《一元二次方程》教材分析报告

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苏科版数学七年级上册4.1《一元二次方程》教学设计

苏科版数学七年级上册4.1《一元二次方程》教学设计

苏科版数学七年级上册4.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是苏科版数学七年级上册第四单元的第一节内容。

本节内容主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。

教材通过引入生动有趣的故事情境,激发学生的学习兴趣,让学生在情境中感受数学与生活的紧密联系。

教材内容由浅入深,逐步引导学生掌握一元二次方程的知识,为学生后续学习函数、不等式等知识打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础,掌握了方程、不等式等基本概念。

但学生对于一元二次方程的理解和应用还需加强。

通过本节课的学习,学生需要能够理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的解法,并能运用一元二次方程解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能:理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的解法,能够运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法:通过观察、分析、归纳等方法,引导学生发现一元二次方程的解法规律,培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观:培养学生对数学的兴趣,感受数学与生活的紧密联系,培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点:一元二次方程的概念、解法及应用。

2.难点:一元二次方程的解法及其在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法:通过引入生动有趣的故事情境,激发学生的学习兴趣,让学生在情境中感受数学与生活的紧密联系。

2.启发式教学法:引导学生观察、分析、归纳,发现一元二次方程的解法规律。

3.小组合作学习:培养学生团队合作意识,提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件:制作生动有趣的故事情境课件,引导学生进入学习状态。

2.教学素材:准备一些实际问题,供学生练习使用。

3.板书设计:设计简洁明了的板书,帮助学生理解和记忆一元二次方程的知识。

七. 教学过程1.导入(5分钟)利用课件展示一个生动有趣的故事情境,引导学生进入学习状态。

例如,讲述一个关于国王奖励国际数学家的问题,引发学生对数学的兴趣。

一元二次方程教材分析

一元二次方程教材分析

一元二次方程教材分析一.本章内容分析本章主要介绍了一元二次方程及有关概念,一元二次方程的解法,运用一元二次方程分析和解决实际问题。

其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.二.课时安排: 17.1 一元二次方程 2课时17.2 降次 9课时17.3 实际问题与一元二次方程 4课时小结 2课时三、本章知识结构图四、单元内容分析17.1 一元二次方程本单元分两课时,以实际问题为背景,引出一元二次方程的概念,归纳出一元二次方程的一般形式,给出一元二次方程根的概念,并提出一元二次方程的根是两个,通常几次方程就有几个根.⒈德育目标:引导学生在一次方程、方程组学习的基础上,联系函数的基本知识,进一步观察和探索现实世界中的数量关系及其变化规律。

教学目标:通过实际问题了解一元二次方程的定义及一般形式;会将一个整式方程化为一元二次方程的一般形式,并能指出二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项。

教学重点:一元二次方程及有关概念的理解.教学难点:准确的化为一元二次方程的一般式.⒉学法点拨:◆一元二次方程的定义,书中以未知数的个数和次数为标准,用文字叙述形式给出的.◆理解一元二次方程的定义关键注意三点:整式、一个未知数、最高次数为2。

◆对一元二次方程理解时,一定注意“a≠0”这一条件。

◆把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法:去分母---去括号---移项---合并同类项。

◆注意:①当a是负值时,一般转化为正数;②多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。

如:x2=0,x2-1=0,2x2-x=0.会用“带入检验”的方法判断简单的一元二次方程得根。

⒊易错点:1)判断方程是否为一元二次方程时,忽略二次项系数不为“0”.如:下列关于x的方程中,是一元二次方程的有--------① ax2+bx+c = 0 ② x2+ 3/x -5=0③ 2x2-x-3 = 0 ④ x2-2+x3 = 02)注意本单元在学习概念时,注意联系实际,加深对概念的理解与应用,避免就概念理解概念。

《一元二次方程》数学教案8篇

《一元二次方程》数学教案8篇

《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师,通常需要准备好一份教案,编写教案有利于我们弄通教材内容,进而选择科学、恰当的教学方法。

那么什么样的教案才是好的呢?这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案,希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。

元二次方程教案篇一一、教材分析:1、教材所处的地位:此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。

本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题,只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。

2、教学目标要求:(1)能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型;(2)能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理;(3)经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述;(4)通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

3、教学重点和难点:重点:列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。

难点:发现问题中的等量关系。

二.教法、学法分析:1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外,其余时间都坚持以学生为主体,充分发挥学生的主观能动性。

教学过程中,教师只注重点、引、激、评,注重学生探究能力的培养。

还课堂给学生,让学生去亲身体验知识的产生过程,拓展学生的创造性思维。

同时,注意加强对学生的启发和引导,鼓励培养学生们大胆猜想,小心求证的科学研究的思想。

2、本节内容学习的关键所在,是如何寻求、抓准问题中的数量关系,从而准确列出方程来解答。

因此课堂上从审题,找到等量关系,列方程等一系列活动都由生生交流,兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的,发掘学生的创新精神。

三.教学流程分析:本节课是新授课,根据学生的知识结构,整个课堂教学流程大致可分为:活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程,让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

第二十一章《一元二次方程》教材分析

第二十一章《一元二次方程》教材分析

第二十一章《一元二次方程》教材分析一、本章学习目标1.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。

2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。

3.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理。

4.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程,并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。

5.了解一元二次方程的根与系数的关系。

教学重点:一元二次方程的解法和根的判别式的应用。

教学难点:利用一元二次方程模型解决实际问题。

二、本章知识框图三、教材分析对于方程及其解法,学生从小学就开始接触。

进入初中后,学生又学习了一元一次方程、二元一次方程组以及可化为一元一次方程的分式方程。

因此,学生对于解方程涉及的数学思想(化归)、理论依据(等式的性质、运算律)以及基本思路(通过恒等变形,把方程逐步化为x=a 的形式)等都已比较熟悉。

从数学知识的内部发展看,二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广。

自然地,如果在次数上做推广,首先就是一元二次方程。

类比二(三)元一次方程组的解法,可以想到:能否将一元二次方程转化为一元一次方程。

而一元二次方程与一元一次方程比较,差异在“次数”。

因此,将“二次”降为“一次”就能使“新方程”转化为“旧方程”,这样就明确了解一元二次方程的基本策略——降次。

如何操作实现“降次”,将一元二次方程转化为一元一次方程为解题的关键,这就要借助已经研究过的实数的性质和整式因式分解的方法,因此在本章的教学中要注意关联已学过的知识,注重让学生体会高次方程与低次方程的联系,数与式的联系,通过观察方程系数特征,选择恰当方法,优化运算过程,发展运算能力。

一元二次方程是初中数学的重要数学模型之一,它有丰富的实际背景,通过建立一元二次方程模型解决实际问题,可以使学生更深入的体会数学与现实世界的联系,培养模型观念,发展应用意识。

四、课时安排21.1一元二次方程 1课时21.2解一元二次方程直接开平方法 1课时配方法 1课时公式法 1课时因式分解法 1课时一元二次方程根与系数关系(选学) 1课时21.3实际问题与一元二次方程 3课时数学活动与小结 2 课时。

浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》说课稿1

浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》说课稿1

浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程》是浙教版数学八年级下册第2章第1节的内容。

本节课的主要内容是一元二次方程的定义、解法以及应用。

一元二次方程是初中数学的重要内容,也是高中数学的基础。

它不仅在数学领域有广泛的应用,而且在物理、化学等自然科学领域也有重要作用。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基础知识,具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

但是,对于一元二次方程的理解和应用还需要进一步的引导和培养。

因此,在教学过程中,我将以学生已有的知识为基础,通过实例引入一元二次方程,引导学生掌握一元二次方程的解法,并能够应用一元二次方程解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标:使学生理解一元二次方程的定义,掌握一元二次方程的解法,能够应用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标:通过探究一元二次方程的解法,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点:一元二次方程的定义,一元二次方程的解法。

2.教学难点:一元二次方程的解法,应用一元二次方程解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法。

2.教学手段:多媒体课件、黑板、粉笔。

六. 说教学过程1.导入新课:通过一个实际问题引入一元二次方程,激发学生的兴趣。

2.自主学习:学生自主探究一元二次方程的定义和解法,教师给予引导和帮助。

3.课堂讲解:教师讲解一元二次方程的定义和解法,通过实例解释一元二次方程的应用。

4.课堂练习:学生进行课堂练习,巩固一元二次方程的解法。

5.小组讨论:学生分组讨论一元二次方程的应用问题,分享解题思路和方法。

6.总结提升:教师引导学生总结一元二次方程的解法和应用,强调重点和难点。

7.课后作业:学生完成课后作业,巩固所学内容。

人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》

人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》

人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》一. 教材分析《一元二次方程》是人民教育出版社九年级上册数学的一个重要内容,它标志着学生从简单方程的认识过渡到更复杂的一元二次方程的解决。

本节内容通过实例引入一元二次方程,使学生了解一元二次方程的定义、特点以及解法。

教材通过问题驱动,引导学生探索求解一元二次方程的方法,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前,已经学习了简单方程的解法、不等式的性质等知识,具备了一定的数学基础。

但一元二次方程较为抽象,学生可能难以理解其定义和解法。

因此,在教学过程中,需要关注学生的认知困难,通过实例和问题引导学生理解和掌握一元二次方程。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义和特点;2.学会求解一元二次方程的配方法、公式法等基本方法;3.能够应用一元二次方程解决实际问题;4.培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和特点;2.一元二次方程的解法;3.一元二次方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.实例导入:通过生活中的实际问题,引导学生认识一元二次方程;2.问题驱动:提出问题,引导学生探索求解一元二次方程的方法;3.小组合作:分组讨论,共同探索一元二次方程的解法;4.归纳总结:引导学生总结一元二次方程的解法,并应用于实际问题。

六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示一元二次方程的定义、解法等知识;2.实例材料:准备生活中的实际问题,用于导入和巩固知识;3.练习题库:准备一定数量的一元二次方程练习题,用于巩固和拓展知识。

七. 教学过程1.导入(5分钟)利用生活中的实际问题,如抛物线与x轴的交点问题,引导学生认识一元二次方程。

通过问题驱动,激发学生的学习兴趣。

2.呈现(10分钟)讲解一元二次方程的定义、特点和解法。

通过实例演示和讲解,使学生理解和掌握一元二次方程的基本解法。

3.操练(10分钟)学生分组讨论,共同探索一元二次方程的解法。

一元二次方程教学研究分析报告

一元二次方程教学研究分析报告

一元二次方程教学设计教学任务分析教学目标知识技能1、理解一元二次方程地概念.2、掌握一元二次方程地一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.教学思考1、通过一元二次方程地引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题地能力.2、通过一元二次方程概念地学习,培养学生对概念理解地完整性和深刻性.3、由知识来源于实际,树立转化地思想,由设未知数、列方程向学生渗透方程地思想,从而进一步提高学生分析问题、解决问题地能力.解决问题在分析、揭示实际问题地数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)地过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系地工具,增加对一元二次方程地感性认识.情感态度1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流地意识.2、激发学生学数学地兴趣,体会学数学地快乐,培养用数学地意识.重点一元二次方程地概念及一般形式.难点1、由实际问题向数学问题地转化过程.2、正确识别一般式中地“项”及“系数”.教学流程安排活动流程图活动内容和目地活动1 创设情境引入新课活动2 启发探究获得新知活动3 运用新知体验成功活动4 归纳小结拓展提高活动5 布置作业分层落实复习一元一次方程有关概念;通过实际问题引入新知.通过类比一元一次方程地概念和一般形式,让学生获得一元二次方程地有关概念.巩固训练,加深对一元二次方程有关概念地理解.回顾梳理本节内容,拓展提高学生对知识地理解.分层次布置作业,提高学生学习数学地兴趣.教学过程设计问题与情景师生行为设计意图「活动1」问题1:2008年奥运会将在北京举办,许多大学生都希望为奥运奉献自己地一份力量.现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训,由已合格人员培训第一轮人员,再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务.某高校学生李红已受训合格,成为一名志愿者,并由她负责培训本校志愿者.若每轮培训中每个志愿者平均培训x人.(1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合格, 请列出满足条件地方程:(2)若两轮培训后该校共有121人合格,你能列出满足条件地方程吗?问题2:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它地四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作地无盖方盒底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大地正方通过多媒体播放视频短片,引入情境,提出问题.在第(1)问中,通过教师引导,学生列出方程,解决问题.在第(2)问中,遵循刚才解决问题地思路,由学生思考,列出方程.活动中教师应重点关注:学生对题目地理解,可举例,由特殊到一般,帮助学生理解题意,从而引导学会列出满足通过创设情境,引导学生复习一元一次方程地概念和一般形式,为后面学习一元二次方程地有关内容做好铺垫.通过解决实际问题引入一元二次方程地概念,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题地能力.形?问题3:我校为丰富校园文化氛围,要设计一座2米高地人体雕像,使雕像地上部(腰以上)与全部高度地乘积,等于下部(腰以下)高度地平方,求雕像下部地高度 .条件地方程通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件地方程.此题是与实际问题结合地题目,通过演示高度关系,帮助学生理解题意,从而列出符合题意地方程.通过解决实际问题引入一元二次方程地概念.让学生通过数形结合地方法,转化实际问题,从而得到方程,为引入一元二次方程地概念做好准备.问题与情景师生行为设计意图「活动2」1、一元二次方程地概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数地最高次数是2地方程,叫做一元二次方程.眼疾口快:请抢答下列各式是否为一元二次方程:由以上问题得到3个方程,由学生观察归纳这3个方程地特征,给出名称并类比一元一次方程地定义,得出一元二次方程地定义.活动中教师应重点关注:(1)引导学生观察所列出地3个方程地特点;让学生充分感受所列方程地特点,再通过类比地方法得到定义,从而达到真正理解定义地目地.这组练习目地在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征地理解.2、 2、一元二次方程地一般式:3、(2)让学生类比前面复习过地一元一次方程定义得到一元二次方程定义.(3)强调定义中体现地3个特征:①整式;②一元;③2次.由学生以抢答地形式来完成此题,并让学生找出错误理由.其中(1)~(6)题较为简单,学生可非常容易给出答案;而(7),(8)两题有一定难度,(7)需要进行分类讨论.此活动中,教师应注意对学生给出地答案作出点评和归纳.引导学生类比一元一次方程地一般形式,总结归纳一(7),(8)两个题目地设置,目地在于进一步加深学生对定义地掌握,尤其结合字母系数,加大题目难度,提高学生对变式地理解能力.此环节采取抢答地形式,提高学生学习数学地兴趣和积极性.此环节让学生通过自主探究,类比一元一次方程一般形式,得出一元二次方程一般形式和项,系数地概念,从而达到真正理解并掌握地目地.元二次方程地一般形式及项、系数地概念.问题与情境师生行为设计意图试一试:下面给出了某个方程地几个特点:(1)它地一般形式为(2)它地二次项系数为5;(3)常数项是一次项系数地倒数地相反数.「活动3」例1.天津四中为树立学生地团结、拼搏精神,组织了一次篮球比赛,参赛地每两个队之间都要比赛一场,依据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,请问全校有多少个队参赛?(列方程并整理成一般形式)先由教师在大屏幕上显示问题,由学生经过思考,给出符合条件地答案,全体学生进行判断是否正确.在此环节可设置一个小游戏,让答对学生给出类似条件,找其他同学回答给出地新问题,让大家进行判断给出地方程是否正确.此环节中,教师应注意板书学生给出地方程要,并且及时引导学生不要给出类似地条件.此题为与实际问题结合地题目,让学生思考解决问题地方法,列出满足题意地方程.此题设置地目地在于加深学生对一般形式地理解采取游戏地形式以提高学生对数学学习地兴趣,参与课堂活动地积极性,还可鼓励学生课下继续以合作地形式进行学习.整理一元二次方程地一般形式为本节课地重点,由实际问题出发列方程为本节地难点,所以在此设置此题,加强巩固练习.由篮球比赛引入题目,可激发学生兴趣,引起学生关注.以此题为例,教师板书整理一元二次方程地过程,让学生学会如何整理任意一元二次方程地一般形式,并能准确找到各项系数.教师在此活动中应重点关注:(1)由一个学生列出方程,并解释解题方法,教师进行引导,点评,引起其他学生地关注,认同.(2)教师在归纳点评过程中,应注意把两队只打一场比赛解释清楚,以便学生理解题意.(3)整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到地等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母等.(4)让学生指出各项系数时,教师强调系数须带符合.此题有在实际生活中应用地意义,通过此题让学生理解比赛赛制安排原则.问题与情境师生行为设计意图小试牛刀:你能否把下列方程整理成一般形式?例2、当m取何值时,方程是关于x地一元二次方程?考考你:判断下列关于x地方程是否是一元二次方程:( 为有理数);「活动4」1.问题:本节课你又学会了哪些新知识?2.思维拓展:若方程x2m+n+x m-n+3=0是关于x地一元二次方程,巩固练习学生整理一般形式地方法,并准确找出各项系数.此环节可找学生口答结果.此题是字母系数问题,由学生思考解题过程,让学生讲解此题,教师进行总结点评.大屏幕显示解题过程.此题由学生思考,讨论,并由学生给出结果并进行解释.此活动过程中,教师应重点关注:(1)此题目在上一题地基础上继续加大难度,第(1)题须强调先进行整理,再考虑二次项系数是否为零;第(2)题须先求出m值,再代入二次项系数中,验证是否为0,得到结果.(2)学生解答过程中,教师让学生落实将刚才教师板书地整理一般形式地过程,再次突出本节课地重点内容此题为一元二次方程概念中常见题型,通过此题让学生加深对定义和一般形式地理解,为其他字母系数问题做好准备.此题仍涉及字母系数问题,难度加大,以达到让学生掌握本节课重难点地目地.通过此题让学生掌握解此类字母系数题目地方法,以及整理一般形式对于解一元二次方程题目地重要性小结反思求m,n地值.把学生整理地一般形式书写在黑板上,以便全体学生理解.学生反思本节课中学到地知识,总结活动中地经验.小结时,教师应重点关注:(1)学生是否能抓住本节课地重点;(2)学生是否掌握一些基本方法.此题让学生进行思考,讨论,让学生进行讲解,教师作适当归纳,可留疑,让学生课下思考.让学生再思考,若题目中,不同学生有不同地体会,要尊重学生地个体差异,激发学生主动参与意识,.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验地机会.此题需进行分类讨论,开拓学生思维,体现数学地严谨性.「活动5」课后作业:(A)教科书第98页习题17.1第1、2、5、6、7题.(B)请根据所给方程:(16-2x)(10-2x)=112,中“+”变成“-”时,如何解决,留作课下思考.(A)组题目为巩固型作业,即必做题.(B)组题目为思维拓展型作业,即为学有余分层次布置作业,尊重学生地个体差异,激发学生学习积极性.联系实际,编写一道应用题力地学生设置.(要求题目完整,题意清楚,不要求解方程).本节课是一元二次方程地第一课时,通过对本节课地学习,学生将掌握一元二次方程地定义、一般形式、及有关概念,并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中,注重中难点地体现.b5E2R。

九年级上册第二章《一元二次方程》教材分析

九年级上册第二章《一元二次方程》教材分析

九年级上册第二章《一元二次方程》教材分析九年级上册第二章《一元二次方程》教材分析一、教学目标:1、经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型。

2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题,解决问题的意识和能力。

3、了解一元二次方程及其相关概念,会用配方法,公式法,分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数),并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。

4、经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程,发展估算意识和能力。

二、内容及课时安排1、花边有多宽2课时2、配方法3课时3、公式法1课时4、分解因式法1课时5、为什么是0.618 2课时回顾与思考2课时单元考试1课时讲评考卷1课时三、教学过程:第一节花边有多宽教学目标:一、教学知识点:1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的有关概念3、探索和估算一元二次方程的解二、能力训练要求:1、经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型2、理解一元二次方程的概念3、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。

三、情感与价值观要求:从生活实际中抽象出数学问题,让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识和产生探求其解的欲望,为方程精确解的研究做了铺垫,产生求精确解的内在要求。

教学重点:一元二次方程的概念(a ≠ 0)教学难点:1、 根据已知条件和未知数找等量关系列出方程2、 探索和估算一元二次方程的解。

教学方法:启发诱导式教学反思:本节分为两课时,第一课时通过丰富的实例,让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念,并从中体会方程的模型思想。

第2课时要求学生探索“花边有多宽”等问题的解或近似解,这样,可以促进学生对方程的理解,发展学生的估算能力,又为方程精确解的研究做了铺垫。

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第二十二章《一元二次方程》教材分析北京八中刘颖一. 本章的主要内容:1. 主要内容: 一元二次方程及其有关概念, 一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法), 运用一元二次方程分析和实际问题.2. 本章重点:一元二次方程的解法,难点:一元二次方程的应用.二. 中考考试要求: (2012年)三. 课程学习目标1. 以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景, 认识一元二次方程及其有关概念.2. 根据化归的思想, 抓住“降次”这一基本策略, 掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.有条件时可选学“一元二次方程的根与系数的关系”, 拓展对一元二次方程的认识.3. 经历分析和解决实际问题的过程, 体会一元二次方程的数学模型作用, 进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力.四. 本章知识结构框图五. 课时安排本章教学时间约需13课时, 具体分配如下(仅供参考):22.1一元二次方程………………(2课时)22.2降次——解一元二次方程…(7课时)22.3实际问题与一元二次方程…(2课时)数学活动与小结…………………(2课时)六. 内容安排22.1 节以实际问题为背景, 引出一元二次方程的概念, 归纳出一元二次方程的一般形式, 给出一元二次方程的根的概念, 并提出一元二次方程的根会出现不唯一的情况. 这些概念是全章后续内容的基础.22.2节讨论一元二次方程的基本解法, 其中包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等, 这一节是全章的重点内容之一. 在本章之前的方程都是一次方程或可化为一次方程的分式方程, 一元二次方程是首次出现的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程, 这就是“降次”. 本节首先通过解比较简单的一元二次方程, 引导学生认识直接开平方法解方程; 然后讨论比较复杂的一元二次方程, 通过对比一边为完全平方形式的方程, 使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法; 有了配方法作基础, 再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式20++=(0ax bx ca≠), 就得到一元二次方程的求根公式, 于是有了直接利用公式的公式法, 并引出用判别式确定一元二次方程的根的情况. 本节在公式法后讨论因式分解法解一元二次方程, 这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘, 另一边为0, 再分别令每个一次因式为0. 这几种解法都是依降次的思想, 将二次方程转化为一次方程, 只是具体的降次手段有所不同. 本节最后增加了选学内容“一元二次方程的根与系数的关系”. 学习这一内容可以进一步加深对一元二次方程及其根的认识, 为以后的学习做准备.22.3节安排了3个探究内容, 结合实际问题, 分别讨论传播问题、增长率问题和几何图形面积问题. 一元二次方程与许多实际问题都有联系, 本节不是按照实际问题的类型分类和选材的, 而是选取几个具有一定代表性的实际问题来进一步讨论如何建立和利用方程模型, 重点在分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示, 这种数学建模思想的体现与前面有关方程的各章是一致的, 只是在问题中数量关系的复杂程度上又有新的发展, 数学模型由一次方程或可以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程.本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活. 这样安排主要目的是:1. 反映客观世界与数学的密切联系;2. 加强对应用数学知识分析和解决实际问题的意识和能力的培养.目前的课程标准没有将一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)列为必学内容, 考虑到部分学有余力的学生可以进一步扩大对一元二次方程的认识, 以及这个内容是比较重要的数学知识, 教科书在22.2.4中安排了有关内容供选学, 希望能提供一些问题给部分学生去探究.在本章小结中, 教科书再次强调一元二次方程与实际问题之间的联系, 突出解一元二次方程的基本思路以及具体方法, 这是本章的重点内容.一元二次方程是本套初中数学教科书中所学习的最后一种方程, 从某种意义上说, 学习本章也具有对方程的学习进行总结的作用.七. 教学中应注意一些的问题(一)一元二次方程的有关概念1. 了解一元二次方程的概念(1)一元二次方程是整式方程;(2)它含有一个未知数(“一元”), 未知项的最高次次数是2(“二次”);(3)它的一般形式是: )0(02≠=++a c bx ax .2. 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围只有当二次项系数0a ≠时, 整式方程20ax bx c ++=才是一元二次方程. 例1. ① 关于x 的方程()04412=-++mx x m 是一个一元二次方程, 则m 的取值范围是_________,一次项系数是_____________, 常数项是______________ ② 关于x 的一元二次方程()()()a x a x x 51233=+-+-, 化成一般形式是_____________3. 一元二次方程的解(根)的定义与检验一元二次方程的解(根)(1)一元二次方程作为整式方程, 在有解的情况下, 一定有两个实数解;(2)区分“无解”与“无实数解”.例2. 已知: a > b , 且有01532=-+a a , 01532=-+b b① a , b 是否方程01532=-+x x 的根; ② 求a , b 的值例3. 关于x 的方程(1–a )x 2+2x +2=0有实根, 求a 的取值范围.(二)能选择适当的方法解一元二次方程在学习本章之前, 学生已经学习过一元一次方程、二元一次方程组的解法, 并且学习了可以化为一元一次方程的分式方程的解法. 一元二次方程的解法与前面的方程的解法相比, 特点在于未知数的次数是2(二次), 于是重点和难点在于如何将一元二次方程转化为已经会解的一次方程.1. 明确解一元二次方程是以降次为目的, 应以直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法为手段, 从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解, 其中配方法更是尤为重要;2. 理解配方法, 能熟练地选用包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法在内的适当的方法解一元二次方程;3. 理解各种解法的依据;4. 各种解法应强调的问题(1)直接开平方对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程(即一边是含有未知数的一次式的平方, 而另一边是一个非负数), 可用直接开平方法求解.形如n x =2的方程的解法: 当0>n 时, n x ±=;当0=n 时, 021==x x ;当0<n 时, 方程无实数根.注意: 在进行用直接开平方法解形如)0()(2≠=+a n b ax 的方程的教学时, 可有意识地渗透“换元法”的思想.(2)配方法通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的形式, 当0≥n 时, 可运用直接开平方法求解.配方法的一般步骤:① 移项: 把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边, 常数项移到方程的右边;② “系数化1”: 根据等式的性质把二次项的系数化为1;③ 配方: 将方程两边分别加上一次项系数一半的平方, 把方程变形为n m x =+2)(的形式;④ 求解: 当0≥n 时, 方程的解为n m x ±-=; 若0<n 时, 方程无实数解. 注意: 在二次项系数为1的情况下, “方程两边都加上一次项系数(绝对值)一半的平方”这是用配方法解一元二次方程的关键步骤.(3)公式法一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax , 当042≥-ac b 是, 方程的根为: aac b b x 242-±-= 当042>-ac b 时, 方程有两个实数根, 且这两个实数根不相等;当042=-ac b 时, 方程有两个实数根, 且这两个实数根相等, 写为ab x x 221-==; 当042<-ac b 时, 方程无实数根.公式法的一般步骤:①把一元二次方程化为一般形式;②确定c b a ,,的值;③代入ac b 42-中计算其值, 判断方程是否有实数根;④若042≥-ac b 则代入求根公式求值, 否则, 原方程无实数根.注意: 求根公式适用于任何一个有实根一元二次方程, 因此, 公式法是解一元二次方程的通法(使用时要先将方程化为一般式), 但它不一定是解决具体问题时的最简单的方法. 另外, 求根公式也反映处了一元二次方程的根与系数之间的关系.(4)因式分解法① 因式分解法解一元二次方程的依据: 如果两个因式的积等于0, 那么这两个因式中至少有一个的值为0;② 因式分解法的一般步骤:将方程化为一元二次方程的一般形式;把方程的左边分解为两个一次因式的积, 右边等于0;令每一个因式都为零, 得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解.注意: 因式分解的方法也可以帮助我们达到降次的目的. 对于系数是无理数或含字母系数的一元二次方程, 应首先考虑选用因式分解法求解, 往往较为简便.5. 对于含有字母系数的一元二次方程注意: 方程类型的确定和必要时对系数的分情况讨论.例4. 用适当的方法解下列方程① ()y y 2422=+ ② 04232=+--t t③ ()()03051752=+---x x ④ ()x x x 2152=-⑤ ()0321322=+++x x ⑥ 313123121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 例5. 解关于x 的方程:① 044222=-+-b a ax x② ()()()b a a c x c b x b a ≠=-+-+-02 ③ ()()()01222≠--=-b a x b a x④ ()22x x c b a =-+ ⑤ ()0065622≠=-+m mx x m例6. 用配方法解下列方程:① x x 7322=+ ② 231322=+x x(三)会用一元二次方程根的判别式判断根的情况1. 了解一元二次方程根的判别式概念, 会用判别式判定根的情况, 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围(1)∆=ac b 42-(2)对于一元二次方程02=++c bx ax (0≠a ) ①当⎩⎨⎧≥∆≠时00a ⇔方程有实数根; 当⎩⎨⎧>∆≠时00a ⇔方程有两个不相等的实数根; 当⎩⎨⎧=∆≠时00a ⇔方程有两个相等的实数根; ②当⎩⎨⎧<∆≠时00a ⇔方程无实数根. 2. 常见的题型(1)不解方程, 利用一元二次方程根的判别式, 判别一元二次方程根的情况; 例7. 不解方程, 判断下列关于x 的方程的根的情况:① ()()7315=+-x x ② 02352=-+x x(2)已知一元二次方程的根的情况, 由根的判别式确定字母的取值范围; 例8. 若关于x 的方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围(3)应用判别式, 证明一元二次方程根的情况①先计算出判别式(关键步骤); ②用配方法将判别式恒等变形; ③判断判别式的符号; ④总结出结论.例9. 已知a ,b ,c 为实数. 求证: 关于x 的方程(x –a )(x –b )+(x –b )(x –c )+(x –c )(x –a )=0恒有实数根.(4)分类讨论思想的应用: 如果方程给出时未指明是二次方程, 后面也未指明方程有两个根时, 需要对方程进行分类讨论, 如果二次项系数为0, 方程可能是一元一次方程; 如果二次项系数不为0, 方程是一元二次方程, 可能会有两个实数根或无实数根.例10. 已知关于x 的方程: ()()011222=++---m x m x m , 在下列情况下, 分别求m 的取值范围:① 方程只有一个实数根; ② 方程有两个相等的实数根; ③ 方程有两个不相等的实数根(5)一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题, 解答时要在全面分析的前提下, 注意合理运用代数式的变形技巧. 例11. 已知: 关于x 的方程 (a +c )x 2+2bx –a +c =0 有两个相等的实数根. 问正数a ,b ,c 是否可以作为一个三角形的三边的长? 如果可以, 是什么形状的三角形?(6)一元二次方程根的判别式与整数解的综合.例12. 当k 是什么整数时, 方程(k 2–1)x 2–6(3k –1)x +72=0有两个不相等的正整数根(7)判别一次函数与反比例函数图象的交点问题. 另外, 一元二次方程根的判别式对于日后学习二次函数图象与横轴交点的个数也有很好的铺垫作用.(四)会运用一元二次方程解决简单的实际问题1. 数字问题: 解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数, 奇偶数, 连续整数等形式.2. 几何问题: 这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系, 构建方程, 对结果要结合几何知识检验.3. 增长率问题: 在此类问题中, 一般有变化前的基数(a ), 增长(下降)率(x ), 变化的次数(n ), 变化后的结果(b ), 这四者之间的关系可以用公式b x a n =±)1(表示. 一般采用直接开平方法求根, 结果一般要符合01x <<的要求.4. “握手问题”是一种常见的题型, 建议归纳这种方程的模型, 帮助学生识别.5. 面积问题要合理设未知数, 方程模型为()()a bx c dx m --=, 一般采取因式分解法或公式法求解, 结果要同时符合0bx a <<、0dx c <<两个要求.6. 其它实际问题(都要注意检验解的实际意义, 若不符合实际意义, 则舍去).八. 适当补充一些问题(一)目前的课程标准没有将一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)列为必学内容, 考虑到部分学有余力的学生可以适当扩充.定理的前提条件是: 二次项系数00a ≠∆≥,.例13. 根与系数关系补充内容① 已知x 1、x 2是方程 05322=-+x x 的两个实数根, 则_________2121=+x x x x ② 已知关于x 的方程04532=-+k x x 的一个根是 -2, 求它的另一个根 α 和 k 的值③ 已知x 1、x 2是方程 0522=--x x 的两个根, 求下列代数式的值: 2111x x +; 2221x x +; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122111x x x x ; 21x x -④ 已知关于x 的方程 0221222=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x a x 有两个不相等的实数根 α 和 β, 且有α2 - αβ + β2 = 12, 求a 的值⑤ 在等腰△ABC 中, 三边分别为a 、b 、c , 已知 a = 3, 且b 和c 是关于x 的方程 02122=-++m mx x 的两个实数根, 求△ABC 的周长(二)可化为一元二次方程的简单的分式方程例14. 解下列方程:①12221--=+x x x ② 11314121+-+=+-+x x x x九. 几个值得关注的问题本章的主要内容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、应用举例等, 这些都是重要的基础知识, 打好基础很重要, 因此教学中应注意使学生切实掌握它们. 此外, 本章教学应特别关注以下问题.(一)教学中应重视联系实际问题, 加强对于数学建模思想的渗透在本章的教学和学习中, 应重视相关内容与实际的联系, 可以选择一些适合一元二次方程内容而又接近本班学生生活的实际问题, 结合这些问题展开教学的内容.对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题, 关键是弄清实际问题的背景, 找出实际问题中相关数量之间的相等关系, 并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程. 这里需要指出, 正确地理解实际问题情境是完成这一工作的基础.(二)教学中应结合一元二次方程的特点, 从说理的角度讨论方程的解法本章所讨论的对象是一元二次方程, 它的特殊性是其未知数为二次, 这是前所未见的. 将面临的新问题转化为已经会解的老问题, 是解决问题的基本思路. 正因如此, 将一元二次方程转化为一元一次方程, 即“降次”, 成为解一元二次方程的基本策略. 这也是化归思想在解一元二次方程时的具体体现.教学中应反复指出学习一元二次方程的解法时要了解以下两点:1. 用配方法、因式分解法等解一元二次方程时, 要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程, 也就是使未知数从二次变为一次. 一元二次方程的降次变形, 是由一个二次方程得到两个一次方程, 因此一个一元二次方程有两个根. .2. 配方法是公式法的基础, 通过配方法得出了求根公式;公式法是直接利用求根公式, 它省略了具体的配方过程.十. 本章渗透的数学思想与方法教学中要让学生充分经历知识的形成过程, 通过学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动, 逐步认识问题的本质, 领悟数学思想方法.本章涉及的重要数学思想方法较多, 如化归思想、建模思想、配方法、换元法、降次法等等.1.化归思想解方程中的化归思想, 即逐步使方程变形为x=a的形式, 是解方程的基本指导思想, 它对各种方程都适用.2.降次法解二次(高次)方程的主要思想是降次, 配方法可以看作是开方降次, 因式分解法可以看作是分解降次, 它们的共同目的是将二次方程转化为一次方程, 进而求出方程的根.降次还有着广泛的应用.3.换元法学生在本章中接触换元法, 这一方法在后续学习中有着广泛的应用.用换元法解方程应着重引导学生观察方程的特征, 方程中的未知数包含在相同的代数式中可以考虑设辅助未知数进行“换元”.本章中还有一类题目只是把一个代数式看成一个字母而不引进辅助未知数, 这是“换元法”思想的灵活运用, 这一点应适当向学生说明.4.配方法和对称思想配方法是代数式恒等变形中的一个重要方法, 学生已经在学习完全平方公式时接触过, 本章应用配方法直接解方程, 进一步推出求根公式, 更说明了其重要作用.配方法还可以灵活使用, 用来求代数式的值.补充习题:(仅供参考)一、选择题1. 下列说法中, 正确命题有( C )①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等②数据5,2,7,1,2,4的中位数是3,众数是2③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形④Rt △ABC 中,∠C=90°,两直角边a ,b 分别是方程x 2-7x +7=0的两个根,则AB A .0个 B .1个 C .2个 D .3个2. 关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ,且有a x x x x -=+-12211,则a 的值是( B )A .1B .-1C .1或-1D . 23. 一元二次方程(2)0x x -=根的情况是( A )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4. 某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( A )A. ()22891256x -=B. ()22561289x -=C. 289(1-2x)=256D. 256(1-2x)=2895. 关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根,则m 的值是(D )A .0B .8C .4D .0或8 6. 方程(x +1)(x -2)=x +1的解是( D )A .2 B.3 C. -1,2 D. -1,37. 一元二次方程0)1(=-x x 的解是( C )A. 0=xB. 1=xC. 0=x 或1=xD. 0=x 或1-=x8. 若一元二次方程式)2)(1()1(++++x x x ax bx + 2)2(=+x 的两根为0、2,则 b a 43+之值为何?BA .2B .5C .7D . 89. 如图(十三),将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。

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