0401位移计算的一般公式(力学)

1 100

对于梁和刚架，内力计算考虑剪切应变的结果 与不考虑相比影响不大，可忽略。
ip

M PM dx EI
2.各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架 （2）桁架 （3）组合结构 （4）拱
ip M PMi ds EI
ip

N P Ni ds EA

N N Pl EA
q
EI为常数，计算悬臂梁B端
A
a/2
C
a/2
B
的转角 B 和竖向位移 Bv
B qa / 48EI
3
(
)
Bv 7qa4 / 384EI ()
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
P
P
1 P
0
解：
NP
0
a 1
2 2
N
1
2P
k
a
kx

1
N P Nil EA
有位移
有变形
有变形
4. 基本假定
位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即结构的 位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的 位移也随之消失。并应满足如下基本假定： １. 应力和应变服从虎克定律（线弹性）； ２. 位移是微小位移，即可用结构原尺寸和叠加法计 算其位移（小变形）； ３. 所有约束为理想约束，即约束力不作功（理想约 束）。 叠加原理 适用
P
W P
M

P
A B
W M
M
M
P
A
B
W P A P B P( A B ) P
W M A M B M ( A B ) M
2. 变形体系的虚功原理
（1）刚体体系的虚功原理
在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态中 的力系能满足平衡条件，位移状态中的刚体位移能 与几何约束相容，则外力虚功之和等于零。
力状态1 位移状态2 内力虚功
V N1du 2 Q1dv 2 M1d2
l l l i 0 i 0 i 0
(N1 2 Q1 2 M1 2 )ds
l i 0
对于杆件结构，虚功原理可以表示为：
W N1 du 2 Q1 dv 2 M 1 d 2
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力 虚力原理：虚设力状态求位移
力状态1 位移状态2
（2）变形体系的虚功原理 外力虚功：
力在非自身所产生的位移上所作的功
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚功时， 力状态的内力也在位移状态的相对变形上作虚功，这种虚 功称为内力虚功（虚应变能），用“V”表示。
第四章 静定结构的位移计算
4.3 单位荷载法
Unit Load Method
1. 位移计算的一般公式
iP
k
P 1
实际的位移状态：变形协调的 位移状态(P) 虚设的力状态：平衡的力 状态(i)
l l l
根据虚功原理
l
W N1 du 2 Q1 dv 2 M 1 d 2
1 Pa [( P)( 1)a ( P)( 1)a 2 P 2 2a] 2(1 2 ) () EA EA
3. 单位荷载的施加
所加单位广义力与所求广义位移相对应, 该单位广义力在所求广义位移上做功。
q A FP B A
1
1
A
ΔAV
1
A
ΔAH
1
A
B
1
A
1
θA
1
B
ΔAB
ip M PMi N P Ni kQP Qi [ ]ds EA GA EI
l
x
q(l x)k q(l x) [ ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
MP
q
Qi
lx
QP
AV
qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA
对于细长杆件，剪切变形 对位移的贡献与弯曲变形相比 可略去不计.
Q M Q M
4 EIk GAl2
A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, h / l 1/ 10, E / G 2.5(钢砼)
PR3 kPR PR 设 : M , Q , N 4 EI 4GA 4 EA A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, Q 1 h / R 1 / 10, E / G 2.5(钢砼) M 400
N 1 M 1200
小曲率杆轴向变形、剪切变形对位移的影响可略去不计
ip
θ
R
P
QP M P
ds Rd M PMi N P Ni kQP Qi [ ]ds EA GA EI PR kPR PR3 () 4 EA 4GA 4 EI
NP R
θ
ip
M PMi N P Ni kQP Qi [ ]ds EA GA EI PR kPR PR3 () 4 EA 4GA 4 EI
t C
P
t

W Pt
P1
力状态（虚力状态） 位移状态（虚位移状态）
P2
12
21 22
P2
P1
11
12
注意： （1）两种状态属同一体系； （2）均为可能状态。即 位移应满足变形协调条件 力状态应满足平衡条件 （3）位移状态与力状态完全无关
（4）广义力和广义位移
一个力系作的总虚功 W=P× P—广义力; —广义位移
第四章 静定结构的位移计算
4.1 结构位移的概念
Concept of Structural Displacement
本章的基本要求
1. 2. 3. 4. 了解变形体系的虚功原理及其应用； 掌握计算静定结构位移的单位荷载法； 熟练掌握图乘法； 熟练掌握荷载作用下各类静定结构的位移计 算； 5. 掌握结构因支座移动、温度变化引起的位移 的计算； 6. 掌握弹性体的互等定理。
i
(N1 2 Q1 2 M1 2 )ds
i 0
变形体的虚功原理：
变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），而 由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形（位 移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作 的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的相应变形 上所作的虚功。
W（外力虚功） V（内力虚功）
力状态1 位移状态2 q M dM
N dN
M
微段内力:
N
Q ds Q dQ
拉伸 剪切
l l 0 0
d ds
弯曲
微段变形:
du ds
l
dv ds
内力虚功 （虚应变能）
i 0 i l
V N1du 2 Q1dv 2 M1d2
i 0 i 0 i 0
l l l
1 iP Ndu Qdv Md ( N Q M )ds
i 0 i 0 i 0 i 0
M
q
M dM N dN
N
Q ds Q dQ
拉伸
ds
弯曲
ds
ds 剪切
线弹性直杆，材料力学变形公式： 单位长度的拉压变形（应变）：
2、建立两个相同的坐标系，列出实际状态和 虚状态中的内力表达式。
M P ( x) M ( x) QP ( x) Q( x) NP ( x) N ( x)


3、代入公式进行积分，求出位移
例 ：已知图示梁的E 、G，求A点的竖向位移。
q
A
解：虚设单位力状态
h b
P 1
Ni ( x) 0, NP ( x) 0 Qi ( x) 1, QP ( x) q(l x) Mi ( x) x l, M P ( x) q(l x)2 / 2
l l l i 0 i 0 i 0
上式称为杆件结构的虚功方程。
原理的说明
1. 虚功原理存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。 2. 原理的证明（参考相关教材）表明: 虚功原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于 任何结构。刚体体系虚功原理是变形为零时的特例。 3. 原理可有两种应用： 虚位移原理：实际待分析的力状态，虚设的位移状态， 将平衡问题化为几何问题来求解。 虚力原理：实际待分析的位移状态，虚设的力状态， 将位移分析化为平衡问题来求解。
1. 结构的位移
A
A
P
A
A
AH
AV
线位移Βιβλιοθήκη Baidu
位移 转角位移
计算位移的目的？ 产生位移的原因？
2. 计算位移的目的
(1) 满足刚度要求； (2) 为超静定、动力和稳定计算打基础； (3) 施工要求。
3. 静定结构产生位移的原因
荷载作用 支座移动 温度变化 制造误差 有内力 无内力 无内力 无内力 有变形 无变形
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
NP kQ P MP , , EA GA EI
NP N kQP Q M PM GA EI EA dx
适用于线弹性 直杆体系,
ip
利用公式法计算位移的步骤：

1、取虚状态：取一个与实际状态结构完全相 同的结构，在欲求位移的点的相应位置加上 单位力（P246）
θAB
FP A
FP
FP
1
ΔAD
1
A
D 1/d
1
ΔAV
A
θAB
A d 1/d 1/d A d 1/d B
B
1/d C d 1/d
ΔAH
1
A
θAB-BC
ip
M PMi N P Nil ds EI EI
ip
M PMi N P Ni EA EI
ds
例：求曲梁B点的竖向位移。
P B R O P=1
A 解：虚设力状态 M P PR sin , M i R sin
QP P cos , Qi cos N P P sin , Ni sin
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理
Principle of Virtual Work for Elastic Body
1. 几个概念
（1）功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移 （2）实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P

W P
（3）虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
N l EA l
单位长度弯曲变形（曲率）：
单位长度剪切变形（剪切角）：
M 1 EI Q K GA
1 iP Ndu Qdv Md ( N Q M )ds
l l l l i 0 i 0 i 0 i 0