解析几何答案-廖华奎-王宝富-第一章

第一章 向量代数

习题1.1

1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立

()().a b c a b c ++=++

证明：作向量,,u u u r u u u r u u u r

AB a BC b CD c ===（如下图），

则 ()(),u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=

()(),u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=

故()().a b c a b c ++=++

2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=

证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，

则0.u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,u u u r u u u r u u u r

AB a BC b CD c ===，由于

0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量

,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。

A

B

C

a

b

c

A

B

C

D

a

b

c

a b +

b c +

3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记

,,u u u r u u u r u u u r

a AB

b BC

c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是

111

(),(),(),222

u u u r u u u r u u u r CD c b AE a c BF b a =-=-=-

所以，111

()()()0,222

u u u r u u u r u u u r CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形

的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。

4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,u u u r u u u r

AB a FA b ==，

则,u u u r

DF b =而向量u u u r DC 与u u u r AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.u u u r u u u r DC AB λ=现在,u u u r FB b a =+,u u u r

FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以

1111

()()(1)(1).2222u u u r u u u r u u u r u u u r FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且

111(1)()().222

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+

故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

5. 试证命题1.1.2。

A B

a

b

c

E F

D C

证明：必要性，设,,a b c 共面，如果其中有两个是共线的，比如是,a b ，则,a b 线性相关，从而,,a b c 线性相关。现在设,,a b c 两两不共线，则向量c 可以在两个向量,a b 上的进行分解，即作以c 为对角线，邻边平行于,a b 的平行四边形，则存在实数,λμ使得

c a b λμ=+，因而,,a b c 线性相关。

充分性，设,,a b c 线性相关，则存在不全为零的数123,,k k k ，使得1230k a k b k c ++=。不妨设30k ≠，则向量c 可以表示为向量,a b 的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c 平行于由向量,a b 决定的平面，故,,a b c 共面。

6. 设,,A B C 是不共线的三点，它们决定一平面∏，则点P 在∏上的充要条件是存在唯一的数组(,,)λμν使得

,(*)1,

u u u r u u u r u u u r u u u r

OP OA OB OC λμνλμν⎧=++⎪⎨++=⎪⎩

其中，O 是任意一点。P 在ABC ∆内的充要条件是(*)与0,0,0λμν≥≥≥同时成立。

证明：必要性，作如下示意图，连接AP 并延长交直线BC 于R 。

则由三点,,B R C 共线，存在唯一的数组12,k k 使得12OR k OB k OC =+u u u r u u u r u u u r

，并且121k k +=。由三点,,A P R 共线，存在唯一的数组12,l l 使得12OP l OA l OR =+u u u r u u u r u u u r

，并且

121

l l +=。

于

是

1212122OP l OA l OR l OA l k OB l k OC

=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设

12122,,,l l k l k λμν===由12,k k ，12,l l 的唯一性知道(,,)λμν的唯一性，则

,OP OA OB OC λμν=++u u u r u u u r u u u r u u u r

且121221l l k l k λμν++=++=。

充分性，由已知条件有(1)OP OA OB OC OA OB OC λμνλμλμ=++=++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r