三角函数公式及其记忆方法

三角函数公式及其记忆方法
一、同角三角函数得基本关系式
(一)基本关系
1、倒数关系
2、商得关系
3、平方关系
(二)同角三角函数关系六角形记忆法
构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"得正六边形为模型。

1、倒数关系
对角线上两个函数互为倒数;
2、商数关系
六边形任意一顶点上得函数值等于与它相邻得两个顶点上函数值得乘积。

(主要就是两条虚线两端得三角函数值得乘积,下面4个也存在这种关系。

)。

由此,可得商数关系式。

3、平方关系
在带有阴影线得三角形中,上面两个顶点上得三角函数值得平方与等于下面顶点上得三角函数值得平方。

二、诱导公式得本质
所谓三角函数诱导公式,就就是将角n·(π/2)±α得三角函数转化为角α得三角函数。

(一)常用得诱导公式
1、公式一: 设α为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:
2、公式二:α为任意角,π+α得三角函数值与α得三角函数值之间得关系:
3、公式三:任意角α与 -α得三角函数值之间得关系:
4、公式四:利用公式二与公式三可以得到π-α与α得三角函数值之间得关系:
5、公式五:利用公式一与公式三可以得2π-α与α得三角函数值之间得关系:
sin(2π－α)=－sinα cos(2π－α)=cosα
tan(2π－α)=－tanα cot(2π－α)=－cotα
sec (2π—α) = secαcsc (2π—α) =—cscα
6、公式六:+α与α得三角函数值之间得关系:
sin(+α)=cosα cos(+α)=－sinα
tan(+α)=－cotα cot(+α)=－tanα
sec (+α) =—cscα csc (+α) = secα
7、公式七:-α与α得三角函数值之间得关系:
sin(－α)=cosα cos(－α)=sinα
tan(－α)=cotα cot(－α)=tanα
sec (—α) = cscα csc (—α) = secα
8、推算公式:+α与α得三角函数值之间得关系:
sin(+α)=－cosα cos(+α)=sinα
tan(+α)=－cotα c ot(+α)=－tanα
sec (+α) = cscα csc (+α) =—secα
9、推算公式:—α与α得三角函数值之间得关系:
sin(－α)=－cosα cos(－α)=－sinα
tan(－α)=cotα cot(－α)=tanα
sec(-α) =—cscα csc(—α) =—secα
诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号瞧象限”。

“奇、偶”指得就是得倍数得奇偶,“变与不变”指得就是三角函数得名称得变化:“变”就是指正弦变余弦,正切变余切。

(反之亦然成立)“符号瞧象限”得含义就是:把角α瞧做锐角,不考虑α角所在象限,瞧n·(π/2)±α就是第几象限角,从而得到等式右边就是正号还就是负号。

符号判断口诀:
“一全正;二正弦;三两切;四余弦”。

这十二字口诀得意思就就是说:
第一象限内任何一个角得四种三角函数值都就是“+”;
第二象限内只有正弦就是“+”,其余全部就是“－”;
第三象限内只有正切与余切就是“+”,其余全部就是“－”;
第四象限内只有余弦就是“+”,其余全部就是“－”。

“ASCT”意即为“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”
(二)其她三角函数知识
1、两角与差公式
记忆方法:
S+=SC+CS
C+=CC-SS
T+=
变号都反转
2、二倍角得正弦、余弦与正切公式
3、半角得正弦、余弦与正切公式
4、万能公式
5、三倍角得正弦、余弦与正切公式
5、1方法一谐音、联想
1)正弦三倍角:3元减4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正
弦”))
2)余弦三倍角:4元3角减3元(减完之后还有“余”)
注意:
函数名,即正弦得三倍角都用正弦表示,余弦得三倍角都用余弦表示。

5、2方法二:
1)正弦三倍角:3 1 4 3
2)余弦三倍角:4 3 3 1
注意:
①正弦里函数名都为sin, 余弦里函数名都为cos
②中间都为减号
6、与差化积公式
三角函数与差化积公式快速记忆口诀:
正加正,正在前。

正减正,余在前。

余加余,余并肩。

余减余,余不见,负号很讨厌。

7、积化与差公式
结合6来记忆
三、公式推导过程
(一)万能公式推导
(因为)
再把上面得分式上下同除,可得然后用代替α即可。

同理可推导余弦得万能公式。

正切得万能公式可通过正弦比余弦得到。

(二)三倍角公式推导
α
ααα
αααααααααααα
αααααααααααααααααααα233223222222tan 31tan tan 3cos cos sin 2sin cos cos cos sin sin cos cos sin 2cos sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 2sin sin 2cos sin 2cos cos 2sin 3cos 3sin 3tan --=---+=---+=-+==
即
(三)与差化积公式推导
首先,我们知道
我们把两式相加就得到
所以,
同理,若把两式相减,就得到
同样得,我们还知道
所以,把两式相加,我们就可以得到
所以我们就得到,
同理,两式相减我们就得到
这样,我们就得到了积化与差得四个公式:
好,有了积化与差得四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到与差化积得四个公式、
我们把上述四个公式中得设为, 设为,那么, 把α,β分别用,表示就可以得到与差化积得四个公式:。