初中数学竞赛专题选讲完全平方数和完全平方式(含答案)

合集下载

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲完全平方数和完全平方式(含答案)

第十一讲完全平方数和完全平方式趣题引路】一个四位数aabb为平方数，则a+b的值等于（）A.11B.10C.9D.8因为aabb=1000a+100a+10b+b=11（100a+b），由题意可设100a+b=11c2（c是正整数），所以，101<100a+b=11c2<999，9<c2<90.于是，4≤c≤9.经检验，c=8时满足条件，此时a=7，b=4.故a+b=11.选A知识拓展】设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数（或平方数）。

常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关间题等，最常用的性质有：（1）任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；（2）个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；（3）在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；（4）任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；（5）任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；（6）相邻两个整数之积不是完全平方数；（7）如果自然数和不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；（8）偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数。

例1若n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+1是3个完全平方数之和.解析用式子表示完全平方数，然后讨论该数的特征。

证明设3n +1=m 2，显然3不整除m ，因此，m =3k +1或m =3k +2（k 是正整数）. 若m =3k +1，则222131)13233m k n k k -+-===+（∴ n +1=3k 2+2k +1=k 2+k 2+（k +1）2. 若m =3k +2，则222132)134133m k n k k -+-===++（.∴ n +1=3k 2+4k +2 =k 2+（k +1）2+（k +1）2. 故n +1是3个完全平方数之和.例2.一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数。

新课标八年级数学竞赛培训第31讲完全平方数和完全平方式

2010 年新课标八年级数学比赛培训第31 讲：完整平方数和完整平方式一、选择题（共 4 小题，每题3 分，满分 12 分）1．（ 3 分）若 x 是自然数，设 432，则（）y ＝x +2x +2x +2x+1A ．y 必定是完整平方数B ．存在有限个，使 y 是完整平方数C ． y 必定不是完整平方数D ．存在无穷多个，使 y 是完整平方数2．（ 3 分）已知 a 和 b 是两个完整平方数，a 的个位数字为 l ，十位数字为 x ；b 的个位数为6，十位数字为 y ，则（）A ．x ， y 都是奇数B ． x ， y 都是偶数C ． x 是奇数， y 是偶数D ． x 为偶数， y 为奇数 3．（ 3 分）假如是整数，那么 a 知足（）A ．a ＞ 0 且 a 是完整平方数B ． a ＜ 0，且﹣ a 是完整平方数C ． a ≥ 0 且 a 是完整平方数D ． a ≤0，且﹣ a 是完整平方数4．（ 3 分）设 n 是自然数，假如 n2 的十位数字是 7，那么 n 2的末位数字是（）A ．1B ．4C ． 5D ． 6二、填空题（共 8 小题，每题 3 分，满分 24 分）5．（ 3 分）若四位数是一个完整平方数，则这个四位数是．6．（ 3 分）设 m 是一个完整平方数，则比 m 大的最小完整平方数是．7．（ 3 分）设平方数 22的最小值是．y 是 11 个接踵整数的平方和，则 y8．（ 3 分） p 是负整数，且 2001+p 是一个完整平方数，则 p 的最大值为．9．（ 3 分）设自然数 N 是完整平方数， N 起码是 3 位数，它的末 2 位数字不是 00，且去掉此 2 位数字后，剩下的数仍是完整平方数，则 N 的最大值是． 10．（ 3 分）使得 n2﹣19n+95 为完整平方数的自然数 n 的值是．11．（3 分）自然数 n 减去 52 的差以及 n 加上 37 的和都是整数的平方，则 n ＝．12．（ 3 分）两个两位数，它们的差是 56，它们的平方数的末两位数字同样，则这两个数分别是．三、解答题（共 12 小题，满分 84 分）13．（ 6 分） n 是正整数， 3n+1 是完整平方数，证明：n+l 是 3 个完整平方数之和．14．（ 6 分）一个正整数，假如加上100 是一个平方数，假如加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．15．（8 分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如 16＝52﹣ 32， 16 就是一个“智慧数”．在正整数中从 1 开始数起，试问第1998 个“智慧数”是哪个数？并请你说明原因．16．（ 9 分）已知：五位数知足以下条件：（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完整平方数；（3）它的万位上的数字 a 是一个完整平方数，干位和百位上的数字按序构成的两位数以及十位和个位上的数字按序构成的两位数也都是完整平方数．试求出知足上述条件的全部五位数．17．（ 8 分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完整平方数吗？若能够，请举出一例；若不可以够；请说明原因．2n 的个数是多少？18．（ 6 分）使得（ n ﹣19n+91）为完整平方数的自然数19．（ 8 分）已知 a1，a2，，a2002的值都是1 或﹣ 1，设 m 是这 2002 个数的两两乘积之和．（1）求 m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求 m 的最小正当，并指出能达到最小正当的条件．220．（ 8 分）假如对全部x 的整数值， x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数（即整数的平方），证明：（ 1） 2a，2b， c 都是整数；（ 2） a， b， c 都是整数，而且 c 是平方数；（ 3）反过来，如（ 2）建立，能否对全部x 的整数值， x 的二次三项式2ax +bx+c 的值都是平方数？21（． 7 分）能否存在一个三位数（ a，b，c 取从 1 到 9 的自然数），使得为完整平方数？22．（ 6 分）求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完整平方数．23．（ 6 分）有若干名战士，恰巧构成一个八列长方形行列．若在行列中再增添120 人或从行列中减去120 人后，都能构成一个正方形行列．问原长方形行列共有多少名战士？第 2 页（共 16 页）24．（ 6 分）证明：是一个完整平方数．︸︸个个2010 年新课标八年级数学比赛培训第31 讲：完整平方数和完整平方式参照答案与试题分析一、选择题（共 4 小题，每题 3 分，满分 12 分）1．（ 3 分）若 x 是自然数，设4 3 2，则（）y＝x +2x +2x +2x+1A ．y 必定是完整平方数B ．存在有限个，使y 是完整平方数C． y 必定不是完整平方数D ．存在无穷多个，使y 是完整平方数【剖析】因为 x 是自然数，那么0 也属于自然数．而后依据4 3 2y＝x +2x +2 x +2x+1 ，议论 y是不是完整平方数．【解答】解：当 x＝ 0 时， y＝ 1． y 是完整平方数．当 x 为大于4 3 2 4 2 3 20 的自然数时． x +2 x +2x ＜ y＜ x +x +1+2 x +2x +2x．2 2 2 2． y 必定不是完整平方数．故（ x +x）＜ y＜（ x +x+1 ）故存在有限个，使y 是完整平方数．应选： B．【评论】本题考察了完整平方数的观点和自然数的知识．属于简单的题目．2．（ 3 分）已知a 和 b 是两个完整平方数， a 的个位数字为l ，十位数字为x； b 的个位数为6，十位数字为 y，则（）A ．x， y 都是奇数B． x， y 都是偶数C． x 是奇数， y 是偶数D． x 为偶数， y 为奇数【剖析】 a 的个位数字为1，十位数字为x，则 x 为偶数，而 b 的个位数为6，十位数字为 y， y 为奇数，进而得出答案．【解答】解：∵ a 的个位数字为1，十位数字为 x，∴ x 为偶数，∵b 的个位数为 6，十位数字为 y，∴ y 为奇数，应选： D ．【评论】本题考察了完整平方数的性质，是一道比赛题，难度中等．3．（ 3 分）假如是整数，那么 a 知足（）A ．a＞ 0 且 a 是完整平方数B． a＜ 0，且﹣ a 是完整平方数C ． a ≥ 0 且 a 是完整平方数D ． a ≤0，且﹣ a 是完整平方数【剖析】是整数，则﹣ a 是一个完整平方数，据此即可作出判断．【解答】解：假如是整数，则﹣ a 是一个完整平方数，则﹣a ≥ 0．故 a ≤0，且﹣ a 是完整平方数．应选： D ．【评论】本题主要考察了完整平方数，以及二次根式存心义的条件，正确理解完整平方数的意义是解题的要点．4．（ 3 分）设 n 是自然数，假如 n2 的十位数字是 7，那么 n 2 的末位数字是（）A ．1B ．4C ． 5D ． 62222是【剖析】设自然数 n 的末两位数字为 10a+b ，则（ 10a+b ）＝ a × 10 +2ab × 10+b .2ab 偶数，要使十位数字是7，则 b 2的十位数字一定是奇数，而使一位数b 2的十位数字是奇数的，只有 4 或 6．可知 n 2的末位数字是 6．【解答】解：设自然数 n 的末两位数字为 10a+b （此中 a 为 1～ 9 之间的正整数， b 为 0～ 9 之间的正整数），2222． ∵（ 10a+b ）＝a × 10 +2ab × 10+b而 2ab 是偶数，∴ b 2的十位数字一定是奇数，∴ b ＝4 或 6．∵ 42＝ 16， 62＝ 36．∴ n 2的末位数字是6．应选： D ．【评论】本题考察了尾数特色和完整平方公式，由n 2的十位数字是 7，得出 n 的末位数字是 4 或 6 是解题的要点．二、填空题（共 8 小题，每题3 分，满分 24 分）5．（ 3 分）若四位数是一个完整平方数，则这个四位数是7744．【剖析】由 xxyy 这个数的特色可知这个数能被11 整除，又它是完整平方数所以能被11的平方 121 整除．又它是 4 位数且为完整平方数，所以此数应为121 与 9 16 25 36 49 64 81的乘积的一种．分别计算可知此数应为121 与 64 的乘积，为 7744．其余乘积均不可以．【解答】解：∵四位数是一个完整平方数，则11（ 100x+y ）是一个完整平方数，则 100x+y 能被 11 整除，∵ 100x+y ＝ 99x+（ x+y ），∴ x+y 能被 11 整除，而 1≤ x+y ≤ 18，∴只有 x+y ＝ 11，经查验 x ＝ 7， y ＝ 4，故这个四位数为 7744．故答案为： 7744．【评论】本题考察了完整平方数的性质，以及数的整除问题，是要点又是难点，要娴熟掌握．6．（ 3 分）设 m 是一个完整平方数，则比 m 大的最小完整平方数是（2 ．1）【剖析】由 m 是一个完整平方数，得 m 是的平方数，则比大且最小的整数是1，进而得出它的平方．【解答】解：∵ m 是一个完整平方数， ∴ m 是的平方数，∴比大且最小的整数是1，它的平方是（1）2．故答案为：（1）2．【评论】本题考察了一个数的完整平方数，以及完整均匀数的性质，要娴熟掌握．7．（ 3 分）设平方数 22的最小值是121 ．y 是 11 个接踵整数的平方和，则 y【剖析】设这 11 个数分别为： x ﹣ 5， x ﹣4， x ﹣ 3，， x+4， x+5．列出方程，议论 y 的最小值．【解答】解：设 11 个数分别为： x ﹣ 5，x ﹣ 4， x ﹣ 3，， x+4， x+5．则这 11 个接踵整数的平方和为（ x ﹣2 2 2225） +（ x ﹣4） + +x + +（ x+4 ） +（x+5 ）＝ 1122（ x +10 ）＝ y ，因为 y 2 是平方数，则当 y 2 最小时， x 2＝ 1， y 2＝ 121，则 y 2的最小值是121．故答案为： 121．【评论】本题考察了完整平方数的应用，依据题意列出适合的方程是解题要点．8．（ 3 分） p 是负整数，且 2001+p 是一个完整平方数，则p 的最大值为 ﹣ 65 ．【剖析】依据 p 是负整数，且 2001+p 是一个完整平方数，可知 2001+p 是小于 2001 的完全平方数，因为小于 2001 的最大完整平方数是442，则有方程 2001+p ＝ 442，求解即可．则有 442≤ 2001+p ＜ 452，∴ 2001+p ＝ 442＝1936 ，∴ p ＝﹣ 65．故答案为：﹣ 65．【评论】本题考察完整平方数的知识，难度较大，要点是找到小于2001 的最大的完整平方数．9．（ 3 分）设自然数 N 是完整平方数， N 起码是 3 位数，它的末 2 位数字不是 00，且去掉此 2 位数字后，剩下的数仍是完整平方数，则N 的最大值是 1681 ．22【剖析】依据题意，设 N ＝ x （ x 为自然数），去掉此两位数字后获得整数 m ， m ＝ k （ k为自然数），而后依据此中关系求解 N ．【解答】解：设 N ＝ x 2（ x 为自然数），N 的末两位数字构成整数y ，去掉此两位数字后得22 222到整数 m ， m ＝ k （ k 为自然数），则 1≤ y ≤ 99， x ＝ 100k +y ， y ＝x ﹣ 100k ＝（ x+10k ）（ x ﹣ 10k ）．令 x+10k ＝ a ， x ﹣ 10k ＝ b ，则 b ≥ 1， k ≥ 1， x ＝ 10k+b ≥ 11， a ＝ x+10k ≥ 21．若 k ≥ 4，则 x ＝ 10k+b ≥ 41，a ＝ x+10k ≥ 81，惟有 b ＝ 1， k ＝ 4， x ＝ 41，a ＝ 81， y ＝81， m ＝ 16，N ＝ 1681．明显当 k ≤ 3 时， x ≤ 40．故 N ＝ 1681 为所求最大值．【评论】本题考察了完整平方数的应用．做本题时要合理设未知数，而后依据题意求解结果．10．（ 3 分）使得 n 2﹣19n+95 为完整平方数的自然数n 的值是 5 或 14 ．【剖析】先议论 n ＝ 1， 2， 3， 4，时的状况，而后议论 n ≥ 5 时的状况，运用夹逼法确立2n ﹣ 19n+95 的范围，进而得出 n 的可能值．【解答】解： ① 当 n ＝ 1，2， 3， 4 时明显不切合题意；② 当 n ≥5 时，（ n ﹣ 10） 2≤ n 2﹣ 19n+95≤ n 2，22 2 2∴（ 1） n ﹣ 19n+95 ＝（ n ﹣ 10） ? n ＝ 5；（ 2） n ﹣19n+95 ＝（ n ﹣ 9） ? n ＝ 14，只有这两种状况切合题意，故 n 可取 5 或 14．故答案为： 5 或 14．的运用．11．（3 分）自然数 n 减去 52 的差以及 n 加上 37 的和都是整数的平方，则 n ＝ 1988 ．【剖析】设 n ﹣ 59＝a 2， n+30＝ b 2，则存在 a 2﹣ b 2＝﹣ 89＝﹣ 1× 89，依据奇偶性同样即可求得 a 、 b 的值，即可求得n 的值．【解答】解：设 n ﹣ 52＝a 2， n+37 ＝b 2，则 a 2﹣ b 2＝﹣ 89＝﹣ 1× 89，即（ a+b ）（ a ﹣ b ）＝﹣ 1×89．且 a+b 与 a ﹣b 的奇偶性同样，故 a+b ＝89， a ﹣b ＝﹣ 1，于是 a ＝ 44， b ＝ 45，进而 n ＝ 1988．故答案为： 1988．【评论】本题考察了完整平方数的应用，考察了因式分解法求值的应用，考察了奇偶性的判断．12．（ 3 分）两个两位数，它们的差是 56，它们的平方数的末两位数字同样，则这两个数分别是 78 和 22 ．【剖析】依据两位数的差是56 列出 x ﹣ y ＝ 56，依据两位数的平方数的末两位数字同样，获得 x 2﹣y 2＝ m × 100（ m 为正整数），解方程组，推出 m 的值，进而求出 y 的值．【解答】解：∵ x ﹣ y ＝ 56，x 2﹣ y 2＝ m × 100（m 为正整数），消去 x ，得 112y ＝ 100m ﹣ 3136， y28，∵ y 是一个两位数且 m ＜ 100，∴ m ＝ 56 或 84， ∴ y ＝ 22 或 47．当 y ＝ 22 时， x ＝ 78；当 y ＝ 47 时， x ＝ 103（舍去）．故答案为： 22，78．【评论】本题考察了尾数的特色，依据两平方数的末两位数字同样得出x 2﹣y 2＝ m ×100（ m 为正整数），是解题的要点．三、解答题（共 12 小题，满分 84 分）13．（ 6 分） n 是正整数， 3n+1 是完整平方数，证明： n+l 是 3 个完整平方数之和．2第 8 页（共 16 页）的值，代入 n+1 经变形即可证为 3 个完整平方数之和．【解答】证明：设 3n+1 ＝m 2，则 m ＝ 3k+1 或 m ＝ 3k+2（ k 是正整数）．若 m ＝ 3k+1 ，则．2222∴ n+1＝3k +2 k+1＝k +k +（ k+1 ）．若 m ＝ 3k+2 ，则2 2 2 2 ．∴ n+1＝3k +4 k+2＝k +（ k+1） +（ k+1）故 n+1 是 3 个完整平方数之和．【评论】本题考察了完整平方数的应用，要点是对 n 的取值的议论，比较麻烦，同学们应要点掌握．14．（ 6 分）一个正整数，假如加上 100 是一个平方数，假如加上 168，则是另一个平方数，求这个正整数．【剖析】所求正整数为 x ，引入参数 m 和 n 分别表示这两个完整平方数，而后利用奇偶性剖析求解．【解答】解：设所求正整数为 x ，2则： x+100＝ m ① ；2x+168 ＝n ② ；此中 m ， n 都是正整数， ② ﹣ ① 得 n 2﹣ m 2＝ 68，即（ n ﹣ m ）（ n+m ）＝ 22×17③ ；因 n ﹣m ， n+m 拥有同样的奇偶性，由 ③ 知 n ﹣m ， n+m 都是偶数．注意到 0＜ n ﹣ m ＜ n+m ，由 ③ 可得．解得 n ＝ 18．代入 ② 得 x ＝ 156，即为所求．【评论】本题考察完整平方数的知识，难度较大，本题的难点在于引入参数，利用奇偶剖析求解．15．（8 分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如 16＝52﹣ 32， 16 就是一个“智慧数” ．在正整数中从 1 开始数起，试问第1998 个“智慧数”是哪个数？并请你说明原因．【剖析】假如一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别 m 、n ，设 m ＞ n ，即智慧数＝ m 2﹣ n 2＝（ m+n ）（ m ﹣n ），因为 m ，n 是正整数，因此m+n 和 m ﹣n 就是两个自然数．要判断一个数是不是智慧数，能够把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数可否写成两个正整数的和与差．【解答】解： 1 不可以表示为两个正整数的平方差，所以 1 不是“智慧数” ．关于大于 1 的奇正整数 2k+1，有 2k+1 ＝（ k+1 ）2﹣k 2（ k ＝ 1，2，）．所以大于 1 的奇正整数都是 “智慧数”．关于被 4 整除的偶数 4k ，有 4k ＝（ k+1） 2﹣（ k ﹣1） 2（ k ＝ 2， 3，）．即大于 4 的被 4 整除的数都是“智慧数” ，而 4 不可以表示为两个正整数平方差，所以 4 不是“智慧数” ．关于被 4 除余 2 的数 4k+2（ k ＝ 0， 1，2， 3，），设 224k+2＝ x ﹣ y ＝（ x+y ）（ x ﹣ y ），其中 x ， y 为正整数，当 x ， y 奇偶性同样时，（ x+y ）（ x ﹣ y ）被 4 整除，而 4k+2 不被 4 整除；当 x ， y 奇偶性相异时，（ x+y ）（ x ﹣ y ）为奇数，而 4k+2 为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x ， y 使得 x 2﹣ y 2＝ 4k+2．即形如 4k+2 的数均不为“智慧数” ．所以，在正整数列中前四个正整数只有 3 为“智慧数”，今后，每连续四个数中有三个 “智慧数”．因为 1998＝（ 1+3 ×665）+2，4×（ 665+1）＝ 2664，所以 2664 是第 1996 个“智慧数” ，2665 是第 1997 个“智慧数” ，注意到 2666 不是“智慧数” ，所以 2667 是第 1998 个“智慧数” ，即第 1998 个“智慧数”是2667 ．【评论】本题主要考察了平方差公式，有必定的难度，主假如对题中新定义的理解与掌握．16．（ 9 分）已知：五位数知足以下条件：（ 1）它的各位数字均不为零；（ 2）它是一个完整平方数；（ 3）它的万位上的数字 a 是一个完整平方数，干位和百位上的数字按序构成的两位数以及十位和个位上的数字按序构成的两位数也都是完整平方数．试求出知足上述条件的全部五位数．【剖析】设2（两位数），（两位数），，且 a ＝ m （一位数），22422 2则 M ＝ m × 10 +n × 10 +t ①2 2 2 2 4 2 2② ，比较式 ① 、式 ② 得由式 ① 知 M ＝（m × 10 +t ）＝m × 10 +2 mt × 10 +t 后议论即可得出答案．【解答】解：设2（两位数），，且 a ＝ m （一位数），22 4 2 2 2 数），则 M ＝ m × 10 +n ×10 +t ①2222422 由式 ① 知 M ＝（ m × 10 +t ）＝ m × 10 +2mt × 10 +t ②比较式 ① 、式 ② 得 n 2＝ 2mt ．n 2＝ 2mt ．然（两位因为 n 2 是 2 的倍数，故 n 也是 2 的倍数，所以， n 2是 4 的倍数，且是完整平方数．故 n 2＝ 16 或 36 或 64．当 n 2＝ 16 时，得 mt ＝ 8，则 m ＝l ， 2， 4， 8， t ＝8， 4， 2，1，后二解不合条件，舍去；故 M 2＝ 11664 或 41616．当 n 2＝ 36 时，得 mt ＝ 18．则 m ＝ 2， 3，1， t ＝9， 6， 18．最后一解不合条件，舍去．故 M 2＝ 43681 或 93636．当 n 2＝ 64 时，得 mt ＝ 32．则 m ＝ 1， 2，4， 8， t ＝ 32， 16， 8，4 都不合条件，舍去．所以，知足条件的五位数只有4 个： 11664， 41616， 43681， 93636．【评论】本题考察了完整平方数，难度较大，要点是设2，且 a ＝ m （一位数），（两位数），（两位数），而后表示出M 2的形式．17．（ 8 分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与 2002 的和都是完整平方数吗？若能够，请举出一例；若不可以够；请说明原因．【剖析】依据偶数的平方和为偶数，奇数得平方和为奇数，即可议论这四个数的奇偶性，再议论三个奇数的性质，即可求得此中结论矛盾，即可求得不可以找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完整平方数，即可解题．【解答】解：偶数的平方能被 4 整除，奇数的平方被4 除余 1，即正整数的平方被 4 除余0 或 1．2若存在正整数知足n i n j +2002＝ m ； i ， j ＝ 1， 2， 3， 4， n 是正整数；∵ 2002 被 4 除余 2，∴ n i n j 被 4 除应余 2 或 3．（ 1）若正整数 n 1， n 2， n 3，n 4 中有两个是偶数，设 n 1， n 2 是偶数，则n 1n 2+2002 被 4 除余 2，与正整数的平方被 4 除余 0 或 1 不符，故正整数 n 1， n 2，n 3， n 4 中至多有一个是偶数，起码有三个是奇数．（ 2）在这三个奇数中，被 4 除的余数可分为余 1 或 3 两类，依据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被 4 除余 1，与 n i n j被 4 除余 2 或 3 的结论矛盾．综上所述，不可以找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完整平方数．【评论】本题考察了奇数、偶数的性质，考察了完整平方数的性质，本题中议论四个数的奇偶性是解题的要点．2﹣19n+91）为完整平方数的自然数n 的个数是多少？18．（ 6 分）使得（ n2 2 2﹣【剖析】依据 n ﹣19n+91 ＝（ n﹣ 9） +（ 10﹣ n），可分两种状况：①当 n＞ 10 时（ n219n+91）不会成为完整平方数；②当 n≤ 10 时，（ n ﹣ 19n+91）才是完整平方数；进而得出 n 的值为 9 或 10．【解答】解：若（ n 2﹣ 19n+91 ）处在两个相邻整数的完整平方数之间，则它的取值便固定了．2 2∵ n ﹣ 19n+91 ＝（ n﹣ 9）+（ 10﹣ n）当n＞10 时，（ n﹣ 10）2＜n2﹣ 19n+91＜（ n﹣ 9）22∴当 n＞ 10 时（ n ﹣ 19n+91）不会成为完整平方数2∴当 n≤ 10 时，（ n ﹣ 19n+91）才是完整平方数2经试算， n＝ 9 和 n＝ 10 时， n ﹣ 19n+91 是完整平方数．【评论】本题考察了完整平方数的应用，是要点内容，要掌握．19．（ 8 分）已知 a1，a2，，a2002的值都是1 或﹣ 1，设 m 是这 2002 个数的两两乘积之和．（1）求 m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求 m 的最小正当，并指出能达到最小正当的条件．【分析】（ 1 ）由于（ a1+a2+ +a2002）2 2 2 2＝ 2002+2m ，可得＝ a1 +a2 + +a2002 +2mm ． a1+a2+ +a2002＝ 2002 时， m 有最大值， a1+a2+ +a2002＝ 0 时， m 有最小值，最大值应为2003001，最小值应为 57．（ 2）找到最小的比2002 大的偶数完整平方数，即当这2002 个数中有1024 个 1，978 个﹣ 1 时，或许有 978 个 1，1024 个﹣ 1 时获得最小正当．2 2 2 2【解答】解：（ 1）（ a1+a2+ +a2002）＝ a1 +a2 + +a2002 +2m＝ 2002+2m，m．当 a 1＝ a 2＝＝ a 2002＝ 1 或﹣ 1 时， m 取最大值 2003001．当 a 1， a 2， a 2002 中恰有 1001 个 1， 1001 个﹣ 1 时， m 取最小值﹣ 1001 ．（ 2）因为大于 2002 的最小完整平方数为 452＝2025 ，且 a 1+a 2+ +a 2002 必为偶数，所以，当 a 1+a 2+ +a 2002＝ 46 或﹣ 46；即 a 1， a 2， a 2002 中恰有 1024 个 1， 978 个﹣ 1 或恰有 1024 个﹣ 1， 978 个 1 时，m 取最小值．【评论】本题考察了完整平方数和多项式的乘法，解题的要点是将由（a 1+a 2+ +a 2002）22 2 2，有必定的难＝ a 1 +a 2 + +a 2002 +2m ＝ 2002+2m ，获得 m度．220．（ 8 分）假如对全部 x 的整数值， x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数（即整数的平方），证明：（ 1） 2a ，2b ， c 都是整数；（ 2） a ， b ， c 都是整数，而且 c 是平方数；2（ 3）反过来，如（ 2）建立，能否对全部x 的整数值， x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数？【剖析】（ 1）分别令 x ＝ 0， x ＝ 1，x ＝﹣ 1 而后辈入二次三项式，可得出 2a ， 2b ， c 都是整数．（ 2）分别令令 x ＝ 2， x ＝﹣ 2，代入二次三项式，而后利用奇偶性可分别得出结论．（ 3）令 x ＝ 1， a ＝ 1， b ＝1， c ＝ 1 代入即可作出判断．2【解答】证明：（ 1）∵对全部 x 的整数值， x 的二次三项式ax +bx+c 的值都是平方数，2∴令 x ＝0， a?0 +b?0+c ＝ c ，c 是整数且是平方数，令 x ＝ 1，﹣ 1 时 a?1 22 +b?1+c ，a?（ ﹣ 1） +b?（ ﹣ 1） +c 是平方数，2222∴可设 a?1 +b?1+c ＝ m 1 ① a?（ ﹣ 1） +b?（ ﹣ 1）+c ＝ n 1② c ＝ k 12（ m 1n 1k 1 均为整数），① ﹣ ② 得： 2b ＝ m 12﹣ n 12，∴ 2b 为整数（整数相减为依旧为整数），第 13 页（共 16 页）∴ 2a 为整数，∴ 2a ，2b ， c 都是整数；（ 2）（1）中已证 c 是整数且是平方数，22 2 2 2令 x ＝ 2，﹣ 2 时，可设 a?2 +b?2+ c ＝m 2 ③ a?（ ﹣ 2） +b?（ ﹣ 2）+c ＝n 2 ④ c ＝ k 1 （ m 2n 2k 1均为整数），22③ ﹣ ④ 得： 4b ＝ m 2 ﹣ n 2 ＝（ m 2+n 2）（ m 2﹣ n 2）＝ 2（ 2b ），∴ 2（ 2b ）为偶数，则 m 22﹣ n 22为偶数，∴（ m 2+n 2），（m 2﹣ n 2）同奇同偶，则可设（ m 2+n 2）＝ 2m ，（ m 2﹣ n 2）＝ 2n （ m ， n 均为整数），∴ 4b ＝2m?2n ＝ 4mn ，∴ b ＝mn ，∴ b 为整数；（ 3）令 x ＝ 1， a ＝ 1， b ＝1， c ＝ 1，则 ax 2+bx+c ＝3，而 3 不是平方数．∴不必定建立．【评论】本题考察完整平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特别值法．21（． 7 分）能否存在一个三位数（ a ，b ，c 取从 1 到 9 的自然数），使得为完整平方数？【剖析】假定存在，那么三数之和可写成111（ a+b+c ），因为 111（ a+b+c ）完整平方数，而 111＝ 3× 37，且 3、37 是质数，故可知 a+b+c 中必有因数 3 和 37，又 0≤ a+b+c ≤ 27，说明 a+b+c 中不含因数 37，进而不是完整平方数，这样的三位数不存在．【解答】解：假定存在，依据题意得100a+10b+c+100b+10c+a+100 c+10a+b ＝ 111（ a+b+c ），∵ 111＝ 3× 37，而 3、37 是质数，∴ a+b+c 的和中必有因数 3 和 37，又 a ，b ， c 取从 1 到 9 的自然数，∴ 0≤ a+b+c ≤ 27，∴ a+b+c 中不含因数 37，∴不是完整平方数．故这样的三位数不存在．【评论】本题考察的是完整平方数、质数、不等式的相关知识． 22．（ 6 分）求证：四个连续自然数的积加l ，其和必为完整平方数．【剖析】可设最小的自然数为 n ，则四个连续自然数的积加 l ，能够写成 n ×（ n+1）×（n+2 ）2 2）+1 ×（ n+3）+1，再转变为 [n ×（ n+3）] ×[ （ n+1）×（ n+2）]+1 ＝（ n +3n ）（ n +3n+2 2222 2＝（ n +3n ） +2 （n +3n ） +1＝（ n +3 n+1）．进而得以证明．【解答】证明：设最小的自然数为n ，则有n ×（ n+1）×（ n+2 ）×（ n+3） +1＝ [n ×（ n+3） ] × [（ n+1）×（ n+2） ]+12 2＝（ n +3n ）（ n +3n+2 ） +12 22＝（ n +3n ） +2 （n +3n ） +1 22．＝（ n +3n+1）故四个连续自然数的积加l ，其和必为完整平方数．【评论】本题考察了完整平方式，解题的要点是将 n ×（ n+1）×（ n+2）×（ n+3）首尾相乘，整体思想将使式子转变为完整平方式．23．（ 6 分）有若干名战士，恰巧构成一个八列长方形行列．若在行列中再增添120 人或从行列中减去 120 人后，都能构成一个正方形行列．问原长方形行列共有多少名战士？【剖析】可设原有战士 8n 人， 8n+120 ＝a 2， 8n ﹣ 120＝ b 2，则存在 a 2﹣ b 2＝ 240，依据奇偶性同样，即可求得a 、b 的值，进一步求得 n 的值．【解答】解：设原有战士 8n 人， 8n+120＝ a 2， 8n ﹣ 120＝ b 2，则存在 a 2﹣ b 2＝ 240，即（ a+b ）（ a ﹣ b ）＝ 240．但 a+b 与 a ﹣ b 的奇偶性同样，且 a 、b 都为偶数，故 a+b ＝120， a ﹣b ＝ 2，于是 a ＝ 61， b ＝ 59（不合题意舍去）；a+b ＝ 60， a ﹣ b ＝4，于是 a ＝ 32， b ＝ 28，则 8x ＝ 904．因为 904﹣ 120＝ 784， 784 为 28的平方，即 28 行 28 列，与题意不符，即不是在原8 列的方阵中减去 120，而是减去 120再排成行列，所以904 不符条件，应舍去；a+b ＝ 40， a ﹣ b ＝6，于是 a ＝ 23， b ＝ 17（不合题意舍去）；a+b＝ 30， a﹣ b＝8，于是 a＝ 19， b＝ 11（不合题意舍去）；a+b＝ 24， a﹣ b＝10，于是 a＝ 17，b＝ 7（不合题意舍去）；a+b＝ 20， a﹣ b＝12，于是 a＝ 16，b＝ 4，则 8x＝ 136；a+b＝ 16， a﹣ b＝15，于是 a＝ 15.5， b＝ 0.5（不合题意舍去）．故原长方形行列共有136 名战士．【评论】本题考察了完整平方数在实质生活中的应用，考察了因式分解法求值的应用，考察了奇偶性的判断．24．（ 6 分）证明：︸是一个完整平方数．︸个个【剖析】先将︸各个数位上不一样的数字用科学记数法表示，再将它们配为︸个个完整平方式即可．2n+2 n n+2 n+1 【解答】解：原式＝ 3× 10 +（ 10 ﹣ 1）× 10 +6× 10 +1＝3× 102n+2+102n+2﹣10n+2+6×10n+1+1＝4× 102n+2﹣ 4×10n+1+1＝（ 2× 10n+1﹣ 1）2．故是一个完整平方数．︸︸个个【评论】本题考察了完整平方数，难度较大，解题要点是将各个数位上不一样的数字用科学记数法表示，注意中 99 9（n 个 9） 00 0（ n+2 个 0）可写成（ 10n︸︸个个﹣ 1）× 10n+2．。

初中数学竞赛5：完全平方数

6．③⑤
【分析】
根据a分类讨论，-a为正数，0，负数可判断①；根据多项式项数与次数定义可判断②；根据绝对值化简与分类讨论可判断③，根据非负数性质可判断④；根据非负数和为零，每个非负数为零可判断⑤
【详解】
解：当a＞0时，-a表示负数，当a=0时，-a表示0，当a＜0时，-a表示正数，故①不正确；
②多项式x2﹣x﹣1是二次三项式，而不是三次三项式，故②不正确；
＝6ab+2b2+2a2+4a﹣8b2﹣8ab+16+3a2+6b2﹣4ab﹣5a2+4b，
＝﹣6ab+4a+4b+16；
∵（a+b﹣3）2+（ab+4）2＝0．且（a+b﹣3）2≥0，（ab+4）2≥0，
∴a+b＝3，ab＝﹣4；
∴原式＝﹣6ab+4（a+b）+16，
＝﹣6×（﹣4）+4×3+16，
25．是否存在两个自然数a，b，使得和同时为完全平方数．
26．已知m，n都是自然数，且．
（1）求证：自然数一定可以表示为4个自然数的平方和；
（2）把689表示成4个不同的自然数的平方和．
27．已知m，n均为正整数，且．问是否为完全平方数？并证明你的结论．
28．求出所有不超过的这样正整数，它的平方的末两位数字相同，但不是零．
＝52．
【点睛】
本题考查整式加减化简求值，偶次方非负数性质，掌握整式加减化简求值，偶次方非负数性质是解题关键．
13．3
【详解】
解：首先，注意到6，19，30这三个数满足：，，，故这3个数必须分别属于3个不同的组，所以．

初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)

初中数学竞赛专项训练（1）（实数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。

当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为（） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。

则（）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。

学习知识点058完全平方公式定理(解答)

2 o 2 (n+1 ) 2+ (n+1 ) 2+n 2=n2 o 2 o 2 ( n+1 ) 2+n 2+2n+1+ n 2,•••分子分母都是完全平方的形式,n (n+1) +1.n (n+1) +1 n (n+1)难度较大，灵活性较强.考点：完全平方式。

专题：计算题。

分析：这里首末两项是 x 和m 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和m 积的2 倍.解答：解：.x 2+2mx+4 m 2是元全平方式，考点：完全平方式。

专题：计算题。

分析：先通分，分母从而即可得解.解答：解:1、已知n 是正整数, 1 + 1 曰、是个有理式A 的平方，那么，A= n 2 (n+1 ) 2是完全平方的形式，然后把分子整理成完全平方式的形式, JU' 1 n 2(n+13 ? 1 + n 2 (mi) t (n+1) 2 + n 2 n 2 (n+1)' =n 2 (n+1)2+2n (n+1 ) +1 , =[n (n+1 )+1] 2,分子：n 2•••A= ± 故答案为：土点评：本题考查了完全平方式，先通分,然后把分子整理成完全平方公式的形式是解题的关键, 2、关于x 的二次三项式：x 2+2mx+4-m 2是一个完全平方式，求 m 的值.•••x 2+2mx+4 - m 2= (x ±m ) 2,•••4 - m 2=m 2,•••m= ±即 m 1=.蔦 m 2=—打：］点评：本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式•注意积的 2倍的符号，避免漏解.3、x , y 都是自然数，求证：x 2+y+1和y 2+4x+3的值不能同时是完全平方.考点：完全平方式。

专题：证明题。

分析：先假设x 2+y+1和y 2+4x+3的值能同时是完全平方，那么就可写成完全平方式，从而解答：解：设x 2+y+1和y 2+4x+3的值能同时是完全平方,那么有 x 2+y+ 仁（x+1 ） 2, y 2+4x+3= （y+ .「；）2,/•y=2x , 4x=2 'y ,即 y=2x , x=——y ,又T X 、y 是自然数，•与已知矛盾, 故x 2+y+1和y 2+4x+3的值不能同时是完全平方.点评：本题考查了完全平方式、无理数、自然数的定义.两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．4、 (2003 ?黄石)若x 2+2xy+y 2 - a (x+y ) +25是完全平方式，求 a 的值.而xy 是自然数，则二.丫必是无理数，那么就与已知相矛盾，故可得证. 可求 y=2x , x=考点：完全平方式。

解答与完全平方数有关的竞赛题方法

如下文章已经刊登于2013年12月《中学教研-数学》杂志第39页至40页解答与“完全平方数”有关的竞赛试题的一般方法518076 广东省深圳市南山区蛇口中学王远征在数学竞赛试卷中，频繁出现这样的一类问题：“求自然数n ，使得关于n 的一个二次多项式b an n ++2的值是完全平方数，（b a ,为常数）”．在此，笔者给出解答这类问题的一般方法，即设参数、配方，对多项式分解因式，同时对常数分解成整数乘积的形式，然后构造方程组，进而求出满足题设条件的自然数n 和所设参数的值．举例介绍如下：例1．已知n 是自然数，且73172+-n n 是完全平方数，那么n 的值是或．（第13届希望杯初二年级（第一试）试题）解析：依题意设73172+-n n =2m ，（m 是自然数）．配方得：3)172(2+-n =24m ，移项，并对多项式分解因式，且把常数3-也分解成两个整数乘积的形式，于是得： 13313)2172)(2172(⨯-=⨯-=-=+---m n m n ，因为n m ,都是自然数，所以m n 2172+-和m n 2172--都是整数，且m n 2172+-m n 2172-->。

于是有：⎩⎨⎧-=--=+-1217232172m n m n 或⎩⎨⎧-=--=+-3217212172m n m n ，分别解得：⎩⎨⎧==19m n 或⎩⎨⎧==18m n 。

故n 的值是8或9．该方法通俗易懂，有普遍的实用性，且解题过程简洁明了，易于被掌握和应用。

例题2．关于n m ,的方程431112=-+mn n m 的整数解()n m ,= 。

（2013年上海数学竞赛新知杯第6题）解析：视为“m ”为常数，由原方程整理成关于n 的一元二次方程得：()044342=-+-mn n m此方程有整数解的必要条件是：6448162+-=∆m m 是完全平方数。

因为()]732[2644816222+-=+-m m m 是完全平方数，可设()73222+-=m k ，则)7(1717)32)(32(-⨯-=⨯==-++-m k m k 。

完全平方公式(含答案)

第2课时完全平方公式知识点 1 完全平方公式1．填空：(1)(x ＋2)2＝x 2＋2·________·________＋________2＝__________； (2)(2a －3b )2＝________2＋________＋________2＝__________． 2．下列计算正确的有( )①(a ＋b )2＝a 2＋b 2； ②(a －b )2＝a 2－b 2； ③(a ＋2b )2＝a 2＋2ab ＋2b 2； ④(－2m －3n )2＝(2m ＋3n )2. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．若x 2＋16x ＋m 是完全平方式，则m 的值是( ) A ．4 B ．16 C ．32 D ．644．计算：(1)(2x ＋y )2＝______________； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 2＝______________； (3)(－2x ＋3y )2＝______________； (4)(－2m －5n )2＝______________．5．计算：(1)(x ＋y )2－x (2y －x )； (2)计算：(a ＋1)(a －1)－(a －2)2；(3)(x ＋y －3)2.知识点 2 完全平方公式的几何意义6．利用如图8－5－3①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图8－5－3②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为( )图8－5－3A ．(a －b )2＋4ab ＝(a ＋b )2B ．(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2C ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2知识点 3 利用完全平方公式进行简便计算7．计算：3012＝________．8．用简便方法计算：20182－4036×2019＋20192.知识点 4 与完全平方公式有关的化简求值问题9．(1)[2018·宁波]先化简，再求值：(x －1)2＋x (3－x )，其中x ＝－12.(2)已知代数式(x －2y )2－(x －y )(x ＋y )－2y 2.①当x ＝1，y ＝3时，求代数式的值；②当4x ＝3y 时求代数式的值．10．若x 2＋kx ＋64是某个整式的平方，则k 的值是( )A ．8B ．－8C ．±8D ．±1611．若等式x 2＋ax ＋19＝(x －5)2－b 成立，则a ＋b 的值为( )A ．16B ．－16C ．4D ．－412．如图8－5－4，从边长为(a ＋4)cm 的正方形纸中剪去一个边长为(a ＋1)cm 的小正方形(a >0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的面积为( )图8－5－4A ．(2a 2＋5a )cm 2B ．(3a ＋15)cm 2C ．(6a ＋9)cm 2D ．(6a ＋15)cm 213．若xy ＝12，(x －3y )2＝25，则(x ＋3y )2的值为( )A ．196B ．169C ．156D ．14414．已知(x －1)2＝ax 2＋bx ＋c ，则a ＋b ＋c 的值为________．15．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 1－x 1－x x ＋1＝8，则x ＝________． 16．用两种方法计算：(12x －2y )2－(12x ＋2y )2.17.阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2，通过配方可对a 2＋b 2进行适当的变形，如a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab 或a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab .从而使某些问题得到解决．例：已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝52－2×3＝19. 解决问题：(1)已知a ＋1a ＝6，则a 2＋1a2＝________；(2)已知a －b ＝2，ab ＝3，分别求a 2＋b 2，a 4＋b 4的值．18．如图8－5－5所示，已知AB ＝a ，P 是线段AB 上一点，分别以AP ，BP 为边作正方形． (1)设AP ＝x ，求两个正方形的面积之和S ； (2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 的大小．图8－5－5完全平方公式答案【详解详析】1．(1)x 2 2 x 2＋4x ＋4(2)(2a ) (－2·2a ·3b ) (3b ) 4a 2－12ab ＋9b 22．A3．D [解析] x 2＋16x ＋m ＝x 2＋2×8x ＋m .∵x 2＋16x ＋m 是完全平方式，∴m ＝82＝64.4．(1)4x 2＋4xy ＋y 2(2)14x 2－2xy ＋4y 2(3)4x 2－12xy ＋9y 2(4)4m 2＋20mn ＋25n 25．解：(1)原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＋x 2＝2x 2＋y 2.(2)原式＝a 2－1－(a 2－4a ＋4)＝a 2－1－a 2＋4a －4 ＝4a －5.(3)(x ＋y －3)2＝(x ＋y )2－2(x ＋y )×3＋32＝x 2＋2xy ＋y 2－6x －6y ＋9.6．A [解析] ∵大正方形的边长为(a ＋b )，∴大正方形的面积为(a ＋b )2.1个小正方形的面积加上4个长方形的面积和为(a －b )2＋4ab ，∴(a －b )2＋4ab ＝(a ＋b )2.7．90601 [解析] 3012＝(300＋1)2＝3002＋2×300＋1＝90601.8．解：原式＝20182－2×2018×2019＋20192＝(2018－2019)2＝1.9．解：(1)原式＝x 2－2x ＋1＋3x －x 2＝x ＋1.当x ＝－12时，原式＝－12＋1＝12.(2)原式＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2－2y 2＝－4xy ＋3y 2.①当x ＝1，y ＝3时，原式＝－4×1×3＋3×32＝－12＋27＝15； ②当4x ＝3y 时，原式＝－y (4x －3y )＝0.10．D [解析] 由完全平方公式的特点可知，当k ＝±16时，x 2＋kx ＋64是某个整式的平方．故选D.11．D [解析] 由已知，得x 2＋ax ＋19＝(x －5)2－b ＝x 2－10x ＋25－b ，可得a ＝－10，b ＝6，则a ＋b ＝－10＋6＝－4.故选D.12．D13．B [解析] (x ＋3y )2＝(x －3y )2＋12xy ＝25＋12×12＝169.故选B.14．0 [解析] 将x ＝1代入(x －1)2＝ax 2＋bx ＋c ，得(1－1)2＝a ＋b ＋c ，则a ＋b ＋c ＝0.15．2 [解析] 依题意，得(x ＋1)2－(1－x )2＝(x 2＋2x ＋1)－(1－2x ＋x 2)＝4x ＝8， ∴x ＝2.16．解：方法一：原式＝(14x 2＋4y 2－2xy )－(14x 2＋4y 2＋2xy )＝－4xy .方法二：原式＝(12x －2y ＋12x ＋2y )(12x －2y －12x －2y )＝x ·(－4y )＝－4xy .17．解：(1)a 2＋1a 2＝(a ＋1a )2－2·a ·1a＝62－2＝34.(2)a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ＝22＋2×3＝10；a 4＋b 4＝(a 2＋b 2)2－2a 2b 2＝102－2×32＝100－18＝82.18．解：(1)S ＝AP 2＋BP 2＝x 2＋(a －x )2＝x 2＋a 2－2ax ＋x 2＝2x 2－2ax ＋a 2.(2)当AP ＝13a 时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝19a 2＋49a 2＝59a 2；当AP ＝12a 时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝12a 2.因为59a 2>12a 2，所以当AP ＝12a 时，S 更小．。

完全平方公式的知识点及题目3篇

完全平方公式的知识点及题目3篇奋战百日，让七彩的梦在六月放飞。

让我们拼搏，用行动实现青春的诺言;让我们努力，用汗水浇灌理想的花蕾。

下面是小编给大家带来的完全平方公式的知识点及题目，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!完全平方公式的公式特征(一)学会推导公式：(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。

叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

(三)这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内).3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.完全平方公式运用公式常规四变运用公式常规四变一、变符号：例1：运用完全平方公式计算：(1)(2y+3x)^2 (2)3(3x+4y)^2分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法一：把两式分别变形为再用公式计算(反思得：)方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算(此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆)。

二、变项数：例2：计算：分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。

所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算。

三、变结构例3：运用公式计算：(1)(x+y)(2x+2y)(2)(a+b)(-a-b)(3)(a-b)(b-a)分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)^2(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2四、简便运算例4：计算：(1)999^2(2)100.1^2分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。

初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)

16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ．【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ．解法二原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ．【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ．解法二原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42

小升初必考专题：完全平方数(讲义)-2020-2021学年数学六年级下册-全国通用(含答案)

完全平方数定义：我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数性质：性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9。

性质2：完全平方数被3、4、5、8、12、16除的余数一定是完全平方数。

性质3：完全平方数的约数一定有奇数个，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数性质4：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则末尾连续的0的个数一定是偶数。

如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0、2、6中的一个。

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。

性质7：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)。

性质8：偶数的完全平方是4的倍数，奇数的完全平方被8除一定余1，任何自然数的平方数不可能被3除余2。

判别方法：⑴两个连续自然数的乘积不是完全平方数。

⑵两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。

⑶一个整数如果除以4余2或者除以4余3，那么这个整数肯定不是完全平方数。

⑷一个整数如果除以3余2，那么这个整数肯定不是完全平方数。

⑸完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数；若个位数字是6时，其十位上的数字必为奇数。

例1已知1×2×3×…×n＋3是一个自然数的平方，求n的值？例2一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数最小是( )。

例3从1到2005的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？例4能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？例5写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。

例6试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同例7将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式，如果这些质数的乘积正好是完全平方数，那么这个完全平方数所有可能的值的和是多少？测试题1．一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？2．一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。

初中数学竞赛试题(含答案)

DC B A初中数学竞赛试题（含答案）一、选择题（共8小题,每小题5分,满分40分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、 C 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填在题后的括号里,不填、多填或错填均得零分） 1．函数y ＝1x-图象的大致形状是（）A B C D2．老王家到单位的路程是3500米,老王每天早上7：30离家步行去上班,在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。

如果设老王步行的速度为x 米／分,则老王步行的速度范围是（）A ．70≤x ≤87.5B ．70≤x 或x ≥87.5C ．x ≤70D ．x ≥87.53．如图,AB 是半圆的直径,弦AD,BC 相交于P,已知∠DPB ＝60°,D 是弧BC 的中点,则tan ∠ADC 等于（） A ．12B．2 CD4．抛物线()20y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P,那么该抛物线的顶点坐标是（）A ．（0,－2）B ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．19,24⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．如图,△ABC 中,AB ＝AC,∠A ＝36°,CD 是角平分线,则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（）ABCD 6．直线l ：()0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点恰好是（横坐标和纵坐标都是整数）,那么满足条件的直线l 有（） yxOyxOyxOyxOA ．6条B ．7条C ．8条D ．无数条7．把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入20x x ++= 的三个方框中,作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （）A ．不存在B ．有一组C ．有两组D ．多于两组 8．六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示,掷这个立方体一次,记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标,朝下一面的数主该点的纵坐标。

完全平方数(初中数学竞赛教案)

课题：完全平方数一、本课知识点和能力目标1．知识点：个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。

完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。

2．能力目标：本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。

三、本次授课节次及内容安排第1课时：个位数的判定。

第2课时：完全平方数第3课时：典型例题剖析第4课时：课堂反馈.四．课外延伸、思维拓展第一课时[知识要点]个位数知识：1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。

2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。

3.正整数的幂的个位数有一定的规律。

(a)n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。

(b)个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化。

【经典例题】19991.1997例求的个位数。

答案：3。

533319981998例试证：（）是的倍数；（）是的倍数。

-+2.153********答案：（1）0；（2）3。

100011000210003例数的个位数字是什么？3.3713答案：919991996=例求的个位数字。

a a4.1997,答案：1尝试练习：338778199819992000200120022003321381.3.(2000~2001)2.7887_______?()3..237_______?(1999)4.200120022003_______?(2001)5.6(7317)+⨯⨯++⨯-求的個位數字香港青少年數學精英選拔賽的個位數字是第一屆華羅庚杯香港小學精英賽的個位數字是年香港數學奧林匹克的個位數字是年香港數學奧林匹克的個2111_______?6.310?÷位數字是的餘數是多少答案：（1）3；（2）1；（3）8；（4）2；（5）2；（6）7第二课时[知识要点]如果n 是一个整数，则n 2就叫完全平方数。

初中数学竞赛第六节完全平方数(含答案)

第六节完全平方数内容讲解完全平方数在有理数范围内是指0.25=0.52，19=（13）2，…等，在实数范围内是指2=2•，12=（2，…等一类的数．我们现在研究的完全平方数是指自然数范围内的平方数．如0=02，1=12，4=22，9=32，…，完全平方数用n2表示（n是自然数）．从完全平方数的末位数字看，只可能是0，1，4，5，6，9这6个数字；•而个位数字是2，3，7，8的数，一定不是完全平方数．这可以作为判断完全平方数的一种方法．在自然数范围内，完全平方数还有如下一些性质，也可以作为判断完全平方数的依据．（1）平方数的约数个数只能是奇数；反之，一个正整数的约数个数是奇数，则这个正整数一定是完全平方数．（2）形如4k+2或4k+3的数，不是完全平方数．即任何一个完全平方数必定是4的倍数，或被4除余1的数．（3）两个连续自然数的平方之间，没有完全平方数．即自然数a满足n2<a<（n+1）2，则a不是完全平方数．（4）任何大于4的完全平方数，必可表示成两个自然数的平方差的形式．例题剖析例1 已知a是自然数，试说明5（a2+3）不是完全平方数．分析：由完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9，只要说明a2+3的个位数字，不可能是0或5即可．解：∵a是自然数，a2的个位数字只能是0、1、4、5、6、9．∴a2+3的个位数字只能是2、3、4、7、8、9．也就是说，a2+3的个位数字，不可能是0或5，a2+3中不含因数5．即可得知5（a2+3）不是完全平方数．评注：用个位数字来判断一个数是否完全平方数，是判断完全平方数的基本方法．例2 若a是正整数，说明a（a+1）不是完全平方数．分析：a2与（a+1）2是两个连续的正整数的平方数，只要说明a（a+1）是介于a2与（a+1）2之间的数即可．解：∵a2<a2+a<a2+2a+1．（a为正整数）即a2<a（a+1）<（a+1）2．∴a（a+1）不是完全平方数．评注：利用完全平方数的性质（3），来判断一个数是否完全平方数，也是常用的一种判断方法．例3一个自然数，如果加上100是一个完全平方数，如果加上73是另一个完全平方数，求这个自然数．分析：设所求的自然数为n，由已知条件可列出n+100=a2，n+73=b2，再解方程组得a、b的值，然后求出这个自然数．解：设所求的自然数为n，依题意，得n+100=a2，n+73=b2两式相减，得a2-b2=27，∴（a+b）（a-b）=27．又∵27=1×27=3×9，且a+b>a-b．可解9,27,3; 1.a b a ba b a b+=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩或得a=6，b=3；（不合题意，舍去）．而a=14，b=13．则n=142-100=132-73=96．评注：利用质因数分解，来得到方程组，求出符合条件的自然数．分解质因数时，要考虑到所有可能的分解．例4已知一个自然数的平方的十位数字是7，求这个自然数的个位数字．分析：设这个自然数N的末两位数为ab，那么（10a+b）2=100a2+20ab+b2．知道N2的十位数字为7，就可求出个位数字．解：设所求自然数为N，十位数字为a，个位数字为b．且（10a+b）2=100a2+20ab+b2=100a2+2ab×10+b2．∵N2的十位数字为7，而2ab是偶数，所以b2必进位，且所进位的数是奇数．∵只有42=16，62=36，进到十位上的数才是奇数1、3，∴b只能是4或6．评注：一个整数的平方数的末两位数字，只能由这个整数的末两位数字确定．•因此，本例只关心该自然数的末两位数的末两位数字组成的数的平方．巩固练习1．填表（第1列填自然数N的个位数字，每空填2个；第2列填上对应的N的个位数字）：N2的个位数字有_______个，它们是________．2．选择题：（1）自然数从小到大排列0、1、2、3，…，其中一个自然数是n的完全平方，•则它前面的一个完全平方数是（）（A）n-1（B）n2-1 （C）n2-2n+1 （D）n2+2n+1（2）下列四个数中，只有一个是完全平方数，它是（）（A）513231 （B）121826 （C）122530 （D）625681（3）2、9、8、0四个数中，完全平方数、偶数、合数、质数的个数依次是（）（A）2，3，2，1 （B）1，2，3，1 （C）2，3，1，2 （D）1，3，2，1 3．一个自然数如果加上60，则为一完全平方数，如果加上43，•则为另一完全平方数，求这个自然数．4．求一个能被180整除的最小完全平方数．5．一个两位数与它的反序数（个位数字与十位数字交换）的和是一个完全平方数，求这样的两位数．6．求一个四位数，使它前两位数字相同，后两位数字也相同，•且这个四位数是完全平方数．7．正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …，那么第85•个位置上的数字是几？8．已知a是正整数，且a2+2004a是一个正整数的平方，求a的最大值．答案:1．N2的个位数字只有0，1，4，5，6，9，共6个．2．（1）C；（2）D；（3）A3．所求自然数为214．9005．29与92，38与83，47与74，56与656．77447．322=1024，第85个位置上的数字刚才是1024的个位4．8．设a2+2004a=m2，m是正整数，配方得（a+1002）2-m2=10022=22×32×1672，a+1002+m、a+1002-m都是偶数，且a+1002+m>a+1002-m>0，再解22100223167,1002 2.a ma m⎧++=⨯⨯⎨+-=⎩得m=251000，a=250000．。

全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)

全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1．已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b c a b+=+ （） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论：（1a b c（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．33．若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++，则称()a b c ，，为好数组.那么，好数组的个数为（）A. 1 B ．2 C ．3 D ．44．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若0180BAD ACB ∠+∠=，且BC=3，AD=4，AC=5 ，AB=6 ，则DO OB= （） A. 10/9 B ．8/7 C ．6/5 D ．4/3第4题图第5题图5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上，满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE ＝（） A. 43 B. 213 C. 214 D. 2156．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1232001111...a a a a ++++=（） A. 191/7 B ．192/7 C ．193/7 D ．194/7二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1．使得等式31+1+a a =成立的实数a 的值为______ _．2．如图，平行四边形ABCD 中，072ABC ∠=，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ，则AED ∠=______．3．设m,n 是正整数，且m>n. 若9m 与9n 的末两位数字相同，则m-n 的最小值为．4．若实数x,y满足3331+的最小值为．x y++=，则22x y xy第一试(B)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数y ax2bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y a3 x2b3x c3的图象与x 轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定．2．题目与（A）卷第1 题相同.3. 题目与（A）卷第3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a26b 3c 9 0，6a b2 c 0，则a2 b2c2＝（）A. 424B. 430C. 441D. 460．5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BAD ACB 180，且BC 3，AD 4，AC 5，AB 6，则DO/OB＝（）A. 4/3B. 6/5C. 8/7D. 10/96．题目与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目与（A）卷第1 题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠=∠，则OED∠=_________.ABC OED∠=∠,57ACB OED3. 题目与（A ）卷第3 题相同.4. 题目与（A ）卷第4 题相同第二试（A ）一、（本题满分20 分）已知实数x,y 满足x+y=3，221112x y x y +=++ ，求55x y +的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC ，BAC 45，E 是BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB .已知AF 1，BF 5，求△ABC 的面积.三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(a, b)，使得34938b a =⨯+第二试（B ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c 满足a b c ≤≤，++=16a b c ，2221+++=1284a b c abc ，求c 的值.二、（本题满分25 分）求所有的正整数m ，使得212-2+1m m -是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ，OA OD ，OB OC .求证： AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 .。

2021年初中数学竞赛分类讲解及例题含答案-完全平方数和完全平方式

∵△＝（8k）2－16(k2+1)＝16（3k2－1）. 设3k2－1＝m2 (m是整数). 由3k2－m2＝1，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k2＝m2＋1能否成立. 当k为偶数，m为奇数时，
左边k2是4的倍数，3k2也是4的倍数；右边m2除以4余1，m2＋1除以4余2.
∴等式不能成立.；当k为奇数，m为偶数时，左边k2除以4余1，3k2除以4余3 右边m2是4的倍数，m2＋1除以4余1
3. 如果k不是3的倍数，那么k2－1 除以3余数是＿＿＿＿ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. 4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？ 5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿. 6. m取什么值时，代数式x2－2m(x－4)－15是完全平方式？ 7. m取什么正整数时，方程x2－7x+m=0的两个根都是整数？ 8. a, b, c满足什么条件时,代数式(c－b)x2+2(b－a)x+a－b是一个完全平方式？ 9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2=0. 要使等式成立，必须且只需：
a b 0 b c 0 c a 0
解这个方程组，得a=b=c. 例4. 已知方程x2－5x+k=0有两个整数解，求k的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数. 可设△= m2 (m为整数)，即（－5）2－4k=m2 (m为整数)，
（46）
完全平方数和完全平方式
一、内容提要一定义
如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
1.
4 例如0，1，0.36， 25 ，121都是完全平方数.