题知识点回顾很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来由于反比例函数解析式及图象的特殊性，又能充分体现数进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，可以较好地将知识与能力融合在一起。形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型 归纳如下：的几何意义求解与面积有关的问题利用反比例函数中|k|一、 设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线 段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy| ∴xy=k 故S=|k| 从而得 结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出 对应的面积的结论为： S= 中，面积：在直角三角形ABO结论2S=2|k| 中，面积为：在直角三角形ACB结论3S=|k| 中，面积为：在三角形AMB结论4
例题讲解 PP、】如右图，已知△P0A，△PAA都是等腰直角三角形，点1【例21111224的坐A、A都在x轴上．则点A都在函数y=的图象上，斜边OA）＞（x02121x . 标为 、都是等腰直角三角形，点PPAA…△，△POA，△PAAPA1、如例1A图，已知△1n1122n123n-134轴上．则x都在AAA、0）的图象上，斜边OAA、A…A＞y=都在函数…P、PP（x n1n-1122n233x的坐标为点A10精品文档． 精品文档
1 ，6PAB的图像上，如果△的面积为-2A、已知点（0,2）和点B（0，），点P在函数y=2x求P点的坐标。 k轴BC在xABCDy=x（＞0）的图像上，矩形的边2【例】如右图，已知点（1,3）在函数xk的横坐标两点，点EA,E）y=是对角线BD的中点，函数＞（k0的图象又经过E上，x为m，解答下列各题求k的值1. 2.的横坐标（用C求点m表示） 3.当∠112m°时，求ABD=45的值 精品文档．