光波场的复振幅描述

§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系，将光场用复数表 示,以利于简化运算
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt不重要: n ~1014Hz, 无法探测 n为常数,线性运算后亦不变 对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分. 故引入复振幅U(P): jj(P)
U(P) = a(P) e
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§1-1光波场的复振幅描述
亥姆霍兹（Helmholtz)方程
常数幅相因子, A
随x,y线性变化的 位相因子
U ( x, y) A exp[ jk ( x cosa y cos b )]
在x-y平面上的等位相线 xcosa + ycosb = const 为平行直线族
光波场的复振幅描述
4、平面波的空间频率
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布.等位相 线是平行直线族. 为简单计, 先看k在x-z平面内: cosb =0 复振幅分布:
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关; • U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)| 和相对位相 arg(U)= j(P) • 方便运算, 满足叠加原理 • 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动: u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可 • 光强分布: I = UU*
2 2 1/ 2
需要作近轴近似
z
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球面波 : 近轴近似 只考虑 x - y平面上对源点 S 张角不大的范围,
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 z ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 可以作泰勒展开 r z 2z (1+D)1/2 1+ D /2
对给定平面 是常量 随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相


已将球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 轴正方向传播. 如果 z > 0, 上式代表从 S 发散的球面波. 如果 z < 0, 上式代表向 S 会聚的球面波. x-y 平面上等位相线方程为 : 球面波中心 在原点:
x x y y
U ( x, y) A exp( jkx cosa )
等位相面是平行于y 轴的一系列平面, 间隔为l 等位相面与x-z平面相交 等位相面与x-y平面相交 形成平行直线 形成平行于y轴的直线 沿x方向的等相线 间距: z
2p l X k cosa cosa
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四、平面波的空间频率 复振幅分布: U ( x, y) A exp( jkx cosa )
定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率 平面波在x和y方向的空间频率分别为: 1 cosa 1 cos b cosa, cosb 为波 fx ; fy 矢的方向余弦 X l Y l
若波矢在x-z平面或y-z平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示,故: 1 sinq x
一级近似 二级近似
即
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
§1-1光波场的复振幅描述
二、球面波 : 近轴近似
a0 k 2 2 U ( P) U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) z 2z
f z ( 1 l f x l f y ) l
2
这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 : p U ( x, y, z ) a exp[ j p ( xf x yf y )] exp( j z l f x l f y )
l
U ( x, y,) exp( j
p
l
z l fx l f y )



在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
作业
P41:
3
第1章 现代光学的数学物理基础
Scalar Angle-Spectrum Theory of Diffraction
§1-1 光波场的复振幅描述 1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为: u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)] 振幅 频率 初位相 光场随时间的变化关系: 由频率n表征. 可见光: n ~1014Hz 严格单色光: n为常数 光场变化的时间周期为1/ n. 光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不同, 光场变化的空间周期为l. 由传播引起. 由于u(P,t) 必须满足波动方程， 可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系
光强是波印廷矢量的时间平均值, 正比于电场振幅的平方
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2、球面波的复振幅表示
球面波: 等相面为球面, 且所有等相面有共同中心的波
点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
j(P) = k . r
k : 传播矢量 球面波: k//r
k = | k |=2p /l , 为波数. 表 示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
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平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
如果平面波传播方向在xz平面(或yz平面), 与z轴夹角为q, 则此平面波复振幅沿x方向 (或y方向)的空间频率为:
sin q
l
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平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
练习 2
振幅为1, 波长为l 5nm 的单色平面波, 传播方向在xz平面内, 并与z轴夹角为30. 写出其复振幅表达式, 并求出z = z1平面 上复振幅在x方向和y方向的空间周期Tx 和Ty, 以及相应的空间频率 fx 和 fy.
1 2 将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程 2u 2 2 u 0 v t 可导出复振幅满足的方程为：
( k )U 0
2 2
k
2p
即亥姆霍兹（Helmholtz)方程 -—不含时间的波动方程
l
称为波数或传播常数， 表示单位长度上产生的相位变化
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
常量振幅 线性位相因子
光波场的复振幅描述
3、平面波: 在给定平面的分布
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
cosg 1 cos2 a cos2 b
U ( x, y, z ) a exp( jk z 1 cos2 a cos2 b ) exp[ jk ( x cosa y cos bz )]
光波场的复振幅描述
3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量 k.
等相平面的法线方向 k (kcosa, kcosb, kcosg)
k 的方向余弦, 均为常量
以 k 表示的等相平面方程为 k .r = const.
故平面波复振幅表达式为:
U ( x, y, z ) a exp( jk r ) a exp[ jk ( x cosa y cos b z cosg )]
fx
X

l
;
1 sinq y fy Y l
引入空间频率概念后, 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
U ( x, y ) A exp[ j 2p ( f x x f y y )]
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平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
练习 1
单位振幅的单色平面波, 波矢量k与x轴夹 角为30, 与y轴夹角为60. (1)画出z = z1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Ty、T 和fx 、fy和 f。 (2)画出y = y1平面上间隔为2p的等相线族, 并求出Tx、 Tz 和fx 、fz.
g ( x, y) G( f x, f y ) exp[ j 2p ( f x x f y y)]dfx df y


光波场的复振幅描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
三个空间频率不能相互独立： l2 因此
2 2 2
fx l fy l fz 1
2 2 2 2 2
sin q
l
练习 3
对于传播方向与z轴夹角为-30的情况,再 解上题.
光波场的复振幅描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开 空间比时间更具体,更直观,是有形的 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等 空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy, 它仅决定于光波的波长和传播方向. 反之, 给定一组fx和fy, 对于给定波长的单色平面波就能 确定其传播方向cosa =l,fx , cosb =l,fy 二维F.T.在光学上的意义: 如果在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的 周期分布,则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.
(P(x,y,z))
y kLeabharlann (rz则P点处的复振幅:
源点S
a0: 单位距离 处的光振幅 0 x
a0 jkr U ( P) e r
k: 传播矢量
球面波的等位相面: kr=c 为球面
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会聚球面波
a0 jkr 会聚球面波 U ( P) e r
(P(x,y,z))
y k 会聚点S 0 z
(r
x
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球面波 : 空间分布
P点处的复振幅:U ( P)
a0 jkr e r
取决于k与r是平行 还是反平行
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x y z
2 2
2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
定义 复振幅分布在x方向的空间频率:
1 cosa fx X l
Y = ∞, fy=0
对于在x-z平面内传播的平面波, 在y方向上有:
复振幅分布可改写为:
U ( x, y) A exp( j 2pf x x)
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平面波的空间频率: 一般情形 U ( x, y) A exp[ jk ( x cosa y cos b )]


C
a0 k 2 2 U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x y ) z 2z
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3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且 这些平面垂直于 光波传播矢量 k.
k 的方向余弦 均
为常量 等相平面的法线方向k (kcosa, kcosb, kcosg)
光波场的复振幅描述
球面波 : 在给定平面的分布 以系统的光轴为z轴,光沿 z 轴正方向传播. 所考察的平面垂直于z 轴
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处. 考察与其 距离为z的x - y平面上的光分布
r [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 2 ]1/ 2 ( x x0 ) ( y y0 ) z 1 2 z