2021届湖南省桃江县一中2018级高三上学期期中考试数学试卷及答案
湖南省2021年高三上学期数学期中考试试卷A卷
湖南省2021年高三上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分） (2018高一上·深圳月考) 幂函数的单调增区间是________2. （1分）已知集合U={x|﹣3≤x≤3}，M={x|﹣1＜x＜1}，∁UN={x|0＜x＜2}，M∩N=________3. （1分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2 ，则f （3）=________．4. （1分）(2018·昌吉月考) 不等式的解集为________.5. （1分）(2019·浙江模拟) 将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字组成没有重复数字的八位数，要求7与8相邻，且任意相邻两个数字奇偶不同，这样的八位数的个数是________。
6. （1分） (2020高二下·静安期末) 设A、B是半径为1的球面上一个大圆上的两点，且，则A、B 两点的球面距离为________.7. （1分）已知函数f（x）=ln（x+），若正实数a，b满足f（2a）+f（b一1）=0，则的最小值是________8. （1分） (2019高二下·上海期末) 在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二等品的概率为________9. （1分） (2016高一上·济南期中) 若函数f（x）满足f（2x+1）=3﹣2x，则f（x）的解析式为________.10. （1分） (2017高三上·太原期末) 数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是________．11. （1分）设函数f（x）=ax+bx﹣cx ，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________①对任意x∈（﹣∞，1），都有f（x）＜0；②存在x∈R，使ax ， bx ， cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，存在x∈（1，2）使f（x）=0．12. （1分）(2017·包头模拟) 已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β．其中真命题是________（写出所有真命题的序号）．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分） (2017高二下·和平期末) 设命题甲：关于x的不等式x2+2ax+4≤0有解，命题乙：设函数f（x）=loga（x+a﹣2）在区间（1，+∞）上恒为正值，那么甲是乙的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件14. （2分）下列四个命题中错误的是（）A . 若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面B . 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C . 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D . 两条异面直线不可能垂直于同一个平面15. （2分）若的二项展开式中x3的系数为，则a＝（）A . 1B . 2C . 3D . 416. （2分） (2016高二下·衡阳期中) 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A . y=﹣x2B . y=|x|C . y=﹣x﹣1D . y=log2x三、解答题 (共5题；共50分)17. （5分）如图，圆锥的顶点为P，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点. 已知PO=2，OA=1，求三棱锥P-AOC的体积，并求异面直线PA与OE所成角的大小.18. （10分） (2016高二上·济南期中) 已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求实数a、b的值；（2）解关于x的不等式＞0（c为常数）19. （15分） (2019高一下·河北月考) 在四棱锥中，，底面，，直线与底面所成的角为，分别是的中点．（1）求证：直线平面；（2）若，求证：直线平面；（3）若，求棱锥的体积．20. （10分） (2018高一上·遵义月考) 已知函数f(x)＝，（1）判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．21. （10分） (2015高二下·永昌期中) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=﹣1与x=2处有极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在[﹣2，3]上的最值．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、选择题 (共4题；共8分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
湖南省益阳市桃江一中2018届高三上学期第一次月考数学试卷文科 含解析
2018-2018学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．复数z满足z﹣i=3+i，则i•=（）A．3+2i B．2+3i C．3﹣2i D．﹣2+3i2．若集合A={x||x﹣1|＜2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2，3}D．∅3．设x＞﹣1，y∈R，则“x+1＞y”是“x+1＞|y|”的（）A．弃要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜05．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=e lnΧ的定义域和值域相同的是（）A．y=lgΧB．y=C．y=|lgΧ|D．y=2Χ6．下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|7．若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．8．设a=0.30.5，b=0.50.3，c=0.50.5，d=log0.50.3，则a，b，c，d大小关系为（）A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．a＜c＜b＜d D．c＜b＜a＜d9．过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．10．函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．11．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）12．已知f（x）=，则有关x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不等实根的充分条件是（）A．b＜﹣2且c＞0 B．b＜﹣2且c＜0 C．b＜﹣2且c=0 D．b≥﹣2且c=0二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.5%，若初时含杂质10%，每过滤一次可使用杂质含量减少，至少应过滤次才能达到市场要求，其中：lg2=0.3010，lg3=0.4771．14．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f）处的切线方程为．16．若方程x2﹣ax+2=0有且仅有一个根在区间（0，3）内，则a的取值范围是．三、解答题（17、18、19、20、21题各12分）17．已知：S n为数列{a n}的前n项和，S n=n2+n﹣1（1）求{a n }的通项公式a n （2）求和：+…+．18．△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ﹣bsin （﹣C ）=c•sinB ．（1）求B ；（2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．19．如图四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，∠ACB=90°，AB=，PA=BC=1，F 是BC 的中点．（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）在线段PD 上找一点G ，使CG ∥面PAF ，说明点G 位置并求三棱锥A ﹣CDG 的体积．20．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修该课程的55名学生，得到数据如下表：（I ）判断是否有99． 5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？ （II ）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：（考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ）21．已知函数f （x ）=lnx ﹣x ，g （x ）=bx 3﹣bx （b ≠0）． （1）讨论g （x ）的单调性（2）若对任意x 1∈（1，2），总存在x 2∈（1，2），使f （x 1）=g （x 2），求b 的取值范围．22．在直角坐标系下，直线l 过点P （1，1），倾斜角α=，以原点O 为极点，以Χ轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）写出l 的参数方程和C 的直角坐标方程（2）设l 与曲线C 交于A 、B 两点，求+的值．23．已知函数f （x ）=|2x ﹣a |+a ．（1）当a=2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围．2018-2018学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．复数z满足z﹣i=3+i，则i•=（）A．3+2i B．2+3i C．3﹣2i D．﹣2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用共轭复数和复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵z﹣i=3+i，∴z=3+2i，∴=3﹣2i，∴i•=2+3i，故选：B．2．若集合A={x||x﹣1|＜2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2，3}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】先利用含绝对值不等式性质求出集合A，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：（1）∵集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={1，2，3}，∴A∩B={1，2}．故选：A．3．设x＞﹣1，y∈R，则“x+1＞y”是“x+1＞|y|”的（）A．弃要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得出答案．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∵x+1＞|y|，∴﹣（x+1）＜y＜x+1，∴x+1＞y，或x+1＞﹣y，故“x+1＞y”是“x+1＞|y|”的必要不充分条件，故选：C4．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0【考点】命题的否定．【分析】由全称命题的否定是特称命题，写出命题p的否定¬p来．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题p的否定是¬p：∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0．故选：C．5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=e lnΧ的定义域和值域相同的是（）A．y=lgΧB．y=C．y=|lgΧ|D．y=2Χ【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=e lnΧ的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=|lgx|的定义域为（0，+∞），值域为[0，+∞），不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：B．6．下列函数既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据常见基本函数的性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，函数y=x3是定义域R上的奇函数，不合题意；对于B，函数y=|x|+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递增函数，满足题意；对于C，函数y=﹣x2+1是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；对于D，函数y=2﹣|x|是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，不合题意；故选：B．7．若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．【解答】解：满足约束条件：，平面区域如图示：由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，当x=，y=时，代入直线的方程得：k=，故选A．8．设a=0.30.5，b=0.50.3，c=0.50.5，d=log0.50.3，则a，b，c，d大小关系为（）A．a＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．a＜c＜b＜d D．c＜b＜a＜d【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的性质分别比较四个数与1的大小得答案．【解答】解：∵0.50＞0.50.3＞0.50.5，∴c＜b＜1，∵0.30.5＜0.50.5，∴a＜c＜b，又log0.50.3＞log0.50.5=1，∴a＜c＜b＜d．故选：D．9．过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B10．函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x，故可得f′（0）=0，可排除D，故选C11．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b） D．bf（b）≤f（a）【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．【解答】解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①②①②两式相乘得：⇒af（b）≤bf（a），故选A．12．已知f（x）=，则有关x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不等实根的充分条件是（）A．b＜﹣2且c＞0 B．b＜﹣2且c＜0 C．b＜﹣2且c=0 D．b≥﹣2且c=0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用基本不等式得出方程f（x）=t的解的情况，从而得出方程t2+bt+c=0的解的范围，使用根与系数的关系得出b，c的范围．【解答】解：∵|x+|=|x|+||≥2，∴当t时，f（x）=t有四个解，当t=2时，f（x）=t有两个解，当t=0时，f（x）=0只有一解．设f（x）=t，∵f2（x）+bf（x）+c=0有5个不等实根，∴t2+bt+c=0的一个解为0，另一个解在区间（2，+∞）上．∴c=0，根据根与系数的关系可知0﹣b，∴b＜﹣2．故选C．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.5%，若初时含杂质10%，每过滤一次可使用杂质含量减少，至少应过滤8次才能达到市场要求，其中：lg2=0.3010，lg3=0.4771．【考点】对数的运算性质．【分析】设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则10%×（1﹣）x≤0.5%，由此能求出结果．【解答】解：设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则10%×（1﹣）x≤0.5%，即（）x≤，．两边取对数，得x（lg2﹣lg3）≤﹣（1+lg2），∴x≥，据实际情况知x∈N，解得x≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．故答案为：8．14．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f=f（1）=﹣f（1），代入函数的表达式求出函数值即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，又∵f（x﹣2）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为4是周期函数，∴f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2﹣1﹣=﹣1，故答案为：﹣1．15．曲线在点（1，f（1））处的切线方程为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，即可得到切线方程．【解答】解：由题意，，∴，∴f′（1）=e∴∴∴所求切线方程为y﹣e+=e（x﹣1），即故答案为：16．若方程x2﹣ax+2=0有且仅有一个根在区间（0，3）内，则a的取值范围是a=2或a＞．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意知方程在区间上有且只有一个根，分两种情况，即方程x2﹣ax+2=0有两个相等的实根在区间（0，3）内，方程x2﹣ax+2=0有两个不等的实根，且在区间（0，1）上有且仅有一个根，进而得到答案．【解答】解：若方程x2﹣ax+2=0有两个相等的实根，则△=a2﹣8=0，解得：a=，当a=2时，x=，满足条件；当a=﹣2时，x=﹣，不满足条件；若方程x2﹣ax+2=0有两个不等的实根，且在区间（0，3）上有且仅有一个根，令f（x）=x2﹣ax+2．则f（3）•f（0）＜0即：（11﹣3a ）×2＜0解得：a＞，综上可得：a=2或a＞，故答案为：a=2或a＞三、解答题（17、18、19、20、21题各12分）17．已知：S n为数列{a n}的前n项和，S n=n2+n﹣1（1）求{a n}的通项公式a n（2）求和： +…+．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据a n与S n的关系计算a n；（2）使用裂项法求和．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n﹣1）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）﹣1]=2n，∴a n=．（2）==﹣．∴+…+=1﹣++…+=1﹣=．18．△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a﹣bsin（﹣C）=c•sinB．（1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式可得cosBsinC=sinCsinB，又sinC≠0，化为tanB=1，即可得出．（2）利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由a﹣bsin（﹣C）=c•sinB，利用正弦定理可得：sinA﹣sinBcosC=sinCsinB ，∴sin （B +C ）﹣sinBcosC=sinCsinB ，∴cosBsinC=sinCsinB ，∵sinC ≠0，∴tanB=1，B ∈（0，π），∴B=．（2）由余弦定理可得：22=a 2+c 2﹣2accos ≥2ac ﹣ac ，当且仅当a=c 时取等号．化为：ac ≤4+2．∴S △ABC =acsinB ≤×=+1．19．如图四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，∠ACB=90°，AB=，PA=BC=1，F 是BC 的中点．（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）在线段PD 上找一点G ，使CG ∥面PAF ，说明点G 位置并求三棱锥A ﹣CDG 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由PA ⊥平面ABCD 可得PA ⊥AD ，结合AD ⊥AC 即可得出AD ⊥平面PAC ；（2）取PD 的中点G ，PA 的中点E ，连结CG ，EG ，EF ．则可证四边形EGCF 为平行四边形，故而CG ∥EF ，从而CG ∥平面PAF ，利用V A ﹣CDG =V G ﹣ACD 求出棱锥的体积．【解答】证明：（1）∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=90°，即AD ⊥AC ． 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC=A ， ∴AD ⊥平面PAC ．（2）取PD 的中点G ，PA 的中点E ，连结CG ，EG ，EF ．∵EG 是△PAD 的中位线， ∴EG ∥A ，EG=AD ，又F 为BC 的中点，BC ∥AD ， ∴CF=AD ，CF ∥AD ． ∴EG ∥CF ，EG=CF ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∴CG ∥EF ，又EF ⊂平面PAF ，CG ⊄平面PAF ， ∴CG ∥平面PAF ．∴当G 为PD 中点时，CG ∥平面PAF ．∵AB=，BC=1，AC ⊥BC ，∴AC=1，∴V P ﹣ACD ===，∵G 是PD 的中点，∴V A ﹣CDG =V G ﹣ACD =V P ﹣ACD =．20．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修该课程的55名学生，得到数据如下表：（I ）判断是否有99． 5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？ （II ）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：（考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ）【考点】独立性检验；分层抽样方法．【分析】（I ）计算K 2的值，与临界值比较，即可得到结论；（II ）确定样本中有4个男生，2个女生，利用列举法确定基本事件，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由公式，所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． … （Ⅱ）设所抽样本中有m 个男生，则，∴m=4人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作B 1，B 2，B 3，B 4，G 1，G 2．从中任选2人的基本事件有（B 1，B 2）、（B 1，B 3）、（B 1，B 4）、（B 1，G 1）、（B 1，G 2）、（B 2，B 3）、（B 2，B 4）、（B 2，G 1）、（B 2，G 2）、（B 3，B 4）、（B 3，G 1）、（B 3，G 2）、（B 4，G 1）、（B 4，G 2）、（G 1，G 2），共15个，其中恰有1名男生和1名女生的事件有（B 1，G 1）、（B 1，G 2）、（B 2，G 1）、（B 2，G 2）、（B 3，G 1）、（B 3，G 2）、（B4，G1）、（B 4，G 2），共8个， 所以恰有1名男生和1名女生的概率为． …21．已知函数f （x ）=lnx ﹣x ，g （x ）=bx 3﹣bx （b ≠0）． （1）讨论g （x ）的单调性（2）若对任意x 1∈（1，2），总存在x 2∈（1，2），使f （x 1）=g （x 2），求b 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）分类讨论，利用导数的正负，讨论g （x ）的单调性即可；（2）对任意x∈（1，2），f′（x）=﹣1＜0，函数单调递减，f（x）∈（ln2﹣2，﹣1），根据g（x）的单调性，求出g（x）的范围，即可求b的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=bx3﹣bx，∴g'（x）=b（x2﹣1），当b＜0时，g'（x）＞0，﹣1＜x＜1，f（x）递增，递增区间为（﹣1，1），递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当b＞0时，g'（x）＜0，﹣1＜x＜1，f（x）递减，递减区间为（﹣1，1），递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；（2）∵f（x）=lnx﹣x，∴对任意x∈（1，2），f′（x）=﹣1＜0，函数单调递减，∴f（x）∈（ln2﹣2，﹣1），当b＜0时，g（x）=bx3﹣bx在（1，2）上单调递减，∴g（x）∈（b，﹣b），由题意，（ln2﹣2，﹣1）⊆（b，﹣b），∴b≤ln2﹣2，﹣b≥﹣1∴b≤ln2﹣3．当b＞0时，g（x）=bx3﹣bx在（1，2）上单调递增，∴g（x）∈（﹣b，b），由题意，（ln2﹣2，﹣1）⊆（﹣b，b），∴﹣b≤ln2﹣2，b≥﹣1∴b≥3﹣ln2．22．在直角坐标系下，直线l过点P（1，1），倾斜角α=，以原点O为极点，以Χ轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）写出l的参数方程和C的直角坐标方程（2）设l与曲线C交于A、B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l过点P（1，1），倾斜角α=，可得：直线l的参数方程．曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t2﹣2=0，可得+=+．【解答】解：（1）由直线l过点P（1，1），倾斜角α=，可得：直线l的参数方程：（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x．（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t2﹣2=0，∴t=，t1=﹣t2=．∴+=+==．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．2018年1月20日。
湖南省益阳市桃江一中2018届高三上学期第三次月考数学试卷理科 含解析
2018-2018学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁U A=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{2，3}D．{1，4}2．命题“∃x0∈∁R Q，x18∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x18∈Q B．∃x0∈∁R Q，x18∉QC．∀x0∉∁R Q，x18∈Q D．∀x0∈∁R Q，x18∉Q3．函数f（x）=2x+2﹣x的图象关于（）对称．A．坐标原点 B．直线y=x C．x轴D．y轴4．设x，y∈R，向量=（2，﹣4），且，则=（）A．（3，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（3，）5．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5π7．sinxdx=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．18．已知a，b是正实数，A是a，b的等差中项，G是a，b等比中项，则（）A．ab≤AG B．ab≥AG C．ab≤|AG|D．ab＞AG9．已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=（）A．35 B．50 C．62 D．6410．下列函数中最小正周期是π且图象关于点成中心对称的一个函数是（）A．y=sin（B．y=cos（2x﹣C．y=cos（2x﹣D．y=sin（2x﹣11．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点12．设函数f（x）=e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A．[﹣1+e﹣1，1+e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[1，e]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=（x﹣5）0+的定义域是．14．如图，若||=1，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角的大小为．15．已知△ABC中，a2=b（b+c），B=15°，则角C=．16．函数f（x）=的值域是．三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18．已知函数，x∈R，A＞0，．y=f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），，求A的值．19．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD．（Ⅰ）求证：BC⊥BE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正切值；（Ⅲ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．20．设x，y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）若z的最大值为12，求+的最小值．（Ⅱ）若z的最大值不大于12，求a2+b2+2（b﹣a）的取值范围．21．已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n=S n+（n∈N*），求数列{T n}的最大项．22．已知函数f（x）=x3﹣bx2+cx（b，c∈R），其图象记为曲线C．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值﹣1，求b，c的值；（Ⅱ）若f（x）有三个不同的零点，分别为x1，x2，x3，且x3＞x2＞x1≥0，过点O（x1，f （x1））作曲线C的切线，切点为A（x0，f（x0））（点A异于点O）．（i）证明：x0=（ii）若三个零点均属于区间[0，2），求的取值范围．2018-2018学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁U A=（）A．{4}B．{2，3，4}C．{2，3}D．{1，4}【考点】交集及其运算．【分析】由题意全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，∴集合C∪A={14}，故选A．2．命题“∃x0∈∁R Q，x18∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x18∈Q B．∃x0∈∁R Q，x18∉QC．∀x0∉∁R Q，x18∈Q D．∀x0∈∁R Q，x18∉Q【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“∃x0∈C R Q，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x0∈C R Q，∈Q”的否定是∀x0∈C R Q，∉Q故选D3．函数f（x）=2x+2﹣x的图象关于（）对称．A．坐标原点 B．直线y=x C．x轴D．y轴【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】根据已知函数的解析式，求出函数的奇偶性，进而根据偶函数的图象关于y轴对称得到答案．【解答】解：函数f（x）=2x+2﹣x的定义域为R∵f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x）∴函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称故选D4．设x，y∈R，向量=（2，﹣4），且，则=（）A．（3，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，3）D．（3，）【考点】数量积的坐标表达式．【分析】根据平面向量的坐标公式，利用向量平行和向量垂直的坐标公式即可得到结论．【解答】解：∵=（2，﹣4），且，∴2x﹣4=0且，即x=2，y=﹣2．∴，∴=（3，﹣1），故选：B．5．lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】等差数列的性质．【分析】根据题中已知条件先证明充分性是否成立，然后证明必要性是否成立，即可的出答案．【解答】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y2=zx，∴充分性成立，因为y2=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体，及球的直径和圆锥的底面半径和高，分别代入球的体积公式和圆锥的体积公式，即可得到答案．【解答】解：由三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体球直径为2，则半径为1，圆锥的底面直径为4，半径为2，高为3则V==故选：A7．sinxdx=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．1【考点】微积分基本定理．【分析】由（﹣cosx）′=sinx，再利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：∵（﹣cosx）′=sinx，∴==1+1=2．故选C．8．已知a，b是正实数，A是a，b的等差中项，G是a，b等比中项，则（）A．ab≤AG B．ab≥AG C．ab≤|AG|D．ab＞AG【考点】等差数列的性质．【分析】由等差中项和等比中项的概念把A和G用含有a，b的代数式表示，然后利用基本不等式可得结论．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，∴A=，G=±．由基本不等式可得：|AG|=•≥ab．故选：C．9．已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=（）A．35 B．50 C．62 D．64【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•a5，∴（1+d）2=1•（1+4d），解得d=2．∴S8=8+=64．故选：D．10．下列函数中最小正周期是π且图象关于点成中心对称的一个函数是（）A．y=sin（B．y=cos（2x﹣C．y=cos（2x﹣D．y=sin（2x﹣【考点】余弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用周期公式可排除A，B，再利用“图象关于点成中心对称”即可得答案．【解答】解：∵y=sin（+）的周期T==4π，故可排除A；同理可排除B；对于C，∵y=f（x）=cos（2x﹣），∴f（）=cos（2×﹣）=cos=0，∴f（x）=cos（2x﹣）的图象关于点（，0）成中心对称，故C符合题意；对于D，y=f（x）=sin（2x﹣），f（）=sin（2×﹣）=sin=1≠0，故D不符，舍去．故选C．11．已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数【解答】解：分四种情况讨论．（1）x＞1时，log2x＞0，∴y=f（f（x））+1=log2（log2x）+1，此时的零点为（2）0＜x＜1时，log2x＜0，∴y=f（f（x））+1=alog2x+1，则a＞0时，有一个零点，a＜0时，没有零点，（3）若x＜0，ax+1≤0时，y=f（f（x））+1=a2x+a+1，则a＞0时，有一个零点，a＜0时，没有零点，（4）若x＜0，ax+1＞0时，y=f（f（x））+1=log2（ax+1）+1，则a＞0时，有一个零点，a ＜0时，没有零点，综上可知，当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点故选A12．设函数f（x）=e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A．[﹣1+e﹣1，1+e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[1，e]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0），可得y0=sinx0∈[﹣1，1]．函数f（x）=e x+2x﹣a 在[﹣1，1]上单调递增．利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）=y0．令函数f（x）=e x+2x ﹣a=x，化为a=e x+x．令g（x）=e x+x （x∈[﹣1，1]）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），∴y0=sinx0∈[﹣1，1]．函数f（x）=e x+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．下面证明f（y0）=y0．假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．综上可得：f（y0）=y0．令函数f（x）=e x+2x﹣a=x，化为a=e x+x．令g（x）=e x+x（x∈[﹣1，1]）．g′（x）=e x+1＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．∴a的取值范围是[﹣1+e﹣1，e+1]．故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=（x﹣5）0+的定义域是{x|x＞2，且x≠5} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由含有0指数的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0求解x的范围，然后取交集．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：x＞2且x≠5．所以原函数的定义域为{x|x＞2，且x≠5}．故答案为{x|x＞2，且x≠5}．14．如图，若||=1，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角的大小为120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知（+）⊥，得（+）•=，展开数量积公式，代入向量的模，求得向量，的夹角的余弦值，则答案可求．【解答】解：如图，设向量，的夹角为θ（0°≤θ≤180°），由||=1，||=2，且（+）⊥，得（+）•=，即，∴1+2cosθ=0，得cosθ=﹣．∴θ=120°．故答案为：120°．15．已知△ABC中，a2=b（b+c），B=15°，则角C=135°．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】延长CA至D，使AD=AB，连接DB．则∠BAC=2∠D．推导出△BCA∽△DCB，由此能证明A=2B，由已知即可得解C的值．【解答】解：a2=b（b+c），即BC2=AC（AC+AB），延长CA至D，使AD=AB，连接DB．则∠BAC=2∠D．∴BC2=AC•CD，，又∠C=∠C，∴△BCA∽△DCB，故∠D=∠ABC．∴∠BAC=2∠ABC，即A=2B．∵B=15°，可得：A=30°，C=135°．故答案为：135°．16．函数f（x）=的值域是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域．【分析】求解函数f（x）的定义域，求导，分析出函数的最值，可得值域．【解答】解：令g（x）=lnx+x，则存在a∈（0，1），使g（a）=0，∴函数f（x）=，其定义域为{x|x＞0，且x≠a}，f′（x）=，令f′（x）=0，则x=1，①当x∈（0，a）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数为减函数，此时函数f（x）∈（﹣∞，0），②当x∈（a，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数为减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，故当x=1时，函数取极小值1，无极大值，此时函数f（x）∈[1，+∞）故函数的值域为：（﹣∞，0）∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】充分条件；集合关系中的参数取值问题．【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R，得，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．18．已知函数，x∈R，A＞0，．y=f（x）的部分图象，如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及φ的值；（Ⅱ）若点R的坐标为（1，0），，求A的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．【分析】（I）由已知函数，我们易求出函数的最小正周期，又由P的坐标为（1，A），我们易构造出一个关于φ的三角方程，结合解三角方程即可求出φ值．（II）根据（I）的结论及R的坐标，和，利用余弦定理我们易构造出一个关于A的方程，解方程即可得到A的值．【解答】解：（I）由题意得，T==6∵P（1，A）在函数的图象上∴=1又∵∴φ=（II）由P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A），结合（I）可知点Q的坐标为（4，﹣A）连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=可得，∠QRX=，作QM⊥X轴于M，则QM=A，RM=3，所以有tan===∴A=19．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD．（Ⅰ）求证：BC⊥BE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正切值；（Ⅲ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角．【分析】（I）根据面面垂直的性质可证DE⊥平面ABCD，利用勾股定理证明BC⊥BE；（II）根据直线与平面所成角的定义证明∠CEB为CE与面BDE所成的角，在Rt△BCE中，求tan∠CEB的值；（III）取EC中点M，利用面面平行证明BM∥面ADEF．【解答】解：（I）由已知：平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD．DE⊥AD，DE⊂PMADEF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥BC，设CD=2AB=2AD=2，∴DE=1，则BC=，BD=，BE=，CE=，∴CE2=BE2+BC2，∴BC⊥BE；（II）由（1）可知：BC⊥BE，由BC⊥DE，∴BC⊥平面BDE，∴∠CEB为CE与面BDE所成的角．在Rt△BCE中，tan∠CEB===，（III）取EC中点M，则BM∥面ADEF，证明如下：取CD的中点P，连结MB、MP，则BP∥AD，∴BP∥面ADEF，又M、P分别为EC、DC的中点，∴MP∥ED，∴MP∥面ADEF，又BP∩MP=P，∴面BMP ∥面ADEF，BM⊂平面BMP，∴BM∥面ADEF．20．设x，y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）若z的最大值为12，求+的最小值．（Ⅱ）若z的最大值不大于12，求a2+b2+2（b﹣a）的取值范围．【考点】基本不等式．【分析】（Ⅰ）画出平面区域，求出目标函数z的最大值为12时的坐标，得出a，b的关系，利用基本不等式的性质求解．（Ⅱ）z的最大值不大于12，由（1）可的2a+3b≤6，a＞0，b＞0，画出平面区域，令Z=a2+b2+2（b﹣a），则转为（a﹣1）2+（b+1）2=Z+2=r2利用几何意义求解最值．【解答】解：（Ⅰ）不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，=．当且仅当a=b=时取等号．（Ⅱ）若z的最大值不大于12，由（1）可的2a+3b≤6，a＞0，b＞0，画出平面区域，令Z=a2+b2+2（b﹣a），则转为（a﹣1）2+（b+1）2=Z+2=r2．圆心为（1，﹣1），由图可知，当r=1时，最小，此时Z=﹣1；当圆过（0.2）时，半径最大，r=，此时Z=8，∵a＞0，∴Z＞﹣1因此Z=a2+b2+2（b﹣a）的取值范围（﹣1，8]．21．已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n=S n+（n∈N*），求数列{T n}的最大项．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】（Ⅰ）由等比数列的通项公式和等差数列的性质求出公比，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由S n=1﹣（﹣）n，得T n=S n+=1﹣（﹣）n+，根据n为奇数和n为偶数，分类讨论经，能求出数列{T n}的最大项．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4，得2a4=﹣a3，∴q=﹣，∵a1=，∴a n=•（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，S n==1﹣（﹣）n，∴T n=S n+=1﹣（﹣）n+，当n为奇数时，T n=S n+=1+（）n+=1++=2+，当n为偶数时，T n=S n+=1﹣（）n+=2+，T n=S n+随着n的增大而减小，即T n=S n+≤S1+=，T n=S n+≤=，综上，有T n=S n+≤（n∈N*）成立．∴数列{T n}的最大项为T1=．22．已知函数f（x）=x3﹣bx2+cx（b，c∈R），其图象记为曲线C．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值﹣1，求b，c的值；（Ⅱ）若f（x）有三个不同的零点，分别为x1，x2，x3，且x3＞x2＞x1≥0，过点O（x1，f （x1））作曲线C的切线，切点为A（x0，f（x0））（点A异于点O）．（i）证明：x0=（ii）若三个零点均属于区间[0，2），求的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数极值和导数只记得关系建立条件关系即可求b，c 的值；（Ⅱ）求函数的导数，根据导数的几何意义转化为一元二次方程，以及线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣2bx+c，若f（x）在x=1处取得极值﹣1，则，解得b=1，c=﹣1；经检验知此时函数f（x）满足条件．（Ⅱ）（i）证明：切线斜率k=f′（x0）=3x18﹣2bx0+c，则切线方程为y﹣f（x0）=（3x18﹣2bx0+c）（x﹣x0），化简得y=（3x18﹣2bx0+c）x﹣2x18+bx18，由于切线过原点，则﹣2x18+bx18=0，解得x0=，∵若f（x）有三个不同的零点，分别为0，x2，x3，则x2，x3是方程x2﹣bx+c=0的两个不同的根，由韦达定理得x2+x3=b，即x0=成立．（ii）由（i）知，x2，x3是方程x2﹣bx+c=0的两个不同的根，令g（x）=x2﹣bx+c，由x2，x3属于区间[0，2），知g（x）的图象与x轴在（0，2）内有两个不同的交点，则，即，上述不等式组对应的点（b，c）形成的平面区域如图阴影部分表示：又=，令目标函数z=4c﹣b2，则c=，于是问题转化为求抛物线c=的图象如y轴截距的取值范围，结合图象，截距分别在曲线段OM，N（2，0）处去上，下界，则z∈（﹣4，0），因此∈（﹣1，0）．2018年12月18日。
湖南省桃江县第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理
湖南省桃江县第一中学2018-2019 学年高二数学放学期期中试题理时量： 120 分钟总分： 150 分一、选择题 ( 本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，且每题只有一项为哪一项切合题目要求的。
)1. 已知复数z 10i，则 z 的虚部为（）3iA.1B.3C.iD.3i2. 已知随机变量X 听从二项散布 B 8,1，则 D3X 1 （）2A.2B.3C.12D.183．e1 )dx(2 x（）1xA ．e22B．e 1C．e2D． e 14. 有 6 个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一同，不同的排法种数为（）A．24B． 72 C. 144D． 288x5. 函数f ( x)e的部分图象大概为（）3x6. 有以下说法，正确的个数是______①回归直线过样本点的中心(x, y) ;②有关指数 R2来刻画回归的成效，R2值越大，说明模型的拟合成效越好；③在正态散布N ( , 2 )的密度曲线中，越大曲线越廋高；④对于分类变量X 与 Y, 随机变量k2的观察值越大，则判断“ X 与 Y 有关系”的把握程度越小。
A．1B．2 C.3D．47．若P a a 5 ， Q a 2 a 3 a 0 则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确立8. 已知曲线 C:y x 2x0 ，处的切线，直线l 与曲线 C 以及 x 轴直线 l 为曲线 C 在点 A(1,1) 所围成的图形的面积为（）A ．1B．1C ．1D． 112639. 设 1 2x10a 0 a 1x a 2x 2 a 10 x 10a 2 a 3a10的值为 (), 则 a 12 ...2 92 2A. 2B.2046C.2043D.210. 已知定义域为R 的奇函数 f ( x) 的导函数 f( x) ，当 x 0 时， f ( x) f (x)0 ，若xasin 1 f (sin 1) ， b3 f ( 3) ， c ln 3 f (ln 3) ，则以下对于 a, b, c 的大小关系正确的选项是（）A.b c aB.a c bC.c b aD.b a c1n11. 在二项式x的睁开式中，二项式系数的和为 256，把睁开式中所有的项从头26x排成一列，有理项都互不相邻的概率为 ()1115 A ． 6B． 4C． 3D．121 2 ． 已 知 函 数 f xe x, g xln x 1， 对 任 意a R ， 存 在 b0,， 使 得22f ag b ，则 b a 的最小值为（）A. 2 e 1B.e 21 C.2 ln2D.2 ln22二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5分，共 20分.）13．若随机变量 X ~ N 3, 2 ， 且P X 5 0.2，则P 1X 5 =______________14. 函数 f ( x ) ＝ 2 x 2ln x 的单一递减区间是 _____________15 一口袋里有大小形状完整同样的 10 个小球，此中红球与白球各2 个，黑球与黄球各3 个，从中随机取 3 次， 每次取 3 个小球，且每次取完后就放回，则这 3 次取球中，恰有 2 次所取的 3 个小球颜色各不同样的概率为_________16. 如图， 在平面直角坐标系 xoy 中，将直线 yx与直线 x 1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋21 x)2dxx 310.据此类比：将曲线转一周获得一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥(21212y x2 ( x0) 与直线 y 2 及 y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周获得一个旋转体，该旋转体的体积 V______ .yyy=2y=xy= x2 2O x=1xO x第 16题图三．解答题（本大题共六个小题，共70 分）17.( 此题满分 10 分 ) 设O为坐标原点，已知复数z1,z2分别对应向量OZ1, OZ 2，z1为复数z1的共轭复数， OZ1(10a2 ,1)，OZ 2 (2a 5,2a)此中 a R ，且z2z1为纯虚数．a5（Ⅰ）判断复数z1在复平面上对应的点在第几象限；（Ⅱ）求8z1z2 z2.12 nx)n的睁开式中18. （此题满分12 分）已知x的睁开式中所有系数之和比(3 3 xx所有二项式系数之和大240.1 (1) 求2xx 2 n的睁开式中的常数项( 用数字作答 ) ；(2)求2x+1x 2 n的睁开式中系数最大的项．19. （此题满分12 分）数列{ a n}知足a11, 前n项和 S n n(n 1) a n 62（1）求a2, a3, a4的值；（2）猜想{ a n}的表达式，并用数学概括法证明20. （此题满分12 分）现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作能够安排（结果用数字作答）：（ 1）每人都安排一项工作，有多少种不一样的方法？（ 2）假如司机工作不安排，其余三项工作起码安排一人，则这 5 名同学所有被安排有多少种不一样的方法？（ 3）每项工作起码有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其余三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这 5 名同学所有被安排有多少种不一样的方法？21. （本小题满分 12 分） 2017年 5 月，来自“一带一路”沿线的20 国青年评比出了中国的“新四大发明” ：高铁、扫码支付、共享单车和网购。
桃江县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
桃江县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 33αα-+ C. 3sin 31αα+ D ．2sin cos 1αα-+ 2． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.xy e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x =3． sin 15°sin 5°－2sin 80°的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－24． 已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x+2y=5B ．4x ﹣2y=5C ．x+2y=5D ．x ﹣2y=55． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.6． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题. 7． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈 B ．5立方丈 C ．6立方丈 D ．8立方丈8． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－12）C ．（－12，＋∞）D ．（－12，0）9． 已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 10．已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（ ）A ．B ．C ．D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．11．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=（ ）A ．12B ．16C ．20D ．2412．一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）A ．3B ．C ．2D ．6二、填空题13．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值是 ．14．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________． 15．下列命题：①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③2()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数； ④A R =，B R =，1:||f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1()f x x=在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ．16．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是度．17．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．三、解答题18．（本小题满分12分）已知圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的圆心在第二象限，半径为2，且圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切.（1）求F E D 、、；（2）若直线022=+-y x 与圆C 交于B A 、两点，求||AB .19．如图，四棱锥P ABC -中，,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====，M 为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．MN平面PAB；（1）证明：//（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值；20．已知向量，，．（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m的取值范围；（2）若在△ABC中，∠B为直角，求∠A．21．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．22．（本小题满分12分）成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）23．（本小题满分12分）一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．24．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T：+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示．（Ⅰ）若点A横坐标为，且BD∥AE，求m的值；（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆+y2=（）2上．桃江县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】A 【解析】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积ααsin 2sin 112142=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式ααsin 21sin 1121=⨯⨯⨯=S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ，最后得到答案.2． 【答案】B【解析】试题分析：对于A ，xy e =为增函数，y x =-为减函数，故xy e -=为减函数，对于B ，2'30y x =>，故3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,∞上单调递增，故选B. 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.3． 【答案】【解析】解析：选A.sin 15°sin 5°－2 sin 80°＝sin （10°＋5°）sin 5°－2cos 10°＝sin 10°cos 5°＋cos 10°sin 5°－2 cos 10°sin 5°sin 5°＝sin 10°cos 5°－cos 10°sin 5°sin5 °＝sin （10°－5°）sin 5°＝1，选A.4． 【答案】B【解析】解：线段AB 的中点为，k AB ==﹣，∴垂直平分线的斜率 k==2，∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y ﹣=2（x ﹣2）⇒4x ﹣2y ﹣5=0，故选B ．【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．5． 【答案】C.【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C. 6． 【答案】B【解析】易知{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥，所以()R A B =ð{}|21x x -≤<，故选B.7． 【答案】 【解析】解析：选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋12×3×1×2＝5立方丈，故选B.8． 【答案】【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）得f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－12）＝（e x －e －x ）（－12x ＋1＋12）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12）＝f （x ），∴f （x ）在R 上为偶函数，∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－12，即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－12}，故选C.9． 【答案】A 【解析】10．【答案】A 【解析】11．【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质可知，16a 84102=+=+a a a . 考点：等差数列的性质. 12．【答案】C【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，∴c=2，a=3，∴b=∴2b=2．故选：C ．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．二、填空题13．【答案】 6 ．【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；第二次循环：S=+=，i=2+1=3；第三次循环：S=+=，i=3+1=4；第四次循环：S=+=，i=4+1=5；第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S ，不满足判断框中的条件；∴判断框中的条件为i ＜6？故答案为：6．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题14．【答案】【解析】解析：∵f （x ）是偶函数，∴f （－x ）＝f （x ）恒成立， 即（－x ）（e －x ＋a e x ）＝x （e x ＋a e －x ）， ∴a （e x ＋e －x ）＝－（e x ＋e －x ），∴a ＝－1. 答案：－1 15．【答案】①② 【解析】试题分析：子集的个数是2n，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()241f x x =-为偶函数，故错误.对于④0x =没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n个；对于奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 16．【答案】 75 度．【解析】解：点P 可能在二面角α﹣l ﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P 在二面角α﹣l ﹣β的内部时，如图，A 、C 、B 、P 四点共面，∠ACB 为二面角的平面角，由题设条件，点P 到α，β和棱l 的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．故答案为：75． 【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．17．【答案】5【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r （x 6）n ﹣r（）r=C n r =C n r令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n 的表达式，推测出它的值．三、解答题18．【答案】（1） 22=D ，24-=E ，8=F ;（2）2=AB . 【解析】试题解析：（1）由题意，圆C 方程为2)()(22=-+-b y a x ，且0,0><b a ，∵圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切，∴2-=a ，25|43|=+b a ，∴22=b ， ∴圆C 方程为2)22()2(22=-++y x ，化为一般方程为08242222=+-++y x y x ，∴22=D ，24-=E ，8=F .（2）圆心)22,2(-C 到直线022=+-y x 的距离为12|22222|=+--=d ，∴21222||22=-=-=d r AB . 考点：圆的方程；2.直线与圆的位置关系.119．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】试题解析：（2）在三角形AMC 中，由22,3,cos 3AM AC MAC ==∠=，得 2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=， 222AM MC AC +=，则AM MC ⊥， ∵PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD平面PAD AD =，∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ，在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连结NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角。
湖南省桃江县第一中学高2021届高2018级高三上学期期中考试数学试题及参考答案
2020年下学期桃江县第一中学高三期中考试数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |x ﹣1≥0}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ≥1}D ．{x |1≤x ＜2}2. 若复数z 满足(1+i)z =3+i(其中i 是虚数单位)，复数z 的共轭复数为，则( )A. z 的实部是1B. z 的虚部是1C.D.复数在复平面内对应的点在第四象限3. 已知命题p ：对任意，总有2x >x 2；q ：“a b>4”是“a >2，b>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．4. 设数列{}n a 的前n 项和为S n ，且11a =，*2(1),()nn S a n n N n=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920 C ．511 D ．10115. 将函数f(x)=2sin(2x +6π)的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到g(x )的图象，若g(x 1)g(x 2)=9，且，，则2x 1-x 2的最大值为（ ） A ．256π B ．356π C ．174πD ．4912π 6. 中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种7. 已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞b ＞0）的右焦点，A ，B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF BF ∙uuu r uuu r=0，且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．51- B ．221-C ．31+D ．51+8. 已知定义在R 上函数f (x )的导函数为f’(x),，有f’(x)sinx<f (x )cos x ，且f (x )+f (-x )=0.设，，，则（ ）A ．a <b<cB ．b<c<aC ．a <c<bD ．c<b<a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】湖南省桃江县第一中学2018届高三文数五月模考试卷
2018年桃江一中高考模拟考试 数学（文科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合{}240A x N x x =∈-<，{}2220B x x x a =++=，{}1233A B =-，，，，则AB =（ ）A 、{}1B 、{}2C 、{}3D 、∅ 2、已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足2i i=y i x +（）-，则i x y -=（ ） A 、1 BCD3、甲、乙、丙、丁四位同学各自对,A B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现,A B 两变量有更强的线性相关性（ ） A 、甲 B 、乙 C 、丙 D 、丁4、已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，且2469a a a ++=，则15793log a a a ++=（）（ ）A 、-3B 、3C 、13-D 、135、函数()sin 2cos 2f x x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （）A 、图象关于直线6x π=对称 B 、在(0,)4π上单调递减 C 、图象关于点(,0)12π-对称 D 、在(0,)4π上单调递增6、已知实数x ，y 满足约束条件0344,0x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是（ ）A 、25 B 1 C 、2425D 、1 7、如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”，若输入的x ，y 分别 为72，168，则输出的n =（ ）A 、 2B 、3C 、 4D 、58、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、43B 、2C 、83D 、49、如图，把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为10的正方形托盘ABCD 内，已知硬币平放在托盘上且没有任何部分在托盘外，则该硬币完全落在托盘内部1111A B C D 内的概率为（ ）A 、18B 、916C 、4πD 、151610、已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()122f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．)2,e ⎡+∞⎣ B ．[),e +∞ C. []2,e D ．2,e e ⎡⎤⎣⎦11、如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令12,AF BC BFBFλλ==，则当3πα=时，12λλ+的值为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、6 12、已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，且n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n na 的前50项的和为（ ） A 、2448 B 、2525 C 、2533 D 、2652二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13、已知22,1()log ,1x m x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，若124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则m = . 14、若向量a ,b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为600，则a 在向量a b +方向上的投影等于 15、已知双曲线22221(0,0)x y a b a bΓ-=>>：的左焦点(,0)F c -，直线y x c =+与双曲线Γ的渐近线分别交于,A B 两点，其中点A 在第二象限，若32AF AB =，则双曲线Γ的离心率为 .16、在三棱锥A BCD -中，1AB =，BCCD AC =，当三棱锥A BCD -的体积最大时，其外接球的表面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （12分）已知在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos B C b c +=. （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若cos 2B B =，求△ABC 周长的取值范围.18.（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（Ⅰ）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率； （Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．19. （12分）四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且2PD DA ==，60CDA ∠=︒，过点B 作直线//l PD ，Q 为直线l 上一动点.（Ⅰ）求证：QP AC ⊥；（Ⅱ）当面PAC ⊥面QAC 时，求三棱锥Q ACP -的体积.20. （12分）已知N 为圆221:(2)24C x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ，点P 是线段2C N 的中点，点M 在线段1C N 上，且20MP C N ⋅=. （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）直线l 与曲线E 交于,A B 两点，AB 的中点在直线12y =上，求OAB △（O 为坐标原点）面积的取值范围.21.（12分）已知函数()ln 2()ag x x x a R x=++∈（Ⅰ）讨论()g x 的单调性； （Ⅱ）若11()()21a f x g x x x x x ⎡⎤=--+⎢⎥+⎣⎦. 证明：当0x >，且0x ≠时，ln ()1xf x x >-．选考题：共10分。
2021年高三上学期期中统考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期期中统考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第Ⅰ卷选择题（共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则＝A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.4.函数的图像为5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是A.①②B.①④C.②③D.③④6.若数列的前项和，则数列的通项公式A. B. C. D.7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.9.在中,角的对边分别为,且.则A．B．C．D．10.函数是上的奇函数，,则的解集是A . B. C. D.11.设函数，若实数满足，则A． B．C． D．12.给出下列四个命题，其错误的是①已知是等比数列的公比，则“数列是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件.②若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有.③若存在正常数满足，则的一个正周期为 .④函数与图像关于对称.A. ②④B. ④C.③D.③④第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.＝．（）14. ．15.在中，，，，则．16.设, 则当 ______时, 取得最小值.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)设,若,求的值.18.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式19. (本小题满分12分）设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.(Ⅰ) 若，求数列的通项公式；(Ⅱ) 记,，且成等比数列,证明:().20.(本小题满分12分）如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,,.(Ⅰ) 求山路的长;(Ⅱ) 假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?21．（本小题满分12分）新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：C B A①；②试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.22．(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值；(Ⅱ)令（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．xx.11理科数学 参考答案及评分标准一、二、13. 14. 15. 16.三．解答题17解: (Ⅰ)∵∴又∵,……3分 ∴ , ………………5分∴.…………………6分(Ⅱ)∵a 2b (2cos 2cos ,2sin 2sin )(2,0)αβαβ+=++= ∴即 …………………8分两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ……10分∵且 ∴ …………………12分18.解：(Ⅰ)设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上，…………………2分代入，得 …………………4分(Ⅱ)方法1或 ………8分或 …………………10分或不等式的解集是…………………12分方法2：等价于或解得或所以解集为19解(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分所以是方程的两个实数根，解得，………4分∴或即或.……………6分(Ⅱ)证明:由题意知∴∴ …………7分∵成等比数列，∴ ∴ …………8分∴ ∴ ∵ ∴ ∴…10分 ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边= 右边=∴左边=右边∴()成立. ……………12分20解: (Ⅰ) ∵,∴∴, …………………2分∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π …………4分 根据得所以山路的长为米. …………………6分(Ⅱ)由正弦定理得() …………8分甲共用时间：，乙索道所用时间：，设乙的步行速度为 ，由题意得，………10分整理得∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在内. …………………12分21．解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分（Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数，则显然恒成立 ……4分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ……7分②对于函数模型：当时，是增函数，则．∴恒成立． ………8分设，则． 当时，()24lg 12lg 1lg 10555e e e g x x --'=-≤=<，所以在上是减函数， ……10分从而．∴，即，∴恒成立．故该函数模型符合公司要求． ……12分22.解：(Ⅰ)依题意，的定义域为，当时，，……………………2分由 ，得，解得由 ，得，解得或，在单调递增，在单调递减；所以的极大值为，此即为最大值……………………4分(Ⅱ)，则有在上有解，∴≥，所以 当时，取得最小值……………8分(Ⅲ)方法1由得，令，令，∴在单调递增，……………10分而，∴在，即，在，即，∴在单调递减，在单调递增，……………12分∴极小值=,令，即时方程有唯一实数解. 14分方法2：因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则令，因为所以（舍去），，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，取最小值. ……………10分若方程有唯一实数解，则必有即所以因为所以……………12分设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解.∵，∴方程(*)的解为，即，解得………14分€qmS34758 87C6 蟆G!/32972 80CC 背`31548 7B3C 笼U31186 79D2 秒y。
【数学】湖南省桃江县第一中学2018届高三文数五月模考试卷
2018年桃江一中高考模拟考试 数学（文科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知集合{}240A x N x x =∈-<，{}2220B x x x a =++=，{}1233A B =-，，，，则AB =（ ）A 、{}1B 、{}2C 、{}3D 、∅ 2、已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足2i i=y i x +（）-，则i x y -=（ ） A 、1 BCD3、甲、乙、丙、丁四位同学各自对,A B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现,A B 两变量有更强的线性相关性（ ） A 、甲 B 、乙 C 、丙 D 、丁4、已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，且2469a a a ++=，则15793log a a a ++=（）（ ）A 、-3B 、3C 、13-D 、135、函数()sin 2cos 2f x x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （）A 、图象关于直线6x π=对称 B 、在(0,)4π上单调递减 C 、图象关于点(,0)12π-对称 D 、在(0,)4π上单调递增6、已知实数x ，y 满足约束条件0344,0x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是（ ）A 、25 B 1 C 、2425D 、1 7、如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”，若输入的x ，y 分别 为72，168，则输出的n =（ ）A 、 2B 、3C 、 4D 、58、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、43B 、2C 、83D 、49、如图，把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为10的正方形托盘ABCD 内，已知硬币平放在托盘上且没有任何部分在托盘外，则该硬币完全落在托盘内部1111A B C D 内的概率为（ ）A 、18B 、916C 、4πD 、151610、已知函数()2ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()122f x f x a -≤-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．)2,e ⎡+∞⎣ B ．[),e +∞ C. []2,e D ．2,e e ⎡⎤⎣⎦11、如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令12,AF BC BFBFλλ==，则当3πα=时，12λλ+的值为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、6 12、已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，且n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n na 的前50项的和为（ ） A 、2448 B 、2525 C 、2533 D 、2652二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13、已知22,1()log ,1x m x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，若124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则m = . 14、若向量a ,b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为600，则a 在向量a b +方向上的投影等于 15、已知双曲线22221(0,0)x y a b a bΓ-=>>：的左焦点(,0)F c -，直线y x c =+与双曲线Γ的渐近线分别交于,A B 两点，其中点A 在第二象限，若32AF AB =，则双曲线Γ的离心率为 .16、在三棱锥A BCD -中，1AB =，BCCD AC =，当三棱锥A BCD -的体积最大时，其外接球的表面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （12分）已知在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos B C b c +=. （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若cos 2B B =，求△ABC 周长的取值范围.18.（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（Ⅰ）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率； （Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．19. （12分）四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且2PD DA ==，60CDA ∠=︒，过点B 作直线//l PD ，Q 为直线l 上一动点.（Ⅰ）求证：QP AC ⊥；（Ⅱ）当面PAC ⊥面QAC 时，求三棱锥Q ACP -的体积.20. （12分）已知N 为圆221:(2)24C x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ，点P 是线段2C N 的中点，点M 在线段1C N 上，且20MP C N ⋅=. （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）直线l 与曲线E 交于,A B 两点，AB 的中点在直线12y =上，求OAB △（O 为坐标原点）面积的取值范围.21.（12分）已知函数()ln 2()ag x x x a R x=++∈（Ⅰ）讨论()g x 的单调性； （Ⅱ）若11()()21a f x g x x x x x ⎡⎤=--+⎢⎥+⎣⎦. 证明：当0x >，且0x ≠时，ln ()1xf x x >-．选考题：共10分。
湖南省桃江县第一中学2018届高三上学期期中考试数学理试题Word版含答案
桃江一中2017年下学期期中考试高三数学理科第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}|22A x x =-≤≤，集合{}2|230B x x x =-->，则A B =A. ()(),13,-∞-+∞B. (]1,2-C.(](),23,-∞-+∞ D.[)2,1-2.设复数z 满足1132z i z +=--，则z = 523.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是A. 42534.已知函数()524f x x x =-，若2,2a b <->，则()()""f a f b >是"0"a b +<的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n = A. 2 B. 3 C. 4 D. 56.各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n S 是首项和公差都为2的等差数列，公比为负数的等比数列{}n b ，其首项和公比相等，且数列{}n b 为等差数列，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2018项的和为 A. 1009-1009210097.()62121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是A. 15B. -15C. 17D. -178.任取实数[],0,1x y ∈，则满足12x y x ≤≤ A. 34 B. 35 C.56 D.5129.如图正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成角为α，则sin α的取值范围是A. 3⎤⎥⎣⎦B. 6⎤⎥⎣⎦C. 622⎣⎦D.22⎤⎥⎣⎦10.两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R B R ∈∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 A.49 B. 109C. 1D. 3 11.已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的一条渐近线为l ，圆()22:8C x a y -+=与l交于,A B 两点，若ABC ∆为等腰直角三角形，且5OB OA =，其中O 为坐标原点，则双曲线Γ的离心率为 2132131313 12.若关于x 的不等式32ln xx x x x ae -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是A. [),e +∞B.[)0,+∞C. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)1,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.某沿海四个城市A,B,C,D 的位置如图所示，其中60,135,ABC BCD ∠=∠=80/,AB n mile =403,6BC nmile CD nmile =+=，D 位于A 的北偏东75方向，现在有一艘轮船从A 出发以5080/AB nmile h =的速度向D 直线航行，60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C 航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ= . 14.已知数列{}n a 满足()()()111,211n n n na a a n N n na *+==∈++，若不等式2410n ta n n ++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 .15.()1,|:1320320y A a b l ax by x y x y ⎧<⎫⎧⎪⎪⎪=-=--<⎨⎨⎬⎪⎪⎪++>⎩⎩⎭直线与不等式组表示的平面区间无公共点点P A ∈，过点P 作圆()()22:211C x y +++=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，则PA PB ⋅的最小值为 .16.已知函数()421421x x x x k f x ++=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =D 在线段AC 上，.4DBC π∠=（1）若BCD ∆的面积为24，求CD 的长；（2）若0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且122c =1tan 3A =，求CD 的长.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.（本题满分12分）如图（1）所示，已知正方形AMCD 的边长为2，延长AM ，使得M 为AB 的中点，连接AC .现将ACD ∆沿AC 折起，使得平面ACD ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图（2）所示. （1）求证：BC ⊥平面ACD ；（2）求平面ACD 与平面MCD 的夹角的余弦值.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且2QF PQ =，过F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点. （1）求C 的方程；（2）设AB 的垂直平分线l 与C 相交于,M N 两点，试判断,,,A M B N 四点是否在同一个圆上？若在，求出l 的方程；若不在，说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()f x x =，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数.（1）求λ的最大值；（2）若()21g x t t λ=++在[]1,1-上恒成立，求t 的取值范围；（3）讨论关于x 的方程()2ln 2xx ex m f x =-+的根的个数.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
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2021届湖南省桃江县一中2018级高三上学期期中考试
数学试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题：共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＜0},B ＝{x |x ﹣1≥0},则集合A ∩B ＝（ ）
A ．{x |0＜x ＜2}
B ．{x |0＜x ≤1}
C ．{x |x ≥1}
D ．{x |1≤x ＜2}
2. 若复数z 满足(1+i)z =3+i(其中i 是虚数单位),复数z 的共轭复数为
,则( ) A. z 的实部是1
B. z 的虚部是1
C.
D.复数在复平面内对应的点在第四象限
3. 已知命题p ：对任意
,总有2x >x 2；q ：“a b>4”是“a >2,b>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 设数列{}n a 的前n 项和为S n ,且11a =,*2(1),()n n S a n n N n =
+-∈,则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ）
A ．290
B ．920
C ．511
D ．1011
5. 将函数f(x)=2sin(2x +6π)的图象向左平移12π个单位,再向上平移1个单位,得到g(x )的图象,若g(x 1)g(x 2)=9,且
,
,则2x 1-x 2的最大值为（ ）
A．25
6
π B．
35
6
π C．
17
4
πD．
49
12
π
6. 中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》,甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读,若甲乙都没有选《诗经》,乙也没选《春秋》,则5名同学所有可能的选择有（）
A．18种B．24种C．36种D．54种
7. 已知F为双曲线C：
22
22
1
x y
a b
-=（a＞b＞0）的右焦点,A,B是双曲线C的一条渐近线上关于
原点对称的两点,AF BF
•=0,且AF的中点在双曲线C上,则C的离心率为（）
A1 B．1 C1 D1
8. 已知定义在R上函数f(x)的导函数为f’(x),,有f’(x)sinx<f(x)cos x,且
f(x)+f(-x)=0.设,,,则（）
A．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．c<b<a
二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明了“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,
得出株高(单位：cm)服从正态分布,其密度曲线函数为f(x
2
(100)
200
x-
-
,(,)
x∈-∞+∞,则
下列说法正确的是（）
A. 该地水稻的平均株高为100cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大。