2020-2021中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合

【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接 OD，求出∠ EOC=∠ DOC，根据 SAS 推出△ EOC≌ △ DOC，推出 ∠ ODC=∠ OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出 CE=CD=4，根据平行四边形性质求出 OA=OD=4，根据平行四边 形的面积公式=2△ COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接 OD， ∵ OD=OA， ∴ ∠ ODA=∠ A， ∵ 四边形 OABC 是平行四边形， ∴ OC∥ AB， ∴ ∠ EOC=∠ A，∠ COD=∠ ODA， ∴ ∠ EOC=∠ DOC， 在△ EOC 和△ DOC 中，
连接 AO′，则可知 BO′= AB， ∴ ∠ O′AB=30°， ∴ ∠ ABO′=60°， ∴ α=30°， （3）∵ 点 P，A 不重合，∴ α＞0， 由（2）可知当 α 增大到 30°时，点 O′在半圆上， ∴ 当 0°＜α＜30°时点 O′在半圆内，线段 BO′与半圆只有一个公共点 B； 当 α 增大到 45°时 BA′与半圆相切，即线段 BO′与半圆只有一个公共点 B． 当 α 继续增大时，点 P 逐渐靠近点 B，但是点 P，B 不重合， ∴ α＜90°， ∴ 当 45°≤α＜90°线段 BO′与半圆只有一个公共点 B． 综上所述 0°＜α＜30°或 45°≤α＜90°．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3） DE 9 . 2
【解析】 【分析】 （1）连接 AD，如图 1，设∠ BDC=α，∠ ADC=β，根据圆周角定理得到∠ CAB=∠ BDC=α，由 AB 为⊙O 直径，得到∠ ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到∠ ACE=∠ ADC，等量代换得到∠ ACE=∠ CAE，于是得到结论； （3）如图 2，连接 OC，根据圆周角定理得到∠ COB=2∠ CAB，等量代换得到 ∠ COB=∠ ABD，根据相似三角形的性质得到 OH=5，根据勾股定理得到
OE OD EOC DOC OC OC
∴ △ EOC≌ △ DOC（SAS）， ∴ ∠ ODC=∠ OEC=90°， 即 OD⊥DC， ∴ CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知 CD 是圆 O 的切线， ∴ △ CDO 为直角三角形，
∵ S△ CDO= 1 CD•OD， 2
又∵ OA=BC=OD=4，
（3）设 BE=x，则 DE=EF=2x，AB=3x，半径 OD= 3 x，进而得出 OE=1+2x，最后用勾股定理 2
即可得出结论． 试题解析：（1）证明：连结 OD，如图．∵ EF=ED，∴ ∠ EFD=∠ EDF．∵ ∠ EFD=∠ CFO，
∴ ∠ CFO=∠ EDF．∵ OC⊥OF，∴ ∠ OCF+∠ CFO=90°．∵ OC=OD，∴ ∠ OCF=∠ ODF，
∴ AF=2x， ∵ OC=OA，由（2）得：∠ COF=∠ OAG， ∵ ∠ OFC=∠ AGO=90°， ∴ △ COF≌ △ OAG， ∴ OG=CF=x，AG=OF， 设 OF=a，则 OA=OC=2x﹣a， Rt△ COF 中，CO2=CF2+OF2， ∴ （2x﹣a）2=x2+a2，
a= 3 x， 4
∵ α=15°，A′C∥ AB， ∴ ∠ ABA′=∠ CA′B=30°，
∴ DE= A′E，OE= BE，
∴ DO=DE+OE= （A′E+BE）= AB=OA， ∴ A′C 与半圆 O 相切； （2）当 BA′与半圆 O 相切时，则 OB⊥BA′， ∴ ∠ OBA′=2α=90°， ∴ α=45°， 当 O′在 上时，如图 2，
（1）当 α=15°时，过点 A′作 A′C∥ AB，如图 1，判断 A′C 与半圆 O 的位置关系，并说明理 由． （2）如图 2，当 α= °时，BA′与半圆 O 相切．当 α= °时，点 O′落在 上． （3）当线段 BO′与半圆 O 只有一个公共点 B 时，求 α 的取值范围． 【答案】（1）A′C 与半圆 O 相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或 45°≤α ＜90°． 【解析】 试题分析：（1）过 O 作 OD⊥A′C 于点 D，交 A′B 于点 E，利用含 30°角的直角三角形的性
（3）在（2）的条件下，连接 OB，பைடு நூலகம்△ AOB 的面积为 S1，△ ACF 的面积为 S2．若
tan∠
CAF=
1 2
，求
S1 S2
的值．
【答案】（1）48°（2）证明见解析（3） 3 4
【解析】 【分析】 （1）连接 CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质得：∠ ABE=∠ AEB，再证明∠ BCG=∠ DAC，可得
2020-2021 中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合
一、圆的综合
1．如图，四边形 OABC 是平行四边形，以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB 于 D，延长 AO 交 O 于 E，连接 CD，CE，若 CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若 BC=4，CD=6，求平行四边形 OABC 的面积．
∴ S△ CDO= 1 ×6×4=12， 2
∴ 平行四边形 OABC 的面积 S=2S△ CDO=24．
2．如图，已知△ ABC 内接于⊙O，BC 交直径 AD 于点 E，过点 C 作 AD 的垂线交 AB 的延长
线于点 G，垂足为 F．连接 OC．
（1）若∠ G=48°，求∠ ACB 的度数；
（2）若 AB=AE，求证：∠ BAD=∠ COF；
4．如图，⊙O 的半径为 6cm，经过⊙O 上一点 C 作⊙O 的切线交半径 OA 的延长于点 B， 作∠ ACO 的平分线交⊙O 于点 D，交 OA 于点 F，延长 DA 交 BC 于点 E． （1）求证：AC∥ OD；
（2）如果 DE⊥BC，求 AC 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）2π． 【解析】 试题分析：（1）由 OC=OD，CD 平分∠ ACO，易证得∠ ACD=∠ ODC，即可证得 AC∥ OD； （2）BC 切⊙O 于点 C，DE⊥BC，易证得平行四边形 ADOC 是菱形，继而可证得△ AOC 是等 边三角形，则可得：∠ AOC=60°，继而求得弧 AC 的长度． 试题解析：（1）证明：∵ OC=OD，∴ ∠ OCD=∠ ODC．∵ CD 平分∠ ACO，
论． 【详解】 （1）连接 CD， ∵ AD 是⊙O 的直径，
∴ ∠ ACD=90°， ∴ ∠ ACB+∠ BCD=90°， ∵ AD⊥CG， ∴ ∠ AFG=∠ G+∠ BAD=90°， ∵ ∠ BAD=∠ BCD， ∴ ∠ ACB=∠ G=48°； （2）∵ AB=AE， ∴ ∠ ABE=∠ AEB， ∵ ∠ ABC=∠ G+∠ BCG，∠ AEB=∠ ACB+∠ DAC， 由（1）得：∠ G=∠ ACB， ∴ ∠ BCG=∠ DAC，
∴ ∠ ODC+∠ EDF=90°，即∠ ODE=90°，∴ OD⊥DE．∵ 点 D 在⊙O 上，∴ DE 是⊙O 的切线；
（2）线段 AB、BE 之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：
∵ AB 为⊙O 直径，∴ ∠ ADB=90°，∴ ∠ ADO=∠ BDE．∵ OA=OD，∴ ∠ ADO=∠ A，
质可求得 DE+OE= A′B= AB=OA，可判定 A′C 与半圆相切； （2）当 BA′与半圆相切时，可知 OB⊥A′B，则可知 α=45°，当 O′在 上时，连接 AO′，则
可知 BO′= AB，可求得∠ O′BA=60°，可求得 α=30°； （3）利用（2）可知当 α=30°时，线段 O′B 与圆交于 O′，当 α=45°时交于点 B，结合题意可 得出满足条件的 α 的范围． 试题解析：（1）相切，理由如下： 如图 1，过 O 作 OD 过 O 作 OD⊥A′C 于点 D，交 A′B 于点 E，
∴ ∠ OCD=∠ ACD，∴ ∠ ACD=∠ ODC，∴ AC∥ OD； （2）∵ BC 切⊙O 于点 C，∴ BC⊥OC．∵ DE⊥BC，∴ OC∥ DE．∵ AC∥ OD，∴ 四边形 ADOC 是平行四边形．∵ OC=OD，∴ 平行四边形 ADOC 是菱形，∴ OC=AC=OA，∴ △ AOC 是等边三
角形，∴ ∠ AOC=60°，∴ 弧 AC 的长度= 60 6 =2π． 180
点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公 式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
5．图 1 和图 2，半圆 O 的直径 AB=2，点 P（不与点 A，B 重合）为半圆上一点，将图形延 BP 折叠，分别得到点 A，O 的对称点 A′，O′，设∠ ABP=α．
（3）在（2）的条件下，若 OF=1，求圆 O 的半径．
【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3． 【解析】 试题分析：（1）先判断出∠ OCF+∠ CFO=90°，再判断出∠ OCF=∠ ODF，即可得出结论； （2）先判断出∠ BDE=∠ A，进而得出△ EBD∽ △ EDA，得出 AE=2DE，DE=2BE，即可得出结 论；
∴ ∠ BDE=∠ A，而∠ BED=∠ DEA，∴ △ EBD∽ △ EDA，∴ DE BE BD ．∵ Rt△ ABD AE DE AD
中，tanA= BD = 1 ，∴ DE BE = 1 ， AD 2 AE DE 2
∴ AE=2DE，DE=2BE，∴ AE=4BE，∴ AB=3BE；
（3）设 BE=x，则 DE=EF=2x，AB=3x，半径 OD= 3 x．∵ OF=1，∴ OE=1+2x． 2
∴ OF=AG= 3 x， 4
∵ OA=OB，OG⊥AB，
∴ AB=2AG= 3 x， 2
∴
S1 S2
1 AB·OG 2 1 CF·AF
3 x·x 2 x·2x
3． 4
2
【点睛】 圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判 定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ ACB+∠ BCD=90°；
在 Rt△ ODE 中，由勾股定理可得：（ 3 x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴ x=﹣ 2 （舍）或 x=2，
2
9
∴ 圆 O 的半径为 3．
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角 函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ EBD∽ △ EDA 是解答本题的关键．
∴ CD PB ，
∵ AD 是⊙O 的直径，AD⊥PC，
∴ CD PD ，
∴ CD PB PD ，
∴ ∠ BAD=2∠ DAC， ∵ ∠ COF=2∠ DAC， ∴ ∠ BAD=∠ COF； （3）过 O 作 OG⊥AB 于 G，设 CF=x，
∵ tan∠ CAF= 1 = CF ， 2 AF
CD PB PD ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结
论； （3）过 O 作 OG⊥AB 于 G，证明△ COF≌ △ OAG，则 OG=CF=x，AG=OF，设 OF=a，则
OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则 a= 3 x，代入面积公式可得结 4
考点：圆的综合题．
6．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 为 AB 下方⊙O 上一点，点 C 为弧 ABD 的中点，连接 CD，CA． （1）求证：∠ ABD=2∠ BDC； （2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，交 AD 于 E，求证：EA=EC； （3）在（2）的条件下，若 OH=5，AD=24，求线段 DE 的长度．
（2）根据外角的性质和圆的性质得： CD PB PD ；（3）利用三角函数设未知数，根
据勾股定理列方程解决问题．
3．如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC⊥AB，弦 CD 与 OB 交于点 F，在 AB 的延长线上有点 E，且 EF=ED． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若 tanA= 1 ，探究线段 AB 和 BE 之间的数量关系，并证明； 2