单一参数交流电路的分析计算

2.2.1 单一参数交流电路的分析计算 一.电阻电路
1.电压与电流的响应 1.电压与电流的响应 由欧姆定律：u 由欧姆定律： 设： u = u i
R
= iR
2U sinω t
u U 则：i = = 2 sinω t = 2 I sinω t R R
u = 2U sinω t
u – i 响应
u U i = = 2 sinω t = 2 I sinω t R R
u=
2U sin ω t
U = IR
ɺ ɺ I U
u, i 同相
i=
2 I sin ω t
ɺ ɺ U = IR
单一参数正弦交流电路的分析计算汇总 单一参数正弦交流电路的分析计算汇总 正弦交流电路的分析计算
电路参数 L 基本关系
i
电路图 正方向） （正方向）
di u=L dt
功率 有功功率: 有功功率: 0 无功功率: 无功功率:
Iɺ
UωC
ɺ U
U
复数形式的 欧姆定律
2.电容电路中的功率 2.电容电路中的功率
i= 2 I sin ω t u= 2U sin( ω t − 90 )
0
i u
瞬时功率p 1）瞬时功率
p = i ⋅ u = U I sin 2ω t
2）平均功率 平均功率P 电容性无 无功功率Q 3）无功功率 功取负值
二. 功率计算
1.瞬时功率 1.瞬时功率
p = i ⋅u
领先i（ 设u领先 （电感性电路） 领先
p = I m sin ωt ⋅ U m sin(ωt + ϕ ) I mU m [cosϕ − cos(2ωt + ϕ )] = 2
I
Iɺ
ɺ U = U∠90 = IωL∠90 j 900 ɺ ɺ ɺ U = I XL ⋅e = I ⋅ ( jX L )
复感抗
复数形式的 欧姆定律
ω i = 2 I sin ωt u = 2 U sin( t + 90 )
0
i u
p
2.电感电路中的功率 2.电感电路中的功率 1）瞬时功率（p） 瞬时功率（ ）
T T 0 0
结论：理想电感不消耗能量，只有能量的吞吐。 结论：理想电感不消耗能量，只有能量的吞吐。 3）无功功率 无功功率Q 定义：电感的瞬时功率所能达到的最大值。 定义：电感的瞬时功率所能达到的最大值。 (反映电感元件与电源进行能量交换的规模) 反映电感元件与电源进行能量交换的规模)
Q =U I = I XL =U
ɺ UC
U ≠UR +UL +UC
相量图 各部分电压之间的关系 ----- 电压三角形 复数阻抗的实部电阻， 复数阻抗的实部电阻，与虚部电抗间的关系 --- 阻抗三角形 U Z UL −UC i 阻抗三 ϕ UR uR 角形 R X=XL−XC R u
L C
uL
R = Z cos ϕ
X
L C
uC
− X = Z sinϕ
电路参数 C 基本关系
i
电路图 正方向） （正方向）
du i=C dt
C
功率 有功功率: 有功功率: 0 无功功率: 无功功率:
u
−j − jX = ωc
复阻抗 电压、电流关系 电压、 有效值
− UI − I XC
2
瞬时值 设 则
相量图
相量式
u=
i=
XC = 1 ωC ωC sin( ω t + 90 ° )
R
p = u ⋅ i = 2UI Sin ωt
1.p随时间变化 结论： 随时间变化 结论：1. 耗能元件） 2. p ≥ 0（耗能元件）
平均功率：一个周期内瞬时功率的平均值P 2）平均功率：一个周期内瞬时功率的平均值 大写
1 T 1 T 2 P = ∫0 p dt = ∫0 2UI sin ωt dt T T
ɺ ɺ U = I( j XL)
ɺ = I (− j 1 ) = I (− jX ) ɺ 电容电路： 电容电路： U ɺ C ωC 2.电阻为耗能元件 电阻为耗能元件， 2.电阻为耗能元件，L、C为储能元件 为储能元件
1 2 电感储能: 电感储能: WL = ∫ uL iLdt = L iL 2 1 2 电容储能: 电容储能 WC = ∫ u C i C dt = C u C 2
i 2.相量图--电压与电流间的关系 2.相量图--电压与电流间的关系 相量图-uR R • 取 I 作参考相量 u L uL 的电流一样） （流过 R、L、C 的电流一样） C uC ɺ UL 电压 ɺ ɺ ɺ U 三角形 U = U cosϕ U L + UC R ϕ UL −UC =U sinϕ ɺ I ɺ UR
2
2
XL
单位： 乏 单位：var乏、kvar千乏 千乏 伏安） （乏：伏安）
三.电容电路
1.电压与电流的响应 1.电压与电流的响应 du i 基本关系式: i = C 基本关系式: u
dt 设: u = 2U sin ω t
U °) i = 2UCω cosωt = 2 ⋅ sin(ωt + 90 1 ωC 1 1）频率相同 容抗: 容抗: X C = ωC 相位相差（ 落后 落后i） 2）相位相差（u落后 ）900 1 有效值： 3）有效值：I =U⋅ωC 或 U = I ωC
设： = i
2 I sin ω t
uR
u
L C
uL
ɺ 或 I = I∠0°
uC
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ 则：UR = IR , UL = I ( jX L ) , UC = I (− jXC )
ɺ ɺ ɺ ɺ U = IR + I ( jX L ) + I (− jX C ) ɺ = I [R + j ( X − X )]
L C
总电压与总电 流的关系式
i
R
uR
相量表达式： ɺ 相量表达式：ɺ = I R + jXL − jXC U
[
]
u
L C
uL
uC
复数阻抗 Z = R+ j( XL − XC ) R :复数阻抗的实部,为电阻。 复数阻抗的实部,为电阻。 j (XL-XC) :复数阻抗的虚部, 为 复数阻抗的虚部, 电抗 。
i
p = i ⋅ u = UI sin 2ωt
电感元件的瞬时功率 变化。 随时间以 2ω 变化。 能量转换过程可逆！ 能量转换过程可逆！
u ωt
P >0 P <0 P >0 P <0 吸收 输出 吸收 输出 能量 能量 能量 能量
2）平均功率P（也称为有功功率） 平均功率P 也称为有功功率）
1 1 P = ∫ p dt = ∫ U I sin ( 2ω t ) dt = 0 T T
流过各元件的电流相同。 流过各元件的电流相同。 各部分电压瞬时值服从基尔 霍夫电压定律。 霍夫电压定律。
则：
+
2 IR sin ω t + 2 I (ω L ) sin( ω t + 90 0 ) 1 2I ( ) sin( ω t − 90 ° ) ωc
1. 相量方程式
i
R
ɺ ɺ ɺ ɺ U = U R + U L + UC
U 2 1
2U sin ω t
U = IXC
Uɺ
u落后i90° 落后i90° i90
ɺ Iɺ U = ɺ I (− jX C )
2.2.2
i
R
R－L－C串联交流电路 串联交流电路
电压与电流的响应 一. 电压与电流的响应
uR uL
u
L C
uC
u=
di 1 u = uR + uL + uC = iR+ L + ∫ idt dt C 若： = 2 I sin ω t i
电压与电流的响应： 电压与电流的响应： 设：i =
0
2 I sin ω t
0
u = 2 I ω L sin(ωt + 90 ) = 2 U sin(ωt + 90 )
小结： 小结：u-i 之关系 u i
90 °
1）频率相同
ωt
XL
2）相位相差 0 相位相差90 领先i （u领先 900） 领先 3）有效值 U = IωL
u
复阻抗
jX L = j ωL
UI I XL
2
电压、电流关系 电压、 瞬时值 设 则 有效值 相量图 相量式
i=
2 I sin ω t
sin(ωt + 90°)
U = IXL XL = ωL
Uɺ
u = 2 IωL
Iɺ
90° u领先 I 90°
ɺ ɺ U = I( jXL )
单一参数正弦交流电路的分析计算汇总 单一参数正弦交流电路的分析计算汇总
注：Z 是一个复数，但不是一个正弦交流 是一个复数， 不是一个正弦交流 一个 相量（ 上不加 ）；Z 相量（ Z上不加 ）； 在方程式中只是 一个运算符号。 一个运算符号。
ɺ ɺ U = I[R + jXL − jXC ]
Z = R+ j( XL − XC )
复数阻抗 2 2 −1 XL − XC Z = R+ j(XL − XC)= R +(XL − XC) ∠ tg = Z∠ ϕ R 阻抗的模 阻抗角 ɺ U U∠ϕu U U Z= = = ∠ϕu −ϕi Z= ɺ I∠ϕ I I I i
容抗XC
（单位：ω:rad/s C :f XL : ） 单位：
1 Xc = 是频率的函数 ωC
Xc
C为定值 为定值
f
XC表示电容上的电压、电流有 表示电容上的电压、 效值之间的关系， 效值之间的关系，且只对正弦 波有效。 波有效。 ɺ 4）相量关系式 设 U =U∠0O 则： Iɺ = I ∠ 90 0 = U ω C ∠ 90 0 ɺ = 1 I∠ − 90 0 = I (− j 1 ) ɺ ɺ U ωC ωC 复数容抗 复数容抗
u ic
c
p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱωt
1 T P = ∫ Pdt= 0 T 0
Q = −UI
P <0 P >0 输出 吸收 能量 能量
P <0 P >0 输出 吸收 能量 能量
能量转换过程可逆！ 能量转换过程可逆！
小结: 小结 单一参数交流电路 1.复数形式的欧姆定律 1.复数形式的欧姆定律 ɺ ɺ 电阻电路： 电阻电路： U = I R 电感电路： 电感电路：
i
ɺ U U Z = = ∠ϕu −ϕi ɺ I I −1 XL − XC ϕ =ϕu −ϕi = tg R
R
uR
u
L C
uL
uC
表明u领先 --电路呈感性 领先i 电路呈感性。 当 XL > XC 时，ϕ > 0 表明 领先 --电路呈感性。 当 XL <XC 时，ϕ < 0 表明 落后i --电路呈容性。 表明u落后 --电路呈容性 电路呈容性。 落后 当 XL = XC 时，ϕ = 0 表明 与i同相--电路呈电 表明u与 同相--电路呈电 同相-阻性。 阻性。
*复数阻抗的模也可由电压、电流有效值之比 复数阻抗的模也可由电压 也可由电压、
求得。 求得。
XL − XC Z = Z ∠ϕ= R +(XL − XC) ∠tg R
2 2 −1
i
R
uR uL
复阻抗的幅角
ɺ U U∠ϕu U Z= = = ∠ϕu −ϕi ɺ I I∠ϕi I
u
L C
uC
复阻抗的幅角等于电压与电流的初相位之差。 复阻抗的幅角等于电压与电流的初相位之差。 电压与电流的初相位之差 一定） *当（f一定）电路参数确定后，电压与电流间 一定 电路参数确定后， 的相位差也就确定了。 的相位差也就确定了。
i u
R
1 T 1 T 2 P = ∫0 p dt = ∫0 2UI sin ωt dt T T
平均功率
=UI = I R =U
2
2
二.电感电路
1.电压与电流的响应 1.电压与电流的响应 i u L
R
(W, KW,mW)
i 设： =
2 I sin ωt
di 基本关系式 u = L dt
di u = L = 2 I ⋅ω L cosωt dt = 2 I ω L sin(ωt + 900 )
L为定值
f
X L = ωL 感抗
XL 是频率的函数 单位： （单位：ω:rad/s L:H XL : ）
小结： 小结：u-i 之关系 感抗XL U = I ω L = I 2π fL = I X L XL表示电感上的电压、电流有效值之间的关 表示电感上的电压、 且只对正弦波有效。 系，且只对正弦波有效。 4）相量关系式 ɺ U ɺ 设：I = I∠00 Iω L 0 0
3.单一参数正弦交流电路的分析计算汇总 3.单一参数正弦交流电路的分析计算汇总 单一参数正弦交流电路的分析计算
电路参数： 电路参数：R i 电路图 u 正方向） （正方向） 复阻抗 基本关系
u = iR
R
功率 有功功率: 有功功率: 无功功率: 无功功率:
UI
0
电压、电流关系 电压、 瞬时值 设 则 有效值 相量图 相量式
ɺ U
Iɺ
1）频率相同 2）相位相同 3）有效值： U = IR 相量关系式： 4）相量关系式：设 复数形式的 欧姆定律
ɺ U =U∠ϕ
•
ɺ= U I R
ɺ = U ∠ϕ 或 I R
2.电阻电路中的功率 2.电阻电路中的功率
i u
2
i = 2 I sinω t u = 2U sinω t
瞬时功率p 1）瞬时功率p p i u ωt 小写