控制系统的超前校正设计

控制系统的超前校正设计

1 设计原理

本设计使用频域法确定超前校正参数。

首先根据给定的稳态性能指标，确定系统的开环增益K 。因为超前校正不改变系统的稳态指标，所以，第一步仍然是调整放大器，使系统满足稳态性能指标。

再利用上一步求得的K ，绘制未校正前系统的伯德图。

在伯德图上量取未校正系统的相位裕度和幅值裕度，并计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿角的超前相角εγγσϕ+-=0。其中γ为给定的相位裕度指标；0γ为未校正系

统的相位裕度；ε为附加角度。（加ε的原因：超前校正使系统的截止频率c ω增大，未校正

系统的相角一般是较大的负相角，为补偿这里增加的负相角，再加一个正相角ε，即

|

)()(||)()(|0''0c c c c j H j G j H j G ωωωωε∠-∠≥ 其中，c 'ω为校正后的截止频率。当系统剪切率对应的ε取值为：当剪切率为-20dB 时，

deg 10~5=ε，剪切率为-40dB 时，deg 15~10=ε，剪切率为-60dB 时，deg 20~15=ε。）

取σϕϕ=m ，并由m m a ϕϕsin 1sin 1-+=求出a 。即所需补偿的相角由超前校正装置来提供。

为使超前校正装置的最大超前相角出现在校正后系统的截止频率c 'ω上，即

c m 'ωω=，

取未校正系统幅值为)(lg 10dB a -时的频率作为校正后系统的截止频率c 'ω。 由T a m 1

=ω计算参数T ，并写出超前校正的传递函数Ts aTs

s G c ++=11)(。

校验指标，绘制系统校正后的伯德图，检验是否满足给定的性能指标。当系统仍不满足要求时，则增大ε值，从ε取值再次调试计算。

2 控制系统的超前校正

2.1 初始状态的分析

由已知条件，首先根据初始条件调整开环增益。根据：

)3.01)(1.01()(s s s K s G ++=

要求系统的静态速度误差系数6≤v K ，

K s s K S sG k s v =++=

=→)3.01)(1.01()(lim 0

可得K=6，则待校正的系统开环函数为

)

3.01)(1.01(6)(s s s s G ++= 上式为最小相位系统，其MATLAB 伯德图如图1所示。

程序：

G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);[kg,r]=margin(G)

G=tf(6,[0.03 0.4 1 0]);margin(G)

频率的相对稳定性即稳定裕度也影响系统时域响应的性能，稳定裕度常用相角裕度γ和幅值裕度h 来度量。由图1可得：

截止频率

sec /74.3rad c =ω 穿越频率 sec /77.5rad x =ω

相角裕度 deg 2.21=Pm

幅值裕度 dB h 4.96=

显然deg 45≤γ，需要进行超前校正。

用MATLAB 画出其校正前的根轨迹，如图2所示。

其程序：

num=[6]; %描述系统分子多项式

图1 系统校正前的伯德图

den=[0.03,0.4,1,0];

%描述系统分母多项式 rlocus(num,den); %计算出系统根轨迹

2.2 超前校正分析及计算

2.2.1 使用频域法确定超前环节函数

利用超前网络的相位超前特性，正确的将超前网络的交接频率1/aT 和1/T 选在待校正系统截止频率的两旁，并选择适当参数a 和T ，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求。

计算为使相位裕度达到给定指标所需补偿的超前相角

εγγσϕ+-=0

取|)()(||)()(|0''0c c c c j H j G j H j G ωωωωε∠-∠≥，由未校正系统的伯德图可知当前未校正系统的剪切率为-40dB ，可取deg 15~10=ε，其中：

deg 45=γ deg 2.210=γ deg

10=

ε图2 系统校正前的根轨迹

deg 8.33=σϕ

取deg 8.33==σϕϕm 并由m

m a ϕϕsin 1sin 1-+= 求出 51.3=a 作45.551.3lg 10-=-dB 直线与未校正系统对数幅频特性曲线相交于sec /28.5rad =ω ，如图3所示。

取sec /28.5'rad m c ==ωω 由T a m 1=

ω，得101.0=T

因此超前传递函数为

s s s G c 101.01354.01)(51.3++= 为了补偿无源超前网络产生的增益衰减，放大器的增益需提高3.51倍，否则不能保证稳态误差要求。

超前网络参数确定后，已校正系统的开环传递函数为

)

101.01)(3.01)(1.01()354.01(6)()(s s s s s s G s G c ++++= 因此，已系统校正后程序及伯德图如图4所示。

图3 deg 10=ε时的ω取值

num=[2.134,6]; %描述开环系统传递函数的分子多项式 den=[0.00303,0.0704,0.501,1,0]; %描述开环系统传递函数的分母多项式 margin(num,den); %画出伯德图

title('校正后的系统伯德图'); %标题

[kg,r,wg,wc]=margin(num,den) %

求出各个参数

kg =3.1130

r =38.0727

wg =10.4196

wc =5.3069 可见deg 45deg 07.38<=γ，因此不满足要求，说明σϕ还不够大。试取deg 15=ε

εγγσϕ+-=0

其中

deg 45=γ deg 2.210=γ deg 15=ε

deg 8.38=σϕ

取deg

8.38==σϕϕm 图4 deg 10=ε时校正后的伯德图