第二章形式语言简介

例2-1 由偶数个0组成的串的语言 规则的自然语言描述方式：
①00是该语言的基本的句子； ②若S是Leabharlann Baidu子,则SS是句子；
形式化的描述方式： ① S→00 ② S→SS
问题：
将产生式S→SS换成 S→0S0或者S→00S
是否还产生相同的语言？
结论：
同一个语言，可以使用不同的产生式组 合来产生。
形式语言的描述方式
① E→ i （i代表单个变量） ② E→EAE ③ E→(E) ④ A→+ ⑤ A→⑥ A→* ⑦ A→/
产生式的个数是有限的，规则是递归 的，因而
所有的小括号匹配的句子（有无限个） 均可以由它们产生，它们组成的集合 就称为一个语言。
S称为非终结符，在推导过程中，可以被 代替的符号。
(和)称为终结符，在推导过程中，不可以 被代替的符号。
→ 是产生式系统的元符号，不属于非终 结符，也不属于非终结符。
如何产生这个语言呢？ 即如何产生该语言所有句子呢？
实际上，就是需要给出语言中句子的 构造（形成）规则。
递归定义提供了语言的良好的定义方 式，使得语言中的句子的构造规律较 明显。
可以使用多种方法描述构造规则。
自然语言的描述方式，采用如下的 递归规则：
①( )是该语言的最基本的句子； ②若S是句子,则(S)是句子； ③若S是句子,则SS是句子；
A * = A+ ∪ A0 即 A * = A+ ∪ {ε}
语言的形式定义
设是一个字母表， L*, L称为字母表上的一个语言, wL, w称为语言L的一个句子。
2.1 例子语言
括号匹配串的语言。 该语言是指所有的左括号和右括号相 匹配的串的集合； ( )，(( ))，( )( )等等都是该语言的句子 )( ，( ))等等不是该语言的句子。
(4) 用代表两个字符串与的连接 （并置）。
若 = a1a2a3…an, = b1b2b3…bm; 则= a1a2a3…anb1b2b3…bm。 显然，ε=ε=
(5) 用AB代表集合A与B的连接。
A={a1,a2,a3,…,an}, B={b1,b2,b3,…,bm}；
AB=
{ a1b1，a1b2，a1b3，…，a1bm， a2b1，a2b2，a2b3，…，a2bm， a3b1，a3b2，a3b3，…，a3bm， …
anb1，anb2，anb3，…，anbm }
注意：
AФ=ФA=Ф。
6)An代表集合A的n次连接： A的n次幂定义为：
➢(1) A0 = {} ➢(2) An = An-1A n 1
7) A*代表集合A上所有字符串的 集合。
即表示集合A中的所有字符串进 行任意次连接而形成的串的集合。
A*称为集合A的闭包（克林闭包）。 A* = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪…∪ An
例1-11 A={0，1}
A0={ε} 即长度为0的0和1组成的串的集 合
A1=A={0,1} 即长度为1的0和1组成的串的集合
A2=AA={00,01,10,11} 即长度为2的0和1组成的串集合
A3=A2A ={000,001,010,011,100,101,110,111}
即长度为3的0和1组成的串的集合
这些规则称为形成规则，根据这些规则， 可以
(1)产生该语言的任意的句子； (2)判断某个串是否是该语言的句子。
例如
可以产生句子（（）） 而推断串 （（））） 不是句子。
规则(的个数)是有限的，但可以产生无 限个句子和长度无限的句子；
因为规则是递归的。
BNF的描述方式
巴科斯和诺尔采用的巴科斯-诺尔范式（BNF-Backus-Naur Form）描述规则：
第二章 形式语言简介
形式语言和自动机理论中的语言是一 个广泛的概念。
一个字母表上的语言就是该字母表的 某些字符串的集合。
语言中的字符串称为该语言的句子。
语言的的定义可以从两个方面进行： １）从产生语言的角度； ２）从接收(或识别)语言的角度。
产生一个语言，目的就是根据语言中 的基本句子和句子的形成规则，得到 (产生)该语言所包含的所有句子。
<括号匹配串>::= ( )
<括号匹配串>::= <括号匹配串> <括号匹配串> <括号匹配串>::=(<括号匹配串>)
Chomsky采用的符号化(形式化)的描述 方式，运用如下的规则（这些规则被称 为产生式）：
① S→( ) ② S→(S) ③ S→SS
“→”读作“定义为”或者“是” ，
…
A* = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ …∪ An ={0和1 组成的所有的串} ={w|w是0和1 组成的串}
如果串ω是集合A的闭包中的 串，也称ω是集合A上的串。
对于任何集合A
有(A*)*= A*。
8) A+代表一个集合，称为A的正 闭包，
A+=A∪A2∪A3∪…∪An 。
A * 与 A+
考虑
由奇数个1组成串的语言的产生规则。
例2-2
高级程序设计语言中的包含有+、、*、 /、()的算术表达式(的语言)的产生。
自然语言的描述方式
①单个变量是最基本的句子； ② 若 E 是 一 个 句 子 ， 则 EAE 是 一 个 句 子
（其中A代表运算符+、-、*、/） ③若E是一个句子，则(E)是句子；
它的左边和右边分别称为该产生式的 左边和右边；
根据产生式 可以生成任意句子； 可以判断一个串是否为句子(语法分析)。
产生句子的过程为：
从S开始，反复利用产生式的右边代替 产生式的左边（称之为推导过程）， 最后，得到匹配的（）组成的句子。
例:句子(( ))(( )( ))的产生过程
S =>SS =>(S)S =>(( ))S =>(( ))(S) =>(( ))(SS) =>(( ))(( )S) => (( ))(( )( ))
这是形式语言所研究的问题。
接收一个语言，目的就是使用某种自 动机模型来接收句子，该模型所接收 的所有句子，也形成一个语言。
这是自动机所研究的问题。
1.6 常用术语
(1) 用代表空串，{}代表仅含有
空串的集合。
(2) 用代表空集，表示一个元素 都不包含的集合。
(3) 用代表字母表。
常用术语（续）