空间向量与平行关系 课件
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所以 u·v=-3+2+1=0,所以 u⊥v,所以 α⊥β. ②因为 u=(3,0,0),v=(-2,0,0), 所以 u=-32 v,所以 u∥v,所以 α∥β. (3)①因为 u=(2,2,-1),a=(-6,8,4), 所以 u·a=-12-4+16=0, 所以 u⊥a,所以 l⊂α 或 l∥α. ②因为 u=(2,-3,0),a=(8,-12,0).
立体几何中的向量方法 空间向量与平行关系
[知识提炼·梳理] 1.直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向 量. 温馨提示
对直线方向向量的两点说明 1.方向向量的选取:在直线上任取两点 P,Q,可 得到直线的一个方向向量P→Q.
2.方向向量的不唯一性:直线的方向向量不是唯一 的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量.解 题时,可以选取坐标最简的方向向量.
则 y2 等于( )
A.2
B.0
C.1
D.无意义
答案:C
4.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的 法向量为 n=(-2,0,-4),则直线 l 与平面 α 的位置关 系为________.
解析:因为 a=(1,0,2),n=(-2,0,-4), 所以 n=-2a,即 a∥n,所以 l⊥平面 α. 答案:垂直
类型 2 求平面的法向量 [典例 2] 如图所示,ABCD 是直角梯形, ∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB= BC=1,AD=12,求平面 SCD 与平面 SAB 的 法向量. 解:因为 AD、AB、AS 是三条两两垂直 的线段,所以以 A 为原点,以A→D、A→B、A→S的 方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立坐标系, 如图所示,则 A(0,0,0),D12,0,0,C(1,1,0),
证明:建立如图所示的空间直角坐标系. 设 A(a,0,0),S(0,0,b),则 B(a,a, 0),C(0,a,0),Ea,a2,0,F0,a2,b2,E→F
=-a,0,b2. 取 SD 的中点 G0,0,b2, 连接 AG,则A→G=-a,0,b2. 因为E→F=A→G,所以 EF∥AG, 又 AG⊂平面 SAD,EF⊄平面 SAD, 所以 EF∥平面 SAD.
则|a|=|b|=|c|=1,且 a·b=b·c=c·a=0. 所以M→N=M→C+C→B+B→N=-λC→A+C→B+λB→F=
-λ(a-c)-c+λ(a+b)=λb+(λ-1)c,
所以M→N·B→A=[λb+(λ-1)c]·a =λ(b·a)+(λ-1)(c·a) =λ×0+(λ-1)×0=0. 所以M→N⊥B→A,即 MN⊥AB.
归纳升华 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直 线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向 量与平面的法向量的基本应用,解决此类问题时需注意以 下几点: (1)能熟练地判断两向量的共线与垂直; (2)搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平 面位置关系之间的内在联系; (3)将向量问题转化为几何问题时的等价性.
A.l1∥l2
B.l1 和 l2 相交,但不垂直
C.l1⊥l2
D.不能确定
解析:因为 a=(-2,1,1),b=(6,-3,-3),
所以 b=-3a,所以 a∥b,所以 l1∥l2.
答案:A
3.平面 ABC 中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,
0,-1),若 a=(-1,y,z),且 a 为平面 ABC 的法向量,
解:因为 PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直.
如图所示,以 A 为坐标原点,A→B的方向 为 x 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则 D(0, 3,0),
E0, 23,12,B(1,0,0),C(1, 3,0),于是A→E=0, 23,12. A→C=(1, 3,0).
平面 SCD 的法向量为 n=1,-12,12.
归纳升华 平面法向量的求法
1.当已知平面的垂线时,在垂线上取一非零向量即 可作为平面的法向量.
2.当已知平面 α 内两不共线向量 a=(a1,a2,a3),b =(b1,b2,b3)时,常用特定系数法求法向量:
设法向量 n=(x,y,z), 由ab··nn==00,,得ab11xx++ab22yy++ab33zz==00,. 在上述方程组中,对 x,y,z 中的任一个赋值,求出 另两个,所得 n 即为平面的法向量.
设 n=(x,y,z)为平面 ACE 的法向量,
n·A→C=0, x+ 3y=0, 则n·A→E=0,即 23y+12z=0,
所以zx==--
3y, 3y,
令 y=-1,则 x=z= 3.
所以平面 ACE 的一个法向量为 n=( 3,-1, 3).
[典例 3] 如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD⊥底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点.证明:EF∥平面 SAD.
[思考尝试·夯基]
1.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一
个法向量 n=(2,-1,2),则下列点中在平面 α 内的是
() A.(-4,4,0)
B.(2,0,1)
C.(2,3,3)
D.(3,-3,4)
答案:C
2.两条不同直线 l1,l2 的方向向量分别是 a=(-2,
1,1),b=(6,-3,-3),则( )
法一 又 AB⊥BE,AB⊥BC,BE∩BC=B, 所以 AB⊥平面 CBE. 又 MN⊄平面 CBE,所以 MN∥平面 CBE.
法二 M→N=λb+(λ-1)c=λB→E+(λ-1)B→C,
所以M→N与平面 CBE 共面. 又 MN⊄平面 CBE,所以 MN∥平面 CBE.
2.平面的法向量 直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 a,则 a 叫作平面 α 的法向量. 温馨提示
对平面法向量的两点说明 1.平面法向量的选取:平面 α 的一个法向量垂直于 与平面 α 共面的所有向量,即只需作一条垂直于平面的 直线,选取该直线的方向向量.
2.平面法向量的不唯一性:一个平面的法向量不是 唯一的,一个平面的所有法向量共线.在应用时,可以 根据需要进行选取.
5.已知平面 α 和平面 β 有公共的法向量 n=(1,-1, 1),则平面 α,β 的位置关系为________.
解析:由题意知,平面 α,β 都与向量 n=(1,-1, 1)垂直,所以 α∥β.
答案:α∥β
类型 1 利用方向向量和法向量判定线面位置关系 (自主研析)
[典例 1] (1)设 a,b 分别是不重合的直线 l1,l2 的方 向向量,根据下列条件判断 l1,l2 的位置关系:
[变式训练] 根据下列各条件,判断相应的直线与直 线、平面与平面、直线与平面的位置关系.
(1)直线 l1,l2 的方向向量分别是 a=(1,-3,-1), b=(8,2,2);
(2)平面 α,β 的法向量分别是 u=(1,3,0),v=(-3, -9,0);
(3)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a=(1, -4,-3),u=(2,0,3).
解:(1)因为 a=(1,-3,-1),b=(8,2,2), 所以 a·b=8-6-2=0,所以 a⊥b,所以 l1⊥l2. (2)因为 u=(1,3,0),v=(-3,-9,0), 所以 v=-3u,所以 u∥v,所以 α∥β. (3)因为 a=(1,-4,-3),u=(2,0,3), 所以 a 和 u 既不共线,也不垂直, 所以 l 与 α 斜交.
[ 变 式 训 练 ] 如 图 , 四 边 形 ABEF 与 ABCD 是两个全等的正方形,且平面 ABEF 与 平面 ABCD 互相垂直,M,N 分别是 AC 与 BF 上的点,且 CM=BN.
求证:MN∥平面 CBE. 证明:设正方形的边长ห้องสมุดไป่ตู้ 1.设C→M=λC→A,则B→N= → λBF.
取向量{B→A,B→E,B→C}为基底,记为{a,b,c}.
3.空间平行关系的向量表示 (1)线线平行. 设直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1),b =(a2,b2,c2),则 l∥m⇔a∥b⇔a=λb⇔a1=λa2,b1=λb2, c1=λc2(λ∈R).
(2)线面平行. 设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),平面 α 的法 向量为 u=(a2,b2,c2),则 l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+ b1b2+c1c2=0. (3)面面平行. 设平面 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1),v=(a2, b2,c2),则 α∥β ⇔u∥v ⇔u=λv ⇔a1=λa2,b1=λb2, c1=λc2(λ∈R).
①a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); ②a=(5,0,2),b=(0,1,0). (2)设 u,v 分别是不同的平面 α,β 的法向量,根据 下列条件判断 α,β 的位置关系;
①u=(-1,1,-2),v=3,2,-12; ②u=(3,0,0),v=(-2,0,0).
(3)设 u 是平面 α 的法向量,a 是直线 l 的方向向量, 根据下列条件判断平面 α 与 l 的位置关系:
归纳升华 1.用向量证明线面平行的方法. (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直. (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量 平行. (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线 的向量线性表示. 2.向量法证明面面平行的方法. 设平面 α 的法向量为 n1=(a1,b1,c1),平面 β 的法向 量为 n2=(a2,b2,c2),则 α∥β⇔n1∥n2⇔(a1,b1,c1)=k(a2, b2,c2)(k∈R).
3.平面的法向量有无数条,一般用待定系数法求解, 解一个三元一次方程组,求得其中一条即可.构造方程 组时,注意所选平面内的两向量不共线,赋值时保证所 求法向量非零.
[变式训练] 如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.AB=AP=1,AD= 3,试建 立恰当的空间直角坐标系,求平面 ACE 的一个法向量.
S(0,0,1),A→D=12,0,0是平面 SAB 的法向量,设平 面 SCD 的法向量 n=(1,λ,u),则 n·D→C=(1,λ,u)·12,1,0 =12+λ=0,所以 λ=-12.
n·D→S=(1,λ,u)·-12,0,1=-12+u=0, 所以 u=12,所以 n=1,-12,12. 综上,所以平面 SAB 的法向量为A→D=12,0,0,
①u=(2,2,-1),a=(-6,8,4); ②u=(2,-3,0),a=(8,-12,0). 解:(1)①因为 a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1), 所以 a=-2b,所以 a∥b,所以 l1∥l2. ②因为 a=(5,0,2),b=(0,1,0), 所以 a·b=0,所以 a⊥b,所以 l1⊥l2. (2)①因为 u=(-1,1,-2),v=3,2,-12,