2020年湖南省衡阳八中高二(下)期中数学试卷(理科)

期中数学试卷

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={x|x（x-3）＜0}，B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=（）

A. {-1}

B. {1，2}

C. {0，3}

D. {-1，1，2，3}

2.命题“∀x∈（0，1），x2-x＜0”的否定是（）

A. ∃x0∉（0，1），

B. ∃x0∈（0，1），

C. ∀x0∉（0，1），

D. ∀x0∈（0，1），

3.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为( )

A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

4.执行如图所示的程序框图，如果输入的x=10，则输出y的值是（）

A. B. C. D.

5.设X-B（10，0.8），则D（2X+1）等于（）

A. 1.6

B. 3.2

C. 6.4

D. 12.8

6.函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝-1，则满足－1≤f(x－2)≤1

的x的取值范围是( )

A. B. C. D.

7.在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x+2y≤8的概率为（）

A. B. C. D.

8.y万元的统计数据如下表：

广告费用x（万元）4235

销售额y（万元）492639m

根据上表可得回归方程=9x+10.5，则m为（）

A. 54

B. 53

C. 52

D. 51

9.已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系

数和为（）

A. B. C. D.

10.把10名登山运动员，平均分为两组先后登山，其中熟悉道路的有4人，每组都需

要2人，那么不同的安排方法的种数是( )

A. 30种

B. 60种

C. 120种

D. 240种

11.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，

∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余

弦值为()

A.

B.

C.

D.

12.已知函f（x）=e x-a ln（ax-a）+a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，

则实数a的取值范围为（）

A. （0，e2]

B. （0，e2）

C. [1，e2]

D. （1，e2）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知i是虚数单位，则=______

14.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

______cm3；

15.已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥-1）=______．

16.已知椭圆的一个焦点恰为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，设抛物线的准

线l与y轴的交点为M，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若以线段BM为直径的圆过点A，则|AB|=______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c cos B+b cos C=2a cos A．

（1）求A；

（2）若a=2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．

18.如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A

为BE的中点，将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），使得PA⊥平面ABCD，连接PC、PB，构成一个四棱锥P-ABCD．

（Ⅰ）求证AD⊥PB；

（Ⅱ）求二面角B-PC-D的大小．

19.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2

次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最

多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔

恰当，每次测试通过与否互相独立．

求该学生考上大学的概率．

如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．

20.已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．

21.已知函数f（x）=ln x+ax2+（2a+1）x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＜0时，证明：f（x）≤--2．

22.已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），以坐标原

点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ-4sinθ.

（1）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的平面直角坐标方程，

（2）求曲线C1和C2两交点之间的距离．

23.已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵集合A={x|x（x-3）＜0}={x|0＜x＜3}，

B={-1，0，1，2，3}，

∴A∩B={1，2}．

故选：B．

先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．

本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查全称命题的否定，属于基础题.

由全称命题的否定是特称命题，即可求解.

【解答】

解:全称命题的否定是特称命题，

命题“∀x∈(0,1),x2-x＜0”的否定是“∃x0∈(0,1),”.

故选B.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题.

利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差.

【解答】

解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，

∵a4+a5=24，S6=48，

∴，

解得a1=-2，d=4，

∴{a n}的公差为4．

故选C.

4.【答案】B

【解析】解：若x=10，则x＞5成立，x=10-2=8，

x＞5成立，则x=8-2=6，

x＞5成立，则x=6-2=4，

x＞5不成立，则y=cos=-cos=-，

故选：B．

根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．

本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．

5.【答案】C