六最小维状态观测器-资料

这 就 是 x 的 估 计 ， 其 中 y = x 1 , 事 实 上 无 须 估 计 。 再 由 x ˆ T 1 x ˆ， 可 知 T 1 x ˆ给 出 了 x 的 估 计 x ˆ：p6
xˆEzMyC11 0
CI1q1C2G Iq2
0 y Inqz
C11[(Iq
zC 2G G22y)yC2z]C1I1C2zC11[(IqG2C2G2)y
(A22 , A12 )
是否可观测？因为根据定理5-10，这是上述系统全维 观测器存在并可任意配置极点的充要条件。我们有
引理 若（A，C）可观测，则 (A22,A12 ) 也可观测。
证明：考虑下列PBH检验矩阵：
n q列
A-sI
C
A1A1 21sI Iq
Fra Baidu bibliotek
A12 A22
sI
0
对任意的s，它列满秩的充要条件是后nq列也满秩。
(I
q
C2G
2
)
G2
u
(B2 G2B1)
N
z
z
(A22 G2A12)
C
1
1
C
2
I n q
E
w xˆ
F
0: w z F x ˆz E N zu M G y y R R n n q
(52 9 )
n-q 维(最小维）状态观测器结构图
进而，可以验证式（5-45）及式（5-46）的系数 矩阵满足定理5-12的条件（5-32）：
将其写成观测器的标准形式，并与Kx观测器(5-29) 相比较：
E
M
xˆwC In 1 1qC2zC 1 1(IqG 2C2G 2)y
(546)
15
F
N
z(A22G2A12)z(B2G2B1)u
[(A21G2A11)(A22G2A12)G2]y (545)
G
我们看到，这是一个状态观测器，但不是一个n维
状态观测器，而是一个nq维的状态观测器，因为
z Rnq。
注意：讲义中
xˆ C11 0
CI1q1C2G Iq2
T1
0 y Inqz
也可以写成
xˆC11 0
CI1q1C2In0q
Iq z G2y
y
G
(A 2 1 G 2 A 1 1 ) (A 2 2 G 2 A 1 2 )G 2 ]
M C11
记p14
得到
z xˆ2 G2y
z (A 2 2 G 2 A 1 2 )z (B 2 G 2 B 1 )u [(A 2 1 G 2 A 1 1 ) (A 2 2 G 2 A 1 2 )G 2 ]y（ 5 4 5 ）
12
讨论：
a）因为
y： yA 11yB 1u
其中包括了y 的微分。为了避免经微分将 y 中的噪 声放大，故有以上变换。
但
r a n k A 2 A 2 1 2 sI r a n k 0 I0 I A 2 A 2 1 2 sI r a n k A 2 A 2 1 2 sI
即 (A22,A12 ) 可观测。证完。
3）建立nq 维系统的全维（nq）状态观测器
x2A22x2[A21 yA12x2
B2]u yyx C AxxBu
根据全维状态观测器的一般方程，可立即写 出它的观测器方程为：
Bu
xˆ2(A22G2A 12)xˆ2A21 B2u yG 2y
将 yyA 11yB 1 u代入上式，得到
xˆ2 (A22 G2A12)xˆ2 A21yB2u G2(yA11yB1u)
A12x2
或：
x ˆ 2 G 2 y ( A 2 2 G 2 A 1 2 ) x ˆ 2 A 2 1 y B 2 u G 2 ( A 1 1 y B 1 u )
y C x C T 1 T x C T 1 x [I q 0 ]x x 1
特点：经变换后，有 y x1， 显然输出 y 直接给出
了 x 1 ，状态估计的问题就化为只需对nq维向量x 2
进行估计就可达到状态重构的 目的。
2）导出关于 x 2 的状态方程和输出方程，为进一步 构造状态观测器作准备。为此，将(5-43)重新写成：
六最小维状态观测器资料
1.状态观测器的维数 现在提出的问题是：状态观测器的维数 r 是否
可以降低？可能的最小值是多少？因为维数的降低， 意味着观测器可具有较为简单的形式，从而使工程 实现更加方便。因此研究降维状态观测器以及最小 维状态观测器的设计问题就成为观测器理论的重要 课题之一。
考虑 n 维线性时不变动态方程
nq
证明 根据观测器的结构条件（参见定义5-1和定 理5-12），对于状态观测器要求
1）取等价变换x Tx，变换矩阵 T 定义为p14
T1C 1 1 0
C I1 n1 C q2 TC 01
C 2 Inq
显然T是满秩的。这时（5—42）式可化为
x x1 2 A A 1 2 1 1 A A 1 2 2 2 x x1 2 B B 1 2 u (54 3 )
定理5-12 若（A, B）可控，（F, E）可观测，则
0: w z F E r l r r z z N M r l p q u y G r q y
(5 2 9 )
成为（A, B, C）的 Kx 观测器的充要条件为存在 rn 矩阵P，使得下列条件满足
b）令 则容易验证
x2:x2 xˆ2
x 2 (A 2 2 G 2 A 1 2 )x 2
故只要设计G2，使得上述系统矩阵所有特征值有 负实部，就有
x2:x2xˆ2 0
4）最后，求状态 x 的估计 xˆ ： 根据前面的分析，我们有p12
x 1 xˆ1 y
xˆ
2
z
G 2y
xxˆˆ12
Iq G2
0 y Inq z
x2 A22x2 A21yB2u yA11yA12x2 B1u
记
y： yA 11yB 1u
则 于是我们得到
y A12x2
x2 A22x2(A21yB2u) yA12x2
(5-44)
或者进一步写成 如下nq 维系统：
x2A22x2[A21 yA12x2
B2]u yyx C AxxBu
8
因此，我们只要构造上述系统的观测器就可以了。 立即会产生的问题是：
x Ax Bu y Cx
2
若假定rankC=q，那么输出y实际上已经给出了部 分状态变量的估计。显然，为了估计全部状态， 只须用一个低阶的观测器估计出其余的状态变量 就可以了，也就是说，状态观测器的维数显然可 比n低。
定理5-17 若系统（A, B, C）可控可观测，且
rankC=q
则系统的状态观测器的最小维数是