点线面综合问题
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四个定理： 1）线上取点定理； 2）两线平行定理； 3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。
若干个作图法： 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法；
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2020年4月5日星期日
点线面综合问题
福州大学机械工程及自动化学院
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
四个定理：
1）线上取点定理； 2）两线平行定理；
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法； 3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法； 5）面面相交求交线法；
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点线面综合问题
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
1）线上取点定理；
2）两线平行定理；
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
1）面上取点取线作图法；
3）面面平行作图法； 5）面面相交求交线法； 7）面面垂直作图法； 9）换面法。
b d
a c
b d
a
c
ac
bd
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
1）线上取点定理；P72
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理； 2）两线平行定理；P76 3）两线相交定理(两线交叉，可见性判断)；P76 4）两线垂直定理（直角投影定理）。P83
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还可以用换面法来解：将P面、Q面的交线 经过二次换面变成垂直线， P面、Q面的积聚 投影的夹角就是所求的夹角。
a´
X
o
b
k
a
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理；P72 2）两线平行定理；P76
若干个作图法： 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法； 3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法；
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
2）求直线与平面间的夹角
过线AB任一点L， 作线LK垂直于P面， 求线LK与AB夹角的余 角。
AL
P
KB
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角度问题
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点线面综合问题 3）求两平面间的夹角
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角度问题
P
M L
Q
N
过空间点L作P面、Q面的 垂线LM、LN，求线LM、LN 夹角的补角。
ay
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：P69
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理；P72
b´ k´
过C点作P面垂直AB线，求P面与 AB线的交点K，求CK的实长。
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距离问题
Ｐ
C
换面法
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3）求两平行线间的距离
过EF上任一点C作P面垂直EF，求P 面与AB的交点K，求CKபைடு நூலகம்实长。
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距离问题
Ｐ
E C F
换面法
1）求两相交直 线的夹角
▪ AB和BC是平 行线，已是实长。
在AB、AC上各取 Δz
AC
▪ AC必须求其实
BC 长。
点K、 L，求AKL实
形，即可得到BAC。 ac
求AC 实长及
Δz
A L
K
夹角之解。
两线间角度问题，
BC
一般可通过求其三角形 的实形来解决。
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●k
c
若干个作图法： 1）面上取点取线作图法；P92
a
b
d
a
●k
c
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
点线面综合问题
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
a´
X
a
Z a´´ o YW
YH
V a
az
●
Az
ax
●
x
O
y
a●
H
● a W
四个定理：
1）线上取点定理；
2）两线平行定理；
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
1）面上取点取线作图法；
3）面面平行作图法； 5）面面相交求交线法； 7）面面垂直作图法；
2）线面平行作图法； 4）线面三步求交点法； 6）线面垂直求作图法；
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
1）线上取点定理；
2）两线平行定理；
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理； 2）两线平行定理； 3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。
若干个作图法： 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法； 3）面面平行作图法；
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
1）线上取点定理；P72
b
2）两线平行定理；P76
d
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）；P76 4）两线垂直定理（直角投影定理）。P83
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4）求两交叉直线间的距离
过一线AB作P面平行 于另一线EF，过EF上任 一点C作线CK垂直于P面， 求CK与P面的交点K，求 CK的实长。
F
P 举例
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距离问题
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点线面综合问题
4）求两交叉直线间的距离
过一线AB作P面平行 于另一线EF，过EF上任 一点C作线CK垂直于P面， 求CK与P面的交点K，求 CK的实长。
举例
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距离问题
换面法
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距离问题
6）求平行平面的直线到平面间的距离 7）求两平行平面的距离
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点线面综合问题
二.角度问题
求AB与AC两直线的夹角 。
AB
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
a´ h´ 2）点的投影到投影轴的X距离等于点到对应的相邻投影面的距离。 b 四个定理：
o
1）线上取点定理； 2）两线平行定理；
eh
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）；
4）两线垂直定理（直角投影定理）。
若干个作图法：
a 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法；
4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
c
1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法； 3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法；
l
5）面面相交求交线法； 6）线面垂直求作图法；
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b´ e´
g´
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
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点点线线面面部分综以合二条问法题则，四个定理和若y干作图法概A括B了画法几何的b´理
论基础和作图方法。
z
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴；
a´
2）点的投影到投影轴的距离a等´于b点´到X对应的相邻投影面的距离。 o
四个定理：
1）线上取点定理；
2）线面平行作图法； 4）线面三步求交点法； 6）线面垂直求作图法； 8）直角三角形求实长法；
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一.距离问题 1）求点到点之间的距离
求A、B两点连线的实长
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直角三角形求实长
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换面法
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2）求点到线之间的距离
2）3）两两线线平相行交定定理理；（P两76线交c ′叉3′(，4●′可) ●●见21 ′性′ 判b断d′ ）′ ；Pa7 6c
k
a′
X
O
a
●4
● ●
da
c 3 1(2) b
ck
b d
d b
4
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
y 2）两线平行定理； AB 3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）；
b
4）两线垂直定理（直角投影定理）。
a 若干个作图法： z 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法；
AB
3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法；
5）面面相交求交线法； 6）线面垂直求作图法；
7）面面垂直作图法； 8）直角三角形求实长法；
1）面上取点取线作图法；
3）面面平行作图法； 5）面面相交求交线法； 7）面面垂直作图法； 9）换面法；
2）线面平行作图法； 4）线面三步求交点法； 6）线面垂直求作图法； 8）直角三角形求实长法；
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
b´ l´ 福州大学机械工程及自动化学院
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
a´ 二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴；
c´ k´
o 2）点的投影到投影轴的距离等X于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
b
1）线上取点定理；
2）两线平行定理；
k
a 3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）；
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理； 2）两线平行定理； 3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。
F
P 举例
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距离问题
换面法
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5）求点到面的距离
过点L作线LK垂直与Q 面，求线LK与Q面的交点 K，求LK的实长。
举例
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距离问题
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点线面综合问题
5）求点到面的距离
过点L作线LK垂直与Q 面，求线LK与Q面的交点 K，求LK的实长。
g
3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法；
5）面面相交求交线法； 6）线面垂直求作图法；
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
若干个作图法： 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法；
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
四个定理：
1）线上取点定理； 2）两线平行定理；
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法； 3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法； 5）面面相交求交线法；
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论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
1）线上取点定理；
2）两线平行定理；
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
1）面上取点取线作图法；
3）面面平行作图法； 5）面面相交求交线法； 7）面面垂直作图法； 9）换面法。
b d
a c
b d
a
c
ac
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
1）线上取点定理；P72
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理； 2）两线平行定理；P76 3）两线相交定理(两线交叉，可见性判断)；P76 4）两线垂直定理（直角投影定理）。P83
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还可以用换面法来解：将P面、Q面的交线 经过二次换面变成垂直线， P面、Q面的积聚 投影的夹角就是所求的夹角。
a´
X
o
b
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理；P72 2）两线平行定理；P76
若干个作图法： 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法； 3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法；
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
2）求直线与平面间的夹角
过线AB任一点L， 作线LK垂直于P面， 求线LK与AB夹角的余 角。
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点线面综合问题 3）求两平面间的夹角
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过空间点L作P面、Q面的 垂线LM、LN，求线LM、LN 夹角的补角。
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：P69
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理；P72
b´ k´
过C点作P面垂直AB线，求P面与 AB线的交点K，求CK的实长。
福州大学机械工程及自动化学院
距离问题
Ｐ
C
换面法
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2020年4月5日星期日
点线面综合问题
3）求两平行线间的距离
过EF上任一点C作P面垂直EF，求P 面与AB的交点K，求CKபைடு நூலகம்实长。
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距离问题
Ｐ
E C F
换面法
1）求两相交直 线的夹角
▪ AB和BC是平 行线，已是实长。
在AB、AC上各取 Δz
AC
▪ AC必须求其实
BC 长。
点K、 L，求AKL实
形，即可得到BAC。 ac
求AC 实长及
Δz
A L
K
夹角之解。
两线间角度问题，
BC
一般可通过求其三角形 的实形来解决。
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若干个作图法： 1）面上取点取线作图法；P92
a
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
点线面综合问题
福州大学机械工程及自动化学院
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
a´
X
a
Z a´´ o YW
YH
V a
az
●
Az
ax
●
x
O
y
a●
H
● a W
四个定理：
1）线上取点定理；
2）两线平行定理；
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
1）面上取点取线作图法；
3）面面平行作图法； 5）面面相交求交线法； 7）面面垂直作图法；
2）线面平行作图法； 4）线面三步求交点法； 6）线面垂直求作图法；
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点线面综合问题
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
1）线上取点定理；
2）两线平行定理；
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理； 2）两线平行定理； 3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。
若干个作图法： 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法； 3）面面平行作图法；
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
1）线上取点定理；P72
b
2）两线平行定理；P76
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3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）；P76 4）两线垂直定理（直角投影定理）。P83
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2020年4月5日星期日
点线面综合问题
4）求两交叉直线间的距离
过一线AB作P面平行 于另一线EF，过EF上任 一点C作线CK垂直于P面， 求CK与P面的交点K，求 CK的实长。
F
P 举例
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距离问题
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2020年4月5日星期日
点线面综合问题
4）求两交叉直线间的距离
过一线AB作P面平行 于另一线EF，过EF上任 一点C作线CK垂直于P面， 求CK与P面的交点K，求 CK的实长。
举例
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距离问题
换面法
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距离问题
6）求平行平面的直线到平面间的距离 7）求两平行平面的距离
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点线面综合问题
二.角度问题
求AB与AC两直线的夹角 。
AB
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
a´ h´ 2）点的投影到投影轴的X距离等于点到对应的相邻投影面的距离。 b 四个定理：
o
1）线上取点定理； 2）两线平行定理；
eh
3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）；
4）两线垂直定理（直角投影定理）。
若干个作图法：
a 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法；
4）两线垂直定理（直角投影定理）。 若干个作图法：
c
1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法； 3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法；
l
5）面面相交求交线法； 6）线面垂直求作图法；
11
2020年4月5日星期日
福州大学机械工程及自动化学院
点线面综合问题
b´ e´
g´
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
2020年4月5日星期日
福州大学机械工程及自动化学院
点点线线面面部分综以合二条问法题则，四个定理和若y干作图法概A括B了画法几何的b´理
论基础和作图方法。
z
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴；
a´
2）点的投影到投影轴的距离a等´于b点´到X对应的相邻投影面的距离。 o
四个定理：
1）线上取点定理；
2）线面平行作图法； 4）线面三步求交点法； 6）线面垂直求作图法； 8）直角三角形求实长法；
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2020年4月5日星期日
点线面综合问题
一.距离问题 1）求点到点之间的距离
求A、B两点连线的实长
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直角三角形求实长
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换面法
2020年4月5日星期日
点线面综合问题
2）求点到线之间的距离
2）3）两两线线平相行交定定理理；（P两76线交c ′叉3′(，4●′可) ●●见21 ′性′ 判b断d′ ）′ ；Pa7 6c
k
a′
X
O
a
●4
● ●
da
c 3 1(2) b
ck
b d
d b
4
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点线面综合问题
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点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
y 2）两线平行定理； AB 3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）；
b
4）两线垂直定理（直角投影定理）。
a 若干个作图法： z 1）面上取点取线作图法； 2）线面平行作图法；
AB
3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法；
5）面面相交求交线法； 6）线面垂直求作图法；
7）面面垂直作图法； 8）直角三角形求实长法；
1）面上取点取线作图法；
3）面面平行作图法； 5）面面相交求交线法； 7）面面垂直作图法； 9）换面法；
2）线面平行作图法； 4）线面三步求交点法； 6）线面垂直求作图法； 8）直角三角形求实长法；
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2020年4月5日星期日
点线面综合问题
福州大学机械工程及自动化学院
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
b´ l´ 福州大学机械工程及自动化学院
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
a´ 二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴；
c´ k´
o 2）点的投影到投影轴的距离等X于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理：
b
1）线上取点定理；
2）两线平行定理；
k
a 3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）；
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2020年4月5日星期日
点线面综合问题
福州大学机械工程及自动化学院
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理 论基础和作图方法。
二条法则： 1）点的投影的连线垂直于投影轴； 2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。
四个定理： 1）线上取点定理； 2）两线平行定理； 3）两线相交定理（两线交叉，可见性判断）； 4）两线垂直定理（直角投影定理）。
F
P 举例
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距离问题
换面法
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点线面综合问题
5）求点到面的距离
过点L作线LK垂直与Q 面，求线LK与Q面的交点 K，求LK的实长。
举例
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距离问题
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2020年4月5日星期日
点线面综合问题
5）求点到面的距离
过点L作线LK垂直与Q 面，求线LK与Q面的交点 K，求LK的实长。
g
3）面面平行作图法； 4）线面三步求交点法；
5）面面相交求交线法； 6）线面垂直求作图法；
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2020年4月5日星期日
点线面综合问题
福州大学机械工程及自动化学院
点线面部分以二条法则，四个定理和若干作图法概括了画法几何的理
论基础和作图方法。
二条法则：
1）点的投影的连线垂直于投影轴；
2）点的投影到投影轴的距离等于点到对应的相邻投影面的距离。